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  • 抽象的 这项任务是使用解析定理证明者实现自动推理,该定理证明者可用于通过否定证明从命题知识库(KB)进行推论。...在给定条件下,我在“ Sammy.kb”和“ ss.kb”中定义了命题逻辑。 Sammy.kb C1Y C2Y C3Y C1
  • 展示命题逻辑应用的5个场景,需求描述,需求一致性验证,信息检索,判断条件,按位运算和机器证明使用的消解
  • 人工智能数学基础(一) 命题逻辑与谓词逻辑 类智能在计算机上的模拟就是人工智能 而智能的核心是思维,因而如何把人们的思维活 动形式化符号化,使其得以在计算机上实现, 就成为人工智能研究的重要课题在这方面,逻 辑的...
  • 命题逻辑详解

    2021-03-12 19:26:21
    命题逻辑详解 文章目录命题逻辑详解一.命题逻辑的基本概念1.命题与真值2.原子命题与复合命题二.命题逻辑公式的语法1.命题逻辑公式的归纳定义:2.抽象语法树3.子公式:4.语法性质5.命题逻辑公式的简写三.命题逻辑公式...

    命题逻辑详解


    命题之间的真值关系是逻辑研究的基本问题。

    一.命题逻辑的基本概念

    1.命题与真值

    命题:是具有真假值的陈述句,或为真,或为假。

    注意:以下两种陈述句不是命题:

    ​ 1)含有变量的句子。(如:x是5的倍数)

    ​ 只有确定了x是某类事物中的具体个体,或对x使用量词进行量化之后才能得到命题。(如:存在整数x,使 x是5的倍数)

    ​ 2)被认为是悖论的句子。(如:我说的这句话是假的)这个句子就没有真值。

    真值:命题的真假值。一个为真,一个为假,即{0,1}或{F,T}

    2.原子命题与复合命题

    原子命题:其中没有逻辑联结词,不再进行分解。又称为简单命题。

    复合命题:可以分解出更简单的命题作为子命题,其真值由子命题的真值唯一确定。

    注意:原子命题的真值由它是否符合客观实际或是否符合人们的认知决定;复合命题的真值由原子命题的真值和逻辑联结词的性质决定。

    二.命题逻辑公式的语法

    命题逻辑公式的符号集包括元素: ∧和 , ∨或 , →蕴含 , ↔双蕴含 , ¬否 和左右圆括号(,)这两个辅助符号。

    1.命题逻辑公式的归纳定义:

    1)归纳基:每个命题变量都是命题逻辑公式;

    2)归纳步:(i)如果A是命题逻辑公式,则(¬A)(否定式)也是命题逻辑公式;(ii)如果A和B是命题逻辑公式,则(A∧B)(合取式),(A∨B)(析取式),(A →B)(蕴含式),(A↔B)(双蕴含式)都是命题逻辑公式。

    2.抽象语法树

    定义:将公式的构造用二叉树表示,称为抽象语法树,简称AST

    优点:可以快速判断公式类型(由最后一步所使用的逻辑运算符决定);可以容易的给出每一步的公式构造。

    3.子公式:

    定义:构造命题逻辑公式是用到的公式称为子公式,包括其本身。它的每个子公式对应抽象语法树里的一棵子树。

    4.语法性质

    1)任意命题逻辑公式包含的左圆括号数等于右圆括号数,等于公式的逻辑运算符数。(可由结构归纳法证明)

    2)如果一个命题逻辑公式不是命题变量,则作为符号串存在且仅存在一个点满足:这个位置的字符是逻辑运算符;它左边的子符号串以左圆括号开头,其中左圆括号比右圆括号多一个,其右边以右圆括号结束,其中右圆括号比左圆括号多一个。

    p.s.性质二给出了判断一个符号串是否为命题逻辑公式的方法:扫描找到该位置,分为左子串和右子串,再分别递归判定,直到不存在这样的位置。

    5.命题逻辑公式的简写

    为了避免使用圆括号,人们规定了运算符的优先级结合性

    1)逻辑运算符从高到低的顺序: ¬,∧ , ∨ , → , ↔

    2)规定:∧ , ∨ ,↔从左至右结合,→从右至左结合

    三.命题逻辑公式的语义

    这里所说的命题逻辑公式的语义是指如何确定命题逻辑公式的真值。

    一个命题逻辑公式的真值计算过程后序遍历抽象语法树的过程,即由叶子顶点的命题变量的真值得到它的父亲节点对应公式的真值,然后再得到上一层内部顶点对应公式的真值等,一直到根的对应公式,即整个公式的真值。

