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  • 本篇主要讲概率论与数理统计常用到的样本空间、时间、随机变量、概率空间、多维随机变量、多元随机变量、样本、总体、统计量等基本概念。

            不知道大家在学数理统计的时候,对这三个概念怎么理解的,我学的时候还是很有疑惑的,为什么随机变量可以用样本表示,那统计量用来干什么的呢?于是我查阅了很多资料,下面谈谈自己的认识,欢迎大家分享自己的理解。

    1 引言

            自然界和社会上发生的现象是多种多样的。概括起来可以分为两大类:一类现象,在一定条件下必然发生,例如,同性电荷必相互排斥,等等。这类现象称为确定现象。另一类现象,比如在相同条件下抛同一枚硬币,其结果可能是正面朝上,也可能是反面朝上,并且在每次抛之前无法确定抛掷的结果是什么,等等。这类现象,在一定的条件下,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,而在试验或观察之前不能预知确切的结果。但在大量重复实验或观察下,它的结果却呈现某种规律性。像这种在个别试验中其结果呈现出不确定性,在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象,我们称之为随机现象

            数理统计学是研究随机现象规律性的一门学科,它以概率论为理论基础,研究如何以有效的方式收集﹑整理和分析受到随机因素影响的数据,并对所考察的问题作出推理和预测,直至为采取某种决策提供依据和建议。数理统计研究的内容非常广泛,概括起来可分为两大类:一是试验设计,即研究如何对随机现象进行观察和试验,以便更合理更有效地获得试验数据;二是统计推断,即研究如何对所获得的有限数据进行整理和加工,并对所考察的对象的某些性质作出尽可能精确可靠的判断(这不正是目前机器学习在做的事)。

            统计学研究的一个主要问题是通过试验推断总体。而概率论为整个统计学奠定了基础,它为总体、随机试验等几乎所有随机现象的建模提供了方法。下面先引入概率论的中常用的样本空间、事件、随机变量和概率空间的几个概念,然后引入统计里常用的总体、样本、统计量。


    2 概率论基础

    2.1 样本空间

            称某次随机试验 E E E 全体可能的结果所构成的集合 Ω \Omega Ω 为该试验的 样本空间(sample space)。样本空间的元素,即 E E E 的每个结果,称为样本点 e e e

    2.2 随机事件

            我们称试验 E E E 的样本空间 Ω \Omega Ω 的子集为 E E E 的随机事件,简称事件。每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生。由一个样本点组成的单点集,称为基本事件。一个事件(event)是一次试验若干可能的结果所构成的集合,即 S 的一个子集(可以是S本身)。

    2.3 随机变量

            设随机试验的样本空间为 S = { e } S=\{e\} S={e} X = X ( e ) X=X(e) X=X(e) 是定义在样本空间 S S S 上的实值单值函数。称 X = X ( e ) X=X(e) X=X(e) 为随机变量。随机变量的本质就是从样本空间映射到实数的函数。随机变量常以大写字母记,其具体取值则用相应的小写字母表示。例如,随机变量 X X X 可以取值 x x x

    图1 样本点 e 与实数 X=X(e) 对应的示意图

            研究随机变量的目的是通过研究随机变量的概率特性,或者叫统计特性,来反映和预测结果。
            随机变量的数字特征: 数学期望(均值:反映数据集中在哪个量附近,一般不与随机变量的取值相同),方差(反映波动大小:反映数据的集中程度),两个随机变量的协方差(反映两个随机变量的相依关系),分布函数(分布律:反映随机变量落入某区域的概率),密度函数(连续型:反映随机变量在某点附近概率的变化快慢,密度函数的积分就是分布函数)。

            多维随机变量或多维随机向量。随机向量是样本空间到实数组集合的映射。例如(X,Y)是二维随机变量,对应的是实数对,可以取值为(1,2)。

            多元随机变量是一个随机变量,只不过是多元的。例如 X Y XY XY 是二元随机变量,可以取值为 1 × 2 1\times 2 1×2。函数 f ( X Y ) f(XY) f(XY) X Y XY XY 的函数。

