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  • 线性倒立摆模型(LIP)Matlab建模.PDF
    2021-04-20 04:26:17

    线性倒立摆模型(LIP)Matlab建模.PDF

    (LIP)Matlab

    2015010445

    1

    Kajita Introduction to Humanoid Robotics 130 LIP

    • Tsup

    • walk parameters sx , sy

    CoM

    • walk parameters CoM

    CoM

    CoM

    CoM foot place

    walk parameter

    n

    1. n x , x˙ T

    i i sup

    x x˙

    2. n n + 1

    3. CoM

    4. CoM

    5. CoM

    sx , sy

    2 3

    2

    2.1

    ∗wangrui15@mails.tsinghua.edu.cn

    1

    Table 1: Definition of Variables Used in the Code

    Variable name Symbol Meaning

    CoM z

    zc zc CoM

    Tsup Tsup

    sx, sy sx , sy

    xi, yi x , y

    i i

    vxi, vyi x˙ , y˙

    i i

    px, py p ∗ , p∗

    x y

    (4.58)

    a, b a, b

    n n

    g g

    Tc, C, S, D T , C, S, D

    c

    px0, py0 px , py

    xbar, ybar x,¯ y¯ CoM

    ˙ ˙

    vxbar, vybar x,¯ y¯

    xd, yd, vxd, vyd xd , yd , vd , vd

    x y

    2.2

    2.2.1

    P130 set initial position of CoM and initial foot placement

    CoM foot place x0 , y0

    (0,

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    模型 对小车的水平受力分析 Mx¨=F−bx˙−NM\ddot{x}=F-b\dot{x}-NMx¨=F−bx˙−N x¨\ddot{x}x¨代表对运动距离的二阶微分,即小车在外力作用下的加速度。 FFF是外部施加给系统的外力。 x˙\dot{x}x˙代表小车...

    参考及致谢

    一阶倒立摆的PID控制和LQR控制
    由拉普拉斯变换到传递函数
    函数f(t)二阶导数的拉普拉斯变换是什么?
    [1]翟龙余.一级倒立摆仿真模型的建立[J].大众科技,2011(8):268-270.

    模型建立

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    对小车的水平受力分析

    M x ¨ = F − b x ˙ − N M\ddot{x}=F-b\dot{x}-N Mx¨=Fbx˙N

    1. x ¨ \ddot{x} x¨代表对运动距离的二阶微分,即小车在外力作用下的加速度。
    2. F F F是外部施加给系统的外力。
    3. x ˙ \dot{x} x˙代表小车当前的运动速度,小车所受到的摩擦力为摩擦系数与小车运动速度之积,即 f = b x ˙ f=b\dot{x} f=bx˙
    4. N N N为倒单摆作用给小车水平方向的力。

    对倒单摆的水平受力分析

    摆杆做平面运动,其质心在外力作用下,在一段时间内的水平位移为 s = x − l × s i n ψ s= x-l×sin\psi s=xl×sinψ (因为倒立摆的倒向与外力 F F F的方向相反,所以中间用负号),其加速度可以表示成
    s ¨ = d 2 s d t 2 = d 2 ( x − l × s i n ψ ) d t 2 = x ¨ − l ( d 2 s i n ψ d t 2 ) \ddot{s}=\frac {d^2s}{dt^2}=\frac{d^2( x-l×sin\psi)}{dt^2}=\ddot{x}-l(\frac{d^2sin\psi}{dt^2}) s¨=dt2d2s=dt2d2(xl×sinψ)=x¨l(dt2d2sinψ)
    = x ¨ − l c o s ψ d ψ d t d t = x ¨ − l [ − s i n ψ ( d ψ d t ) 2 + c o s ψ d 2 ψ d t 2 ] =\ddot{x}-l\frac{cos\psi\frac{d\psi}{dt}}{dt}=\ddot{x}-l[-sin\psi(\frac{d\psi}{dt})^2+cos\psi \frac{d^2\psi}{dt^2}] =x¨ldtcosψdtdψ=x¨l[sinψ(dtdψ)2+cosψdt2d2ψ]
    更换符号后即可得到:
    s ¨ = x ¨ + l s i n ψ ( ψ ˙ ) 2 − l c o s ψ ( ψ ¨ ) \ddot{s}=\ddot{x}+lsin\psi(\dot{\psi})^2-lcos\psi(\ddot{\psi}) s¨=x¨+lsinψ(ψ˙)2lcosψ(ψ¨)
    根据牛顿第二定律,此时摆质心的受力与加速度的关系为:
    N = m x ¨ − ( m l ψ ¨ ) c o s ψ + m l ψ 2 ˙ s i n ψ N=m\ddot{x}-(ml\ddot{\psi})cos\psi+ml\dot{\psi ^2}sin\psi N=mx¨(mlψ¨)cosψ+mlψ2˙sinψ
    联立关于倒立摆与小车的受力分析,替换掉相互作用力 N N N,得到:
    ( M + m ) x ¨ + b x ˙ − m l ψ ¨ c o s ψ + m l ψ ˙ 2 s i n ψ = F (M+m)\ddot{x}+b\dot{x}-ml\ddot{\psi}cos\psi+ml\dot{\psi}^2sin\psi=F (M+m)x¨+bx˙mlψ¨cosψ+mlψ˙2sinψ=F