    1.命题逻辑公式的真值表

    定义:以表格的形式给出公式在任意真值赋值下的真值。

    性质:命题逻辑公式的真值只与它包含的命题变量得真值有关,因此含有n个命题变量的公式的真值表有2^n行

    **p.s.**关于蕴含式(易错):A →B,当A真值为假时,蕴含式的真值为真;当A的真值为真时,蕴含式的真值等于B的真值

    2.命题逻辑公式的分类

    从真值情况进行分类:1)永真式(重言式)2)矛盾式(永假式)3)偶然式(非永真的可满足式)

    判断一个命题逻辑公式是否为永真式的基本方法是构造该公式的真值表。若最后一列都为1,则是永真式。

    定理:设命题逻辑公式A是永真式,p是在A中出现的一个命题变量,则使用任意命题逻辑公式B替换A中出现的 所有p,得到的公式A’也是永真式。

    四.命题逻辑的等值演算

    命题逻辑的等值演算是判断这两个命题逻辑公式是否逻辑等值的基本方法。

    1.逻辑等值定义:

    对任意的真值赋值,命题逻辑公式A和B的真值都相同,则称A和B逻辑等值,简称等值,记为A ≡ B

    也称A ≡ B为逻辑等值式。(注意不是命题逻辑公式)

    例如:命题逻辑公式p→q与 ¬p∨q等值

    p.s.(技巧)

    1)验证两个命题逻辑公式是否逻辑等值的基本方法是构造这两个公式的真值表,比较在相同的真值赋值下真值是否相同

    2)逻辑运算或,与满足交换律结合律幂等律

    3)逻辑等值有传递性

    2.定理:

    1)A ≡ B当且仅当公式A↔B是永真式。

    2)设命题逻辑公式B是A的子公式,且B与B‘逻辑等值。假若使用B’置换公式A的一处或多处子公式B得到的式子是A‘,则A与A’逻辑等值。

    3.等值演算

    定义:为验证A ≡ B,只要将A变换到与它等值的A‘,再变换,直到变换为B;或从B等值变换为A;或将A和B都等值变换为C。这样的等值变换过程称为等值演算。

    4.命题逻辑公式的范式

    定义

    析取范式:是一个或多个合取式的析取,其中的合取式都是一个或多个文字的合取;文字指命题变量或命题变量的否定。这种一个或多个文字的合取的公式称为简单合取式。

    合取范式: 是一个或多个析取式的合取,其中的析取式都是一个或多个文字的析取。这种一个或多个文字的析取的公式称为简单析取式。

    注意:每个命题逻辑公式都有与它逻辑等值的析取范式和合取范式。而且是唯一的(化简以后更容易判断真值^^)

    极小项:若含有n个命题变量的合取式恰好是n个文字的合取,每个文字对应不同的命题变量,该合取式称为极小项。含有n个命题变量的主析取范式公式是零个或多个极小项的析取。

    极大项:若含有n个命题变量的析取式恰好是n个文字的析取,每个文字对应不同的命题变量,该析取式称为极大项。含有n个命题变量的主合取范式公式是零个或多个极大项的析取。

    p.s.永真式没有成假赋值,因此其主合取范式不含有任何极大项。

    ​ 可以说一个与公式逻辑等值的主析取范式与主合取范式是该公式的真值表的另一种表达形式

    ​ 公式包含的命题变量比较多时,列真值表的计算量大,利用等值演算可能更方便。

    ​ 极大项和极小项的概念可以类比线性代数中的最小线性无关向量集合等。

    公式的主析取范式的极小项编码与其主合取范式的极大项编码集互补。(看成二进制的互为反码)

