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  • 针对樽海鞘群算法( Salp SwarmΔ lgorithm,SSΔ)在寻优过程中存在的收敛速度较慢、容易陷入局部最优的缺点,提出了一种改进的采用莱维飞行策略的条件化更新的樽海鞘群算法( Levy Flight-based CondiTIonal ...
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    一、理论基础

    1、灰狼优化算法

    请参考这里

    2、改进灰狼优化算法

    为了弥补传统灰狼算法收敛速度慢并且易陷入局部最优的缺陷,本文利用改进衰减因子来平衡灰狼算法的全局搜索能力和局部搜索能力;同时,分别利用莱维飞行策略和随机游动策略来提高算法全局和局部的搜索能力。

    (1)分段可调节衰减因子

    衰减因子 a a a 影响系数向量 A → \overrightarrow{\boldsymbol A} A ,进而影响了GWO的勘探能力和开发能力之间的平衡。当 a > 1 a>1 a>1时( 勘探阶段) ,灰狼会进行搜索运动和捕猎运动,并且根据公式可计算得出:灰狼以 1 − 1 / a 1-1/a 11/a的概率进行搜索运动,以 1 / a 1/a 1/a的概率进行捕猎运动。当 a < 1 a<1 a<1时( 开发阶段),灰狼只进行捕猎运动。在标准GWO中,勘探阶段与开发阶段的迭代次数比例为 50 % : 50 % 50\%:50\% 50%:50%。但是针对不同的优化问题,固定的迭代次数比例很难适应搜索实际情况。因此,本文提出了一种分段可调节衰减因子: a = { 2 − 1 φ t m a x ,     t m a x < φ 1 1 − φ ( 1 − t m a x ) , t m a x > φ (1) a=\begin{dcases}2-\frac 1\varphi \frac{t}{max},\quad\quad\quad\,\,\, \frac{t}{max}<\varphi\\\frac{1}{1-\varphi}(1-\frac{t}{max}),\quad \frac{t}{max}>\varphi\end{dcases}\tag{1} a=2φ1maxt,maxt<φ1φ1(1maxt),maxt>φ(1)其中, φ \varphi φ为勘探阶段所占的迭代比例。当 φ = 0.5 \varphi=0.5 φ=0.5时,本文改进的衰减因子与标准GWO算法衰减因子一致。
    系数向量 C → \overrightarrow{\boldsymbol C} C 表示灰狼所在位置对猎物影响的随机权重,影响了灰狼群体靠近猎物的难易程度,从而影响算法的全局勘探能力。本文借鉴文献[1]提出的修改控制参数 C → \overrightarrow{\boldsymbol C} C 策略来平衡全局勘探能力和局部开发能力,其具体表达式如下: C → = 2 r 3 → − a (2) \overrightarrow{\boldsymbol C}=2\overrightarrow{\boldsymbol r_3}-a\tag{2} C =2r3 a(2)其中, r 3 → \overrightarrow{\boldsymbol r_3} r3 [ 0.5 , 1.5 ] [0.5,1.5] [0.5,1.5]之间的随机向量。

    (2)莱维飞行和随机游动策略

    使用莱维飞行策略进行全局探测,使灰狼个体广泛分布于搜索空间中,以提高全局寻优能力;使用随机游动策略,使灰狼在相对集中的区域内寻优,以提高局部寻优的能力。
    莱维飞行是服从莱维分布的随机搜索方法,是一种短距离的搜索与偶尔较长距离的行走相间的行走方式,从而促使莱维飞行具有良好的全局搜索能力。
    莱维飞行的位置更新公式为: x i ′ ( t ) = x i ( t ) + l ⊕ L e v y ( λ ) (3) x_i'(t)=x_i(t)+l\oplus Levy(\lambda)\tag{3} xi(t)=xi(t)+lLevy(λ)(3)其中, x i ( t ) x_i(t) xi(t)表示第 t t t代的第 i i i个解; ⊕ \oplus 表示点对点乘法; l l l表示控制步长的权重, l = 0.01 ( x i ( t ) − x b ) l=0.01(x_i(t)-x_b) l=0.01(xi(t)xb) x b x_b xb为当前的最优解; L e v y ( λ ) Levy(\lambda) Levy(λ)表示服从莱维分布的路径,并且满足: L e v y ∼ u = t − λ Levy\sim u=t^{-\lambda} Levyu=tλ 1 ≤ λ ≤ 3 1≤\lambda≤3 1λ3。具体的莱维飞行公式请参考这里
    随机游动的位置更新公式为: x i ′ ( t ) = x i ( t ) + ε ( x j ( t ) − x k ( t ) ) (4) x'_i(t)=x_i(t)+\varepsilon(x_j(t)-x_k(t))\tag{4} xi(t)=xi(t)+ε(xj(t)xk(t))(4)其中, x j ( t ) x_j(t) xj(t) x k ( t ) x_k(t) xk(t)为第 t t t代中的两个随机解; ε \varepsilon ε是缩放因子, ε ∼ U ( 0 , 1 ) \varepsilon\sim U(0,1) εU(0,1)
    分别对莱维飞行策略和随机游动策略进行仿真实验,仿真步长为1000,仿真结果如图1所示。可以看出,因为特殊的行走方式,莱维飞行具有更大的搜索范围,更有利于寻优算法进行全局搜索;而随机游动具有相对集中的搜索范围,更有利于在开发阶段进行局部寻优。
    在这里插入图片描述

    图1 莱维飞行与随机游动策略仿真

    (3)贪心算法寻优

    虽然莱维飞行和随机游动可以实现位置的更新,但是无法保证得到的新解的适应度优于原解,因此使用贪心机制来比较原解和新解的适应度,以保留适应度更好的解。 x i ( t ) = { x i ( t ) , f i t ( x i ′ ( t ) ) < f i t ( x i ( t ) ) x i ′ ( t ) , f i t ( x i ′ ( t ) ) > f i t ( x i ( t ) ) (5) x_i(t)=\begin{dcases}x_i(t),\quad fit(x'_i(t))<fit(x_i(t))\\x'_i(t),\quad fit(x'_i(t))>fit(x_i(t))\end{dcases}\tag{5} xi(t)={xi(t),fit(xi(t))<fit(xi(t))xi(t),fit(xi(t))>fit(xi(t))(5)对灰狼位置进行莱维飞行或随机游动虽然可优化算法的寻优过程,但是如果对每个迭代周期的每只灰狼都进行位置调整,将增加大量的时间消耗。因此,本文只对处于领导层的灰狼进行位置调整,而领导层的灰狼将指导其他灰狼进行位置更新,从而产生间接的影响。

