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  • 图论及其应用(J.A.邦迪)及习题答案

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    经典图论教材,附上习题解答图论入门教材首选,绝对经典
  • 图论及其应用邦迪著的中文版
  • 前六章是图论,第一章介绍图的基本概念及其代数表示方法,第二章至第六章分别详细讨论了道路与回路、树、平面图与图的着色、匹配与网络流、图的连贯性等图的主要内容,并且将它们与计算机的应用紧密结合,分...
  • 徐俊明《图论及其应用》教学大纲

    千次阅读 2010-01-21 13:20:00
    http://staff.ustc.edu.cn/~xujm/syllabus_graphs.htm 《图论及其应用》教学大纲 ( 2003 年2月17日 -- 7月4日) 本课程大纲以《图论及其应用》(徐俊明,科大

    http://staff.ustc.edu.cn/~xujm/syllabus_graphs.htm  

                  图论及其应用》教学大纲

                                                         ( 2003 217 -- 74)

    本课程大纲以《图论及其应用》(徐俊明,科大出版社,1998年版)为依据。按学校教学日历表安排,本学期授课时间72课时,因故停课一次(5月19日),习题课、小测验和总结复习8课时,实际授课时间共62个课时。课堂教学以概念和理论为主,通过证明定理和例子介绍图论命题的基本论证方法和技巧。课后安排少量必作习题和部分自学的内容。以达到掌握图论的基本概念、理论、方法和应用,提高利用数学方法解决实际问题能力的目的。为确保达到这个目的,课余预习和复习思考时间应不少于课堂教学时间的1.5倍。在教学过程中,视其具体情况,有可能对此大纲进行调整,请注意课堂通知或者网上通知

    1). 2.17(星期一): 开课,导引,图论的简史,数学地位,国内外理论研究和应用进展,最主要的参考书和参考杂志。课程要求和注意事项有两本图论教材可以作为参考书:

    1. Bondy, J. A. and Murty, U. S. R., Graph Theory with Applications. The MaCmillan Press ltd, London and Basingstoke, 1976。

    中译本:《图论及其应用》(吴望名等译),科学出版社,1984。该书将无向图和有向图分开论述,图的理论部分写得通俗易懂,应用材料很精彩,习题很多,适合作一般大学本科图论教材。缺点是理论部分写得太浅,有点陈旧(该书的第二版即将出版)。张克民、林国宁和张忠辅《图论及其应用习题解答》(清华大学出版社,1988)已将该书的习题作了全部解答。

    2. 

    Chartrand, G, and Lesniak, L., Graphs and Digraphs (Second Edition). Wadsworth, Inc, Belmont and California, 1986。该书将无向图和有向图交叉叙述,

    内容较多,专题叙述较为深入。但几乎不涉及图论应用,各专题之间的联系不够紧密,习题难度不大。

    另有两篇综述文献值得一读(中译文):

    1.) C.Thomassen, 图论的回顾,数学译林,1988, 65-75; 

    2.) B.Bollobas, 图论的未来, 数学译林,15(1996), No.2, 109-110.

    2). 2.19(星期三): 内容是1.1节和1.2节。图的基本概念、介绍基本记号、图的同构和某些特殊的图类,如完全图、竞赛图和二部分图。强调图是一个特殊的代数结构(有限集和定义在该集上的二元关系),几何图形只是它的一种直观表示。因此,图同构的概念是自然的。介绍超立方体和有向图与二部分图的关系。习题:1.1.1, 1.2.4 和 1.2.7

    3). 2.24(星期一): 内容是1.3节和1.4节。介绍图的顶点度概念和图的基本运算和记号,线图运算。掌握图论第一定理(边数和顶点度之间的基本关系)。若干例子。习题:1.3.4, 1.3.5 和 1.4.5

    习题1.3.8是著名的Sperner引理, 利用它可以给出Brouwer不动点定理的图论证明。参阅J. A. Bondy and U. S. R. Murty, Graph Theory with Applications, Macmillan Press LTD, 19976, Section 1.9。

    关于线图和笛卡儿乘积图的进一步性质可参阅Junming Xu, Topological Structure and Analysis of Interconnection Networks, Kluwer Academic Publisheres, 2001, Sections 2.1 and 2.3。有一篇关于线图研究的综述文献:R. L. Hemminger, and  L. W. Beineke, Line graphs and line digraphs.   Selected Topics in Graph Theory , I, (edited by L. W. Beineke, and R. J. Wilson),  Academic Press INC, 1978, 271- 305。  

    4). 2.26(星期三): 内容是1.5节。链、迹和路的概念、关系、区别,连通和强连通概念,它们的区别和联系。通过证明定理1.2和若干例子,介绍图论中常用的基本论证方法和技巧。习题:1.5.4, 1.5.6 和 1.5.10

    习题1.4.11叙述了著名的Ramsey定理。该习题的解答可参阅J. A. Bondy and U. S. R. Murty, Graph Theory with Applications, Macmillan Press LTD, 19976, Section 7.2。有两本有关Ramsey理论的专题著作可以参阅。

    1.) R. L. Graham, B. L. Rothschild, and J. H. Spencer, Ramsey Theory. John Wiley & Sons, 1980.

    2.) 李乔, 拉姆塞理论, 湖南教育出版社, 1991。

    5). 3.03(星期一): 内容是1.6。回和圈的概念、区别和基本图论结果(定理1.3)。作为回或者圈的应用,介绍二部分图的判定准则(定理1.4)和若干例子。习题:1.6.2, 1.6.4 和 1.6.11

    关于路和圈中的研究问题和进展可参阅一篇综述文献:J. A. Bondy, Basic graph theory: paths and circuits. Handbook of Combinatorics (edited by R. L. Graham, M. Grotschel and L. Lovasz), Vol.1(1995),3-110.

    6). 3.05(星期三): 内容是1.7节。Euler迹、Euler回和Euler图的概念。介绍著名的Königsber七桥问题和Euler图的判定准则(定理1.5)。作为例子,介绍De Bruijn图。习题:1.7.2 和 1.7.3

    有一篇关于Euler问题的综述文章可以参阅:H. Fleischer, Eulerian graphs. Selected Topics in Graph Theory , II, (edited by L. W. Beineke, and R. J. Wilson),  Academic Press INC, 1983, 17-53。

    7). 3.10(星期一): 内容是1.8。弄清Hamilton圈和Hamilton图的概念,它们与Euler回和Euler图区别,困难性。重点介绍充分条件(定理1.7),还可举两个例子。定理1.8的证明有一定难度,有余力的同学可以通过自学弄懂它。习题:1.8.3, 1.8.6 和 1.8.7

    有一篇关于Hamilton问题的综述文章可以参阅:J. C. Bermond, Hamiltonian graphs. Selected Topics in Graph Theory , I, (edited by L. W. Beineke, and R. J. Wilson),  Academic Press INC, 1978, 127- 167。  

    8). 3.12(星期三): 内容是1.9节。介绍图的另一种表示-图的邻接矩阵和关联矩阵。弄清同构图的邻接矩阵的置换相似性和关联矩阵的置换相抵性。利用这种表示,可以借助代数方法来研究图的结构性质,有此产生代数图论。证明定理1.9并通过若干例子,介绍代数方法在图论中的应用。习题:1.9.4 和 1.9.5; 选作1.9.6

    建议参阅的两本代数图论教材和一本关于图的譜的专题著作(系资料室有原版): 

    1.) N. Biggs, Algebraic Graph Theory (Second Edition), Cambridge University Press, 1993; 

    2.) C. Golsil and G. Royle, Algebraic Graph Theory, Springer, 2001. 

    3.) D. M. Cvetkoie, M. Doob, and H. Sachs, Spectura of Graphs. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1982.

    9). 3.17(星期一): 内容是1.10。作为图论应用,介绍本原矩阵的本原指数。定理1.11是关于本原指数的一个基本结果,它将被归结为图论结果。定理1.9和定理1.10起了关键作用。给出两个例子以说明本原矩阵的本原指数的基本方法。习题:1.10.2 和 1.10.3

    关于图论在矩阵论的应用,可见参考书:

    1.) 李乔, 矩阵论八讲, 上海科学技术出版社,1988, 第6章.

    2.) 柳柏濂, 组合矩阵论,科学出版社,1998.

    10). 3.19(星期三): 习题课, 小测验(作在作业本上,交第一次作业)。

    11). 3.24(星期一): 内容是2.1节和2.2节,它是本章的基础。介绍树(林)和支持树(林)的基本性质。弄清余树(林)、割边集和键的概念,圈、键与余树(林)的关系。习题:2.1.2, 2.1.5 和 2.2.3

    12). 3.26(星期三): 内容是2.3节,它是本章的重点。弄清圈空间概念,重点是边空间中两个互补的子空间:圈空间和键空间的维数和基的生成。通过这节结果和论证方法,进一步了解图的矩阵表示的重要性和代数方法在图论中的具体应用。习题:2.3.4, 2.3.6 和 2.3.7

    13). 3.31(星期一): 内容是2.4节。这节讨论连通图支撑树的计数,本质上是边空间理论的应用,矩阵理论、图论和代数方法的结合,导出若干支撑树计数公式。习题:2.4.2, 2.4.3 和 2.4.6

    14). 4.02(星期三): 内容是2.5和2.6。介绍两个实际问题的应用:最小连接和最短路问题,弄清他们的联系和区别,并介绍解决这两个问题的有效算法。重点是学会怎样将一个实际问题转化为图论问题,然后利用图论方法去解决问题。学会分析算法的有效性。习题:2.5.1, 2.5.1 和 2.6.2自习2.7节

    15). 4.07(星期一): 内容是3.1节,是本章的重点。介绍平面图和平图的基本概念和性质,Euler公式。习题:3.1.4, 3.1.6 和 3.1.9

    16). 4.09(星期三): 内容是3.2节和3.3节,重点掌握 Kuratowski 定理(3.6)和几何对偶图的概念,其它内容可作一般了解。习题:3.2.3, 3.3.2 和 3.3.6自习3.4节和3.5节

    17). 4.14(星期一): 内容是4.1节,是本章的基础。介绍网络流和截的概念,弄清截与割的区别。重点掌握和证明最大流最小截定理(4.1)。习题:4.1.2 和 4.1.4

    18). 4.16(星期三):  内容是4.2,是本章的重点。弄清图的局部连通度概念,重点掌握两种形式的Menger定理(4.3和4.3),证明方法和它们与最大流最小截定理的等价性。习题:4.2.2 和 4.2.3

    19). 4.21(星期一):  内容是4.3节。图的整体连通度概念,重点掌握Whitney不等式(定理4。4)和Whitney关于k连通图的判定准则(定理4.5)。通过定理和具体例子的证明,介绍有关连通度命题证明的基本方法。习题:4.3.3, 4.3.11 和 4.3.12

    20). 4.23(星期三): 内容是4.4。通过运输方案的设计,介绍求整容量网络最大流的标号算法。该算法的基础是定理4.6。因此,要弄清增广路的概念。习题:4.4.2 和 4.4.6(可选作)

    21). 4.28(星期一): 内容是4.5节。通过最优运输方案的设计,介绍求整容量网络最小费用最大流算法。该算法的基础是定理4.8。因此,要弄清增广圈概念。习题:4.5.2 和 4.5.3(可选作)

    22). 4.30(星期三): 内容是4.6。通过解决中国投递员问题,介绍求加权图的最优邮路算法,它与网络流的密切关系和转化过程。习题:4.6.2 和 4.6.3自习4.7节

    23). 5.04(星期一): 习题课, 小测验(作在作业本上,交第二次作业)。

    24). 5.07(星期三): 内容是5.1节(上)。介绍匹配概念,研究二部分图和一般图中完备匹配的存在性。重点掌握Hall定理(5.1)和Tutte定理(5.2),了解这两个定理证明方法以及它们与最大流最小截定理、Menger定理的等价性。习题:5.1.1, 5.1.2 和 5.1.5

    25). 5.12(星期一): 内容是5.1节(下)。介绍点覆盖概念和König定理(5.3)以及它与某些定理的等价性。通过若干例子,介绍匹配理论的基本应用。习题:5.1.3, 5.1.6 和 5.1.9

    26). 5.14(星期三): 内容是5.2。介绍图的独立集和独立数的概念,了解计算独立数的困难性。介绍独立数与连通度及图的Hamilton性之间的关系。习题:5.2.5, 5.2.6 和 5.2.7

    27).  5.19(星期一):  内容是5.3节。作为匹配理论的应用,通过人员安排问题,介绍求二部分图中完备匹配的匈牙利算法。算法的基础是Hall定理、定理5.9和定理5.10。习题:5.3.2, 5.3.5 和 5.3.6

    28).5.21(星期三): 内容是5.4。通过最优人员安排问题,介绍求加权完全二部分图中最大(或者最小)权完备匹配的有效算法。算法的基础是定理5.11。作为算法的应用,介绍工作排序问题的近似算法。习题:5.4.4 和 5.4.6

    29). 5.26(星期一): 内容是5.5节。介绍著名的货郎担问题,它是NPC问题的杰出代表。掌握货郎担问题的两种提法,怎样将一般图的货郎担问题转化为求满足三角不等式的完全加权图中最优Hamilton圈问题。介绍一个近似算法,它是该课程中介绍的著名算法的应用和总结,计算它的的性能比。习题:5.5.1和5.5.3自习5.6节

    30). 5.28(星期三): 自习

    31). 6.02(星期一):  内容是6.1。介绍点染色的基本概念和结果,弄清点染色与独立集之间的关系。重点掌握定理6.1、6.2和6.3。作为应用,列举若干例子。习题:6.1.5 和6.1.6

    32). 6.04(星期三): 内容是6.2节。介绍边染色的基本概念和结果,弄清边染色与匹配之间的关系。重点掌握定理6.4。介绍图的分类问题。习题:6.2.2,6.2.4 和6.2.5

    33). 6.09(星期一): 习题课,期终总结,布置期终复习和考试事宜。

    期末考试时间:2003年06月14日(星期六)上午8:30-10:30,地点:4703教室

    另有两篇综述文献值得一读(中译文):

    1.) C.Thomassen, 图论的回顾,数学译林,1988, 65-75; 

    2.) B.Bollobas, 图论的未来, 数学译林,15(1996), No.2, 109-110.

