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  • 基于Neo4j计算网络节点中心性(Closeness、betweenness Centrality)
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    2020-09-20 09:58:22

    使用Neo4j计算节点中心性——紧密度中心性(Closeness Centrality)、介数中心性(betweenness Centrality),适用于v3.5 以上的Graph Algorithms plugin。

    一、计算紧密度中心性

    CALL algo.closeness.stream('v','same-sentence',{direction:'out'})
    
    YIELD nodeId, centrality
    
    MATCH (word:v) WHERE id(word) = nodeId
    
    RETURN word.name AS word,centrality
    
    ORDER BY centrality DESC;

    参考:https://neo4j.com/docs/graph-algorithms/current/labs-algorithms/closeness-centrality/

     

    二、计算介数中心性

    CALL algo.betweenness.stream('n','same-sentence',{direction:'out'})
    
    YIELD nodeId, centrality
    
    MATCH (word:n) WHERE id(word) = nodeId
    
    RETURN word.name AS word,centrality
    
    ORDER BY centrality DESC;

    参考:https://neo4j.com/docs/graph-algorithms/current/labs-algorithms/betweenness-centrality/

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        在图中,节点的中心性(Centrality)用于衡量节点在图中的重要性。接下来,以下面这张图的节点为例,介绍一些常用的节点中心性及其计算过程。
    在这里插入图片描述

    一、度中心性(Degree Centrality)

        如果有许多其他节点连接到某个节点,那么后者可以被认为是重要的。因此,可以基于一个节点的度测量它的中心性。更具体地说,对于节点 v i v_i vi,其度中心性可以定义为:
    c d ( v i ) = d ( v i ) = ∑ j = 1 N A i , j c_d(v_i)=d(v_i)=\sum_{j=1}^NA_{i,j} cd(vi)=d(vi)=j=1NAi,j
        由上面的公式可以知道,节点 v 1 v_1 v1 v 5 v_5 v5的度中心性都是3,而节点 v 2 v_2 v2 v 3 v_3 v3 v 4 v_4 v4的度中心性都是2。

    二、特征向量中心性(Eigenvector Centrality)

        度中心性认为与多个节点相邻的节点是重要的,且认为所有邻居的贡献度是一样的。然而,这些相邻节点本身的重要性是不同的,因此它们对中心节点的影响不同。给定一个节点 v i v_i vi,特征向量中心性用它的相邻节点的中心性来定义 v i v_i vi的中心性:
    c e ( v i ) = 1 λ ∑ j = 1 N A i , j ⋅ c e ( v j ) c_e(v_i)=\frac{1}{\lambda}\sum_{j=1}^NA_{i,j}{\cdot}c_e(v_j) ce(vi)=λ1j=1NAi,jce(vj)    也可以表达为矩阵的形式:
    c e ( v i ) = 1 λ A ⋅ c e c_e(v_i)=\frac{1}{\lambda}A{\cdot}c_e ce(vi)=λ1Ace    式中, c e ∈ R N c_e{\in}R^N ceRN是一个包含所有节点的特征向量中心性的向量,这个式子也可以表达为:
    λ ⋅ c e ( v i ) = A ⋅ c e \lambda{\cdot}c_e(v_i)=A{\cdot}c_e λce(vi)=Ace    显然, c e c_e ce是矩阵的特征向量, λ \lambda λ是其对应的特征值。一个邻接矩阵 A A A存在多对特征向量和特征值。中心性的值通常为正数,所以选择中心性需要考虑所有元素均为正数的特征向量。根据Perron-Frobenius定理,一个元素全为正的实方阵具有唯一的最大特征值,其对应的特征向量的元素全为正。因此可以选择最大的特征值 λ \lambda λ,将它的相应的特征向量作为中心性向量。
        通过上面的公式进行计算,可以算出示例图中最大的特征值是2.481,对应的特征向量[1, 0.675, 0.675, 0.806, 1]。因此, v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 v_1,v_2,v_3,v_4,v_5 v1,v2,v3,v4,v5的特征向量中心性分别是1,0.675,0.675,0.806,1。注意 v 2 v_2 v2 v 3 v_3 v3 v 4 v_4 v4的度都是2,但是 v 4 v_4 v4的特征向量中心性比另外两个节点的都要高,因为它和 v 1 v_1 v1 v 5 v_5 v5两个高特征向量中心性的节点直接相连。