            总结: 维是代表随机变量维度增多了,元代表随机变量个数增多了。

    2.4 概率空间

            概率论中,用 e e e 为基本事件或样本, Ω \Omega Ω 为样本空间, A ( ∈ F ) A(\in\mathcal{F}) A(F) 为事件, F \mathcal{F} F 是事件的全体,而 P ( A ) P(A) P(A) 表示事件发生的概率。三元组 ( Ω , F , P ) (\Omega, \mathcal{F}, P) (Ω,F,P) 构成概率空间


    3 数理统计

    3.1 总体

            在数理统计学中,我们把所研究对象的全体元素组成的集合称为总体(或称母体),而把组成总体的每个元素称为个体。例如,在考察某批灯泡的质量时,该批灯泡的全体就组成一个总体,而其中每个灯泡就是个体。

            但是,在实际应用中,人们所关心的并不是总体中个体的一切方面,而所研究的往往是总体中个体的某一项或某几项数量指标。例如,考察灯泡质量时,我们并不关心灯泡的形状,式样等特征,而只研究灯泡的寿命、亮度等数量指标特征。如果只考察灯泡寿命这一项指标时,由于一批灯泡中每个灯泡都有一个确定的寿命值,因此,自然地把这批灯泡寿命值的全体视为总体,而其中每个灯泡的寿命值就是个体。由于具有不同寿命值的灯泡的比例是按一定规律分布的,即任取一个灯泡其寿命为某一值具有一定概率,因而,这批灯泡的寿命是一个随机变量,也就是说,可以用一个随机变量 X X X 来表示这批灯泡的寿命这个总体。因此,在数理统计中,任何一个总体都可用一个随机变量来描述。总体的分布及数字特征,即指表示总体的随机变量的分布及数字特征。对总体的研究也就归结为对表示总体的随机变量的研究。

    3.2 样本

            为了了解总体 X X X 的分布规律或某些特征,必须对总体进行抽样观察,即从总体 X X X 中,随机抽取 n n n 个个体 X 1 , X 2 , ⋯   , X n X_1, X_2, \cdots, X_n X1,X2,,Xn,记为 ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) T (X_1, X_2, \cdots, X_n)^T (X1,X2,,Xn)T,并称此为来自总体 X X X 的容量为 n n n样本。由于每个 X i X_i Xi 都是从总体 X X X 中随机抽取的,它的取值就在总体 X X X 的可能取值范围内随机取得,自然每个 X i X_i Xi 也是随机变量,从而样本 ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) T (X_1, X_2, \cdots, X_n)^T (X1,X2,,Xn)T 是一个 n n n 维随机向量。 ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) T (X_1, X_2, \cdots, X_n)^T (X1,X2,,Xn)T 是一个 n n n 维随机向量。在抽样观测后,它们是 n n n 个数据 ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) T (x_1, x_2, \cdots, x_n)^T (x1,x2,,xn)T,称之为样本 ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) T (X_1, X_2, \cdots, X_n)^T (X1,X2,,Xn)T 的一个观测值,简称样本值。
            我们的目的是依据从总体 X X X 中抽取的一个样本值 ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) T (x_1, x_2, \cdots, x_n)^T (x1,x2,,xn)T,对总体 X X X 的分布或某些特征进行分析推断,因而要求抽取的样本能很好地反映总体的特征且便于处理,于是,提出下面两点要求:
    (1)代表性——要求样本 ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) T (X_1, X_2, \cdots, X_n)^T (X1,X2,,Xn)T同分布且每个 X i X_i Xi 与总体 X X X 具有相同的分布。
    (2)独立性——要求样本 ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) T (X_1, X_2, \cdots, X_n)^T (X1,X2,,Xn)T 是相互独立的随机变量。
            满足上述两条性质的样本称为简单随机样本