    五.命题逻辑的推理理论

    推理:是从一组做为前提的命题得到一个作为结论的命题的过程。如果这个过程能够保证当前所有前提都为真的情况下得到的结论必然为真,则称推理是有效的。

    1.推理的有效性

    定义:称推理A,B,C,…,N X是有效的,若(AvB∧Cv…vN)→X是永真式。

    **注意:推理的有效性并不保证结论是真的!**因为不能保证前提是真的。

    2.命题逻辑的自然推理系统

    构造真值表法和等值演算法都可用于验证推理的有效性。

    但是构造真值表效率太低,等值演算法不贴近人们的日常生活,对人们的构造和分析有效推理缺乏指导意义。

    **命题逻辑的自然推理系统的特点:**1)引入中间结论进行分解。2)运用公理化思维方式,套用推理规则。

    推理规则的实例:分别使用具体的命题逻辑公式替换推理规则中的每个字母的所有出现后得到的推理。

    3.构造验证推理有效性的论证

    验证推理有效性的论证的构造从某种程度上就是归纳构造。利用中间结论,可以从推理论证开始进行分析。

    **注意:**只能利用具体的公式替换规则中的字母,不能替换规则中的子公式。

    **后序遍历:**遍历树的顶点时只要保证在所有以儿子顶点为根的子树遍历以后才遍历父亲顶点即可。

    **p.s.**推理的每一步应该清楚所用的规则或原理,以注释的形式标注(不能跳步!!!

    ​ 可以使用附加前提法反证法

    六.命题逻辑的应用

    1.自然语言命题的符号化

    自然语言命题转换为逻辑公式的过程也称为自然语言命题的符号化。命题逻辑公式由命题变量和逻辑运算符构成。

    转化过程:

    1)判定命题

    2)找原子命题

    3)不同的原子命题用不同的命题变量符号表示

    4)分析句子中逻辑联结词所表达的逻辑含义

    2.普通逻辑问题的符号化分析

    逻辑按照其历史发展阶段和类型可以分为传统逻辑和现代逻辑,从17世纪末德国哲学家莱布尼茨提出用数学方法处理演绎逻辑从而诞生数理逻辑之前的逻辑学称为传统逻辑学,数理逻辑诞生以来的逻辑学称为现代逻辑

    我们将在传统逻辑中用自然语言分析和求解的问题称为普通逻辑问题。

    常见的三种问题:

    1)给出一些条件,寻找满足这些条件的情况或方案。(利用等值演算法)

    2)给出从一些前提得到一个结论的推理,验证推理的有效性(利用推理理论)

    3)给出一些前提,讨论从这些前提出发通过有效的推理将得到怎样的结论(利用推理理论)

    3.算法性质的逻辑分析

    程序设计语言中的条件表达式就是逻辑公式。条件就是具有真假值的命题。

    辑**问题。

    常见的三种问题:

    1)给出一些条件,寻找满足这些条件的情况或方案。(利用等值演算法)

    2)给出从一些前提得到一个结论的推理,验证推理的有效性(利用推理理论)

    3)给出一些前提,讨论从这些前提出发通过有效的推理将得到怎样的结论(利用推理理论)

    3.算法性质的逻辑分析

    程序设计语言中的条件表达式就是逻辑公式。条件就是具有真假值的命题。

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  • 命题逻辑 proposition

    2019-05-13 16:26:57
    Propositional calculus - Wikipedia
  • 一阶逻辑:First-order Logic。...一阶逻辑不同于单纯的“命题逻辑”,因为,一阶逻辑里面使用了任意和存在。举一个一阶逻辑表达式的例子: ∃x(Math(x)) → Prof(x) 其表示:存在一个x,x是数学老师, ...

    本文介绍命题逻辑(很少部分人叫它作零阶逻辑). 、一阶逻辑和二阶逻辑。这些形式推理的逻辑系统表达与推理能力依次增强。

    命题逻辑

    命题逻辑:propositionnal logic

    命题

    命题有真假,所以能称得上是命题的句子有一定的特点,比如不是一个问句,肯定是一个陈述句,进一步,即使是陈述句,也未必是命题。即命题是具有真假值的陈述句。

    一般,我们去判断一个陈述句是不是命题,只要想想这个陈述句是不是有判断的意味即可。比如"5<2"是一个命题,而且是一个假命题。再如“我比我爸爸年纪小"是命题,而且是一个真命题。但是,有的时候判断一个命题是难的,比如著名的“说谎者悖论”,"我在说谎“是命题吗?答案:这个是悖论,不是命题。
    悖论是指同一命题中有两个对立结论,而两个结论都能自圆其说。即:事件P可以推导出事件非P;事件非P可以推导出事件P
    “我在说谎”:
    如果是真的,则“我在说谎”本身就是一个慌,与真的矛盾。
    如果是假的。则“我在说谎”则是一个谎言,与假的又矛盾。