    三、Katz中心性(Katz Centrality)

        Katz中心性是特征向量中心性的一个变体,它不仅考虑了邻居的中心性,而且包含了一个常数来考虑中心节点本身。具体来说,节点 v i v_i vi的Katz中心性可以定义为:
    c k ( v i ) = α ∑ j = 1 N A i , j c k ( v j ) + β c_k(v_i)={\alpha}\sum_{j=1}^NA_{i,j}c_k(v_j)+\beta ck(vi)=αj=1NAi,jck(vj)+β    式中, β \beta β是一个常数。一个图中所有节点的Katz中心性可以用矩阵形式表示为:
    c k = α A c k + β ( I − α ⋅ A ) c k = β c_k={\alpha}Ac_k+\beta\\ (I-{\alpha}{\cdot}A)c_k=\beta ck=αAck+β(IαA)ck=β    式中, c k ∈ R N c_k{\in}R^N ckRN表示所有节点的Katz中心性的向量; β \beta β表示一个包含所有节点的常数项 β \beta β的向量; I I I表示单位矩阵。值得注意的是,如果令 α = 1 λ m a x {\alpha}=\frac{1}{\lambda_{max}} α=λmax1 β = 0 \beta=0 β=0,那么Katz中心性等价于特征向量中心性,其中 λ m a x {\lambda}_{max} λmax是邻接矩阵 A A A的最大特征值。 α \alpha α的选择对于Katz中心性非常关键:大的 α \alpha α值可能使矩阵 I − α ⋅ A I-{\alpha}{\cdot}A IαA变成病态矩阵,而小的 α \alpha α可能使中心性变得没有意义,因为它总是给所有节点分配非常相似的分数。在实践中,经常令 α < 1 λ m a x {\alpha}<\frac{1}{\lambda_{max}} α<λmax1,这就保证了矩阵 I − α ⋅ A I-{\alpha}{\cdot}A IαA的可逆性,那么 c k c_k ck可按如下方式计算:
    c k = ( I − α ⋅ A ) − 1 β c_k=(I-{\alpha}{\cdot}A)^{-1}\beta ck=(IαA)1β    令 β = 1 , α = 1 5 \beta=1,\alpha=\frac{1}{5} β=1,α=51,经过计算可得示例图中节点 v 1 v_1 v1 v 5 v_5 v5的Katz中心性都是2.16, v 2 v_2 v2 v 3 v_3 v3的Katz中心性是1.79, v 4 v_4 v4的Katz中心性是1.87。

    四、介数中心性(Betweeness Centrality)