    二、LRGWO算法伪代码

    在这里插入图片描述

    图1 LRGWO算法伪代码

    三、仿真实验与分析

    为了验证本文算法(LRGWO)的有效性,将LRGWO[1]与标准GWO算法、PSO算法、IGWO[2]算法和CMGWO[3]算法( 修改控制参数 C C C策略)进行对比,选取了8个标准测试函数进行仿真实验。表1列出了标准测试函数的相关信息。其中,F1~F5为单峰函数,用于测试算法的局部开发能力;F6~F8为多峰函数,用于测试算法平衡勘探与开发的能力。实验硬件条件为Inter® Core™ i7-7700处理器、8G运行内存,软件环境为Matlab R2018a。
    在这里插入图片描述

    表1 标准测试函数

    实验结果如下图所示:
    在这里插入图片描述

    (a)F1

    在这里插入图片描述
    (b)F2

    在这里插入图片描述
    (c)F3

    在这里插入图片描述
    (d)F4

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    (e)F5

    在这里插入图片描述
    (f)F6

    在这里插入图片描述
    (g)F7

    在这里插入图片描述
    (h)F8

    四、参考文献

    [1] 李阳,李维刚,赵云涛,刘翱.基于莱维飞行和随机游动策略的灰狼算法[J].计算机科学,2020,47(8):291-296.
    [2] 胡小平,曹敬.改进灰狼优化算法在WSN节点部署中的应用[J].传感技术学报,2018,31(5):753-758.
    [3] 龙文,伍铁斌,唐明珠,徐明,蔡绍洪.基于透镜成像学习策略的灰狼优化算法[J].自动化学报,2020,46(10):2148-2164.

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  • 基于莱维飞行和随机游动策略改进灰狼算法matlab源码.md
  • 基于改进莱维飞行粒子群算法的光伏系统MPPT方法.pdf
  • 【优化求解】基于莱维飞行和随机游动策略改进灰狼算法matlab源码.md
  • 文章目录 一、理论基础 1、灰狼优化算法 (1)种群初始化 (2)种群搜索 (3)种群位置更新 2、莱维飞行 3、嵌入莱维飞行的灰狼优化算法 二、MATLAB程序实现 1、初始化参数 2、LGWO 3、结果显示 4、对比分析 三、...

    一、理论基础

    1、灰狼优化算法

    受狼群猎食行为的启发,Mirjalili等提出了灰狼优化算法(Grey Wolf Optimization,GWO),该算法由于控制参数较少,因此实现方便。灰狼优化算法模拟灰狼的社会等级制度和猎食行为,视灰狼为猎食者顶端,即处于食物链最上层。GWO算法建立了一个模型:狼群中每一个灰狼代表了种群的一个潜在解,其中领导狼群的 α \alpha α狼位置是最好的解,处于狼群等级第二阶层的 β \beta β狼位置和负责侦察、警戒、打围以及看守的 δ \delta δ狼位置分别为优解和次优解,其他的候选解是阶层较低的 ω \omega ω狼位置。GWO算法包括如下三个步骤。

    (1)种群初始化

    由于GWO的性能受种群初始值影响较小,因此在该算法中采用随机产生种群的方法,即: X i , j ∼ U ( l b j , u b j ) (1) X_{i,j}\sim U(lb_j,ub_j)\tag{1} Xi,jU(lbj,ubj)(1)其中, X X X为灰狼种群, i ∈ { 1 , 2 , 3 … , N } i∈\{1,2,3…,N\} i{1,2,3,N} j ∈ { 1 , 2 , 3 … , s i z e p o p } j∈\{1,2,3…, sizepop\} j{1,2,3,sizepop} N N N是灰狼种群个数, s i z e p o p sizepop sizepop是种群维数; l b lb lb u b ub ub分别为搜索区间的下界和上界; U U 是随机均匀分布函数。

    (2)种群搜索

    通过公式(2)和公式(3)搜索接近猎物: D → = ∣ C → ⋅ X → p ( t ) − X → ( t ) ∣ (2) \overrightarrow{\boldsymbol D}=|\overrightarrow{\boldsymbol C}\boldsymbol\cdot \overrightarrow{\boldsymbol X}_p(\boldsymbol{t})-\overrightarrow{\boldsymbol X}(\boldsymbol{t})|\tag{2} D =C X p(t)X (t)(2) X → ( t + 1 ) = X → p ( t ) − A → ⋅ D → (3) \overrightarrow{\boldsymbol X}(t+1)=\overrightarrow{\boldsymbol X}_p(t)-\overrightarrow{\boldsymbol A}\boldsymbol\cdot \overrightarrow{\boldsymbol D}\tag{3} X (t+1)=X p(t)A D (3)其中, D → \overrightarrow{\boldsymbol D} D 为猎物与灰狼之间的距离; t t t为迭代的次数; C → \overrightarrow{\boldsymbol C} C A → \overrightarrow{\boldsymbol A} A 为系数向量; X → \overrightarrow{\boldsymbol X} X X → p \overrightarrow{\boldsymbol X}_p X p为灰狼位置向量和猎物位置向量。
    向量 A → \overrightarrow{\boldsymbol A} A C → \overrightarrow{\boldsymbol C} C 的计算公式如下: A → = 2 ⋅ a → ⋅ r 1 → − a → (4) \overrightarrow{\boldsymbol A}=2\boldsymbol\cdot \overrightarrow{\boldsymbol a}\boldsymbol\cdot\overrightarrow{\boldsymbol r_1} -\overrightarrow{\boldsymbol a}\tag{4} A =2a r1 a (4) C → = 2 ⋅ r 2 → (5) \overrightarrow{\boldsymbol C}=2\boldsymbol\cdot\overrightarrow{\boldsymbol r_2}\tag{5} C =2r2 (5)其中, r 1 r_1 r1 r 2 r_2 r2是在 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]范围内的随机数。一般情况, a → \overrightarrow{\boldsymbol a} a 控制参数在 [ 0 , 2 ] [0,2] [0,2]范围内取值,且随着算法迭代次数的增加而线性递减。对应于公式(3), ∣ A → ∣ ≥ 1 |\overrightarrow{\boldsymbol A}|≥1 A 1意味着灰狼进行全局搜索, ∣ A → ∣ < 1 |\overrightarrow{\boldsymbol A}|<1 A 1表示灰狼进行局部搜索。