    2). 2.19(星期三): 内容是1.1节和1.2节。图的基本概念、介绍基本记号、图的同构和某些特殊的图类,如完全图、竞赛图和二部分图。强调图是一个特殊的代数结构(有限集和定义在该集上的二元关系),几何图形只是它的一种直观表示。因此,图同构的概念是自然的。介绍超立方体和有向图与二部分图的关系。习题:1.1.1, 1.2.4 和 1.2.7

    3). 2.24(星期一): 内容是1.3节和1.4节。介绍图的顶点度概念和图的基本运算和记号,线图运算。掌握图论第一定理(边数和顶点度之间的基本关系)。若干例子。习题:1.3.4, 1.3.5 和 1.4.5

    习题1.3.8是著名的Sperner引理, 利用它可以给出Brouwer不动点定理的图论证明。参阅J. A. Bondy and U. S. R. Murty, Graph Theory with Applications, Macmillan Press LTD, 19976, Section 1.9。

    关于线图和笛卡儿乘积图的进一步性质可参阅Junming Xu, Topological Structure and Analysis of Interconnection Networks, Kluwer Academic Publisheres, 2001, Sections 2.1 and 2.3。有一篇关于线图研究的综述文献:R. L. Hemminger, and  L. W. Beineke, Line graphs and line digraphs.   Selected Topics in Graph Theory , I, (edited by L. W. Beineke, and R. J. Wilson),  Academic Press INC, 1978, 271- 305。  

    4). 2.26(星期三): 内容是1.5节。链、迹和路的概念、关系、区别,连通和强连通概念,它们的区别和联系。通过证明定理1.2和若干例子,介绍图论中常用的基本论证方法和技巧。习题:1.5.4, 1.5.6 和 1.5.10

    习题1.4.11叙述了著名的Ramsey定理。该习题的解答可参阅J. A. Bondy and U. S. R. Murty, Graph Theory with Applications, Macmillan Press LTD, 19976, Section 7.2。有两本有关Ramsey理论的专题著作可以参阅。

    1.) R. L. Graham, B. L. Rothschild, and J. H. Spencer, Ramsey Theory. John Wiley & Sons, 1980.

    2.) 李乔, 拉姆塞理论, 湖南教育出版社, 1991。

    5). 3.03(星期一): 内容是1.6。回和圈的概念、区别和基本图论结果(定理1.3)。作为回或者圈的应用,介绍二部分图的判定准则(定理1.4)和若干例子。习题:1.6.2, 1.6.4 和 1.6.11

    关于路和圈中的研究问题和进展可参阅一篇综述文献:J. A. Bondy, Basic graph theory: paths and circuits. Handbook of Combinatorics (edited by R. L. Graham, M. Grotschel and L. Lovasz), Vol.1(1995),3-110.

    6). 3.05(星期三): 内容是1.7节。Euler迹、Euler回和Euler图的概念。介绍著名的Königsber七桥问题和Euler图的判定准则(定理1.5)。作为例子,介绍De Bruijn图。习题:1.7.2 和 1.7.3

    有一篇关于Euler问题的综述文章可以参阅:H. Fleischer, Eulerian graphs. Selected Topics in Graph Theory , II, (edited by L. W. Beineke, and R. J. Wilson),  Academic Press INC, 1983, 17-53。

    7). 3.10(星期一): 内容是1.8。弄清Hamilton圈和Hamilton图的概念,它们与Euler回和Euler图区别,困难性。重点介绍充分条件(定理1.7),还可举两个例子。定理1.8的证明有一定难度,有余力的同学可以通过自学弄懂它。习题:1.8.3, 1.8.6 和 1.8.7

    有一篇关于Hamilton问题的综述文章可以参阅:J. C. Bermond, Hamiltonian graphs. Selected Topics in Graph Theory , I, (edited by L. W. Beineke, and R. J. Wilson),  Academic Press INC, 1978, 127- 167。  

    8). 3.12(星期三): 内容是1.9节。介绍图的另一种表示-图的邻接矩阵和关联矩阵。弄清同构图的邻接矩阵的置换相似性和关联矩阵的置换相抵性。利用这种表示,可以借助代数方法来研究图的结构性质,有此产生代数图论。证明定理1.9并通过若干例子,介绍代数方法在图论中的应用。习题:1.9.4 和 1.9.5; 选作1.9.6

    建议参阅的两本代数图论教材和一本关于图的譜的专题著作(系资料室有原版): 

    1.) N. Biggs, Algebraic Graph Theory (Second Edition), Cambridge University Press, 1993; 

    2.) C. Golsil and G. Royle, Algebraic Graph Theory, Springer, 2001. 

    3.) D. M. Cvetkoie, M. Doob, and H. Sachs, Spectura of Graphs. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1982.

    9). 3.17(星期一): 内容是1.10。作为图论应用,介绍本原矩阵的本原指数。定理1.11是关于本原指数的一个基本结果,它将被归结为图论结果。定理1.9和定理1.10起了关键作用。给出两个例子以说明本原矩阵的本原指数的基本方法。习题:1.10.2 和 1.10.3

    关于图论在矩阵论的应用,可见参考书:

    1.) 李乔, 矩阵论八讲, 上海科学技术出版社,1988, 第6章.

    2.) 柳柏濂, 组合矩阵论,科学出版社,1998.

    10). 3.19(星期三): 习题课, 小测验(作在作业本上,交第一次作业)。

    11). 3.24(星期一): 内容是2.1节和2.2节,它是本章的基础。介绍树(林)和支持树(林)的基本性质。弄清余树(林)、割边集和键的概念,圈、键与余树(林)的关系。习题:2.1.2, 2.1.5 和 2.2.3

    12). 3.26(星期三): 内容是2.3节,它是本章的重点。弄清圈空间概念,重点是边空间中两个互补的子空间:圈空间和键空间的维数和基的生成。通过这节结果和论证方法,进一步了解图的矩阵表示的重要性和代数方法在图论中的具体应用。习题:2.3.4, 2.3.6 和 2.3.7

    13). 3.31(星期一): 内容是2.4节。这节讨论连通图支撑树的计数,本质上是边空间理论的应用,矩阵理论、图论和代数方法的结合,导出若干支撑树计数公式。习题:2.4.2, 2.4.3 和 2.4.6

    14). 4.02(星期三): 内容是2.5和2.6。介绍两个实际问题的应用:最小连接和最短路问题,弄清他们的联系和区别,并介绍解决这两个问题的有效算法。重点是学会怎样将一个实际问题转化为图论问题,然后利用图论方法去解决问题。学会分析算法的有效性。习题:2.5.1, 2.5.1 和 2.6.2自习2.7节

    15). 4.07(星期一): 内容是3.1节,是本章的重点。介绍平面图和平图的基本概念和性质,Euler公式。习题:3.1.4, 3.1.6 和 3.1.9

    16). 4.09(星期三): 内容是3.2节和3.3节,重点掌握 Kuratowski 定理(3.6)和几何对偶图的概念,其它内容可作一般了解。习题:3.2.3, 3.3.2 和 3.3.6自习3.4节和3.5节

    17). 4.14(星期一): 内容是4.1节,是本章的基础。介绍网络流和截的概念,弄清截与割的区别。重点掌握和证明最大流最小截定理(4.1)。习题:4.1.2 和 4.1.4

    18). 4.16(星期三):  内容是4.2,是本章的重点。弄清图的局部连通度概念,重点掌握两种形式的Menger定理(4.3和4.3),证明方法和它们与最大流最小截定理的等价性。习题:4.2.2 和 4.2.3

    19). 4.21(星期一):  内容是4.3节。图的整体连通度概念,重点掌握Whitney不等式(定理4。4)和Whitney关于k连通图的判定准则(定理4.5)。通过定理和具体例子的证明,介绍有关连通度命题证明的基本方法。习题:4.3.3, 4.3.11 和 4.3.12

    20). 4.23(星期三): 内容是4.4。通过运输方案的设计,介绍求整容量网络最大流的标号算法。该算法的基础是定理4.6。因此,要弄清增广路的概念。习题:4.4.2 和 4.4.6(可选作)

    21). 4.28(星期一): 内容是4.5节。通过最优运输方案的设计,介绍求整容量网络最小费用最大流算法。该算法的基础是定理4.8。因此,要弄清增广圈概念。习题:4.5.2 和 4.5.3(可选作)

    22). 4.30(星期三): 内容是4.6。通过解决中国投递员问题,介绍求加权图的最优邮路算法,它与网络流的密切关系和转化过程。习题:4.6.2 和 4.6.3自习4.7节

    23). 5.04(星期一): 习题课, 小测验(作在作业本上,交第二次作业)。

    24). 5.07(星期三): 内容是5.1节(上)。介绍匹配概念,研究二部分图和一般图中完备匹配的存在性。重点掌握Hall定理(5.1)和Tutte定理(5.2),了解这两个定理证明方法以及它们与最大流最小截定理、Menger定理的等价性。习题:5.1.1, 5.1.2 和 5.1.5

    25). 5.12(星期一): 内容是5.1节(下)。介绍点覆盖概念和König定理(5.3)以及它与某些定理的等价性。通过若干例子,介绍匹配理论的基本应用。习题:5.1.3, 5.1.6 和 5.1.9

    26). 5.14(星期三): 内容是5.2。介绍图的独立集和独立数的概念,了解计算独立数的困难性。介绍独立数与连通度及图的Hamilton性之间的关系。习题:5.2.5, 5.2.6 和 5.2.7

    27).  5.19(星期一):  内容是5.3节。作为匹配理论的应用,通过人员安排问题,介绍求二部分图中完备匹配的匈牙利算法。算法的基础是Hall定理、定理5.9和定理5.10。习题:5.3.2, 5.3.5 和 5.3.6

    28).5.21(星期三): 内容是5.4。通过最优人员安排问题,介绍求加权完全二部分图中最大(或者最小)权完备匹配的有效算法。算法的基础是定理5.11。作为算法的应用,介绍工作排序问题的近似算法。习题:5.4.4 和 5.4.6

    29). 5.26(星期一): 内容是5.5节。介绍著名的货郎担问题,它是NPC问题的杰出代表。掌握货郎担问题的两种提法,怎样将一般图的货郎担问题转化为求满足三角不等式的完全加权图中最优Hamilton圈问题。介绍一个近似算法,它是该课程中介绍的著名算法的应用和总结,计算它的的性能比。习题:5.5.1和5.5.3自习5.6节

    30). 5.28(星期三): 自习

    31). 6.02(星期一):  内容是6.1。介绍点染色的基本概念和结果,弄清点染色与独立集之间的关系。重点掌握定理6.1、6.2和6.3。作为应用,列举若干例子。习题:6.1.5 和6.1.6

    32). 6.04(星期三): 内容是6.2节。介绍边染色的基本概念和结果,弄清边染色与匹配之间的关系。重点掌握定理6.4。介绍图的分类问题。习题:6.2.2,6.2.4 和6.2.5

    33). 6.09(星期一): 习题课,期终总结,布置期终复习和考试事宜。

    期末考试时间:2003年06月14日(星期六)上午8:30-10:30,地点:4703教室

    Chartrand, G, and Lesniak, L., Graphs and Digraphs (Second Edition). Wadsworth, Inc, Belmont and California, 1986。该书将无向图和有向图交叉叙述,

    内容较多,专题叙述较为深入。但几乎不涉及图论应用,各专题之间的联系不够紧密,习题难度不大。

    另有两篇综述文献值得一读(中译文):

    1.) C.Thomassen, 图论的回顾,数学译林,1988, 65-75; 

    2.) B.Bollobas, 图论的未来, 数学译林,15(1996), No.2, 109-110.

    2). 2.19(星期三): 内容是1.1节和1.2节。图的基本概念、介绍基本记号、图的同构和某些特殊的图类,如完全图、竞赛图和二部分图。强调图是一个特殊的代数结构(有限集和定义在该集上的二元关系),几何图形只是它的一种直观表示。因此,图同构的概念是自然的。介绍超立方体和有向图与二部分图的关系。习题:1.1.1, 1.2.4 和 1.2.7

    3). 2.24(星期一): 内容是1.3节和1.4节。介绍图的顶点度概念和图的基本运算和记号,线图运算。掌握图论第一定理(边数和顶点度之间的基本关系)。若干例子。习题:1.3.4, 1.3.5 和 1.4.5

    习题1.3.8是著名的Sperner引理, 利用它可以给出Brouwer不动点定理的图论证明。参阅J. A. Bondy and U. S. R. Murty, Graph Theory with Applications, Macmillan Press LTD, 19976, Section 1.9。

    关于线图和笛卡儿乘积图的进一步性质可参阅Junming Xu, Topological Structure and Analysis of Interconnection Networks, Kluwer Academic Publisheres, 2001, Sections 2.1 and 2.3。有一篇关于线图研究的综述文献:R. L. Hemminger, and  L. W. Beineke, Line graphs and line digraphs.   Selected Topics in Graph Theory , I, (edited by L. W. Beineke, and R. J. Wilson),  Academic Press INC, 1978, 271- 305。  

    4). 2.26(星期三): 内容是1.5节。链、迹和路的概念、关系、区别,连通和强连通概念,它们的区别和联系。通过证明定理1.2和若干例子,介绍图论中常用的基本论证方法和技巧。习题:1.5.4, 1.5.6 和 1.5.10

    习题1.4.11叙述了著名的Ramsey定理。该习题的解答可参阅J. A. Bondy and U. S. R. Murty, Graph Theory with Applications, Macmillan Press LTD, 19976, Section 7.2。有两本有关Ramsey理论的专题著作可以参阅。

    1.) R. L. Graham, B. L. Rothschild, and J. H. Spencer, Ramsey Theory. John Wiley & Sons, 1980.