    命题逻辑

    我们确定一个命题之后,为了形式化,将这些命题都用小写字母 p , q , r p,q,r p,q,r表示。然后我们使用命题连接词,将上述 p , q , r p,q,r p,q,r组合成更加复杂的命题,称为命题公式,此时 p , q , r p,q,r p,q,r则称为命题变元或者原子命题(即不可再分)。我们也可以把这一过程形式化为 α = f ( p , q , r ) \alpha=f(p,q,r) α=f(p,q,r)
    命题连接词:常用的有如下五个,非,且(合取),或(析取),蕴含(推出),等价(当且仅当)
    在这里插入图片描述
    例子:
    α = f ( p , q , r ) = p ∧ q ∧ r \alpha=f(p,q,r)=p \wedge q \wedge r α=f(p,q,r)=pqr,则若 ( p , q , r ) = ( 1 , 1 , 0 ) (p,q,r)=(1,1,0) (p,q,r)=(1,1,0),则命题公式 α \alpha α为假。

    对于一个命题公式,我们可以构造一个真值表,例如对于 α = f ( p , q , r ) = p ∧ q \alpha=f(p,q,r)=p \wedge q α=f(p,q,r)=pq

    pq α \alpha α
    000
    010
    100
    111

    指派(assignment)和解释(interpretation)的概念:设 α = f ( p 1 , ⋯   , p n ) \alpha=f(p_1,\cdots,p_n) α=f(p1,,pn),其可以绘制其真值表,(同样,最后一列是因变量 α \alpha α的值)。那么指派和解释为:
    在这里插入图片描述

    一阶逻辑

    作为命题逻辑向一阶逻辑的过渡,请看如下经典3段论

    所有人都会死
    苏格拉底是人
    所以苏格拉底会死

    这个逻辑关系能否用命题逻辑表达?我们先定义:

    p:所有人都会死
    q:苏格拉底是人
    r:苏格拉底会死

    似乎看起来不错,为了表达原文中的因果关系,有: ( p ∧ q ) → r (p\wedge q) \rightarrow r (pq)r,这个逻辑表达式似乎也还行,但是只把原文的表层意思表达了出来。
    如果用上述来表达原文的话,那么我问你,记命题变元 s s s为:

    s:小明是人
    t:小明会死

    你能够得到什么结论?从原文的话,我们可以得出 t t t:小明会死的结论,但是如果你忘记原文,只从用命题逻辑的角度推理,完全无法根据 ( p ∧ q ) − > r (p\wedge q) ->r (pq)>r s s s推出 t t t

    现在我们考虑使用一阶逻辑(First-order Logic)。其也是一种形式符号推理系统,也叫一阶谓词演算、低阶谓词演算(Predicate Calculus)、限量词(Quantifier)理论,也有人称其为“谓词逻辑”,虽然这种说法不够精确。总之,不管怎么说,一阶逻辑就是一种形式推理的逻辑系统,是一种抽象推理的符号工具。

    一阶逻辑不同于单纯的“命题逻辑”,因为,一阶逻辑里面使用了任意和存在。举一个一阶逻辑表达式的例子:

    ∃x(Math(x) → Prof(x))

    其表示:存在一个x,如果x是数学老师,那么x是教授。

    再举一个例子如下:

    ∀ \forall x(Math(x) → Prof(x))

    其表示:任意一个x,如果x是数学老师,那么x是教授。

    看完了上面两个例子之后,大家如果静下心来想一想,不难发现,其特点在于:将命题逻辑中命题的一些名词给变量化了。为了以示区别,再举例如下:

    命题逻辑中的表示:

    小明是一位数学家
    p:小明是一位数学家

    一阶逻辑中的表示:

    小明是一位数学家
    math(小明)。其中math(x)表示:x是一位数学家。

    这个时候,我们能够慢慢发现一阶逻辑的强大,为了证明这一点,我们可以将前面的三段论使用一阶逻辑进行完美的表示。

    所有人都会死
    苏格拉底是人
    所以苏格拉底会死
    定义:
    die(x):x会死
    people(x):x是人
    那么上述三段论可以表示为:
    ∀ \forall x (people(x)-> die(x))
    people(“苏格拉底”)->die(“苏格拉底”)

    这一次,如果小明是人,那么有people(“小明”),我们根据 ∀ \forall x (people(x) → \rightarrow die(x)),可以推导出die(“小明”),即小明会死。这次总算完美解决了。