    (3)种群位置更新

    通过计算灰狼优化算法的目标函数值,得到最优解、优解和次优解设置为 α \alpha α狼、 β \beta β狼和 δ \delta δ狼,其他灰狼的位置由 α \alpha α狼、 β \beta β狼和 δ \delta δ狼的位置共同决定,如公式(6)~公式(8)所示。在产生新群体后,对种群中的元素进行边界控制,完成一次迭代。重复上述过程,直到满足算法终止条件,最后输出最优解。 { D → α = ∣ C → 1 ⋅ X → α − X → ∣ D → β = ∣ C → 2 ⋅ X → β − X → ∣ D → δ = ∣ C → 3 ⋅ X → δ − X → ∣ (6) \begin{dcases}\overrightarrow{\boldsymbol D}_\alpha=|\overrightarrow{\boldsymbol C}_1\boldsymbol\cdot\overrightarrow{\boldsymbol X}_\alpha-\overrightarrow{\boldsymbol X}|\\\overrightarrow{\boldsymbol D}_\beta=|\overrightarrow{\boldsymbol C}_2\boldsymbol\cdot\overrightarrow{\boldsymbol X}_\beta-\overrightarrow{\boldsymbol X}|\\\overrightarrow{\boldsymbol D}_\delta=|\overrightarrow{\boldsymbol C}_3\boldsymbol\cdot\overrightarrow{\boldsymbol X}_\delta-\overrightarrow{\boldsymbol X}|\end{dcases}\tag{6} D α=C 1X αX D β=C 2X βX D δ=C 3X δX (6) { X → 1 = X → α − A → 1 ⋅ D → α X → 2 = X → β − A → 2 ⋅ D → β X → 3 = X → δ − A → 3 ⋅ D → δ (7) \begin{dcases}\overrightarrow{\boldsymbol X}_1=\overrightarrow{\boldsymbol X}_\alpha-\overrightarrow{\boldsymbol A}_1\boldsymbol\cdot\overrightarrow{\boldsymbol D}_\alpha\\\overrightarrow{\boldsymbol X}_2=\overrightarrow{\boldsymbol X}_\beta-\overrightarrow{\boldsymbol A}_2\boldsymbol\cdot\overrightarrow{\boldsymbol D}_\beta\\\overrightarrow{\boldsymbol X}_3=\overrightarrow{\boldsymbol X}_\delta-\overrightarrow{\boldsymbol A}_3\boldsymbol\cdot\overrightarrow{\boldsymbol D}_\delta\end{dcases}\tag{7} X 1=X αA 1D αX 2=X βA 2D βX 3=X δA 3D δ(7) X → ( t + 1 ) = X → 1 + X → 2 + X → 3 3 (8) \overrightarrow{\boldsymbol X}(t+1)=\frac{\overrightarrow{\boldsymbol X}_1+\overrightarrow{\boldsymbol X}_2+\overrightarrow{\boldsymbol X}_3}{3}\tag{8} X (t+1)=3X 1+X 2+X 3(8)

    2、莱维飞行

    “莱维飞行”以法国数学家保罗·莱维命名,指的是步长的概率分布为重尾分布的随机行走,也就是说在随机行走的过程中有相对较高的概率出现大跨步。莱维飞行的名称来源于本华·曼德博(Benoît Mandelbrot,莱维的学生)。他用“柯西飞行”来指代步长分布是柯西分布的随机行走,用“瑞利飞行”指代步长分布是正态分布(尽管正态分布没有重尾)的随机行走(瑞利分布是二维独立同方差正态变量模长的分布)。后来学者还进一步将莱维飞行的概念从连续空间推广到分立格点上的随机运动。图1是莱维飞行轨迹示意图:
    在这里插入图片描述

    图1 莱维飞行轨迹示意图

    3、嵌入莱维飞行的灰狼优化算法

    灰狼优化(Gray Wolf Optimization , GWO)算法具有不过分依赖参数设置和方便实现等优点,但GWO算法在解决复杂优化问题时仍然容易过早陷入局部极值,即出现早熟收敛的现象。为解决上述问题,Heidari提出了LGWO算法。LGWO算法对于GWO算法主要进行了三个方面的改进:

    1. δ \delta δ狼在种群中的作用被其他狼代替,即LGWO算法中只包括 α \alpha α狼, β \beta β狼和 ω \omega ω狼;
    2. 通过莱维飞行改进GWO算法;
    3. 将贪婪搜索策略应用到经莱维飞行改进的GWO算法中。