    2.) 李乔, 拉姆塞理论, 湖南教育出版社, 1991。

    5). 3.03(星期一): 内容是1.6。回和圈的概念、区别和基本图论结果(定理1.3)。作为回或者圈的应用,介绍二部分图的判定准则(定理1.4)和若干例子。习题:1.6.2, 1.6.4 和 1.6.11

    关于路和圈中的研究问题和进展可参阅一篇综述文献:J. A. Bondy, Basic graph theory: paths and circuits. Handbook of Combinatorics (edited by R. L. Graham, M. Grotschel and L. Lovasz), Vol.1(1995),3-110.

    6). 3.05(星期三): 内容是1.7节。Euler迹、Euler回和Euler图的概念。介绍著名的Königsber七桥问题和Euler图的判定准则(定理1.5)。作为例子,介绍De Bruijn图。习题:1.7.2 和 1.7.3

    有一篇关于Euler问题的综述文章可以参阅:H. Fleischer, Eulerian graphs. Selected Topics in Graph Theory , II, (edited by L. W. Beineke, and R. J. Wilson),  Academic Press INC, 1983, 17-53。

    7). 3.10(星期一): 内容是1.8。弄清Hamilton圈和Hamilton图的概念,它们与Euler回和Euler图区别,困难性。重点介绍充分条件(定理1.7),还可举两个例子。定理1.8的证明有一定难度,有余力的同学可以通过自学弄懂它。习题:1.8.3, 1.8.6 和 1.8.7

    有一篇关于Hamilton问题的综述文章可以参阅:J. C. Bermond, Hamiltonian graphs. Selected Topics in Graph Theory , I, (edited by L. W. Beineke, and R. J. Wilson),  Academic Press INC, 1978, 127- 167。  

    8). 3.12(星期三): 内容是1.9节。介绍图的另一种表示-图的邻接矩阵和关联矩阵。弄清同构图的邻接矩阵的置换相似性和关联矩阵的置换相抵性。利用这种表示,可以借助代数方法来研究图的结构性质,有此产生代数图论。证明定理1.9并通过若干例子,介绍代数方法在图论中的应用。习题:1.9.4 和 1.9.5; 选作1.9.6

    建议参阅的两本代数图论教材和一本关于图的譜的专题著作(系资料室有原版): 

    1.) N. Biggs, Algebraic Graph Theory (Second Edition), Cambridge University Press, 1993; 

    2.) C. Golsil and G. Royle, Algebraic Graph Theory, Springer, 2001. 

    3.) D. M. Cvetkoie, M. Doob, and H. Sachs, Spectura of Graphs. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1982.

    9). 3.17(星期一): 内容是1.10。作为图论应用,介绍本原矩阵的本原指数。定理1.11是关于本原指数的一个基本结果,它将被归结为图论结果。定理1.9和定理1.10起了关键作用。给出两个例子以说明本原矩阵的本原指数的基本方法。习题:1.10.2 和 1.10.3

    关于图论在矩阵论的应用,可见参考书:

    1.) 李乔, 矩阵论八讲, 上海科学技术出版社,1988, 第6章.

    2.) 柳柏濂, 组合矩阵论,科学出版社,1998.

    10). 3.19(星期三): 习题课, 小测验(作在作业本上,交第一次作业)。

    11). 3.24(星期一): 内容是2.1节和2.2节,它是本章的基础。介绍树(林)和支持树(林)的基本性质。弄清余树(林)、割边集和键的概念,圈、键与余树(林)的关系。习题:2.1.2, 2.1.5 和 2.2.3

    12). 3.26(星期三): 内容是2.3节,它是本章的重点。弄清圈空间概念,重点是边空间中两个互补的子空间:圈空间和键空间的维数和基的生成。通过这节结果和论证方法,进一步了解图的矩阵表示的重要性和代数方法在图论中的具体应用。习题:2.3.4, 2.3.6 和 2.3.7

    13). 3.31(星期一): 内容是2.4节。这节讨论连通图支撑树的计数,本质上是边空间理论的应用,矩阵理论、图论和代数方法的结合,导出若干支撑树计数公式。习题:2.4.2, 2.4.3 和 2.4.6

    14). 4.02(星期三): 内容是2.5和2.6。介绍两个实际问题的应用:最小连接和最短路问题,弄清他们的联系和区别,并介绍解决这两个问题的有效算法。重点是学会怎样将一个实际问题转化为图论问题,然后利用图论方法去解决问题。学会分析算法的有效性。习题:2.5.1, 2.5.1 和 2.6.2自习2.7节

    15). 4.07(星期一): 内容是3.1节,是本章的重点。介绍平面图和平图的基本概念和性质,Euler公式。习题:3.1.4, 3.1.6 和 3.1.9

    16). 4.09(星期三): 内容是3.2节和3.3节,重点掌握 Kuratowski 定理(3.6)和几何对偶图的概念,其它内容可作一般了解。习题:3.2.3, 3.3.2 和 3.3.6自习3.4节和3.5节

    17). 4.14(星期一): 内容是4.1节,是本章的基础。介绍网络流和截的概念,弄清截与割的区别。重点掌握和证明最大流最小截定理(4.1)。习题:4.1.2 和 4.1.4

    18). 4.16(星期三):  内容是4.2,是本章的重点。弄清图的局部连通度概念,重点掌握两种形式的Menger定理(4.3和4.3),证明方法和它们与最大流最小截定理的等价性。习题:4.2.2 和 4.2.3

    19). 4.21(星期一):  内容是4.3节。图的整体连通度概念,重点掌握Whitney不等式(定理4。4)和Whitney关于k连通图的判定准则(定理4.5)。通过定理和具体例子的证明,介绍有关连通度命题证明的基本方法。习题:4.3.3, 4.3.11 和 4.3.12

    20). 4.23(星期三): 内容是4.4。通过运输方案的设计,介绍求整容量网络最大流的标号算法。该算法的基础是定理4.6。因此,要弄清增广路的概念。习题:4.4.2 和 4.4.6(可选作)

    21). 4.28(星期一): 内容是4.5节。通过最优运输方案的设计,介绍求整容量网络最小费用最大流算法。该算法的基础是定理4.8。因此,要弄清增广圈概念。习题:4.5.2 和 4.5.3(可选作)

    22). 4.30(星期三): 内容是4.6。通过解决中国投递员问题,介绍求加权图的最优邮路算法,它与网络流的密切关系和转化过程。习题:4.6.2 和 4.6.3自习4.7节

    23). 5.04(星期一): 习题课, 小测验(作在作业本上,交第二次作业)。

    24). 5.07(星期三): 内容是5.1节(上)。介绍匹配概念,研究二部分图和一般图中完备匹配的存在性。重点掌握Hall定理(5.1)和Tutte定理(5.2),了解这两个定理证明方法以及它们与最大流最小截定理、Menger定理的等价性。习题:5.1.1, 5.1.2 和 5.1.5

    25). 5.12(星期一): 内容是5.1节(下)。介绍点覆盖概念和König定理(5.3)以及它与某些定理的等价性。通过若干例子,介绍匹配理论的基本应用。习题:5.1.3, 5.1.6 和 5.1.9

    26). 5.14(星期三): 内容是5.2。介绍图的独立集和独立数的概念,了解计算独立数的困难性。介绍独立数与连通度及图的Hamilton性之间的关系。习题:5.2.5, 5.2.6 和 5.2.7

    27).  5.19(星期一):  内容是5.3节。作为匹配理论的应用,通过人员安排问题,介绍求二部分图中完备匹配的匈牙利算法。算法的基础是Hall定理、定理5.9和定理5.10。习题:5.3.2, 5.3.5 和 5.3.6

    28).5.21(星期三): 内容是5.4。通过最优人员安排问题,介绍求加权完全二部分图中最大(或者最小)权完备匹配的有效算法。算法的基础是定理5.11。作为算法的应用,介绍工作排序问题的近似算法。习题:5.4.4 和 5.4.6

    29). 5.26(星期一): 内容是5.5节。介绍著名的货郎担问题,它是NPC问题的杰出代表。掌握货郎担问题的两种提法,怎样将一般图的货郎担问题转化为求满足三角不等式的完全加权图中最优Hamilton圈问题。介绍一个近似算法,它是该课程中介绍的著名算法的应用和总结,计算它的的性能比。习题:5.5.1和5.5.3自习5.6节

    30). 5.28(星期三): 自习

    31). 6.02(星期一):  内容是6.1。介绍点染色的基本概念和结果,弄清点染色与独立集之间的关系。重点掌握定理6.1、6.2和6.3。作为应用,列举若干例子。习题:6.1.5 和6.1.6

    32). 6.04(星期三): 内容是6.2节。介绍边染色的基本概念和结果,弄清边染色与匹配之间的关系。重点掌握定理6.4。介绍图的分类问题。习题:6.2.2,6.2.4 和6.2.5

    33). 6.09(星期一): 习题课,期终总结,布置期终复习和考试事宜。

    期末考试时间:2003年06月14日(星期六)上午8:30-10:30,地点:4703教室

    另有两篇综述文献值得一读(中译文):

    1.) C.Thomassen, 图论的回顾,数学译林,1988, 65-75; 

    2.) B.Bollobas, 图论的未来, 数学译林,15(1996), No.2, 109-110.

    2). 2.19(星期三): 内容是1.1节和1.2节。图的基本概念、介绍基本记号、图的同构和某些特殊的图类,如完全图、竞赛图和二部分图。强调图是一个特殊的代数结构(有限集和定义在该集上的二元关系),几何图形只是它的一种直观表示。因此,图同构的概念是自然的。介绍超立方体和有向图与二部分图的关系。习题:1.1.1, 1.2.4 和 1.2.7

    3). 2.24(星期一): 内容是1.3节和1.4节。介绍图的顶点度概念和图的基本运算和记号,线图运算。掌握图论第一定理(边数和顶点度之间的基本关系)。若干例子。习题:1.3.4, 1.3.5 和 1.4.5

    习题1.3.8是著名的Sperner引理, 利用它可以给出Brouwer不动点定理的图论证明。参阅J. A. Bondy and U. S. R. Murty, Graph Theory with Applications, Macmillan Press LTD, 19976, Section 1.9。

    关于线图和笛卡儿乘积图的进一步性质可参阅Junming Xu, Topological Structure and Analysis of Interconnection Networks, Kluwer Academic Publisheres, 2001, Sections 2.1 and 2.3。有一篇关于线图研究的综述文献:R. L. Hemminger, and  L. W. Beineke, Line graphs and line digraphs.   Selected Topics in Graph Theory , I, (edited by L. W. Beineke, and R. J. Wilson),  Academic Press INC, 1978, 271- 305。  

    4). 2.26(星期三): 内容是1.5节。链、迹和路的概念、关系、区别,连通和强连通概念,它们的区别和联系。通过证明定理1.2和若干例子,介绍图论中常用的基本论证方法和技巧。习题:1.5.4, 1.5.6 和 1.5.10

    习题1.4.11叙述了著名的Ramsey定理。该习题的解答可参阅J. A. Bondy and U. S. R. Murty, Graph Theory with Applications, Macmillan Press LTD, 19976, Section 7.2。有两本有关Ramsey理论的专题著作可以参阅。

    1.) R. L. Graham, B. L. Rothschild, and J. H. Spencer, Ramsey Theory. John Wiley & Sons, 1980.

    2.) 李乔, 拉姆塞理论, 湖南教育出版社, 1991。

    5). 3.03(星期一): 内容是1.6。回和圈的概念、区别和基本图论结果(定理1.3)。作为回或者圈的应用,介绍二部分图的判定准则(定理1.4)和若干例子。习题:1.6.2, 1.6.4 和 1.6.11

    关于路和圈中的研究问题和进展可参阅一篇综述文献:J. A. Bondy, Basic graph theory: paths and circuits. Handbook of Combinatorics (edited by R. L. Graham, M. Grotschel and L. Lovasz), Vol.1(1995),3-110.