    对倒单摆的垂直受力分析

    倒单摆的质心在一段时间内垂直方向上移动的距离可以表示成: h = l c o s ψ h=lcos\psi h=lcosψ
    式中 ψ \psi ψ为单摆绕轴心转动的角度。
    摆的质心在垂直方向的加速度可以表示为(注意,此时加速度方向与重力方向一致):
    h ¨ = d 2 ( l c o s ψ ) d t 2 = l d ( − s i n ψ d ψ d t ) d t = − l c o s ψ ( d ψ d t ) 2 − l s i n ψ ( d 2 ψ d t 2 ) \ddot{h}=\frac{d^2(lcos\psi)}{dt^2}=l\frac{d(-sin\psi\frac{d\psi}{dt})}{dt}=-lcos\psi(\frac{d\psi}{dt})^2-lsin\psi(\frac{d^2\psi}{dt^2}) h¨=dt2d2(lcosψ)=ldtd(sinψdtdψ)=lcosψ(dtdψ)2lsinψ(dt2d2ψ)
    垂直方向有重力 m g mg mg和小车对摆的支持力 P P P,另外单摆会有一个与重力方向一致的加速度。
    垂 直 向 上 的 分 量 = 垂 直 向 下 的 分 量 垂直向上的分量=垂直向下的分量 =
    P = m g + m h ¨ P=mg+m\ddot{h} P=mg+mh¨
    P = m g − m l c o s ψ ( d ψ d t ) 2 − m l s i n ψ ( d 2 ψ d t 2 ) P=mg-mlcos\psi(\frac{d\psi}{dt})^2-mlsin\psi(\frac{d^2\psi}{dt^2}) P=mgmlcosψ(dtdψ)2mlsinψ(dt2d2ψ)
    替换符号之后可以得到:
    P = m g − m l ( c o s ψ ) ψ ˙ 2 − m l ( s i n ψ ) ψ ¨ P=mg-ml(cos\psi)\dot{\psi}^2-ml(sin\psi)\ddot{\psi} P=mgml(cosψ)ψ˙2ml(sinψ)ψ¨
    假设摆受力不平衡,会有以铰链为圆心的角加速度,将 P P P N N N分别在转动方向上投影,根据倒单摆平衡时的力矩方程方程得到:
    I ψ ¨ = P l s i n ψ + N l c o s ψ I\ddot{\psi}=Plsin\psi+Nlcos\psi Iψ¨=Plsinψ+Nlcosψ
    观察上面的式子,你可能会发现里面少了一个分量,这个分量就是重力在垂直于摆方向的分力 m g s i n ψ mgsin\psi mgsinψ,很多博客和论文上也是直接这么写,没有解释原因。只有以质心为参考点时,重力不产生力矩,上式成立,但这显然是背离事实的,个人理解,这里在小角度时为了方便分析做了近似。
    其中 I I I为摆的转动惯量。将 P P P N N N的表达式与力矩平衡方程联立,消去中间变量 P P P N N N,得到:
    ( I + m l 2 ) ψ ¨ − m g l s i n ψ = m l x ¨ c o s ψ (I+ml^2)\ddot{\psi}-mglsin\psi=ml\ddot{x}cos\psi (I+ml2)ψ¨mglsinψ=mlx¨cosψ