    LGWO算法的具体过程总结如下,描述如下:
    (1)种群初始化,其过程同GWO算法一致。
    (2)种群搜索,其过程同GWO算法一致。
    (3)通过计算LGWO算法的目标函数值,得到最优解 α \alpha α狼、优解 β \beta β狼,其他灰狼的位置由 α \alpha α狼和 β \beta β狼的位置共同决定,如公式(9)所示: X → ( t + 1 ) = { 0.5 × ( X → α − A → 1 D → α + X → β − A → 2 D → β ) + α ⊕ L e v i ( β ) ∣ A ∣ ≥ 0.5 0.5 × ( X → α − A → 1 D → α + X → β − A → 2 D → β )    ∣ A ∣ < 0.5 (9) \overrightarrow{\boldsymbol X}(t+1)=\begin{dcases}0.5×\left(\overrightarrow{\boldsymbol X}_\alpha-\overrightarrow{\boldsymbol A}_1\overrightarrow{\boldsymbol D}_\alpha+\overrightarrow{\boldsymbol X}_\beta-\overrightarrow{\boldsymbol A}_2\overrightarrow{\boldsymbol D}_\beta\right)+\alpha\oplus Levi(\beta)\quad|\boldsymbol A|≥0.5\\0.5×\left(\overrightarrow{\boldsymbol X}_\alpha-\overrightarrow{\boldsymbol A}_1\overrightarrow{\boldsymbol D}_\alpha+\overrightarrow{\boldsymbol X}_\beta-\overrightarrow{\boldsymbol A}_2\overrightarrow{\boldsymbol D}_\beta\right)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\,\,|\boldsymbol A|<0.5\end{dcases}\tag{9} X (t+1)=0.5×(X αA 1D α+X βA 2D β)+αLevi(β)A0.50.5×(X αA 1D α+X βA 2D β)A<0.5(9)其中, α ⊕ L e v i ( β ) ∼ 0.01 u ∣ v ∣ − β ( X → ( t ) − X → α ( t ) ) (10) \alpha\oplus Levi(\beta)\sim 0.01\frac{u}{|v|^{-\beta}}(\overrightarrow{\boldsymbol X}(t)-\overrightarrow{\boldsymbol X}_{\alpha}(t))\tag{10} αLevi(β)0.01vβu(X (t)X α(t))(10)其中, u u u v v v服从正态分布: u ∼ N ( 0 , σ u 2 ) , v ∼ N ( 0 , σ v 2 ) (11) u\sim N(0,\sigma_u^2),v\sim N(0,\sigma_v^2)\tag{11} uN(0,σu2),vN(0,σv2)(11) σ u = [ Γ ( 1 + β ) s i n ( π β 2 ) Γ ( 1 + β 2 ) β × 2 β − 1 2 ] 1 β , σ v = 1 (12) \sigma_u=\left[\frac{\Gamma(1+\beta)sin(\frac{\pi\beta}{2})}{\Gamma(\frac{1+\beta}{2})\beta×2^{\frac{\beta-1}{2}}}\right]^{\frac1\beta},\sigma_v=1\tag{12} σu=[Γ(21+β)β×22β1Γ(1+β)sin(2πβ)]β1,σv=1(12)在Heidari提出的LGWO算法中,参数 β \beta β [ 0 , 2 ] [0,2] [0,2]的随机数。
    在保留前一代解,通过公式(9)产生新群体后记为 X → n e w ( t ) \overrightarrow{\boldsymbol X}_{new}(t) X new(t),通过贪婪选择策略公式(13)进行选择判断是否保留更新后的灰狼,完成一次迭代。重复上述过程,直到满足算法终止条件,最后输出最优解。 X → ( t + 1 ) = { X → ( t ) ,      f ( X → n e w ( t ) ) > f ( X → ( t ) )    a n d    r n e w < p X → n e w ( t ) ,    o t h e r w i s e (13) \overrightarrow{\boldsymbol X}(t+1)=\begin{dcases}\overrightarrow{\boldsymbol X}(t),\quad \,\,\,\,f(\overrightarrow{\boldsymbol X}_{new}(t))>f(\overrightarrow{\boldsymbol X}(t))\,\,and\,\,r_{new}<p\\\overrightarrow{\boldsymbol X}_{new}(t),\,\,otherwise\end{dcases}\tag{13} X (t+1)={X (t),f(X new(t))>f(X (t))andrnew<pX new(t),otherwise(13)贪婪选择(GS)策略中使用“适者生存”的概念,通过用概率 p p p体现。根据这一策略,新的一次迭代中位置更优的狼可以使种群更加丰富,而新的一次迭代中位置更糟的狼则被忽视。其中 r n e w r_{new} rnew p p p [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]的随机数。通过应用贪婪选择策略,LGWO算法有更好的随机性。同时应用贪婪选择使每次迭代获得的更优位置的狼得以保留,因此LGWO算法拥有更强的搜索能力。

    二、MATLAB程序实现

    1、初始化参数

    %% 清空环境变量
    clear all 
    clc
    
    %% 初始化参数
    N = 30;   % 种群个数
    Function_name = 'F10';   % 从F1到F23的测试函数的名称(本文中的表123)
    Max_iteration = 500;     % 最大迭代次数
    

    2、LGWO

    function [Alpha_score, Alpha_pos, Convergence_curve] = LGWO(N, Max_iter, lb, ub, dim, fobj)
    %% 嵌入莱维飞行的灰狼优化算法
    % 初始化alpha, beta和delta_pos
    Alpha_pos = zeros(1, dim);
    Alpha_score = inf;  % 将此更改为-inf以解决最大化问题
    Beta_pos = zeros(1,dim);
    Beta_score = inf;   % 将此更改为-inf以解决最大化问题
    % 初始化种群位置
    Positions = initialization(N, dim, ub, lb);
    Convergence_curve = zeros(1, Max_iter);  % 收敛曲线
    l = 0;    % 循环计数器
    % 主要循环
    while l < Max_iter
        l
        for i = 1:size(Positions, 1)
            % 边界处理
            Flag4ub = Positions(i, :)>ub;
            Flag4lb = Positions(i, :)<lb;
            Positions(i, :) = (Positions(i, :).*(~(Flag4ub+Flag4lb)))+ub.*Flag4ub+lb.*Flag4lb;
    %         Positions(i, :) = max(Positions(i, :), lb);
    %         Positions(i, :) = min(Positions(i, :), ub);
            % 计算每个种群的目标函数
            fitness = fobj(Positions(i, :));
            % 更新Alpha, Beta和Delta
            if fitness < Alpha_score
                Alpha_score = fitness;        % 更新alpha
                Alpha_pos = Positions(i, :);
            elseif fitness < Beta_score
                Beta_score = fitness;           % 更新beta
                Beta_pos = Positions(i, :);
            end
        end
        a = 2-l*((2)/Max_iter);      % a从2线性减小到0    
        % 更新包括omegas在内的种群的位置
        for i = 1:size(Positions, 1)
            for j = 1:size(Positions, 2)
                r1 = rand();             % r1是[0,1]中的随机数
                r2 = rand();             % r2是[0,1]中的随机数
                A1 = 2*a*r1-a;        % 公式(4)
                C1 = 2*r2;            % 公式(5)
                D_alpha = abs(C1*Alpha_pos(j)-Positions(i, j));  % 公式(6-第一部分
    %             X1 = Alpha_pos(j)-A1*D_alpha;   % 公式 (7)-第一部分
                
                r1 = rand();
                r2 = rand();
                A2 = 2*a*r1-a;         % 公式(4)
                C2 = 2*r2;             % 公式(5)
                D_beta = abs(C2*Beta_pos(j)-Positions(i, j));   % 公式(6-第二部分
    %             X2 = Beta_pos(j)-A2*D_beta;       % 公式 (7)-第二部分
                