        前面提到的几种中心性基于和相邻节点的连接。另一种度量节点重要性的方法是检查它是否在图中处于重要位置。具体来说,如果有许多路通过同一个节点,那么该节点处于图中的一个重要位置。节点 v i v_i vi的介数中心性的定义如下:
    c b ( v i ) = ∑ v s ≠ v i ≠ v t σ s t ( v i ) σ s t c_b(v_i)=\sum_{v_s{\neq}v_i{\neq}v_t}\frac{\sigma_{st}(v_i)}{\sigma_{st}} cb(vi)=vs=vi=vtσstσst(vi)    式中, σ s t \sigma_{st} σst表示所有从节点 v s v_s vs到节点 v t v_t vt的最短路的数目(此处不区分 v s v_s vs v t v_t vt); σ s t ( v i ) \sigma_{st}(v_i) σst(vi)表示这些路中经过节点 v i v_i vi的路的数目。为了计算介数中心性,需要对所有可能的节点对求和。因此,介数中心性的值会随着图的增大而增大。为了使介数中心性在不同的图中具有可比性,需要对它进行归一化(normalization)。一种有效的方法是将所有节点的中心性除以其中的最大值。由上面介数中心性的公式可知,当任意一对节点之间的最短路都通过节点 v i v_i vi时,介数中心性达到最大值,即 σ s t ( v i ) σ s t = 1 , ∀ v s ≠ v i ≠ v t \frac{\sigma_{st}(v_i)}{\sigma_{st}}=1,{\forall}v_s{\neq}v_i{\neq}v_t σstσst(vi)=1,vs=vi=vt。在一个无向图中,共有 ( N − 1 ) ( N − 2 ) 2 \frac{(N-1)(N-2)}{2} 2(N1)(N2)个不包含节点 v i v_i vi的节点对,所以介数中心性的最大值是 ( N − 1 ) ( N − 2 ) 2 \frac{(N-1)(N-2)}{2} 2(N1)(N2)。所以 v i v_i vi归一化后的介数中心性 c n b ( v i ) c_{nb}(v_i) cnb(vi)可以定义为:
    c n b ( v i ) = 2 × ∑ v s ≠ v i ≠ v t σ s t ( v i ) σ s t ( N − 1 ) ( N − 2 ) c_nb(v_i)=\frac{2{\times}\sum_{v_s{\neq}v_i{\neq}v_t}\frac{\sigma_{st}(v_i)}{\sigma_{st}}}{(N-1)(N-2)} cnb(vi)=(N1)(N2)2×vs=vi=vtσstσst(vi)    在示例图中,节点 v 1 v_1 v1 v 5 v_5 v5的介数中心性是 2 3 \frac{2}{3} 32,而它们归一化后的中心性是 1 4 \frac{1}{4} 41。节点 v 2 v_2 v2 v 3 v_3 v3的介数中心性是 1 2 \frac{1}{2} 21,而它们归一化后的中心性是 1 12 \frac{1}{12} 121。节点 v 4 v_4 v4的介数中心性和归一化的中心性均为0。

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  • 一个节点的节点度越大就意味着这个节点的度中心性越高,该节点在网络中就越重要。 1.2 计算方法 在无向图(Undirected Graph)中,度中心性测量网络中一个节点与所有其它节点相联系的程度。对于一个拥有g个节点的无...

    1、Degree Centrality(度中心性)

    1.1 定义

    度中心性(Degree Centrality)是在网络分析中刻画节点中心性(Centrality)的最直接度量指标。一个节点的节点度越大就意味着这个节点的度中心性越高,该节点在网络中就越重要。

    1.2 计算方法

    在无向图(Undirected Graph)中,度中心性测量网络中一个节点与所有其它节点相联系的程度。对于一个拥有g个节点的无向图,节点 i i i的度中心性是 i i i与其它 g − 1 g-1 g1个节点的直接联系总数,用矩阵表示如下:
    C D ( N i ) = ∑ J = 1 g x i j ( i ≠ j ) C_{D}\left(N_{i}\right)=\sum_{J=1}^{g} x_{i j}(i \neq j) CD(Ni)=J=1gxij(i=j)

    其中 C D ( N i ) C_{D}\left(N_{i}\right) CD(Ni)表示节点 i i i的度中心度, 用于计算节点 i i i与其它g-1个j节点 ( i ≠ j ) (i\neq j) (i=j),排除i与自身的联系;也就是说,主对角线的值可以忽略)之间的直接联系的数量。 C D ( N i ) C_{D}\left(N_{i}\right) CD(Ni)的计算就是简单地将节点i在网络矩阵中对应的行或列所在的单元格值加总。(因为无向关系构成一个对称性数据矩阵,因此行和列相同的单元格的值相同)。

    2、 Closeness Centrality(近性中心性)

    2.1 定义

    一个点的近性中心度较高,说明该点到网络中其他各点的距离总体来说较近,反之则较远。假如一个物流仓库网络需要选某个仓库作为核心中转站,需要它到其他仓库的距离总体来说最近,那么一种方法就是找到近性中心度最高的那个仓库。