    6). 3.05(星期三): 内容是1.7节。Euler迹、Euler回和Euler图的概念。介绍著名的Königsber七桥问题和Euler图的判定准则(定理1.5)。作为例子,介绍De Bruijn图。习题:1.7.2 和 1.7.3

    有一篇关于Euler问题的综述文章可以参阅:H. Fleischer, Eulerian graphs. Selected Topics in Graph Theory , II, (edited by L. W. Beineke, and R. J. Wilson),  Academic Press INC, 1983, 17-53。

    7). 3.10(星期一): 内容是1.8。弄清Hamilton圈和Hamilton图的概念,它们与Euler回和Euler图区别,困难性。重点介绍充分条件(定理1.7),还可举两个例子。定理1.8的证明有一定难度,有余力的同学可以通过自学弄懂它。习题:1.8.3, 1.8.6 和 1.8.7

    有一篇关于Hamilton问题的综述文章可以参阅:J. C. Bermond, Hamiltonian graphs. Selected Topics in Graph Theory , I, (edited by L. W. Beineke, and R. J. Wilson),  Academic Press INC, 1978, 127- 167。  

    8). 3.12(星期三): 内容是1.9节。介绍图的另一种表示-图的邻接矩阵和关联矩阵。弄清同构图的邻接矩阵的置换相似性和关联矩阵的置换相抵性。利用这种表示,可以借助代数方法来研究图的结构性质,有此产生代数图论。证明定理1.9并通过若干例子,介绍代数方法在图论中的应用。习题:1.9.4 和 1.9.5; 选作1.9.6

    建议参阅的两本代数图论教材和一本关于图的譜的专题著作(系资料室有原版): 

    1.) N. Biggs, Algebraic Graph Theory (Second Edition), Cambridge University Press, 1993; 

    2.) C. Golsil and G. Royle, Algebraic Graph Theory, Springer, 2001. 

    3.) D. M. Cvetkoie, M. Doob, and H. Sachs, Spectura of Graphs. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1982.

    9). 3.17(星期一): 内容是1.10。作为图论应用,介绍本原矩阵的本原指数。定理1.11是关于本原指数的一个基本结果,它将被归结为图论结果。定理1.9和定理1.10起了关键作用。给出两个例子以说明本原矩阵的本原指数的基本方法。习题:1.10.2 和 1.10.3

    关于图论在矩阵论的应用,可见参考书:

    1.) 李乔, 矩阵论八讲, 上海科学技术出版社,1988, 第6章.

    2.) 柳柏濂, 组合矩阵论,科学出版社,1998.

    10). 3.19(星期三): 习题课, 小测验(作在作业本上,交第一次作业)。

    11). 3.24(星期一): 内容是2.1节和2.2节,它是本章的基础。介绍树(林)和支持树(林)的基本性质。弄清余树(林)、割边集和键的概念,圈、键与余树(林)的关系。习题:2.1.2, 2.1.5 和 2.2.3

    12). 3.26(星期三): 内容是2.3节,它是本章的重点。弄清圈空间概念,重点是边空间中两个互补的子空间:圈空间和键空间的维数和基的生成。通过这节结果和论证方法,进一步了解图的矩阵表示的重要性和代数方法在图论中的具体应用。习题:2.3.4, 2.3.6 和 2.3.7

    13). 3.31(星期一): 内容是2.4节。这节讨论连通图支撑树的计数,本质上是边空间理论的应用,矩阵理论、图论和代数方法的结合,导出若干支撑树计数公式。习题:2.4.2, 2.4.3 和 2.4.6

    14). 4.02(星期三): 内容是2.5和2.6。介绍两个实际问题的应用:最小连接和最短路问题,弄清他们的联系和区别,并介绍解决这两个问题的有效算法。重点是学会怎样将一个实际问题转化为图论问题,然后利用图论方法去解决问题。学会分析算法的有效性。习题:2.5.1, 2.5.1 和 2.6.2自习2.7节

    15). 4.07(星期一): 内容是3.1节,是本章的重点。介绍平面图和平图的基本概念和性质,Euler公式。习题:3.1.4, 3.1.6 和 3.1.9

    16). 4.09(星期三): 内容是3.2节和3.3节,重点掌握 Kuratowski 定理(3.6)和几何对偶图的概念,其它内容可作一般了解。习题:3.2.3, 3.3.2 和 3.3.6自习3.4节和3.5节

    17). 4.14(星期一): 内容是4.1节,是本章的基础。介绍网络流和截的概念,弄清截与割的区别。重点掌握和证明最大流最小截定理(4.1)。习题:4.1.2 和 4.1.4

    18). 4.16(星期三):  内容是4.2,是本章的重点。弄清图的局部连通度概念,重点掌握两种形式的Menger定理(4.3和4.3),证明方法和它们与最大流最小截定理的等价性。习题:4.2.2 和 4.2.3

    19). 4.21(星期一):  内容是4.3节。图的整体连通度概念,重点掌握Whitney不等式(定理4。4)和Whitney关于k连通图的判定准则(定理4.5)。通过定理和具体例子的证明,介绍有关连通度命题证明的基本方法。习题:4.3.3, 4.3.11 和 4.3.12

    20). 4.23(星期三): 内容是4.4。通过运输方案的设计,介绍求整容量网络最大流的标号算法。该算法的基础是定理4.6。因此,要弄清增广路的概念。习题:4.4.2 和 4.4.6(可选作)

    21). 4.28(星期一): 内容是4.5节。通过最优运输方案的设计,介绍求整容量网络最小费用最大流算法。该算法的基础是定理4.8。因此,要弄清增广圈概念。习题:4.5.2 和 4.5.3(可选作)

    22). 4.30(星期三): 内容是4.6。通过解决中国投递员问题,介绍求加权图的最优邮路算法,它与网络流的密切关系和转化过程。习题:4.6.2 和 4.6.3自习4.7节

    23). 5.04(星期一): 习题课, 小测验(作在作业本上,交第二次作业)。

    24). 5.07(星期三): 内容是5.1节(上)。介绍匹配概念,研究二部分图和一般图中完备匹配的存在性。重点掌握Hall定理(5.1)和Tutte定理(5.2),了解这两个定理证明方法以及它们与最大流最小截定理、Menger定理的等价性。习题:5.1.1, 5.1.2 和 5.1.5

    25). 5.12(星期一): 内容是5.1节(下)。介绍点覆盖概念和König定理(5.3)以及它与某些定理的等价性。通过若干例子,介绍匹配理论的基本应用。习题:5.1.3, 5.1.6 和 5.1.9

    26). 5.14(星期三): 内容是5.2。介绍图的独立集和独立数的概念,了解计算独立数的困难性。介绍独立数与连通度及图的Hamilton性之间的关系。习题:5.2.5, 5.2.6 和 5.2.7

    27).  5.19(星期一):  内容是5.3节。作为匹配理论的应用,通过人员安排问题,介绍求二部分图中完备匹配的匈牙利算法。算法的基础是Hall定理、定理5.9和定理5.10。习题:5.3.2, 5.3.5 和 5.3.6

    28).5.21(星期三): 内容是5.4。通过最优人员安排问题,介绍求加权完全二部分图中最大(或者最小)权完备匹配的有效算法。算法的基础是定理5.11。作为算法的应用,介绍工作排序问题的近似算法。习题:5.4.4 和 5.4.6

    29). 5.26(星期一): 内容是5.5节。介绍著名的货郎担问题,它是NPC问题的杰出代表。掌握货郎担问题的两种提法,怎样将一般图的货郎担问题转化为求满足三角不等式的完全加权图中最优Hamilton圈问题。介绍一个近似算法,它是该课程中介绍的著名算法的应用和总结,计算它的的性能比。习题:5.5.1和5.5.3自习5.6节

    30). 5.28(星期三): 自习

    31). 6.02(星期一):  内容是6.1。介绍点染色的基本概念和结果,弄清点染色与独立集之间的关系。重点掌握定理6.1、6.2和6.3。作为应用,列举若干例子。习题:6.1.5 和6.1.6

    32). 6.04(星期三): 内容是6.2节。介绍边染色的基本概念和结果,弄清边染色与匹配之间的关系。重点掌握定理6.4。介绍图的分类问题。习题:6.2.2,6.2.4 和6.2.5

    33). 6.09(星期一): 习题课,期终总结,布置期终复习和考试事宜。

    期末考试时间:2003年06月14日(星期六)上午8:30-10:30,地点:4703教室

    2. 

    Chartrand, G, and Lesniak, L., Graphs and Digraphs (Second Edition). Wadsworth, Inc, Belmont and California, 1986。该书将无向图和有向图交叉叙述,

    内容较多,专题叙述较为深入。但几乎不涉及图论应用,各专题之间的联系不够紧密,习题难度不大。

    另有两篇综述文献值得一读(中译文):

    1.) C.Thomassen, 图论的回顾,数学译林,1988, 65-75; 

    2.) B.Bollobas, 图论的未来, 数学译林,15(1996), No.2, 109-110.

    2). 2.19(星期三): 内容是1.1节和1.2节。图的基本概念、介绍基本记号、图的同构和某些特殊的图类,如完全图、竞赛图和二部分图。强调图是一个特殊的代数结构(有限集和定义在该集上的二元关系),几何图形只是它的一种直观表示。因此,图同构的概念是自然的。介绍超立方体和有向图与二部分图的关系。习题:1.1.1, 1.2.4 和 1.2.7

    3). 2.24(星期一): 内容是1.3节和1.4节。介绍图的顶点度概念和图的基本运算和记号,线图运算。掌握图论第一定理(边数和顶点度之间的基本关系)。若干例子。习题:1.3.4, 1.3.5 和 1.4.5

    习题1.3.8是著名的Sperner引理, 利用它可以给出Brouwer不动点定理的图论证明。参阅J. A. Bondy and U. S. R. Murty, Graph Theory with Applications, Macmillan Press LTD, 19976, Section 1.9。

    关于线图和笛卡儿乘积图的进一步性质可参阅Junming Xu, Topological Structure and Analysis of Interconnection Networks, Kluwer Academic Publisheres, 2001, Sections 2.1 and 2.3。有一篇关于线图研究的综述文献:R. L. Hemminger, and  L. W. Beineke, Line graphs and line digraphs.   Selected Topics in Graph Theory , I, (edited by L. W. Beineke, and R. J. Wilson),  Academic Press INC, 1978, 271- 305。  

    4). 2.26(星期三): 内容是1.5节。链、迹和路的概念、关系、区别,连通和强连通概念,它们的区别和联系。通过证明定理1.2和若干例子,介绍图论中常用的基本论证方法和技巧。习题:1.5.4, 1.5.6 和 1.5.10

    习题1.4.11叙述了著名的Ramsey定理。该习题的解答可参阅J. A. Bondy and U. S. R. Murty, Graph Theory with Applications, Macmillan Press LTD, 19976, Section 7.2。有两本有关Ramsey理论的专题著作可以参阅。

    1.) R. L. Graham, B. L. Rothschild, and J. H. Spencer, Ramsey Theory. John Wiley & Sons, 1980.

    2.) 李乔, 拉姆塞理论, 湖南教育出版社, 1991。

    5). 3.03(星期一): 内容是1.6。回和圈的概念、区别和基本图论结果(定理1.3)。作为回或者圈的应用,介绍二部分图的判定准则(定理1.4)和若干例子。习题:1.6.2, 1.6.4 和 1.6.11

    关于路和圈中的研究问题和进展可参阅一篇综述文献:J. A. Bondy, Basic graph theory: paths and circuits. Handbook of Combinatorics (edited by R. L. Graham, M. Grotschel and L. Lovasz), Vol.1(1995),3-110.

    6). 3.05(星期三): 内容是1.7节。Euler迹、Euler回和Euler图的概念。介绍著名的Königsber七桥问题和Euler图的判定准则(定理1.5)。作为例子,介绍De Bruijn图。习题:1.7.2 和 1.7.3

    有一篇关于Euler问题的综述文章可以参阅:H. Fleischer, Eulerian graphs. Selected Topics in Graph Theory , II, (edited by L. W. Beineke, and R. J. Wilson),  Academic Press INC, 1983, 17-53。

    7). 3.10(星期一): 内容是1.8。弄清Hamilton圈和Hamilton图的概念,它们与Euler回和Euler图区别,困难性。重点介绍充分条件(定理1.7),还可举两个例子。定理1.8的证明有一定难度,有余力的同学可以通过自学弄懂它。习题:1.8.3, 1.8.6 和 1.8.7

    有一篇关于Hamilton问题的综述文章可以参阅:J. C. Bermond, Hamiltonian graphs. Selected Topics in Graph Theory , I, (edited by L. W. Beineke, and R. J. Wilson),  Academic Press INC, 1978, 127- 167。  

    8). 3.12(星期三): 内容是1.9节。介绍图的另一种表示-图的邻接矩阵和关联矩阵。弄清同构图的邻接矩阵的置换相似性和关联矩阵的置换相抵性。利用这种表示,可以借助代数方法来研究图的结构性质,有此产生代数图论。证明定理1.9并通过若干例子,介绍代数方法在图论中的应用。习题:1.9.4 和 1.9.5; 选作1.9.6

    建议参阅的两本代数图论教材和一本关于图的譜的专题著作(系资料室有原版): 

    1.) N. Biggs, Algebraic Graph Theory (Second Edition), Cambridge University Press, 1993; 

    2.) C. Golsil and G. Royle, Algebraic Graph Theory, Springer, 2001. 

    3.) D. M. Cvetkoie, M. Doob, and H. Sachs, Spectura of Graphs. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1982.

    9). 3.17(星期一): 内容是1.10。作为图论应用,介绍本原矩阵的本原指数。定理1.11是关于本原指数的一个基本结果,它将被归结为图论结果。定理1.9和定理1.10起了关键作用。给出两个例子以说明本原矩阵的本原指数的基本方法。习题:1.10.2 和 1.10.3

    关于图论在矩阵论的应用,可见参考书:

    1.) 李乔, 矩阵论八讲, 上海科学技术出版社,1988, 第6章.

    2.) 柳柏濂, 组合矩阵论,科学出版社,1998.