                Positions_old = Positions(i, :);
                A = rand();
                if abs(A) < 0.5
                    Positions(i, j) = 0.5*(Alpha_pos(j)-A1*D_alpha+Beta_pos(j)-A2*D_beta);
                else
                    beta = 2*rand();
                    sigma_u = ((gamma(1+beta)*sin(pi*beta/2))/(gamma((1+beta)/2)*beta*2^(0.5*(beta-1))))^(1/beta);
                    u = normrnd(0, sigma_u);
                    v = normrnd(0, 1);
                    alpha_levi = 0.01*u/abs(v)^(-beta)*(Positions(i, j)-Alpha_pos(j));
                    Positions(i, j) = 0.5*(Alpha_pos(j)-A1*D_alpha+Beta_pos(j)-A2*D_beta)+alpha_levi;
                end      
                % 贪婪算法选择
                rnew = rand();
                p = rand();
                if fobj(Positions(i, :)) > fobj(Positions_old) && rnew < p
                    Positions(i, :) = Positions_old;
                end 
            end
        end
        l = l+1;
        Convergence_curve(l) = Alpha_score;
    end
    

    3、结果显示

    目标函数三维立体图形如图2所示:
    在这里插入图片描述

    图2 目标函数三维立体图形

    LGWO算法各代最优解进化过程如图3所示:
    在这里插入图片描述

    图3 LGWO算法各代最优解进化过程

    4、对比分析

    LGWO算法和经典GWO算法的最优解进化过程对比图如图4所示:
    在这里插入图片描述

    图4 LGWO算法和经典GWO算法的最优解进化过程对比图

    由此可以得出:嵌入莱维飞行的灰狼优化算法比原始灰狼优化算法可以避免陷入局部最优解,并且更快收敛到全局最优。

    三、参考文献

    [1] Mirjalili S , Mirjalili S M , Lewis A . Grey Wolf Optimizer[J]. Advances in Engineering Software, 2014, 69(3):46–61.
    [2] Heidari A A , Pahlavani P . An Efficient Modified Grey Wolf Optimizer with Lévy Flight for Optimization Tasks[J]. Applied Soft Computing, 2017, 60:115-134.
    [3] 王世鹏. 无线传感器网络覆盖优化算法研究[D].吉林大学,2020.

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  • 文章目录一、理论基础1、蝗虫优化算法2、DLGOA算法(1)自适应曲线(2)位置更新策略(3)莱维飞行二、DLGOA算法的实现三、实验仿真与分析四、参考文献五、Matlab仿真程序 一、理论基础 1、蝗虫优化算法 蝗虫算法[1]...

    一、理论基础

    1、蝗虫优化算法

    蝗虫算法[1]是在研究蝗虫在自然界的群行为基础上而提出的一种基于交互力的元启发式智能算法。算法仿生原理是将幼虫期蝗虫的小范围移动行为映射为短步长的局部开发,成虫期的蝗虫大范围移动行为映射为长步长的全局探索,搜索食物源的过程即为算法的寻优过程。蝗虫的群行为可以用式(1)的数学模型来描述: X i d = c ( ∑ j = 1 j ≠ i N c u b d − l b d 2 s ( ∣ x j d − x i d ∣ ) x j − x i d i j ) + T d ^ (1) X_i^d=c\left(\sum_{\scriptstyle j = 1\atop\scriptstyle j≠i}^N c\frac{ub_d-lb_d}{2}s\left(|x_j^d-x_i^d|\right)\frac{x_j-x_i}{d_{ij}}\right)+\hat{T_d}\tag{1} Xid=cj=ij=1Nc2ubdlbds(xjdxid)dijxjxi+Td^(1)其中,式(1)中 X i d X_i^d Xid表示第 i i i只蝗虫在第 d d d维时所在位置, d d d是维度, u b d ub_d ubd l b d lb_d lbd分别是第 i i i只蝗虫在第 d d d维变量的上下界; T ^ \hat T T^为蝗虫群的目标位置,其他参数同上所述。 c = c m a x − t c m a x − c m i n T m a x (2) c=c_{max}-t\frac{c_{max}-c_{min}}{T_{max}}\tag{2} c=cmaxtTmaxcmaxcmin(2)其中,式(2)系数为线性递减,在式(1)中,外侧的系数 c c c与PSO中的惯性权重 w w w原理相似,决定蝗虫的搜索范围,为了平衡算法的全局探索和局部开发;内侧的系数 c c c决定蝗虫间之间吸引、排斥、舒适区域。式(2)中 t t t表示当前迭代次数, T m a x T_{max} Tmax为最大迭代次数, c m a x c_{max} cmax c m i n c_{min} cmin分别为参数 c c c的最大值和最小值。

    2、DLGOA算法

    (1)自适应曲线函数

    为解决易陷入局部最优这一问题,提出一种曲线函数 c ( t ) c(t) c(t)取代参数 c c c,使算法的全局探索和局部开发能力得到更好的平衡,函数定义如下: c ( t ) = ( − c m a x ) × csch ( α t ) 2 (3) c(t)=(-c_{max})×\text{csch}(\alpha t)^2\tag{3} c(t)=(cmax)×csch(αt)2(3) α = 1 T m a x ln ⁡ ( c m a x c m i n ) (4) \alpha=\frac 1{T_{max}}\ln\left(\frac{c_{max}}{c_{min}}\right)\tag{4} α=Tmax1ln(cmincmax)(4)其中, t t t是当前迭代次数, α \alpha α是中间量。从式(3)可以看出, c ( t ) c(t) c(t)仍是递减函数,根据双曲函数性质, c ( t ) c(t) c(t)前期取值较大、下降慢,能让算法在迭代前期以较大步长进行全局探索;同时在迭代后期取值较小、下降快,使得算法加快收敛速度。