    2.2 计算方法

    一个点的近性中心度是到其他所有结点距离的平均值。
    C v = ∣ V ∣ − 1 ∑ i ≠ v d v i C_{v}=\frac{|V|-1}{\sum_{i \neq v} d_{v i}} Cv=i=vdviV1

    其中 C v C_{v} Cv表示节点 i i i的近性中心度, 用于计算节点 i i i与其它节点( i ≠ v i≠v i=v,排除 i i i与自身的联系;也就是说,主对角线的值可以忽略)之间的直接联系的数量。 ∑ i ≠ v d v i {\sum_{i \neq v} d_{v i}} i=vdvi的计算就是简单地将节点i在网络矩阵中对应的行或列所在的单元格值加总。(因为无向关系构成一个对称性数据矩阵,因此行和列相同的单元格的值相同)。

    3、betweenness(介性中心性)

    3.1 定义

    以经过某个节点的最短路径数目来刻画节点重要性的指标,中介中心性指的是一个结点担任其它两个结点之间最短路的桥梁的次数。一个结点充当“中介”的次数越高,它的中介中心度就越大。如果要考虑标准化的问题,可以用一个结点承担最短路桥梁的次数除以所有的路径数量。一个点的介性中心度较高,说明其他点之间的最短路径很多甚至全部都必须经过它中转。假如这个点消失了,那么其他点之间的交流会变得困难,甚至可能断开(因为原来的最短路径断开了)。

    3.2 计算方法

    C B ( v ) = ∑ s ≠ v ≠ t ∈ V σ s t ( v ) σ s t C_{B}(v)=\sum_{s \neq v \neq t \in V} \frac{\sigma_{s t}(v)}{\sigma_{s t}} CB(v)=s=v=tVσstσst(v)

    其中 σ s t ( v ) σst(v) σst(v)表示经过节点v的 s → t s→t st的最短路径条数, σ s t σst σst表示 s → t s→t st的最短路径条数。具体计算过程请看https://blog.csdn.net/betarun/article/details/51168259

    4、Eigenvector Centrality(特征向量中心度)

    4.1 定义

    特征向量中心度衡量节点的重要性,同时考虑其邻居的重要性。例如,在Facebook上拥有300个相对不受欢迎的朋友的节点比拥有300个非常受欢迎的朋友(例如巴拉克·奥巴马)的人具有较低的特征向量中心性。特征向量中心度算法是一个用来度量节点之间的传递影响和连通性的算法,在特征向量中心度算法中,其认为与具有高得分的节点相连接比与具有低得分的节点相连接所得的贡献更大。
    其主要原理是,来自重要节点的链接(通过Degree Centrality来衡量)比不重要节点的链接更有价值。所有节点的起点都相等,但是随着计算的进行,边缘更多的节点开始变得越来越重要。它们的重要性传播到它们所连接的节点。经过多次重新计算后,这些值稳定下来,从而得出了特征向量中心性的最终值。

    4.2 计算方法

    A = ( a i , j ) A =(a_ {i,j}) A=aij为图的邻接矩阵。则有
    x i = 1 λ ∑ k a k i   x k x_i = \frac {1} {\lambda} \sum_k a_ {ki} \ x_k xi=λ1kaki xk
    其中 λ ≠ 0 \lambda \neq 0 λ=0是一个常数。以矩阵形式,我们有: λ x = x A \lambda x = x A λx=xA
    因此,中心向量 x x x是与特征值 λ \lambda λ相关联的邻接矩阵 A A A 的左侧特征向量。选择 λ \lambda λ作为矩阵 A A A的绝对值中最大的特征值。

    5、各中心度python代码

    # 需要导入模块: import networkx [as 别名]
    # 或者: from networkx import eigenvector_centrality [as 别名]
    def CentralityMeasures(G):
        # Betweenness centrality
        bet_cen = nx.betweenness_centrality(G)
        # Closeness centrality
        clo_cen = nx.closeness_centrality(G)
        # Eigenvector centrality
        eig_cen = nx.eigenvector_centrality(G)
        # Degree centrality
        deg_cen = nx.degree_centrality(G)
        #print bet_cen, clo_cen, eig_cen
        print "# Betweenness centrality:" + str(bet_cen)
        print "# Closeness centrality:" + str(clo_cen)
        print "# Eigenvector centrality:" + str(eig_cen)
        print "# Degree centrality:" + str(deg_cen)
    