    线性化

    至此,我们通过受力分析得到了两个非常重要的式子:
    ( M + m ) x ¨ + b x ˙ − m l ψ ¨ c o s ψ + m l ψ ˙ 2 s i n ψ = F (M+m)\ddot{x}+b\dot{x}-ml\ddot{\psi}cos\psi+ml\dot{\psi}^2sin\psi=F (M+m)x¨+bx˙mlψ¨cosψ+mlψ˙2sinψ=F
    ( I + m l 2 ) ψ ¨ − m g l s i n ψ = m l x ¨ c o s ψ (I+ml^2)\ddot{\psi}-mglsin\psi=ml\ddot{x}cos\psi (I+ml2)ψ¨mglsinψ=mlx¨cosψ
    考虑到倒单摆在实际工作时,偏转角 ψ \psi ψ通常比较小,于是有:
    { c o s ψ = 1 s i n ψ = ψ ψ ˙ = 0 \left\{ \begin{aligned} cos\psi & = & 1\\ sin \psi & = &\psi \\ \dot{\psi} & = & 0 \end{aligned} \right. cosψsinψψ˙===1ψ0
    u u u来代表作用于受控对象的外力 F F F,结合上述近似结果,有:
    { ( M + m ) x ¨ + b x ˙ − m l ψ ¨ = u ( I + m l 2 ) ψ ¨ − m g l ψ = m l x ¨ \left\{ \begin{aligned} (M+m)\ddot{x}+b\dot{x}-ml\ddot{\psi}&=& u \\ (I+ml^2)\ddot{\psi}-mgl\psi &=& ml\ddot{x} \end{aligned} \right. {(M+m)x¨+bx˙mlψ¨(I+ml2)ψ¨mglψ==umlx¨

    求系统传递函数

    由上一节,我们最终得到了一个关于系统状态的微分方程组。而拉普拉斯变换可以将微分方程转化为代数方程进行运算,使求解大为简化。

    ( M + m ) x ¨ + b x ˙ − m l ψ ¨ = u → ( M + m ) X ( s ) s 2 + b X ( s ) s − m l Ψ ( s ) s 2 = U ( s ) (M+m)\ddot{x}+b\dot{x}-ml\ddot{\psi}= u \rightarrow(M+m)X(s)s^2+bX(s)s-ml\Psi(s)s^2=U(s) (M+m)x¨+bx˙mlψ¨=u(M+m)X(s)s2+bX(s)smlΨ(s)s2=U(s)
    ( I + m l 2 ) ψ ¨ − m g l ψ = m l x ¨ → ( I + m l 2 ) Ψ ( s ) s 2 − m g l Ψ ( s ) = m l X ( s ) s 2 (I+ml^2)\ddot{\psi}-mgl\psi = ml\ddot{x}\rightarrow(I+ml^2)\Psi(s)s^2-mgl\Psi(s)=mlX(s)s^2 (I+ml2)ψ¨mglψ=mlx¨(I+ml2)Ψ(s)s2mglΨ(s)=mlX(s)s2
    现在我们系统的输入变量是 U ( s ) U(s) U(s),而我们关心的是小车当前的位置 X ( s ) X(s) X(s)以及倒单摆的角度 Ψ ( s ) \Psi(s) Ψ(s)
    经过整理,可以得到下面的系统传递函数。
    摆角度的传递函数:
    P p e n d ( s ) = ψ ( s ) U ( s ) = m l s q s 3 + b ( I + m l 2 ) s 2 − ( m + M ) m g l s − b m g l P_{pend}(s)=\frac{\psi(s)}{U(s)}=\frac{mls}{qs^3+b(I+ml^2)s^2-(m+M)mgls-bmgl} Ppend(s)=U(s)ψ(s)=qs3+b(I+ml2)s2(m+M)mglsbmglmls
    小车位置的传递函数:
    P c a r t ( s ) = X ( s ) U ( s ) = ( I + m l 2 ) s 2 − m g l q s 4 + b ( I + m l 2 ) s 3 − ( m + M ) m g l s 2 − b m g l s P_{cart}(s)=\frac{X(s)}{U(s)}=\frac{(I+ml^2)s^2-mgl}{qs^4+b(I+ml^2)s^3-(m+M)mgls^2-bmgls} Pcart(s)=U(s)X(s)=qs4+b(I+ml2)s3(m+M)mgls2bmgls(I+ml2)s2mgl
    上面两式中 q q q为公因数项:
    q = ( m + M ) ( I + m l 2 ) − m 2 l 2 q=(m+M)(I+ml^2)-m^2l^2 q=(m+M)(I+ml2)m2l2