    (2)位置更新策略

    为提升算法优化性能,本节引入扰动机制,通过扰动因子 v v v改变位置更新步长,使蝗虫在算法前期在较大范围内探索目标位置,更新范围也随着迭代次数的增加而随之减小,后期围绕目标值均匀分布。扰动因子能够提升寻优精度,加快DLGOA收敛速度,从而获得最优解。根据文献[2]中狮子移动方式的启发,扰动因子定义如下: v = exp ⁡ ( 1 − cos ⁡ ( τ ⋅ ( t T m a x ) ) ) (5) v=\exp\left(1-\cos\left(\tau\cdot\left(\frac{t}{T_{max}}\right)\right)\right)\tag{5} v=exp(1cos(τ(Tmaxt)))(5)其中, τ \tau τ表示扰动系数,经多次实验 τ \tau τ取值为30时,算法具有最好寻有能力。算法加入扰动因子的蝗虫位置更新的公式数学模型如式(6)。 X i d = v ⊕ [ c ( t ) ( ∑ j = 1 j ≠ i N c ( t ) u b d − l b d 2 s ( ∣ x j d − x i d ∣ ) x j − x i d i j ) + T d ^ ] (6) X_i^d=v\oplus\left[c(t)\left(\sum_{\scriptstyle j = 1\atop\scriptstyle j≠i}^N c(t)\frac{ub_d-lb_d}{2}s\left(|x_j^d-x_i^d|\right)\frac{x_j-x_i}{d_{ij}}\right)+\hat{T_d}\right]\tag{6} Xid=vc(t)j=ij=1Nc(t)2ubdlbds(xjdxid)dijxjxi+Td^(6)

    (3)莱维飞行

    GOA在求解非线性优化问题时易陷入局部收敛,全局搜索能力不足,因此在GOA中引入莱维飞行机制,基本的莱维飞行机制在寻最优过程中虽然增加了算法的全局搜索能力,但是还会存在陷入局部最优的问题,若步长因子 α \alpha α的值取值较大,虽增强了全局搜索能力,却不能求得高精度的解, α \alpha α的值设定较小,若想寻到算法理论值,算法则需要更多的迭代次数,算法的效率随之降低。
    针对以上所述问题,本文提出强化搜索的莱维飞行机制,步长 α \alpha α由固定值改为随迭代次数改变的动态步长因子,步长因子 α \alpha α定义如下: α ( t ) = t T m a x sinh ⁡ ( 1 − t T m a x ) ⋅ r (7) \alpha(t)=\frac{t}{T_{max}}\sinh(1-\frac{t}{T_{max}})\cdot r\tag{7} α(t)=Tmaxtsinh(1Tmaxt)r(7)其中, t t t是当前迭代次数, T m a x T_{max} Tmax是最大迭代次数, r r r为调节参数。经过多次实验可知当调价参数取 r = 3.83 r=3.83 r=3.83时可满足 α ( t ) ∈ [ 0 , 1 ] \alpha(t)\in[0,1] α(t)[0,1]的变化条件且强化莱维飞行策略寻到最优值。
    莱维飞行服从莱维分布,变异后的莱维飞行机制数学模型如公式(9)所示。 x i t + 1 = x i t + α ( t ) φ × μ ∣ ν ∣ 1 λ ( x i t − x b e s t ) (8) x_i^{t+1}=x_i^t+\alpha(t)\frac{\varphi×\mu}{|\nu|^{\frac1\lambda}}(x_i^t-x_{best})\tag{8} xit+1=xit+α(t)νλ1φ×μ(xitxbest)(8)其中, x i t x_i^t xit表示蝗虫在当前迭代次数的位置, x i t + 1 x_i^{t+1} xit+1表示蝗虫下一代位置, x b s e t x_{bset} xbset为当前最优解, λ \lambda λ取值为 ( 1 , 3 ) (1,3) (1,3),本文中 λ = 1.5 \lambda=1.5 λ=1.5 μ \mu μ ν \nu ν服从正态随机分布, φ \varphi φ的表达式为: φ = [ Γ ( 1 + λ ) × s i n ( π × λ 2 ) Γ ( 1 + λ 2 ) × λ × 2 λ − 1 2 ] 1 / λ (9) \varphi=\left[\frac{\Gamma(1+\lambda)×sin(\pi×\frac{\lambda}{2})}{\Gamma(\frac{1+\lambda}{2})×\lambda×2^{\frac{\lambda-1}{2}}}\right]^{1/\lambda}\tag{9} φ=[Γ(21+λ)×λ×22λ1Γ(1+λ)×sin(π×2λ)]1/λ(9)
    在这里插入图片描述

    图1 动态步长因子 α ( t ) \alpha(t) α(t)的变化曲线

    由图1所示,由于引入动态调节搜索步长,在算法中前期,因子变化率随着迭代次数成正比关系,实现种群由子空间到整体解空间进行莱维全局搜索,当算法到后期的因子变化率逐渐变小时,全局搜索减弱,局部开发能力增强,实现了莱维飞行机制的强化搜索,通过动态地调整步长,如果出现算法陷入局部最优、搜索停滞的情况,较大的步长可以使得停滞现象消失,帮助算法脱离局部极值;当蝗虫的个体接近最优解的位置时,较小取值的步长因子能使得个体加速收敛, 提升率算法效率以及寻优精度。
    虽然经过莱维飞行搜索产生的新位置能够摆脱局部最优,但并不能保证更新后的位置均匀分布在最优位置附近,故在莱维飞行机制中增加了高斯随机分布函数作为约束因子,使蝗虫种群更加均匀的分布在探索空间。约束因子定义如下: γ = N ( 0 , δ ) (10) \gamma=N(0,\delta)\tag{10} γ=N(0,δ)(10)其中, δ \delta δ为尺度参数,取值为 t / T m a x t/T_{max} t/Tmax,随着迭代次数的增加动态改变尺度参数的大小,合理的控制位置的分布。故莱维飞行的最终的位置更新方式如下: x i t + 1 = γ ( x i t + α ( t ) φ × μ ∣ ν ∣ 1 λ ( x i t − x b e s t ) ) (11) x_i^{t+1}=\gamma\left(x_i^t+\alpha(t)\frac{\varphi×\mu}{|\nu|^{\frac1\lambda}}(x_i^t-x_{best})\right)\tag{11} xit+1=γ(xit+α(t)νλ1φ×μ(xitxbest))(11)本文为使算法能够摆脱局部最优,增加种群多样性,提出服从高斯均匀分布且具有双重搜索功能的莱维飞行策略,但由于策略的随机性,更新后的位置相比于原位置未必更为优秀,策略最后通过贪婪算法的原理去判断是否更新后的位置比原位置好,如果更新位置更加有价值才更新,否则保留原位置,不执行更新。