    3.3 统计量

            样本是进行统计推断的依据。在应用时,往往不是直接使用样本本身,而是针对不同的问题构造样本的适当函数,利用这些样本的函数进行统计推断。
            设 X 1 , X 2 , ⋯   , X n X_1, X_2, \cdots, X_n X1,X2,,Xn 是来自总体 X X X 的一个样本, g ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) g(X_1, X_2, \cdots, X_n) g(X1,X2,,Xn) X 1 , X 2 , ⋯   , X n X_1, X_2, \cdots, X_n X1,X2,,Xn 的函数,若 g g g 中不含任何未知参数,则称 g ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) g(X_1, X_2, \cdots, X_n) g(X1,X2,,Xn) 是一统计量。
            因为 X 1 , X 2 , ⋯   , X n X_1, X_2, \cdots, X_n X1,X2,,Xn 都是随机变量,而统计量 g ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) g(X_1, X_2, \cdots, X_n) g(X1,X2,,Xn) 是随机变量的函数,因此统计量是一个随机变量。

            参数是用来描述总体特征的概括性数字度量,是研究者想要了解的总体的某种特征值。由于总体数据通常是不知道的,所以参数是一个未知的常数。统计量是用来描述样本特征的概括性数字度量,它是根据样本数据计算出来的一个量。由于抽样是随机的,所以统计量是样本的函数;由于样本是已知的,所以统计量总是知道的。抽样的目的就是要根据样本统计量去估计总体参数。

    3.4 样本和随机变量

            统计里的样本有二重性,即样本既可以看作是一组观测值又可以看作是随机变量。因为在抽样之前,样本观测值是未知的,所以可以看成是随机变量(设该样本为 X X X,抽取之前 X X X 的值未知, X X X 的值是什么,其概率分布是符合对应随机变量概率分布的);而当样本抽取完之后又是一组确定的值,故又可以看成是一组确定的值。一般情况下把样本看作是一组随机变量。

            个人理解: 在统计学里,即抽样分布里,在数据是一维的时候,可以把每个样本都看做一个随机变量;但到了概率论中,对于给定一个多维数据,比如多个样本多个特征,此时应该把每个特征看做一个随机变量,这时才有协方差矩阵的概念。随机变量是贯穿于概率论和数理统计的一个概念,在前后学习的时候如果可以正确认识,会对统计有更深的理解。


    参考

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  • 什么是随机变量? 设随机试验的样本空间为 S={e}S = \{e\}S={e} ,X=X(e)X = X_{(e)}X=X(e)​是定义在样本空间SSS上的实值单值函数,称X=X(e)X = X{(e)}X=X(e)为随机变量 随机变量与普通变量有何不同 随机变量的取值...

    什么是随机变量?

    设随机试验的样本空间为 S = { e } S = \{e\} S={e} X = X ( e ) X = X_{(e)} X=X(e)是定义在样本空间 S S S上的实值单值函数,称 X = X ( e ) X = X{(e)} X=X(e)为随机变量

    随机变量与普通变量有何不同

    随机变量的取值随试验结果而定,在试验之前不能预知它取什么值,且它的取值有一定的概率

    随机变量有哪些分类?

    离散型随机变量:随机变量的所有可能取值可能是有限多个或无限多个,但都是分散的

    连续型随机变量:随机变量的所有可能值连续的充满整个区间

    什么是离散型随机变量的分布律?

    设离散型随机变量 X X X的所有可能的取值为 x k ( k = 1 , 2 , . . . ) x_{k}(k=1,2,...) xk(k=1,2,...), X X X取各个可能值的概率

    { X = x k } \{X=x_{k}\} {X=xk}的概率为

    P { X = x k } = p k , k = 1 , 2 , … P\{X=x_k\} = p_k,k = 1,2,\dots P{X=xk}=pk,k=1,2,此公式为离散型随机变量 X X X的分布率

    离散型随机变量分布率有哪些性质?