    展开全文
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    对倒立摆系统数学建模

    PID闭环控制:[https://blog.csdn.net/qq_29860971/article/details/88585257]
    源代码下载:[https://download.csdn.net/download/qq_29860971/11020126]
      倒立摆系统的数学建模一般有牛顿欧拉法和拉格朗日法两种。对于结构相对简单的一阶直线倒立摆可以使用牛顿欧拉法,先对小车和摆杆进行受力分析,并分别求出他们的运动方程。将线性化后的两个运动方程进行拉普拉斯变换。最后整理后可以得到系统的状态空间方程。在许多实际的运算中,求解微分方程组会遇到较大的困难。有时,还需要确定各质点间的位移、相互作用力、速度、加速度等关系来解决质点组中存在约束情况,联立求解这些方程组就更为困难。
    但是这种方法会在复杂的数学运算上浪费大量的时间。本章采用 MATLAB 软件中SimMechanics 工具箱对直线一级倒立摆系统进行非线性建模。

      在各种摩擦和空气阻力等一些次要的因素忽略不计的条件下,直线一级倒立摆系统可简化为如图:
    在这里插入图片描述

    1.SimMechanics机械建模介绍

      SimMechanics 工具提供了大量对应实际系统的元件,如:刚体、约束、铰链、坐标系统、作动器以及传感器等。使用这些模块可以非常方便的建立复杂的机械系统图示化模型,可以进行机械系统的单独分析或与任何利用 SimMechanics 设计的控制器及其它的动态系统相连进行综合仿真。SimMechanics 使用者可以很方便的修改系统中的物理参数,其中包括位移、角度、弹性系数、扭矩和机械元件运动参数等。在 SimMechanics 中可以用 Virtual Reality 工具箱或者是 MATLAB 图形工具生成系统运动的三维动画。这两种工具都可以用来显示机械系统的数值分析结果,但是 MATLAB 图形工具只能提供基本的动画显示,而 Virtual Reality工具箱则能实现更加高级、真实的动画。使用 SimMechanics 变步长积分法可以得到较高的计算精度。这种利用 SimMechanics 建立起的非线性模型更加贴近实际系统。在进行建模时根据所研究机构的结构组成,通过拖拉、连接、旋转SimMechanics各子模块组中的模块,就可以建立其机构模型。每个模块都可以单独设置其物理参数,在添加必要的驱动和检测模块后,就可以对机构进行运动分析与仿真。

      下面开始建模,首先我们进入matlab里的Simulink界面。点击Library Browser按钮可以进入工具箱。**值得注意的是,老版本里可以直接找到Simulink工具箱,而在新版本里更名为Simscape中的Multibody。**具体每个模块功能我就不一一概述了,下面需要引用的我再介绍。
    在这里插入图片描述

    2.世界坐标

      基于SimMechanics建模首先需要设立一个基准,相当于3D场景中的原点位置。由Solver Configuration + world frame(世界坐标)+ Mechanism
    Configuration组成。
    在这里插入图片描述

    3.对小车和摆杆建模

      整个倒立摆模型主要由两个主要构件组成,一个是小车构件,记为cart。我们可以看成是一个长方体,在工具箱中搜索Solid可以找到对应的模型。
    在这里插入图片描述
      这里我几何外形简化为长方体,其具体参数可以自己决定,Dimensions是小车的长宽高,lnertia下我们可以设置小车质量、惯性系数等。质量设置在重心处,与地面(世界坐标系)为滑块连接(移动副)。这里我们还需要在Frames下建立一个坐标系F1与摆杆对接。整体参数如下图。
    在这里插入图片描述
      摆杆记为pole,质量在重心处,与小车进行旋转副连接,外形简化为长方体其具体参数如下图所示。
    在这里插入图片描述

    4.对运动轴承建模

      单级直线倒立摆的机构只需两个连接轴,即revolute joint(平面旋转轴)和prismatic joint(柱形滑块轴),我们都可以在Joints工具箱里找到,将其拖入窗口进行属性设置和连接。这里我设置小车部分的摩擦系数我们设为0.1N/m,并且重力加速度为9.8kg.m/s,属性设置窗口如下图。
    在这里插入图片描述