    10). 3.19(星期三): 习题课, 小测验(作在作业本上,交第一次作业)。

    11). 3.24(星期一): 内容是2.1节和2.2节,它是本章的基础。介绍树(林)和支持树(林)的基本性质。弄清余树(林)、割边集和键的概念,圈、键与余树(林)的关系。习题:2.1.2, 2.1.5 和 2.2.3

    12). 3.26(星期三): 内容是2.3节,它是本章的重点。弄清圈空间概念,重点是边空间中两个互补的子空间:圈空间和键空间的维数和基的生成。通过这节结果和论证方法,进一步了解图的矩阵表示的重要性和代数方法在图论中的具体应用。习题:2.3.4, 2.3.6 和 2.3.7

    13). 3.31(星期一): 内容是2.4节。这节讨论连通图支撑树的计数,本质上是边空间理论的应用,矩阵理论、图论和代数方法的结合,导出若干支撑树计数公式。习题:2.4.2, 2.4.3 和 2.4.6

    14). 4.02(星期三): 内容是2.5和2.6。介绍两个实际问题的应用:最小连接和最短路问题,弄清他们的联系和区别,并介绍解决这两个问题的有效算法。重点是学会怎样将一个实际问题转化为图论问题,然后利用图论方法去解决问题。学会分析算法的有效性。习题:2.5.1, 2.5.1 和 2.6.2自习2.7节

    15). 4.07(星期一): 内容是3.1节,是本章的重点。介绍平面图和平图的基本概念和性质,Euler公式。习题:3.1.4, 3.1.6 和 3.1.9

    16). 4.09(星期三): 内容是3.2节和3.3节,重点掌握 Kuratowski 定理(3.6)和几何对偶图的概念,其它内容可作一般了解。习题:3.2.3, 3.3.2 和 3.3.6自习3.4节和3.5节

    17). 4.14(星期一): 内容是4.1节,是本章的基础。介绍网络流和截的概念,弄清截与割的区别。重点掌握和证明最大流最小截定理(4.1)。习题:4.1.2 和 4.1.4

    18). 4.16(星期三):  内容是4.2,是本章的重点。弄清图的局部连通度概念,重点掌握两种形式的Menger定理(4.3和4.3),证明方法和它们与最大流最小截定理的等价性。习题:4.2.2 和 4.2.3

    19). 4.21(星期一):  内容是4.3节。图的整体连通度概念,重点掌握Whitney不等式(定理4。4)和Whitney关于k连通图的判定准则(定理4.5)。通过定理和具体例子的证明,介绍有关连通度命题证明的基本方法。习题:4.3.3, 4.3.11 和 4.3.12

    20). 4.23(星期三): 内容是4.4。通过运输方案的设计,介绍求整容量网络最大流的标号算法。该算法的基础是定理4.6。因此,要弄清增广路的概念。习题:4.4.2 和 4.4.6(可选作)

    21). 4.28(星期一): 内容是4.5节。通过最优运输方案的设计,介绍求整容量网络最小费用最大流算法。该算法的基础是定理4.8。因此,要弄清增广圈概念。习题:4.5.2 和 4.5.3(可选作)

    22). 4.30(星期三): 内容是4.6。通过解决中国投递员问题,介绍求加权图的最优邮路算法,它与网络流的密切关系和转化过程。习题:4.6.2 和 4.6.3自习4.7节

    23). 5.04(星期一): 习题课, 小测验(作在作业本上,交第二次作业)。

    24). 5.07(星期三): 内容是5.1节(上)。介绍匹配概念,研究二部分图和一般图中完备匹配的存在性。重点掌握Hall定理(5.1)和Tutte定理(5.2),了解这两个定理证明方法以及它们与最大流最小截定理、Menger定理的等价性。习题:5.1.1, 5.1.2 和 5.1.5

    25). 5.12(星期一): 内容是5.1节(下)。介绍点覆盖概念和König定理(5.3)以及它与某些定理的等价性。通过若干例子,介绍匹配理论的基本应用。习题:5.1.3, 5.1.6 和 5.1.9

    26). 5.14(星期三): 内容是5.2。介绍图的独立集和独立数的概念,了解计算独立数的困难性。介绍独立数与连通度及图的Hamilton性之间的关系。习题:5.2.5, 5.2.6 和 5.2.7

    27).  5.19(星期一):  内容是5.3节。作为匹配理论的应用,通过人员安排问题,介绍求二部分图中完备匹配的匈牙利算法。算法的基础是Hall定理、定理5.9和定理5.10。习题:5.3.2, 5.3.5 和 5.3.6

    28).5.21(星期三): 内容是5.4。通过最优人员安排问题,介绍求加权完全二部分图中最大(或者最小)权完备匹配的有效算法。算法的基础是定理5.11。作为算法的应用,介绍工作排序问题的近似算法。习题:5.4.4 和 5.4.6

    29). 5.26(星期一): 内容是5.5节。介绍著名的货郎担问题,它是NPC问题的杰出代表。掌握货郎担问题的两种提法,怎样将一般图的货郎担问题转化为求满足三角不等式的完全加权图中最优Hamilton圈问题。介绍一个近似算法,它是该课程中介绍的著名算法的应用和总结,计算它的的性能比。习题:5.5.1和5.5.3自习5.6节

    30). 5.28(星期三): 自习

    31). 6.02(星期一):  内容是6.1。介绍点染色的基本概念和结果,弄清点染色与独立集之间的关系。重点掌握定理6.1、6.2和6.3。作为应用,列举若干例子。习题:6.1.5 和6.1.6

    32). 6.04(星期三): 内容是6.2节。介绍边染色的基本概念和结果,弄清边染色与匹配之间的关系。重点掌握定理6.4。介绍图的分类问题。习题:6.2.2,6.2.4 和6.2.5

    33). 6.09(星期一): 习题课,期终总结,布置期终复习和考试事宜。

    期末考试时间:2003年06月14日(星期六)上午8:30-10:30,地点:4703教室

    另有两篇综述文献值得一读(中译文):

    1.) C.Thomassen, 图论的回顾,数学译林,1988, 65-75; 

    2.) B.Bollobas, 图论的未来, 数学译林,15(1996), No.2, 109-110.

    2). 2.19(星期三): 内容是1.1节和1.2节。图的基本概念、介绍基本记号、图的同构和某些特殊的图类,如完全图、竞赛图和二部分图。强调图是一个特殊的代数结构(有限集和定义在该集上的二元关系),几何图形只是它的一种直观表示。因此,图同构的概念是自然的。介绍超立方体和有向图与二部分图的关系。习题:1.1.1, 1.2.4 和 1.2.7

    3). 2.24(星期一): 内容是1.3节和1.4节。介绍图的顶点度概念和图的基本运算和记号,线图运算。掌握图论第一定理(边数和顶点度之间的基本关系)。若干例子。习题:1.3.4, 1.3.5 和 1.4.5

    习题1.3.8是著名的Sperner引理, 利用它可以给出Brouwer不动点定理的图论证明。参阅J. A. Bondy and U. S. R. Murty, Graph Theory with Applications, Macmillan Press LTD, 19976, Section 1.9。

    关于线图和笛卡儿乘积图的进一步性质可参阅Junming Xu, Topological Structure and Analysis of Interconnection Networks, Kluwer Academic Publisheres, 2001, Sections 2.1 and 2.3。有一篇关于线图研究的综述文献:R. L. Hemminger, and  L. W. Beineke, Line graphs and line digraphs.   Selected Topics in Graph Theory , I, (edited by L. W. Beineke, and R. J. Wilson),  Academic Press INC, 1978, 271- 305。  

    4). 2.26(星期三): 内容是1.5节。链、迹和路的概念、关系、区别,连通和强连通概念,它们的区别和联系。通过证明定理1.2和若干例子,介绍图论中常用的基本论证方法和技巧。习题:1.5.4, 1.5.6 和 1.5.10

    习题1.4.11叙述了著名的Ramsey定理。该习题的解答可参阅J. A. Bondy and U. S. R. Murty, Graph Theory with Applications, Macmillan Press LTD, 19976, Section 7.2。有两本有关Ramsey理论的专题著作可以参阅。

    1.) R. L. Graham, B. L. Rothschild, and J. H. Spencer, Ramsey Theory. John Wiley & Sons, 1980.

    2.) 李乔, 拉姆塞理论, 湖南教育出版社, 1991。

    5). 3.03(星期一): 内容是1.6。回和圈的概念、区别和基本图论结果(定理1.3)。作为回或者圈的应用,介绍二部分图的判定准则(定理1.4)和若干例子。习题:1.6.2, 1.6.4 和 1.6.11

    关于路和圈中的研究问题和进展可参阅一篇综述文献:J. A. Bondy, Basic graph theory: paths and circuits. Handbook of Combinatorics (edited by R. L. Graham, M. Grotschel and L. Lovasz), Vol.1(1995),3-110.

    6). 3.05(星期三): 内容是1.7节。Euler迹、Euler回和Euler图的概念。介绍著名的Königsber七桥问题和Euler图的判定准则(定理1.5)。作为例子,介绍De Bruijn图。习题:1.7.2 和 1.7.3

    有一篇关于Euler问题的综述文章可以参阅:H. Fleischer, Eulerian graphs. Selected Topics in Graph Theory , II, (edited by L. W. Beineke, and R. J. Wilson),  Academic Press INC, 1983, 17-53。

    7). 3.10(星期一): 内容是1.8。弄清Hamilton圈和Hamilton图的概念,它们与Euler回和Euler图区别,困难性。重点介绍充分条件(定理1.7),还可举两个例子。定理1.8的证明有一定难度,有余力的同学可以通过自学弄懂它。习题:1.8.3, 1.8.6 和 1.8.7

    有一篇关于Hamilton问题的综述文章可以参阅:J. C. Bermond, Hamiltonian graphs. Selected Topics in Graph Theory , I, (edited by L. W. Beineke, and R. J. Wilson),  Academic Press INC, 1978, 127- 167。  

    8). 3.12(星期三): 内容是1.9节。介绍图的另一种表示-图的邻接矩阵和关联矩阵。弄清同构图的邻接矩阵的置换相似性和关联矩阵的置换相抵性。利用这种表示,可以借助代数方法来研究图的结构性质,有此产生代数图论。证明定理1.9并通过若干例子,介绍代数方法在图论中的应用。习题:1.9.4 和 1.9.5; 选作1.9.6

    建议参阅的两本代数图论教材和一本关于图的譜的专题著作(系资料室有原版): 

    1.) N. Biggs, Algebraic Graph Theory (Second Edition), Cambridge University Press, 1993; 

    2.) C. Golsil and G. Royle, Algebraic Graph Theory, Springer, 2001. 

    3.) D. M. Cvetkoie, M. Doob, and H. Sachs, Spectura of Graphs. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1982.

    9). 3.17(星期一): 内容是1.10。作为图论应用,介绍本原矩阵的本原指数。定理1.11是关于本原指数的一个基本结果,它将被归结为图论结果。定理1.9和定理1.10起了关键作用。给出两个例子以说明本原矩阵的本原指数的基本方法。习题:1.10.2 和 1.10.3

    关于图论在矩阵论的应用,可见参考书:

    1.) 李乔, 矩阵论八讲, 上海科学技术出版社,1988, 第6章.

    2.) 柳柏濂, 组合矩阵论,科学出版社,1998.

    10). 3.19(星期三): 习题课, 小测验(作在作业本上,交第一次作业)。

    11). 3.24(星期一): 内容是2.1节和2.2节,它是本章的基础。介绍树(林)和支持树(林)的基本性质。弄清余树(林)、割边集和键的概念,圈、键与余树(林)的关系。习题:2.1.2, 2.1.5 和 2.2.3

    12). 3.26(星期三): 内容是2.3节,它是本章的重点。弄清圈空间概念,重点是边空间中两个互补的子空间:圈空间和键空间的维数和基的生成。通过这节结果和论证方法,进一步了解图的矩阵表示的重要性和代数方法在图论中的具体应用。习题:2.3.4, 2.3.6 和 2.3.7

    13). 3.31(星期一): 内容是2.4节。这节讨论连通图支撑树的计数,本质上是边空间理论的应用,矩阵理论、图论和代数方法的结合,导出若干支撑树计数公式。习题:2.4.2, 2.4.3 和 2.4.6

    14). 4.02(星期三): 内容是2.5和2.6。介绍两个实际问题的应用:最小连接和最短路问题,弄清他们的联系和区别,并介绍解决这两个问题的有效算法。重点是学会怎样将一个实际问题转化为图论问题,然后利用图论方法去解决问题。学会分析算法的有效性。习题:2.5.1, 2.5.1 和 2.6.2自习2.7节

    15). 4.07(星期一): 内容是3.1节,是本章的重点。介绍平面图和平图的基本概念和性质,Euler公式。习题:3.1.4, 3.1.6 和 3.1.9

    16). 4.09(星期三): 内容是3.2节和3.3节,重点掌握 Kuratowski 定理(3.6)和几何对偶图的概念,其它内容可作一般了解。习题:3.2.3, 3.3.2 和 3.3.6自习3.4节和3.5节

    17). 4.14(星期一): 内容是4.1节,是本章的基础。介绍网络流和截的概念,弄清截与割的区别。重点掌握和证明最大流最小截定理(4.1)。习题:4.1.2 和 4.1.4

    18). 4.16(星期三):  内容是4.2,是本章的重点。弄清图的局部连通度概念,重点掌握两种形式的Menger定理(4.3和4.3),证明方法和它们与最大流最小截定理的等价性。习题:4.2.2 和 4.2.3

    19). 4.21(星期一):  内容是4.3节。图的整体连通度概念,重点掌握Whitney不等式(定理4。4)和Whitney关于k连通图的判定准则(定理4.5)。通过定理和具体例子的证明,介绍有关连通度命题证明的基本方法。习题:4.3.3, 4.3.11 和 4.3.12