    由概率的定义, p k p_k pk满足:

    ​ 1、 P k ≥ 0 , k = 1 , 2 , … P_k \geq 0 , k = 1,2,\dots Pk0,k=1,2,

    ​ 2、 ∑ p k = 1 \sum p_k = 1 pk=1

    总结求分布律的思路方法。思考知道分布律能解决什么问题?

    标记方法分布率参数意义试验场景
    两点分布 X ( e ) X_{(e)} X(e) P ( X = k ) = p k ( 1 − p ) 1 − k , k = 0 , 1 P(X=k)=p^k(1-p)^{1-k} , k=0,1 P(X=k)=pk(1p)1k,k=0,1 X X X为随机变量, k k k为随机变量的取值, p p p为随机变量取值为 k k k时发生的概率新生婴儿性别,产品是否合格
    二项分布 X X X ~ B ( n , p ) B(n,p) B(n,p) P ( X = k ) = ( n k ) p k q n − k P(X=k)={n\choose k}p^k q^{n-k} P(X=k)=(kn)pkqnk X X X为随机变量, k k k为随机变量的取值, p p p为随机变量取值为 k k k时发生的概率, n n n为试验次数贝努里试验
    泊松分布 P ( λ ) P(\lambda) P(λ) P ( X = k ) = λ k e − λ k ! P(X=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda }}{k!} P(X=k)=k!λkeλ λ > 0 \lambda > 0 λ>0是常数排队问题
    几何分布 F ( X ) F(X) F(X) P ( x = k ) = ( 1 − p ) k − 1 , p , j = 1 , 2 , … P(x=k)=(1-p)^{k-1},p,j=1,2,\dots P(x=k)=(1p)k1,p,j=1,2, 0 < p < 1 0<p<1 0<p<1首次成功问题
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  • 泊松随机变量及指数随机变量

    千次阅读 2021-12-16 10:06:55
    泊松随机变量(poisson random variables)是离散型随机变量 指数随机变量 (exponential random variables) 是连续型随机变量 泊松随机变量 该变量描述的是一个事件,在指定时间范围内,可能发生的次数(这里涉及到三...

    泊松随机变量(poisson random variables)是离散型随机变量
    指数随机变量 (exponential random variables) 是连续型随机变量

    泊松随机变量

    该变量描述的是一个事件,在指定时间范围内,可能发生的次数(这里涉及到三个元素,分别是时间,事件,以及事件发生的可能次数)

    泊松分布(poisson distribution)

    1、描述在一定时间范围内,一个事件发生的次数的概率分布
    2、泊松分布的概率质量函数(probability mass function),期望及方差
    在这里插入图片描述

    泊松分布例子

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    指数随机变量

    指数随机变量是连续的,用来描述独立随机事件发生的时间间隔,
    在这里插入图片描述

    指数分布(Exponential distribution)

    用于描述独立随机事件发生的时间间隔的概率分布
    在这里插入图片描述

    指数分布的一些特性

    1、如果在特定时间内,事件发生的次数符合泊松分布,那事件发生的间隔的时间就是指数分布(这里描述的是指数分布与泊松分布存在的关系)
    在这里插入图片描述
    2、指数分布的无记忆性
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

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  • 二维随机变量

    千次阅读 2021-04-04 12:09:56
    什么是二维随机变量? 设EEE是一个随机试验,它的样本空间是S={e}S=\{e\}S={e},设X=X(e)X=X(e)X=X(e)和Y=Y(e)Y=Y(e)Y=Y(e)是定义在SSS上的随机变量 由他们构成的一个向量(X,Y)(X,Y)(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机...

    什么是二维随机变量?