    相关概念

    谓词:一个含有变量的命题,例如上述math(x)。

    谓词符号:就是上述的math,die之类的。只是通常我们习惯用大写表示比如:F,G,H,但是随便用也行。

    函数符号:这个我们早已熟悉。通常用小写表示f,g,h,但是随便也行,比如我们构造函数的时候,也用过F啊。

    谓词符号和函数符号非常相似,只是在映射上,函数更加宽泛 f : A − > B f:A->B f:A>B,而谓词更加狭窄 F : D − > E = { 0 , 1 } F:D->E=\{0,1\} F:D>E={0,1},比如people("桌子”)是假的,所以为0。

    谓词:
    个体域:即谓词中变量的取值范围。比如math(x),x的取值范围是人这种类型的个体。
    个体域可是有限的,也可以是无限的。

    二阶逻辑

    有了一阶逻辑的概念之后,二阶逻辑水到渠成。假设你要将如下语句翻译成逻辑:

    Leibniz Law: “对于任意个体x和y, 只要x和y相等, 那么x,y具有相同的性质”

    那么显然,翻译如下:

    P(z):z具有性质P。
    E(u,v):u和v相等。
    那么从而翻译为:
    ∀ x , y [ E ( x , y ) → ∀ P ( P ( x ) ↔ P ( y ) ] \forall x,y \quad [E(x,y)\rightarrow \forall P(P(x)\leftrightarrow P(y)] x,y[E(x,y)P(P(x)P(y)]

    看到上面我给出的表示,细心的人应该能够发现,这次量词符号竟然作用在谓词符号上 ∀ P \forall P P,之前我们在一阶谓词中只允许量词作用在个体上,例如 ∀ x P ( x ) \forall x \quad P(x) xP(x)。这就是一阶逻辑和二阶逻辑的区别。

    对了,上面的表示非常完美,读者应当细细品味。

    其他逻辑系统

    模糊逻辑

    对于命题逻辑,一个命题要么为真,要么为假,而不存在模糊地带,即是一个二值逻辑。如今为了增强表达能力,当值域大小不止为2时,称为多值逻辑,或模糊逻辑。

    参考资料:
    https://blog.csdn.net/kyle1314608/article/details/105167193/?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-baidujs_baidulandingword-0&spm=1001.2101.3001.4242

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  • 在n值Lukasiewicz命题逻辑系统中引入了公式集F(S)上真度函数的公理化定义,给出了真度函数的若干重要性质,利用真度函数从形式上定义了相似度和伪距离,建立了逻辑度量空间,为从语构的角度展开近似推理提供了一种...
  • 本资料为原书第2版PDF转为WORD形式而成,仅供学习参考!
  • 离散数学命题逻辑习题答案PPT课件.pptx
  • 本资料由离散数学-屈婉玲版原书第二版的PDF文件整理而成,仅供学习参考
  • 命题逻辑和谓词逻辑的异同

    千次阅读 2020-04-25 10:49:08
    转载自:... 关键词:命题逻辑、谓词逻辑、一阶谓词逻辑、 “所有个体”、“存在个体”中,量词加在论域的个体上,称为一阶量词。  在一阶逻辑中使用的量词...

    转载自:https://blog.csdn.net/bruceyang2009lzu/article/details/7089130

    “所有个体”、“存在个体”中,量词加在论域的个体上,称为一阶量词。

     在一阶逻辑中使用的量词仅限于一阶量词。

    “所有函数”、“存在函数”、“所有关系”和“存在关系”是二阶量词。

    此外还有更高阶的量词。相应地也有二阶逻辑、高阶逻辑

    命题逻辑:命题逻辑以逻辑运算符结合原子命题来构成代表“命题”的公式,以及允许某些公式建构成“定理”的一套形式“证明规则”。(相对于谓词逻辑,它是量化的并且它的原子公式是谓词函数;和模态逻辑,它可以是非真值泛函的。)

    命题逻辑只考虑逻辑连接词的逻辑特性不考虑命题本身,谓词逻辑既考虑连接词的逻辑特性,还深入分析到命题内部考虑谓词及其量词的逻辑特性

    谓词逻辑:

     形式逻辑的最根本部分,也是最基本的逻辑系统或理论。在谓词逻辑中,除研究复合命题的命题形式、命题联结词的逻辑性质和规律外,还把命题分析成个体词、谓词和量词等非命题成分,研究由这些非命题成分组成的命题形式的逻辑性质和规律。谓词逻辑把命题逻辑作为子系统,但为了研究方便,同时也由于它具有某些重要的特殊性质,命题逻辑通常又作为一个独立的系统先研究,而在谓词逻辑部分则集中研究由非命题成分组成的命题形式和量词的逻辑性质与规律。只包含个体谓词和个体量词的谓词逻辑称为一阶谓词逻辑,简称一阶逻辑,又称狭义谓词逻辑。此外,还包含高阶量词和高阶谓词的称为高阶逻辑。谓词逻辑也分为经典的谓词逻辑和非经典的谓词逻辑,后者包括作为子系统的非经典的命题逻辑。经典的一阶谓词逻辑是谓词逻辑的基本部分

    1、命题逻辑显然可以看作谓词逻辑的一个子集。因为谓词逻辑中一般是允许出现0元谓词的。全部由0元谓词的构成的公式就是命题逻辑公式了。

    2、正如前面庄老师所说,当论域为一个大小确定的有限集时,一个谓词公式可以等价地转化成一个命题逻辑公式。当不特别说明论域(即,只在语法层面上讨论,不涉及语义),或论域的大小不是一个确定的自然数时,就不存在一般的转化方法了。
    例如,公式“对所有x(P(x)->Q(x))”。如果已知论域为{a[1],a[2],…,a[n]}。则可以把P(a[1]),Q(a[1]),P(a[2]),Q(a[2]),……,P(a[n]),Q(a[n])看作2N个命题(即,定义命题P_i为:P(a[i])为真,定义命题Q_i为:Q(a[i])为真),从而原来的谓词公式就成了
    (P_1->Q_1)∧(P_2->Q_2)∧……∧(P_n->Q_n)。
    如果不满足“论域为一个大小确定的有限集”这个条件,上述谓词逻辑公式显然无法等价地转化成一个命题逻辑公式。

    3、关于“命题逻辑与谓词逻辑的内容”、“两者表示知识的方法及其推理方法”、“命题逻辑与谓词逻辑的内在联系及区别”,推荐你找几本数理逻辑的书来看一下,许多逻辑书上都有介绍。

    4、一阶谓词逻辑是命题逻辑的推广,二阶谓词逻辑是一阶谓词逻辑的推广。命题逻辑的可满足性问题是NP-Complete的,一阶谓词逻辑的可满足性问题不可判定的。

    5、关于语法和语义、公式和解释、语言和模型、规则和真值的关系,建议看一些从模型论方面介绍数理逻辑的书(最近出的新书有沈恩绍先生的《集论与逻辑——面向计算机科学》、Michael Huth和Mark Ryan的《Logic in Computer Science: Modelling and Reasoning about Systems》)。


    参考文献:http://zhidao.baidu.com/question/149211533.html

        http://baike.baidu.com/view/448614.htm

          http://202.116.45.198/ljx/ljx/bbsxp/ShowPost.asp?id=49

    展开全文
  • 为提高格值逻辑系统中α-归结原理的效率,将语义归结思想和α-归结原理相结合,讨论了格值逻辑系统的α-语义归结方法,并得到了其可靠性和完备性,为基于格值逻辑的归结自动推理算法作了必要的准备。
  • 命题逻辑的推理理论

    2017-10-19 20:20:16
    南开大学离散数学上课时用的课件,内容翔实,具有很大的用处
  • 在二值命题逻辑系统中引入了公式的T-真度概念,并讨论其逻辑运算性质。以此为基础定义了公式的T-相似度和T-伪距离,得到了公式到有限理论结论集的T-伪距离的T-真度表示式,为研究二值命题逻辑系统基于T-真度的近似...
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    叮嘟!这里是小啊呜的学习课程资料整理。好记性不如烂笔头,今天也是努力进步的一天。一起加油进阶吧!
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    一、前言

    《离散数学》的学习已经过去蛮久了,突然发现还有一些简单概念又变得模糊起来。这里区分小记Mark一下。

    水平有限,如有错误,欢迎指正。
    

    二、概念梳理

    1、数理逻辑

    数理逻辑,是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科,属形式逻辑形式上符号化、数学化的逻辑,本质上仍属于知性逻辑的范畴。
    数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。它既是数学的一个分支,也是逻辑学的一个分支。其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是基础数学的一个不可缺少的组成部分。虽然名称中有逻辑两字,但并不属于单纯逻辑学范畴。

    简而言之,数理逻辑就是精确化、数学化的形式逻辑。
    用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑,也叫做符号逻辑。
    

    (1)数理逻辑包括哪些内容呢?