    二、DLGOA算法的实现

    综上所述,DLGOA是在原始GOA的基础上进行改进的,通过改进参数 c c c,使之更合理的平衡全局探索和局部开发;引进扰动因子改变位置更新方式使算法产生种群多样性,最大化的遍历更多的搜索空间;针对最优位置无更新的缺陷,加入改进的莱维飞行机制,根据最优位置的引导作用,使算法不再在局部最优值附近停滞,从而使得算法的收敛速度和精度得到一定的提高。DLGOA的主要流程图如图2所示。
    在这里插入图片描述

    图2 DLGOA流程图

    三、实验仿真与分析

    为验证本文提出的改进算法的性能有效性,实验通过使用7个具有单峰与多峰等不同特征的经典测试函数在维度从5维到100维不等的环境进行验证。
    测试函数信息如表1所示,其中函数F1到F4是单峰函数即只有一个最优值,全局最优值与局部最优值相同,主要作用来测试收敛速度,从F5到F7为多峰函数,函数具有一个全局最优值以及多个局部极最优值,作用于测试求解精度。

    表1 测试函数

    在这里插入图片描述为验证本文提出的改进算法的有效寻优能力以及鲁棒性,将DLGOA与标准的GOA算法对比,以及其他群智能算法如蚁狮算法(ALO)、灰狼优化算法(GWO)、樽海鞘群算法(SSA)在7个测试函数作比较,其中ALO、GWO和SSA的参数设置如表2所示,为避免实验的偶然性,7个测试函数每个独立运行30次,每次运行迭代500次。

    表2 参数设置

    在这里插入图片描述下图分别为F1~F7的对比曲线。
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述5种算法的最大值、最小值、平均值及标准差显示如下:

    函数:F1
    DLGOA:最大值: 0,最小值:0,平均值:0,标准差:0
    GOA:最大值: 1.073e-07,最小值:1.7843e-09,平均值:1.9858e-08,标准差:2.141e-08
    GWO:最大值: 2.3095e-108,最小值:9.9771e-117,平均值:2.0997e-109,标准差:5.2645e-109
    ALO:最大值: 1.04e-09,最小值:8.4468e-11,平均值:4.4824e-10,标准差:2.3788e-10
    SSA:最大值: 2.77e-10,最小值:2.4202e-11,平均值:1.168e-10,标准差:7.4797e-11
    函数:F2
    DLGOA:最大值: 0,最小值:0,平均值:0,标准差:0
    GOA:最大值: 1.1067,最小值:0.00017726,平均值:0.048935,标准差:0.20332
    GWO:最大值: 7.1488e-36,最小值:3.6577e-39,平均值:5.5919e-37,标准差:1.412e-36
    ALO:最大值: 12.2131,最小值:1.7735e-05,平均值:0.79474,标准差:2.3738
    SSA:最大值: 1.7382,最小值:4.874e-06,平均值:0.058307,标准差:0.31728
    函数:F3
    DLGOA:最大值: 0,最小值:0,平均值:0,标准差:0
    GOA:最大值: 128033.0586,最小值:22415.6347,平均值:70715.1826,标准差:27608.2538
    GWO:最大值: 15706.4614,最小值:1105.5037,平均值:7238.9247,标准差:4206.2046
    ALO:最大值: 117645.3825,最小值:43595.4675,平均值:73690.5692,标准差:18375.0711
    SSA:最大值: 70161.7313,最小值:26012.6058,平均值:48173.7517,标准差:11516.4866
    函数:F4
    DLGOA:最大值: 0,最小值:0,平均值:0,标准差:0
    GOA:最大值: 32.9264,最小值:17.2011,平均值:22.7723,标准差:3.318
    GWO:最大值: 1.3017,最小值:0.013917,平均值:0.14249,标准差:0.24164
    ALO:最大值: 34.8224,最小值:17.7242,平均值:24.2902,标准差:3.8981
    SSA:最大值: 28.3476,最小值:14.1615,平均值:20.4866,标准差:4.0111
    函数:F5
    DLGOA:最大值: 0,最小值:0,平均值:0,标准差:0
    GOA:最大值: 251.7836,最小值:37.548,平均值:98.2283,标准差:44.4438
    GWO:最大值: 142.5752,最小值:3.6104,平均值:26.5268,标准差:23.8058
    ALO:最大值: 138.2987,最小值:30.8454,平均值:80.3937,标准差:24.8776
    SSA:最大值: 101.4856,最小值:28.8538,平均值:58.0392,标准差:19.7758
    函数:F6
    DLGOA:最大值: 8.8818e-16,最小值:8.8818e-16,平均值:8.8818e-16,标准差:0
    GOA:最大值: 3.0271,最小值:0.00049961,平均值:1.1566,标准差:1.0966
    GWO:最大值: 4.4409e-15,最小值:8.8818e-16,平均值:1.2434e-15,标准差:1.084e-15
    ALO:最大值: 2.0133,最小值:1.9007e-05,平均值:0.19905,标准差:0.53316
    SSA:最大值: 2.3168,最小值:1.0046e-05,平均值:0.44684,标准差:0.79269
    函数:F7
    DLGOA:最大值: 0,最小值:0,平均值:0,标准差:0
    GOA:最大值: 0.7208,最小值:0.15776,平均值:0.33984,标准差:0.14689
    GWO:最大值: 0.067406,最小值:0,平均值:0.013424,标准差:0.018273
    ALO:最大值: 0.054994,最小值:0.00051234,平均值:0.020235,标准差:0.013656
    SSA:最大值: 0.076091,最小值:5.4393e-08,平均值:0.019514,标准差:0.018644
    