    
    #main function 
    >>> import networkx as nx 
    >>> G = nx.path_graph(4) 
    >>> centrality = CentralityMeasures(G)
    
    展开全文
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    中心性(centrality):哪个节点的影响力更大?
    1.Centrality度量方法:Degree
    在这里插入图片描述
    Degree是运用最广泛的centrality之一,因为它计算简单,可理解性强

    局限:邻接节点的重要性没有考虑
    举个例子,微博上某账户买僵尸粉增加粉丝量,可以使该账户节点的in-degree非常大,但是并不意味着该节点的影响力就大。

    2.Centrality度量方法:Eigenvector
    影响力大的人不仅仅是朋友多,而且他的朋友也是重要的
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    可以看出,v7节点的重要性,是由和它相边的v1,v4,v6三个节点的重要性来决定的,也就是说,如果v1,v4,v6的重要性越高,那么v7节点的重要性也就越高。
    其中,? 是矩阵的特征根

    3.Centrality度量方法:Katz
    eigenvector方法在无向图上的表现非常优异
    但当出现在有向无环图时,其中节点 eigenvector centrality变成0
    在这里插入图片描述
    Katz提出了一个改进方法,即每个节点初始就有一个centrality值
    这样,上图中v6和v5节点的centrality计算方法就变成了:
    在这里插入图片描述
    4.Centrality度量方法:PageRank
    Katz在计算时,每条出边都会带上起始节点的完整中心性值,这是否合理呢?
    显然是不合理的,举个例子,导航网站hao123,它指向了许多其它网站,在katz方法中,该网站每条出边的值都是一样的,但显然,雅虎和其它小网站的重要性是不一样的。

    为此,Google的Larry Page对Katz的方法提出了进一步的改进,称为PageRank算法。

    PageRank算法在Katz的基础上,假设一个节点的出度是n,刚每条出边附上1/n的起始节点的中心度量值
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    进行了一轮迭代计算之后
    在这里插入图片描述
    经过多轮迭代,直到centrality值收敛,即得到每个节点的centrality

    5.Centrality度量方法:Betweenness
    betweenness则从路径这个维度来度量节点的centrality.

    对于网络中的两个节点A和B,他们之间的最短路径可能有很多条。计算网络中任意两个节点的所有最短路径,如果这些最短路径中有很多条都经过了某个节点,那么就认为这个节点的Betweenness Centrality高
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    从直观上讲,图中左边的这些节点和右边的这些节点都必须通过A ,F两个点来连接。因此这两个点的betweenness centrality也会更高。

    6.Centrality度量方法:Closeness
    Closeness的centrality 度量方法思想是:如果节点到图中其它节点的最短距离都很小,那么我们认为该节点的Closeness Centrality高。

    在这里插入图片描述
    这个定义其实比Degree Centrality从几何上更符合中心度的概念,因为到其它节点的平均最短距离最小,意味着这个节点从几何角度看是出于图的中心位置。

    举个例子,在社交网络中,Closeness Centrality高的节点一般扮演的是八婆的角色(gossiper)。他们并不是明星,但是乐于在不同的人群之间传递消息。

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  • 的定义:节点所拥有的子树的数目称为该节点 注意: 叶子节点为0 二叉树的表示节点的子树或直接继承者的数目,二叉树的是一个子树或单子树。2是两个孩子,或者左和右子树有两个叉树,最大度数为2。 ...
  • 题目是这么说的:五叉树中,是5的节点有2个,是4的节点有5个,是3的节点有2个,是2的节点有15个,是1的节点有8个,那么树有_____个叶子节点 知识点 题目先放在那,我们先说说什么是树的:在树中,每个...

空空如也

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节点中心度