    广义上,数理逻辑包括集合论、模型论、证明论、递归论。这里我们先介绍它的两个最基本的也是最重要的组成部分,就是“命题演算”“谓词演算”

    命题演算是研究关于命题如何通过一些逻辑连接词构成更复杂的命题以及逻辑推理的方法。
    命题是指具有具体意义的又能判断它是真还是假的句子。

    谓词演算也叫做命题涵项演算
    在谓词演算里,把命题的内部结构分析成具有主词谓词的逻辑形式,由命题涵项、逻辑连接词和量词构成命题,然后研究这样的命题之间的逻辑推理关系。

    (2)数理逻辑体系

    数理逻辑的主要分支包括:
    逻辑演算(包括命题演算和谓词演算)、模型论、证明论、递归论和公理化集合论。
    

    数理逻辑和计算机科学有许多重合之处,两者都属于模拟人类认知机理的科学。许多计算机科学的先驱者既是数学家、又是逻辑学家,如阿兰·图灵、邱奇等。

    程序语言学、语义学的研究从模型论衍生而来,而程序验证则从模型论的模型检测衍生而来。

    柯里——霍华德同构给出了“证明”和“程序”的等价性,这一结果与证明论有关,直觉逻辑和线性逻辑在此起了很大作用。λ演算和组合子逻辑这样的演算现在属于理想程序语言。

    计算机科学在自动验证和自动寻找证明等技巧方面的成果对逻辑研究做出了贡献,比如说自动定理证明和逻辑编程。

    2、命题逻辑

    命题逻辑是指以逻辑运算符结合原子命题来构成代表“命题”的公式,以及允许某些公式建构成“定理”的一套形式“证明规则”。相对于谓词逻辑,它是量化的并且它的原子公式是谓词函数;和模态逻辑,它可以是非真值泛函的。

    在命题演算中语言由命题变量(或者叫占位符(placeholder))和句子/判决算子(或者叫连结词)。wff 是任何原子公式或在句子操作符之上建造的公式。

    很多不同的公式系统存在,它们都或多或少等价但在下列方面不同:
    ⑴它们的语言(就是说哪些操作符和变量是语言的一部分);
    ⑵ 它们有哪些(如果有的话)公理;
    ⑶采用了哪些推理规则。

    3、谓词逻辑

    在谓词逻辑中,原子命题分解成个体词谓词

    个体词是可以独立存在的事或物,包括现实物、精神物和精神事三种。
    谓词则是用来刻划个体词的性质的词,即刻画事和物之间的某种关系表现的词。

     如:
     “苹果”是一个现实物个体词,"苹果可以吃"是一个原子命题。
     “可以吃”是谓词,刻划“苹果”的一个性质,即与动物或人的一个关系。
    

    三、命题逻辑和谓词逻辑之间有什么关系?

    1、解释一:

    命题逻辑:
    大致理解成 fact representation : A事实,B事实,A可以推出B或C等。

    谓语逻辑:
    增加了function操作,函数操作,function(A)可以推出B, C可以推出function(B)等。

    例子:
    命题逻辑:‘4的倍数’是‘2的倍数’。
    任意x,x是4的倍数—>x是2的倍数。
    
    谓语逻辑:‘一个偶数’的下一个的下一个是‘2的倍数’。
    这里的下一个就是function,我们用next这个函数名来表示。
    任意x,x是偶数,y=next(next(x)) ——> y是2的倍数
    

    2、解释二:

    谓词逻辑就是加了"量词运用规则"的命题逻辑。
    

    3、解释三:

    命题逻辑是一种比较简单,泛泛的逻辑。

    比如令命题A表示“小明喜欢数学”
    而谓词逻辑,是将命题逻辑表达不出来的逻辑继续细化。
    比如A(x,y)表示x喜欢y,则“小明喜欢数学”可以表示为A(小明,数学)。

    4、解释四:

    在这里插入图片描述

    将命题细分得到谓词逻辑命题。

    Ending!
    更多课程知识学习记录随后再来吧!

    就酱,嘎啦!
    

    在这里插入图片描述

    注:
    1、人生在勤,不索何获。
    2、命题逻辑和谓词逻辑之间有什么关系参见知乎:https://www.zhihu.com/question/47703279
    3、数理逻辑、命题逻辑、谓词逻辑之概念参见百度百科。

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