    20). 4.23(星期三): 内容是4.4。通过运输方案的设计,介绍求整容量网络最大流的标号算法。该算法的基础是定理4.6。因此,要弄清增广路的概念。习题:4.4.2 和 4.4.6(可选作)

    21). 4.28(星期一): 内容是4.5节。通过最优运输方案的设计,介绍求整容量网络最小费用最大流算法。该算法的基础是定理4.8。因此,要弄清增广圈概念。习题:4.5.2 和 4.5.3(可选作)

    22). 4.30(星期三): 内容是4.6。通过解决中国投递员问题,介绍求加权图的最优邮路算法,它与网络流的密切关系和转化过程。习题:4.6.2 和 4.6.3自习4.7节

    23). 5.04(星期一): 习题课, 小测验(作在作业本上,交第二次作业)。

    24). 5.07(星期三): 内容是5.1节(上)。介绍匹配概念,研究二部分图和一般图中完备匹配的存在性。重点掌握Hall定理(5.1)和Tutte定理(5.2),了解这两个定理证明方法以及它们与最大流最小截定理、Menger定理的等价性。习题:5.1.1, 5.1.2 和 5.1.5

    25). 5.12(星期一): 内容是5.1节(下)。介绍点覆盖概念和König定理(5.3)以及它与某些定理的等价性。通过若干例子,介绍匹配理论的基本应用。习题:5.1.3, 5.1.6 和 5.1.9

    26). 5.14(星期三): 内容是5.2。介绍图的独立集和独立数的概念,了解计算独立数的困难性。介绍独立数与连通度及图的Hamilton性之间的关系。习题:5.2.5, 5.2.6 和 5.2.7

    27).  5.19(星期一):  内容是5.3节。作为匹配理论的应用,通过人员安排问题,介绍求二部分图中完备匹配的匈牙利算法。算法的基础是Hall定理、定理5.9和定理5.10。习题:5.3.2, 5.3.5 和 5.3.6

    28).5.21(星期三): 内容是5.4。通过最优人员安排问题,介绍求加权完全二部分图中最大(或者最小)权完备匹配的有效算法。算法的基础是定理5.11。作为算法的应用,介绍工作排序问题的近似算法。习题:5.4.4 和 5.4.6

    29). 5.26(星期一): 内容是5.5节。介绍著名的货郎担问题,它是NPC问题的杰出代表。掌握货郎担问题的两种提法,怎样将一般图的货郎担问题转化为求满足三角不等式的完全加权图中最优Hamilton圈问题。介绍一个近似算法,它是该课程中介绍的著名算法的应用和总结,计算它的的性能比。习题:5.5.1和5.5.3自习5.6节

    30). 5.28(星期三): 自习

    31). 6.02(星期一):  内容是6.1。介绍点染色的基本概念和结果,弄清点染色与独立集之间的关系。重点掌握定理6.1、6.2和6.3。作为应用,列举若干例子。习题:6.1.5 和6.1.6

    32). 6.04(星期三): 内容是6.2节。介绍边染色的基本概念和结果,弄清边染色与匹配之间的关系。重点掌握定理6.4。介绍图的分类问题。习题:6.2.2,6.2.4 和6.2.5

    33). 6.09(星期一): 习题课,期终总结,布置期终复习和考试事宜。

    期末考试时间:2003年06月14日(星期六)上午8:30-10:30,地点:4703教室

    Chartrand, G, and Lesniak, L., Graphs and Digraphs (Second Edition). Wadsworth, Inc, Belmont and California, 1986。该书将无向图和有向图交叉叙述,

    内容较多,专题叙述较为深入。但几乎不涉及图论应用,各专题之间的联系不够紧密,习题难度不大。

    另有两篇综述文献值得一读(中译文):

    1.) C.Thomassen, 图论的回顾,数学译林,1988, 65-75; 

    2.) B.Bollobas, 图论的未来, 数学译林,15(1996), No.2, 109-110.

    2). 2.19(星期三): 内容是1.1节和1.2节。图的基本概念、介绍基本记号、图的同构和某些特殊的图类,如完全图、竞赛图和二部分图。强调图是一个特殊的代数结构(有限集和定义在该集上的二元关系),几何图形只是它的一种直观表示。因此,图同构的概念是自然的。介绍超立方体和有向图与二部分图的关系。习题:1.1.1, 1.2.4 和 1.2.7

    3). 2.24(星期一): 内容是1.3节和1.4节。介绍图的顶点度概念和图的基本运算和记号,线图运算。掌握图论第一定理(边数和顶点度之间的基本关系)。若干例子。习题:1.3.4, 1.3.5 和 1.4.5

    习题1.3.8是著名的Sperner引理, 利用它可以给出Brouwer不动点定理的图论证明。参阅J. A. Bondy and U. S. R. Murty, Graph Theory with Applications, Macmillan Press LTD, 19976, Section 1.9。

    关于线图和笛卡儿乘积图的进一步性质可参阅Junming Xu, Topological Structure and Analysis of Interconnection Networks, Kluwer Academic Publisheres, 2001, Sections 2.1 and 2.3。有一篇关于线图研究的综述文献:R. L. Hemminger, and  L. W. Beineke, Line graphs and line digraphs.   Selected Topics in Graph Theory , I, (edited by L. W. Beineke, and R. J. Wilson),  Academic Press INC, 1978, 271- 305。  

    4). 2.26(星期三): 内容是1.5节。链、迹和路的概念、关系、区别,连通和强连通概念,它们的区别和联系。通过证明定理1.2和若干例子,介绍图论中常用的基本论证方法和技巧。习题:1.5.4, 1.5.6 和 1.5.10

    习题1.4.11叙述了著名的Ramsey定理。该习题的解答可参阅J. A. Bondy and U. S. R. Murty, Graph Theory with Applications, Macmillan Press LTD, 19976, Section 7.2。有两本有关Ramsey理论的专题著作可以参阅。

    1.) R. L. Graham, B. L. Rothschild, and J. H. Spencer, Ramsey Theory. John Wiley & Sons, 1980.

    2.) 李乔, 拉姆塞理论, 湖南教育出版社, 1991。

    5). 3.03(星期一): 内容是1.6。回和圈的概念、区别和基本图论结果(定理1.3)。作为回或者圈的应用,介绍二部分图的判定准则(定理1.4)和若干例子。习题:1.6.2, 1.6.4 和 1.6.11

    关于路和圈中的研究问题和进展可参阅一篇综述文献:J. A. Bondy, Basic graph theory: paths and circuits. Handbook of Combinatorics (edited by R. L. Graham, M. Grotschel and L. Lovasz), Vol.1(1995),3-110.

    6). 3.05(星期三): 内容是1.7节。Euler迹、Euler回和Euler图的概念。介绍著名的Königsber七桥问题和Euler图的判定准则(定理1.5)。作为例子,介绍De Bruijn图。习题:1.7.2 和 1.7.3

    有一篇关于Euler问题的综述文章可以参阅:H. Fleischer, Eulerian graphs. Selected Topics in Graph Theory , II, (edited by L. W. Beineke, and R. J. Wilson),  Academic Press INC, 1983, 17-53。

    7). 3.10(星期一): 内容是1.8。弄清Hamilton圈和Hamilton图的概念,它们与Euler回和Euler图区别,困难性。重点介绍充分条件(定理1.7),还可举两个例子。定理1.8的证明有一定难度,有余力的同学可以通过自学弄懂它。习题:1.8.3, 1.8.6 和 1.8.7

    有一篇关于Hamilton问题的综述文章可以参阅:J. C. Bermond, Hamiltonian graphs. Selected Topics in Graph Theory , I, (edited by L. W. Beineke, and R. J. Wilson),  Academic Press INC, 1978, 127- 167。  

    8). 3.12(星期三): 内容是1.9节。介绍图的另一种表示-图的邻接矩阵和关联矩阵。弄清同构图的邻接矩阵的置换相似性和关联矩阵的置换相抵性。利用这种表示,可以借助代数方法来研究图的结构性质,有此产生代数图论。证明定理1.9并通过若干例子,介绍代数方法在图论中的应用。习题:1.9.4 和 1.9.5; 选作1.9.6

    建议参阅的两本代数图论教材和一本关于图的譜的专题著作(系资料室有原版): 

    1.) N. Biggs, Algebraic Graph Theory (Second Edition), Cambridge University Press, 1993; 

    2.) C. Golsil and G. Royle, Algebraic Graph Theory, Springer, 2001. 

    3.) D. M. Cvetkoie, M. Doob, and H. Sachs, Spectura of Graphs. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1982.

    9). 3.17(星期一): 内容是1.10。作为图论应用,介绍本原矩阵的本原指数。定理1.11是关于本原指数的一个基本结果,它将被归结为图论结果。定理1.9和定理1.10起了关键作用。给出两个例子以说明本原矩阵的本原指数的基本方法。习题:1.10.2 和 1.10.3

    关于图论在矩阵论的应用,可见参考书:

    1.) 李乔, 矩阵论八讲, 上海科学技术出版社,1988, 第6章.

    2.) 柳柏濂, 组合矩阵论,科学出版社,1998.

    10). 3.19(星期三): 习题课, 小测验(作在作业本上,交第一次作业)。

    11). 3.24(星期一): 内容是2.1节和2.2节,它是本章的基础。介绍树(林)和支持树(林)的基本性质。弄清余树(林)、割边集和键的概念,圈、键与余树(林)的关系。习题:2.1.2, 2.1.5 和 2.2.3

    12). 3.26(星期三): 内容是2.3节,它是本章的重点。弄清圈空间概念,重点是边空间中两个互补的子空间:圈空间和键空间的维数和基的生成。通过这节结果和论证方法,进一步了解图的矩阵表示的重要性和代数方法在图论中的具体应用。习题:2.3.4, 2.3.6 和 2.3.7

    13). 3.31(星期一): 内容是2.4节。这节讨论连通图支撑树的计数,本质上是边空间理论的应用,矩阵理论、图论和代数方法的结合,导出若干支撑树计数公式。习题:2.4.2, 2.4.3 和 2.4.6

    14). 4.02(星期三): 内容是2.5和2.6。介绍两个实际问题的应用:最小连接和最短路问题,弄清他们的联系和区别,并介绍解决这两个问题的有效算法。重点是学会怎样将一个实际问题转化为图论问题,然后利用图论方法去解决问题。学会分析算法的有效性。习题:2.5.1, 2.5.1 和 2.6.2自习2.7节

    15). 4.07(星期一): 内容是3.1节,是本章的重点。介绍平面图和平图的基本概念和性质,Euler公式。习题:3.1.4, 3.1.6 和 3.1.9

    16). 4.09(星期三): 内容是3.2节和3.3节,重点掌握 Kuratowski 定理(3.6)和几何对偶图的概念,其它内容可作一般了解。习题:3.2.3, 3.3.2 和 3.3.6自习3.4节和3.5节

    17). 4.14(星期一): 内容是4.1节,是本章的基础。介绍网络流和截的概念,弄清截与割的区别。重点掌握和证明最大流最小截定理(4.1)。习题:4.1.2 和 4.1.4

    18). 4.16(星期三):  内容是4.2,是本章的重点。弄清图的局部连通度概念,重点掌握两种形式的Menger定理(4.3和4.3),证明方法和它们与最大流最小截定理的等价性。习题:4.2.2 和 4.2.3

    19). 4.21(星期一):  内容是4.3节。图的整体连通度概念,重点掌握Whitney不等式(定理4。4)和Whitney关于k连通图的判定准则(定理4.5)。通过定理和具体例子的证明,介绍有关连通度命题证明的基本方法。习题:4.3.3, 4.3.11 和 4.3.12

    20). 4.23(星期三): 内容是4.4。通过运输方案的设计,介绍求整容量网络最大流的标号算法。该算法的基础是定理4.6。因此,要弄清增广路的概念。习题:4.4.2 和 4.4.6(可选作)

    21). 4.28(星期一): 内容是4.5节。通过最优运输方案的设计,介绍求整容量网络最小费用最大流算法。该算法的基础是定理4.8。因此,要弄清增广圈概念。习题:4.5.2 和 4.5.3(可选作)

    22). 4.30(星期三): 内容是4.6。通过解决中国投递员问题,介绍求加权图的最优邮路算法,它与网络流的密切关系和转化过程。习题:4.6.2 和 4.6.3自习4.7节

    23). 5.04(星期一): 习题课, 小测验(作在作业本上,交第二次作业)。

    24). 5.07(星期三): 内容是5.1节(上)。介绍匹配概念,研究二部分图和一般图中完备匹配的存在性。重点掌握Hall定理(5.1)和Tutte定理(5.2),了解这两个定理证明方法以及它们与最大流最小截定理、Menger定理的等价性。习题:5.1.1, 5.1.2 和 5.1.5

    25). 5.12(星期一): 内容是5.1节(下)。介绍点覆盖概念和König定理(5.3)以及它与某些定理的等价性。通过若干例子,介绍匹配理论的基本应用。习题:5.1.3, 5.1.6 和 5.1.9

    26). 5.14(星期三): 内容是5.2。介绍图的独立集和独立数的概念,了解计算独立数的困难性。介绍独立数与连通度及图的Hamilton性之间的关系。习题:5.2.5, 5.2.6 和 5.2.7

    27).  5.19(星期一):  内容是5.3节。作为匹配理论的应用,通过人员安排问题,介绍求二部分图中完备匹配的匈牙利算法。算法的基础是Hall定理、定理5.9和定理5.10。习题:5.3.2, 5.3.5 和 5.3.6

    28).5.21(星期三): 内容是5.4。通过最优人员安排问题,介绍求加权完全二部分图中最大(或者最小)权完备匹配的有效算法。算法的基础是定理5.11。作为算法的应用,介绍工作排序问题的近似算法。习题:5.4.4 和 5.4.6

    29). 5.26(星期一): 内容是5.5节。介绍著名的货郎担问题,它是NPC问题的杰出代表。掌握货郎担问题的两种提法,怎样将一般图的货郎担问题转化为求满足三角不等式的完全加权图中最优Hamilton圈问题。介绍一个近似算法,它是该课程中介绍的著名算法的应用和总结,计算它的的性能比。习题:5.5.1和5.5.3自习5.6节

    30). 5.28(星期三): 自习

    31). 6.02(星期一):  内容是6.1。介绍点染色的基本概念和结果,弄清点染色与独立集之间的关系。重点掌握定理6.1、6.2和6.3。作为应用,列举若干例子。习题:6.1.5 和6.1.6

    32). 6.04(星期三): 内容是6.2节。介绍边染色的基本概念和结果,弄清边染色与匹配之间的关系。重点掌握定理6.4。介绍图的分类问题。习题:6.2.2,6.2.4 和6.2.5

    33). 6.09(星期一): 习题课,期终总结,布置期终复习和考试事宜。

    期末考试时间:2003年06月14日(星期六)上午8:30-10:30,地点:4703教室

    另有两篇综述文献值得一读(中译文):

    1.) C.Thomassen, 图论的回顾,数学译林,1988, 65-75; 

    2.) B.Bollobas, 图论的未来, 数学译林,15(1996), No.2, 109-110.