    结果验证,本文的算法具有较强的鲁棒性,早熟现象的发生被有效地避免,改进了蝗虫算法求解精度不高的问题,同时算法的有效性和稳定性也得到了验证。

    四、参考文献

    [1] Saremi S, Mirjalili S, Lewis A. Grasshopper Optimisation Algorithm: Theory and application[J]. Advances in Engineering Software, 2017, 105: 30-47.
    [2] 刘生建, 杨艳, 周永权. 一种群体智能算法——狮群算法[J]. 模式识别与人工智能, 2018, 31(5): 431-441.
    [3] 杨文珍, 何庆, 杜逆索. 具有扰动机制和强化莱维飞行的蝗虫优化算法[J/OL]. 小型微型计算机系统: 1-9[2021-05-25].

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  • 在CS算法中,有两个路径(或者说成是两个位置的更新)备受关注: 一个是布谷鸟寻找鸟窝下蛋的寻找路径是采用早已就有的萊维飞行3,如上图所示,无敌的走位是一种长步长与短步长相间的走位,这其实就是萊维飞行的主要...

    1 从布谷鸟的育雏到布谷鸟算法

    8d1ffeb81f1773a0bdce50b4f21e3919.png

    布谷鸟不会做窝,也不会育雏,在春末夏初,向北飞,趁别的鸟(宿主鸟)外出觅食时,将卵蛋产在宿主鸟窝里,让宿主鸟抚养自己孩子 。当然,布谷鸟在产卵前,为了不被宿主鸟发现鸟窝的异常,会把宿主的卵移走。而一旦靠养母孵化的雏鸟,也有将宿主鸟本身的雏鸟推出巢穴的本性,并且会模仿其他鸟的行为来增大不被宿主鸟发现的概率1

    2009年,Xin-She Yang2 与Suash Deb在《Cuckoo Search via Levy Flights》一文中提出了布谷鸟算法(简称CS)。假设每只布谷鸟一次只产一枚卵 ,并且宿主鸟发现外来鸟蛋后,就舍弃该鸟窝,另寻他地建造新的鸟窝 ,那么可以认为 :鸟窝=卵蛋=解,卵蛋是否能够成功被宿主鸟孵化并茁长成长是衡量解好坏的唯一标准 。布谷鸟寻找鸟窝下蛋的过程就是在D维空间中寻找解的过程 ,而鸟窝的好坏象征着解的好坏。

    2 布谷鸟算法

    布谷鸟算法是布谷鸟育雏行为和萊维飞行结合的一种算法 。

    f8be42e5000e33f356002883a2f441c6.png

    在CS算法中,有两个路径(或者说成是两个位置的更新)备受关注:

    一个是布谷鸟寻找鸟窝下蛋的寻找路径是采用早已就有的萊维飞行3,如上图所示,无敌的走位是一种长步长与短步长相间的走位,这其实就是萊维飞行的主要特点,学者们也证实了自然界中很多鸟类的飞行也遵从萊维飞行,这也是最有效寻找目标的方法之一 。所以采用萊维飞行更新鸟窝位置的公式被定义如下:

    Xt+1=Xt+α⨂Levy(β)Xt+1=Xt+α⨂Levy(β) , 公式(1)

    其中 , αα是步长缩放因子,Levy(β)Levy(β)是萊维随机路径,⨂⨂ 就是.∗.∗运算

    另一个是宿主鸟以一定概率Pa发现外来鸟后重新建窝的位置路径,这个路径可以用萊维飞行或者随机方式4,(本文采用随机) , 除此之外,这个位置普遍采用偏好随机游动的方式,即利用了其他鸟窝的相似性5。所以新建的鸟窝的位置的公式被定义如下:

    Xt+1=Xt+r⨂Heaviside(Pa−ϵ)⨂(Xi−Xj)Xt+1=Xt+r⨂Heaviside(Pa−ϵ)⨂(Xi−Xj), 公式(2)

    其中,r,ϵr,ϵ 是服从均匀分布的随机数,Heaviside(x)Heaviside(x) 是跳跃函数(x>0,=1;x<0,=0) , Xi,XjXi,Xj 是其他任意的连个鸟窝。

    CS算法的执行过程如下:

    d3c523b3e533b86bb5852779dc5d252e.png

    3 萊维飞行与公式(1)的深层含义

    从数学的发展史上说,早在1937年, P. Levy6确定了对称Levy稳定分布的积分形式为Levy(s)=1π∫+∞0exp(−β|k|λ)cos(ks)dkLevy(s)=1π∫0+∞exp(−β|k|λ)cos(ks)dk ,但是该积分并没有明确的解析,要生成一个服从该分布的随机数是难上加难的问题,不过当s≫s0>0,即s→∞s≫s0>0,即s→∞时, Levy(s)≈λβΓ(λ)sin(πλ2)π.1s1+λLevy(s)≈λβΓ(λ)sin(πλ2)π.1s1+λ,通常β=1β=1 。这个近似的分布呈现幂律行为(重尾或长尾巴),这个行为类似于二八原则[^6],或者说少部分人集中了世界大部分的财富,正如下图所示的,这个分布总是有一个长尾巴或者称之为重尾巴,有时也叫做一个翼。

    c516d4b57f5a324198348811a7a27c1a.png

    萊维飞行的方差随时间呈现指数的关系,即σ2(t)~t3−β,1≤β≤3σ2(t)~t3−β,1≤β≤3,所以萊维飞行比布朗运动更加的出色。

    此后,不少学者根据这个近似部分提出很多用于生成服从萊维分布的随机数的实现方法,其中就包含了Mantegna7在1994年提出的一种用正太分布求解随机数的方法,有时也叫Mantegna方法,生成服从萊维分布的随机步长的方法如下:

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空空如也

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莱维飞行