    5.坐标转换

      之前我们在Solid中建立了小车和摆杆的连接点坐标F1,我们需要在地面-滑块-小车-旋转关节-摆杆之间的独立坐标系之间有一个转换关系将他们建立在一起。这里我们就用到了Rigid
    Transform,这里坐标的转换关系一时半会也不好表达出来,需要自己冷静的好好想想,不过按我的坐标建立方法的话转换关系需要设置如下。
    在这里插入图片描述
    左图是世界坐标滑块的转换,右图是旋转关节摆杆的转换。

    总结

      最后,我们将每个模块连接起来如下图。由于输出的信号都是位置信号,我们需要利用PS-Simulink
    Converte将其转换示波器可以接受的信号。
    在这里插入图片描述
      这里我将仿真重心矢量方向调至世界坐标系中的z的负半轴方向,在推力开始后给摆杆质心一个1N的推力,推力设置为x方向,可看到摆杆做自由落体运动。
    3D动画模型:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    PID闭环控制:[https://blog.csdn.net/qq_29860971/article/details/88585257]
    源代码下载:[https://download.csdn.net/download/qq_29860971/11020126]

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    Matlab的一级倒立摆模型的仿真

    深圳大学考试答题纸

    (以论文、报告等形式考核专用)二○○ 九 ~二○○ 一零 学年度第 2 学期

    课程编号课程名称计算机控制系统 主讲教师李东评分学 号姓名专业年级2007级光电工程学院测控技术与仪器教师评语:题目:一级倒立摆模型的仿真

    倒立摆模型的研究意义

    倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统,是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题:如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制,用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时,其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途,如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。’sinθ=Mx’’ (a)

    对小球有:

    水平方向上运动为 x+lsinθ

    故水平方向受力为 F’sinθ= m(x+lsinθ)’’

    =m(x’+lcosθθ’)’

    = mx’’+mlcosθθ’’-mlsinθ(θ’)^2 (b)

    由(a)、(b)两式得 F= (M+m)x’’ +mlcosθθ’’-mlsinθ(θ’)^2 <1>

    小球垂直方向上位移为 lcosθ

    故受力为 F’cosθ -mg=m(lcosθ)’’

    =-mlθ’’sinθ-mlcosθ(θ’)^2

    即 F’cosθ=mg-mlθ’’sinθ-mlcosθ(θ’)^2 (c)

    由(b)、(c)两式得

    cosθx’’ =gsinθ- lθ’’ <2>

    故可得以下运动方程组:

    F= (M+m)x’’ +mlcosθθ’’-mlsinθ(θ’)^2

    cosθx’’ =gsinθ- lθ’’

    以上方程组为非线性方程组,故需做如下线性化处理:

    当θ很小时,由cosθ、sinθ的幂级数展开式可知,忽略高次项后,

    可得cosθ≈1,sinθ≈θ,θ’’≈0

    故线性化后运动方程组简化为

    F= (M+m)x’’ +mlθ’’

    x’’ =gθ- lθ’’

    下面进行系统状态空间方程的求解:

    以摆角θ、角速度θ’、小车位移x、加速度x’为系统状态变量,Y为输出,F为输入

    即X== Y==

    由线性化后运动方程组得

    x1’=θ’=x2 x2’==x1-F

    X3’ =x’=x4 x4’=x’’=-x1+F

    故空间状态方程如下:

    X’== + F

    Y= = + 0F

    用MATLAB将状态方程转化成传递函数,取M=2kg m=0.1kg l=0.5m 代入得

    >>A=[0 1 0 0;20.58 0 0 0;0 0 0 1;-0.49 0 0 0]

    >>B=[0;-1;0;0.5]

    >>C=[1 0 0 0;0 0 1 0]

    >>D=[0;0]

    >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1);

    >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)

    num =

    ?

    0 -0.0000 -1.0000 0 0

    0 -0.0000 0.5000 -0.0000 -9.8000

    den =?

    1.0000 0 -20.5800 0 0

    ?

    由上可以得出角度 对力F的传递函数:

    位移X对外力F的传递函数:

    用MATLAB的Simulink仿真系统进行建模

    1、没校正之前的θ-F控制系统

    由于未加进控制环节,故系统输出发散

    加进控制环节,实现时域的稳定控制

    给系统加入PID控制,设置系统稳定值为0,给系统一个初始干扰冲击信号

    采用试凑法不断调整PID参数,使系统达到所需的控制效果

    当系统Kp=-100,Ti=Td=0时输出如下:

    不断地调整参

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空空如也

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倒立摆模型