    2). 2.19(星期三): 内容是1.1节和1.2节。图的基本概念、介绍基本记号、图的同构和某些特殊的图类,如完全图、竞赛图和二部分图。强调图是一个特殊的代数结构(有限集和定义在该集上的二元关系),几何图形只是它的一种直观表示。因此,图同构的概念是自然的。介绍超立方体和有向图与二部分图的关系。习题:1.1.1, 1.2.4 和 1.2.7

    3). 2.24(星期一): 内容是1.3节和1.4节。介绍图的顶点度概念和图的基本运算和记号,线图运算。掌握图论第一定理(边数和顶点度之间的基本关系)。若干例子。习题:1.3.4, 1.3.5 和 1.4.5

    习题1.3.8是著名的Sperner引理, 利用它可以给出Brouwer不动点定理的图论证明。参阅J. A. Bondy and U. S. R. Murty, Graph Theory with Applications, Macmillan Press LTD, 19976, Section 1.9。

    关于线图和笛卡儿乘积图的进一步性质可参阅Junming Xu, Topological Structure and Analysis of Interconnection Networks, Kluwer Academic Publisheres, 2001, Sections 2.1 and 2.3。有一篇关于线图研究的综述文献:R. L. Hemminger, and  L. W. Beineke, Line graphs and line digraphs.   Selected Topics in Graph Theory , I, (edited by L. W. Beineke, and R. J. Wilson),  Academic Press INC, 1978, 271- 305。  

    4). 2.26(星期三): 内容是1.5节。链、迹和路的概念、关系、区别,连通和强连通概念,它们的区别和联系。通过证明定理1.2和若干例子,介绍图论中常用的基本论证方法和技巧。习题:1.5.4, 1.5.6 和 1.5.10

    习题1.4.11叙述了著名的Ramsey定理。该习题的解答可参阅J. A. Bondy and U. S. R. Murty, Graph Theory with Applications, Macmillan Press LTD, 19976, Section 7.2。有两本有关Ramsey理论的专题著作可以参阅。

    1.) R. L. Graham, B. L. Rothschild, and J. H. Spencer, Ramsey Theory. John Wiley & Sons, 1980.

    2.) 李乔, 拉姆塞理论, 湖南教育出版社, 1991。

    5). 3.03(星期一): 内容是1.6。回和圈的概念、区别和基本图论结果(定理1.3)。作为回或者圈的应用,介绍二部分图的判定准则(定理1.4)和若干例子。习题:1.6.2, 1.6.4 和 1.6.11

    关于路和圈中的研究问题和进展可参阅一篇综述文献:J. A. Bondy, Basic graph theory: paths and circuits. Handbook of Combinatorics (edited by R. L. Graham, M. Grotschel and L. Lovasz), Vol.1(1995),3-110.

    6). 3.05(星期三): 内容是1.7节。Euler迹、Euler回和Euler图的概念。介绍著名的Königsber七桥问题和Euler图的判定准则(定理1.5)。作为例子,介绍De Bruijn图。习题:1.7.2 和 1.7.3

    有一篇关于Euler问题的综述文章可以参阅:H. Fleischer, Eulerian graphs. Selected Topics in Graph Theory , II, (edited by L. W. Beineke, and R. J. Wilson),  Academic Press INC, 1983, 17-53。

    7). 3.10(星期一): 内容是1.8。弄清Hamilton圈和Hamilton图的概念,它们与Euler回和Euler图区别,困难性。重点介绍充分条件(定理1.7),还可举两个例子。定理1.8的证明有一定难度,有余力的同学可以通过自学弄懂它。习题:1.8.3, 1.8.6 和 1.8.7

    有一篇关于Hamilton问题的综述文章可以参阅:J. C. Bermond, Hamiltonian graphs. Selected Topics in Graph Theory , I, (edited by L. W. Beineke, and R. J. Wilson),  Academic Press INC, 1978, 127- 167。  

    8). 3.12(星期三): 内容是1.9节。介绍图的另一种表示-图的邻接矩阵和关联矩阵。弄清同构图的邻接矩阵的置换相似性和关联矩阵的置换相抵性。利用这种表示,可以借助代数方法来研究图的结构性质,有此产生代数图论。证明定理1.9并通过若干例子,介绍代数方法在图论中的应用。习题:1.9.4 和 1.9.5; 选作1.9.6

    建议参阅的两本代数图论教材和一本关于图的譜的专题著作(系资料室有原版): 

    1.) N. Biggs, Algebraic Graph Theory (Second Edition), Cambridge University Press, 1993; 

    2.) C. Golsil and G. Royle, Algebraic Graph Theory, Springer, 2001. 

    3.) D. M. Cvetkoie, M. Doob, and H. Sachs, Spectura of Graphs. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1982.

    9). 3.17(星期一): 内容是1.10。作为图论应用,介绍本原矩阵的本原指数。定理1.11是关于本原指数的一个基本结果,它将被归结为图论结果。定理1.9和定理1.10起了关键作用。给出两个例子以说明本原矩阵的本原指数的基本方法。习题:1.10.2 和 1.10.3

    关于图论在矩阵论的应用,可见参考书:

    1.) 李乔, 矩阵论八讲, 上海科学技术出版社,1988, 第6章.

    2.) 柳柏濂, 组合矩阵论,科学出版社,1998.

    10). 3.19(星期三): 习题课, 小测验(作在作业本上,交第一次作业)。

    11). 3.24(星期一): 内容是2.1节和2.2节,它是本章的基础。介绍树(林)和支持树(林)的基本性质。弄清余树(林)、割边集和键的概念,圈、键与余树(林)的关系。习题:2.1.2, 2.1.5 和 2.2.3

    12). 3.26(星期三): 内容是2.3节,它是本章的重点。弄清圈空间概念,重点是边空间中两个互补的子空间:圈空间和键空间的维数和基的生成。通过这节结果和论证方法,进一步了解图的矩阵表示的重要性和代数方法在图论中的具体应用。习题:2.3.4, 2.3.6 和 2.3.7

    13). 3.31(星期一): 内容是2.4节。这节讨论连通图支撑树的计数,本质上是边空间理论的应用,矩阵理论、图论和代数方法的结合,导出若干支撑树计数公式。习题:2.4.2, 2.4.3 和 2.4.6

    14). 4.02(星期三): 内容是2.5和2.6。介绍两个实际问题的应用:最小连接和最短路问题,弄清他们的联系和区别,并介绍解决这两个问题的有效算法。重点是学会怎样将一个实际问题转化为图论问题,然后利用图论方法去解决问题。学会分析算法的有效性。习题:2.5.1, 2.5.1 和 2.6.2自习2.7节

    15). 4.07(星期一): 内容是3.1节,是本章的重点。介绍平面图和平图的基本概念和性质,Euler公式。习题:3.1.4, 3.1.6 和 3.1.9

    16). 4.09(星期三): 内容是3.2节和3.3节,重点掌握 Kuratowski 定理(3.6)和几何对偶图的概念,其它内容可作一般了解。习题:3.2.3, 3.3.2 和 3.3.6自习3.4节和3.5节

    17). 4.14(星期一): 内容是4.1节,是本章的基础。介绍网络流和截的概念,弄清截与割的区别。重点掌握和证明最大流最小截定理(4.1)。习题:4.1.2 和 4.1.4

    18). 4.16(星期三):  内容是4.2,是本章的重点。弄清图的局部连通度概念,重点掌握两种形式的Menger定理(4.3和4.3),证明方法和它们与最大流最小截定理的等价性。习题:4.2.2 和 4.2.3

    19). 4.21(星期一):  内容是4.3节。图的整体连通度概念,重点掌握Whitney不等式(定理4。4)和Whitney关于k连通图的判定准则(定理4.5)。通过定理和具体例子的证明,介绍有关连通度命题证明的基本方法。习题:4.3.3, 4.3.11 和 4.3.12

    20). 4.23(星期三): 内容是4.4。通过运输方案的设计,介绍求整容量网络最大流的标号算法。该算法的基础是定理4.6。因此,要弄清增广路的概念。习题:4.4.2 和 4.4.6(可选作)

    21). 4.28(星期一): 内容是4.5节。通过最优运输方案的设计,介绍求整容量网络最小费用最大流算法。该算法的基础是定理4.8。因此,要弄清增广圈概念。习题:4.5.2 和 4.5.3(可选作)

    22). 4.30(星期三): 内容是4.6。通过解决中国投递员问题,介绍求加权图的最优邮路算法,它与网络流的密切关系和转化过程。习题:4.6.2 和 4.6.3自习4.7节

    23). 5.04(星期一): 习题课, 小测验(作在作业本上,交第二次作业)。

    24). 5.07(星期三): 内容是5.1节(上)。介绍匹配概念,研究二部分图和一般图中完备匹配的存在性。重点掌握Hall定理(5.1)和Tutte定理(5.2),了解这两个定理证明方法以及它们与最大流最小截定理、Menger定理的等价性。习题:5.1.1, 5.1.2 和 5.1.5

    25). 5.12(星期一): 内容是5.1节(下)。介绍点覆盖概念和König定理(5.3)以及它与某些定理的等价性。通过若干例子,介绍匹配理论的基本应用。习题:5.1.3, 5.1.6 和 5.1.9

    26). 5.14(星期三): 内容是5.2。介绍图的独立集和独立数的概念,了解计算独立数的困难性。介绍独立数与连通度及图的Hamilton性之间的关系。习题:5.2.5, 5.2.6 和 5.2.7

    27).  5.19(星期一):  内容是5.3节。作为匹配理论的应用,通过人员安排问题,介绍求二部分图中完备匹配的匈牙利算法。算法的基础是Hall定理、定理5.9和定理5.10。习题:5.3.2, 5.3.5 和 5.3.6

    28).5.21(星期三): 内容是5.4。通过最优人员安排问题,介绍求加权完全二部分图中最大(或者最小)权完备匹配的有效算法。算法的基础是定理5.11。作为算法的应用,介绍工作排序问题的近似算法。习题:5.4.4 和 5.4.6

    29). 5.26(星期一): 内容是5.5节。介绍著名的货郎担问题,它是NPC问题的杰出代表。掌握货郎担问题的两种提法,怎样将一般图的货郎担问题转化为求满足三角不等式的完全加权图中最优Hamilton圈问题。介绍一个近似算法,它是该课程中介绍的著名算法的应用和总结,计算它的的性能比。习题:5.5.1和5.5.3自习5.6节

    30). 5.28(星期三): 自习

    31). 6.02(星期一):  内容是6.1。介绍点染色的基本概念和结果,弄清点染色与独立集之间的关系。重点掌握定理6.1、6.2和6.3。作为应用,列举若干例子。习题:6.1.5 和6.1.6

    32). 6.04(星期三): 内容是6.2节。介绍边染色的基本概念和结果,弄清边染色与匹配之间的关系。重点掌握定理6.4。介绍图的分类问题。习题:6.2.2,6.2.4 和6.2.5

    33). 6.09(星期一): 习题课,期终总结,布置期终复习和考试事宜。

    期末考试时间:2003年06月14日(星期六)上午8:30-10:30,地点:4703教室

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  • 图论及其应用-哈密尔顿图(alpha)

    千次阅读 2012-09-07 22:50:15
    图论及其应用-哈密尔顿图(alpha)   小结:2010-04。。todo 没有粘贴公式。 1重要的概念是 闭包。 注意 ppt定义4 2重点汇总与 闭包定理 3其他的2个定理对比:(第一阶级:是不是两个反面) 一个是  ...

    http://www.cnblogs.com/titer1/archive/2011/04/12/2014226.html

     

    图论及其应用-哈密尔顿图(alpha)

     

    小结:2010-04。。todo 没有粘贴公式。

    1重要的概念是 闭包。

    注意 ppt定义4

    2重点汇总与 闭包定理

    3其他的2个定理对比:(第一阶级:是不是两个反面)

    一个是

     存在 不相邻的点u , v, 围绕 du + dv >=n; G 是H图,那么G+uv也是H图(66:增边)

                          满足du + dv >=n 都有u,v相邻,那么G是闭包、

     

    本次课主要内容

    (一)、哈密尔顿图的概念

    (二)、性质与判定

    哈密尔顿图

         1、背景

    (一)、哈密尔顿图的概念

        1857年, 哈密尔顿发明了一个游戏(Icosian Game).它是由一个木制的正十二面体构成,在它的每个棱角处标有当时很有名的城市。游戏目的是“环球旅行”。为了容易记住被旅游过的城市 ,在每个棱角上放上一个钉子,再用一根线绕在那些旅游过的城市上(钉子),由此可以获得旅程的直观表示。

    clip_image001

         哈密尔顿(1805---1865),爱尔兰数学家。个人生活很不幸,但兴趣广泛:诗歌、光学、天文学和数学无所不能。他的主要贡献是在代数领域,发现了四元数(第一个非交换代数),他认为数学是最美丽的花朵。

        哈密尔顿把该游戏以25英镑的价格买给了J.Jacques and Sons公司 (该公司如今以制造国际象棋设备而著名) ,1859年获得专利权。但商业运作失败了。

        该游戏促使人们思考点线连接的图的结构特征。这就是图论历史上著名的哈密尔顿问题。

         2、哈密尔顿图与哈密尔顿路

         定义1 如果经过图G的每个顶点恰好一次后能够回到出发点,称这样的图为哈密尔顿图,简称H图。所经过的闭途径是G的一个生成圈,称为G的哈密尔顿圈。

        例1、正十二面体是H图。

    clip_image002

         例2 下图G是非H图。

         证明:因为在G中,边uv是割边,所以它不在G的任意圈上,于是u与v不能在G的同一个圈上。故G不存在包括所有顶点的圈,即G是非H图。

    clip_image003

         定义2 如果存在经过G的每个顶点恰好一次的路,称该路为G的哈密尔顿路,简称H路。

    clip_image004

    (二)、性质与判定

         1、性质

         定理1 (必要条件) 若G为H图,则对V(G)的任一非空顶点子集S,有:

     

         证明:G是H图,设C是G的H圈。则对V(G)的任意非空子集S, 容易知道:

     

         所以,有:

     

         注:不等式为G是H图的必要条件,即不等式不满足时,可断定对应图是非H图。

         例3 求证下图是非H图。

         证明:取S={2, 7, 6},则有:

    clip_image005

     

         所以由定理1知,G为非H图。

    clip_image007clip_image008

          注意:满足定理1不等式的图不一定是H图。

          例如:著名的彼德森图是非H图,但它满足定理1的不等式。

    clip_image009

         彼得森(1839----1910),丹麦哥本哈根大学数学教授。家境贫寒,因此而辍过学。但19岁就出版了关于对数的专著。他作过中学教师,32岁获哥本哈根大学数学博士学位,然后一直在该大学作数学教授。

         彼得森是一位出色的名教师。他讲课遇到推理困难时,总是说:“这是显而易见的”,并让学生自己查阅他的著作。同时,他是一位有经验的作家,论述问题很形象,讲究形式的优雅。

         1891年,彼得森发表了一篇奠定他图论历史地位的长达28页的论文。这篇文章被公认是第一篇包含图论基本结论的文章。同时也是第一次在文章中使用“图”术语。

         1898年,彼得森又发表了一篇只有3页的论文,在这篇文章中,为举反例构造了著名的彼得森图。

    clip_image010

         2、判定

          图的H性判定是NP-困难问题。到目前为止,有关的定理有300多个,但没有一个是理想的。拓展H图的实用特征仍然被图论领域认为是重大而没有解决的问题。

         图的哈密尔顿问题和四色问题被谓为挑战图论领域150年智力极限的总和。三位数学“诺奖”获得者ErdÖs、Whitney 、 Lovász 以及Dirac、Ore等在哈密尔顿问题上有过杰出贡献。

         下面,介绍几个著名的定理。

         定理2 (充分条件) 对于n≧3的单图G,如果G中有:

     

         那么G是H图。

         证明: 若不然,设G是一个满足定理条件的极大非H简单图。显然G不能是完全图,否则,G是H图。

         于是,可以在G中任意取两个不相邻顶点u与v。考虑图G + u v,由G的极大性,G+ u v是H图。且G+ u v的每一个H圈必然包含边u v。

         所以,在G中存在起点为u而终点为v的H路P。

         不失一般性,设起点为u而终点为v的H路P为:

     

    clip_image011

         令:

     

     

         对于S与T, 显然,

         另一方面:可以证明:

     

     

         所以:

     

         否则,设                     

     

         那么,由

     

         由

     

    clip_image012

         这样在G中有H圈,与假设矛盾!

         于是:

         这与已知                     矛盾!

     

         注:该定理是数学家 Dirac在1952年得到的。该定理被认为是H问题的划时代奠基性成果。

     

         Dirac曾经是丹麦奥尔胡斯大学知名教授,杰出的数学研究者。其父亲(继父)是在量子力学中做出卓越贡献的物理学家狄拉克,1933年获诺贝尔物理学奖。Dirac发表关于H问题论文39篇。他1952年的定理将永载史册!

     

         1960年,美国耶鲁大学数学家奥勒(Ore)院士考察不相邻两点度和情况,弱化了Dirac条件 ,得到一个光耀千秋的结果。

           Ore发表关于H问题论文59篇。

         定理3 (充分条件) 对于n≧3的单图G,如果G中的任意两个不相邻顶点u与v,有:

     

           那么,G是H图。

           注: (1) 该定理证明和定理2可以完全一致!

           (2) 该定理的条件是紧的。例如:设G是由Kk+1的一个顶点和另一个Kk+1的一个顶点重合得到的图,那么对于G

     的任意两个不相邻顶点u与v,有:

     

         但G是非H图。

    clip_image014clip_image015

          1976年,牛津大学的图论大师Bondy(帮迪)等在Ore定理基础上,得到图G和它的闭包间的同哈密尔顿性。

         注:帮迪的书《图论及其应用》是一本经典必读教材。有中译本和习题解答。吴望祖译 。

         引理1 对于单图G,如果G中有两个不相邻顶点u与v,满足:

     

         那么G是H图当且仅当G + u v是H图。

         证明:“必要性” 显然。

        “充分性”

         若不然,设G是非H图,那么G+uv的每个H圈必然经过边uv, 于是G含有一条哈密尔顿(u ,v)路。

    clip_image011

         与定理2的证明相同,可推出:

         定义3 在n阶单图中,若对d (u) + d (v) ≧n 的任意一对顶点u与v,均有u a dj v , 则称G是闭图。

         引理2 若G1和G2是同一个点集V的两个闭图,则G=G1∩G2是闭图。

     

         这与条件矛盾!

         证明:任取u, v∈V(G1 ∩ G2),如果有:

     

       易知:

     

         因G1与G2都是闭图,所以u与v在G1与G2中都邻接,所以,在G中也邻接。故G是闭图。

         注:G1与G2都是闭图,它们的并不一定是闭图。

         例如:

    clip_image017clip_image018

    clip_image019

    clip_image021

         尽管G1与G2是闭图,但其并不是闭图!

         定义4  称      是图G的闭包,如果它是包含G的极小闭图。

     

         注:如果G本身是闭图,则其闭包是它本身;如果G不是闭图,则由定义可以通过在度和大于等于n的不相邻顶点对间加边来构造G的闭图。例如:

    clip_image023clip_image025

         引理3  图G的闭包是唯一的。

         证明:设       和        是图G的两个闭包,则:

     

     

     

     

         所以,有:

     

         又由引理2知,                 是闭图,且

     

     

         有:

     

         同理:

     

         所以,

     

         定理4(帮迪——闭包定理) 图G是H图当且仅当它的闭包是H图。

         证明:“必要性”显然。

      “充分性” :假设G的闭包是H图,我们证明G是H图。

       假设G的闭包和G相同,结论显然。

       若不然,设ei (1≦i≦k)是为构造G的闭包而添加的所有边,由引理1,G是H图当且仅当G+e1是H图, G+e1是H图当且仅当G+e1+e2是H图,…, 反复应用引理1,可以得到定理结论。

         由于完全图一定是H图,所以由闭包定理有:

         推论1:设G是n≧3的单图,若G的闭包是完全图,则G是H图。

         由闭包定理也可以推出Dirac和Ore定理:

         推论1:设G是n≧3的单图。

         (1) 若δ(G)≧n/2,则G是H图(Dirac定理);

         (2) 若对于G中任意不相邻顶点u与v,都有d(u)+d(v)≧n,则G是H图.(Ore定理)

         在闭包定理的基础上,Chvátal和帮迪进一步得到图的H性的度序列判定法。

          定理5(Chvátal——度序列判定法) 设简单图G的度序列是(d1,d2,…,dn), 这里,d1≦d2≦…≦dn,并且n≧3.若对任意的m<n/2,或有 dm>m,或有dn-m ≧ n-m,则G是H图。

         萨瓦达定理的证明方法:证G的闭包是完全图。

         证明:如果G的闭包是Kn,则G是H图。

         否则,设u与v是G的闭包中不相邻接的且度和最大的两点,又假设:

     

         由于     是闭图,u与v 是其中不邻接顶点,所以:

     

     

         于是,若取                      ,则

     

     

         对于这个m, 由于:

     

         所以在G的闭包中至少有m个点与v不邻接。

         由u与v的取法知:与v不邻接的m个点中,u的度数最大。这就意味着:G中至少有m个点的度数不大于m,即:

     

         另一方面,由m的选取,G的闭包中有n-1-m个点与u不相邻接。而这些点中,v的度最大。这意味着:在G的闭包中有n-1-m个与u不邻接的点的度数小于等于v的度数。

         但是,由:

     

         以及u的度数不超过v的度数假设,G的闭包中至少有n-m个点的度不超过n-m,从而在G中至少有n-m个点的度数严格小于n-m,即:

     

         例4  求证下图是H图。

         证明:在G中有:

    clip_image044

     

     

     

     

       因n=9,所以,m=1,2,3,4

     

         所以,由度序列判定法,G是H图。

        注 :哈密尔顿图研究简介

         哈密尔顿问题的研究一直是图论热点。研究历史大致情况如下:

         (1) 1952年Dirac定理是研究的奠基性结果;

         (2) 1962年Ore定理是Dirac定理的重要推进;

         (3) 1976年帮迪的闭包定理是Ore定理的重要推进;

         (4) 1985年时任剑桥大学兼伦敦大学教授的Nicos在弱化Ore定理条件基础上推进了Ore定理;

        (5) 1996年GSU计算机系五个特聘教授之一的Chen和SCI

    杂志《图论杂志》编委Egawa及SCI杂志《图论与组合》主编

    Saito等再进一步推进Ore定理。

         (6)  2007年, 赖虹建教授统一上面全部结果(见美国Appl.Math.Lett.),似已是珠峰之极.

         值得一提的是,福州大学的 范更华教授对H问题的研究也取得重要成就,他得出“范定理”:

        范定理:若图中每对距离为2的点中有一点的度数至少是

    图的点数的一半,则该图存在哈密尔顿圈。

         该成果获得中国2005年度国家自然科学二等奖。

     作业

      P97---99    习题4 : 10,  12

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  • 图论软件和教材

    2018-09-15 16:14:07
    包含软件和ppt,图论的经典教材《图论及其应用》和习题解答,学会图论,软件可运行
  • http://bbs.math.org.cn/viewthread.php?tid=360 我想很多学习图论的人都知道J.A. Bondy和U.S.R. Murty著的《Graph Theory with Application》...还记得兰州交通大学的张忠辅教授说过,国内第一届图论学会就是

    http://bbs.math.org.cn/viewthread.php?tid=360

     

    我想很多学习图论的人都知道J.A. Bondy和U.S.R. Murty著的《Graph Theory with Application》(Elsevier,1976)是图论教材中的经典,时至今日,仍不失为初学者较好的入门书。还记得兰州交通大学的张忠辅教授说过,国内第一届图论学会就是把大家集中起来学习邦迪的《Graph Theory with Application》,由此可见这本书对国内图论届的影响是如此之大。吴望名等人将其译成中文版本《图论及其应用》(北京:科学出版社,1984),1988年张克民等人编写了该书的参考答案《图论及其应用习题解答》(清华大学出版社,1988)。
         在2008年J.A. Bondy和U.S.R. Murty出了新书《Graph Theory》(GTM 244, Springer, 2008), 大家可不妨将其看成是《Graph Theory with Application》的第二版,这本书在内容上做了重新调整,毕竟在第一版出版后的近30年里涌现出了很多新的结果,所以《Graph Theory》在内容上加进了一些新的结果,这本书我只是读了其中的几章,觉得写的非常棒,建议大家能够读读,这里也值得一提的是将第一版最后提出的50个问题进行了更新,并补充了一些新的问题。总之,我个人认为,《Graph Theory》的确是一部很优秀的图论教材。

    下面给出这两部教材及其答案的链接(在此对资源的提供者表示感谢,如果下列链接失效,请自行baidu或者google):
    1. 《Graph Theory with Application》英文版下载:
    http://old.math.org.cn/forums/index.php?showtopic=57282
    http://www.ecp6.jussieu.fr/pageperso/bondy/books/gtwa/gtwa.html
    2. 《Graph Theory with Application》中文版下载:http://old.math.org.cn/forums/index.php?showtopic=54871
    3. 《Graph Theory with Application》答案下载:
    http://old.math.org.cn/forums/index.php?showtopic=54878
    4.  《Graph Theory》下载:
    http://ifile.it/5kdc19/1846289696.pdf.zip

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  • 图论导引教程.pdf

    2009-09-20 23:23:05
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