    E E E是一个随机试验,它的样本空间是 S = { e } S=\{e\} S={e},设 X = X ( e ) X=X(e) X=X(e) Y = Y ( e ) Y=Y(e) Y=Y(e)是定义在 S S S上的随机变量

    由他们构成的一个向量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)叫做二维随机向量二维随机变量

    二维随机变量的分布函数的定义及性质

    • 定义

    ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)是二维随机变量,对于任意实数 x , y x,y x,y,二元函数:

    称为二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)分布函数,或称为随机变量 X X X Y Y Y联合分布函数

    • 性质
    1. F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)是变量 x x x y y y的不减函数,即对于任意固定的 y y y,当 x 2 > x 1 x_2>x_1 x2>x1 F ( x 2 , y ) ≥ F ( x 1 , y ) F(x_2,y) \ge F(x_1,y) F(x2,y)F(x1,y),对固定的 x x x同理
    2. 0 ≤ F ( x , y ) ≤ 1 0 \le F(x,y) \le 1 0F(x,y)1 F ( − ∞ , ∞ ) = 0 F(-\infty,\infty) = 0 F(,)=0 F ( ∞ , ∞ ) = 1 F(\infty,\infty) = 1 F(,)=1
    3. 对于任意固定的 y y y F ( − ∞ , y ) = 0 F(-\infty,y)=0 F(,y)=0,对于任意固定的 x x x F ( x , − ∞ ) = 0 F(x,-\infty)=0 F(x,)=0
    4. F ( x + 0 , y ) = F ( x , y ) F(x+0,y)=F(x,y) F(x+0,y)=F(x,y) F ( x , y + 0 ) = F ( x , y ) F(x,y+0)=F(x,y) F(x,y+0)=F(x,y),即 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)关于 x x x y y y右连续
    5. 对于任意的 ( x 1 , y 1 ) (x_1,y_1) (x1,y1) ( x 2 , y + 2 ) (x_2,y+2) (x2,y+2) x 1 < x 2 x_1 < x_2 x1<x2 y 1 < y 2 y_1 < y_2 y1<y2有: P { x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) + F ( x 1 , y 1 ) ≥ 0 \\P\{x_1 < X \le x_2,y_1 < Y \le y_2\} = F(x_2,y_2) - F(x_2,y_1) - F(x_1,y_2) + F(x_1,y_1) \ge 0 P{x1<Xx2,y1<Yy2}=F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)0

    二维离散型随机变量的分布率及性质

    • 定义

    设二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)所有可能取的值为 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi) i , j = 1 , 2 , ⋯ i,j = 1,2,\cdots i,j=1,2,

    我们称 P ( X = x i , Y = y i ) = p i j P(X=x_i,Y=y_i) = p_{ij} P(X=xi,Y=yi)=pij i , j = 1 , 2 , . . . i,j=1,2,... i,j=1,2,...,为二维离散型随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布率

    • 性质

    P ( X = x i , Y = y i ) = p i j P(X=x_i,Y=y_i) = p_{ij} P(X=xi,Y=yi)=pij i , j = 1 , 2 , . . . i,j=1,2,... i,j=1,2,...,则由概率的定义有 p i j ≥ 0 p_{ij} \ge 0 pij0 ∑ i = 1 ∞ ∑ j = 1 ∞ p i j = 1 \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} p_{ij} = 1 i=1j=1pij=1

    二维离散型随机变量的分布函数计算公式

    设二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)所有可能取的值为 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi) i , j = 1 , 2 , ⋯ i,j = 1,2,\cdots i,j=1,2,

    F ( x , y ) = ∑ i = 1 x ∑ j = 1 y p x y F(x,y) = \sum_{i=1}^{x} \sum_{j=1}^{y} p_{xy} F(x,y)=i=1xj=1ypxy

    二维连续型随机变量的概率密度及性质

    对于二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)如果存在非负可积函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)使得对于任意 x , y x,y x,y

    F ( x , y ) = ∫ − ∞ y ∫ − ∞ x f ( u , v ) d u d v F(x,y) = \int_{-\infty}^y \int_{-\infty}^x f(u,v) dudv F(x,y)=yxf(u,v)dudv

    则称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)二维连续性随机变量,函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)称为二维连续性随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)概率密度,或称为随机变量 X X X Y Y Y联合概率密度

    • 性质
    1. f ( x , y ) ≥ 0 f(x,y) \ge 0 f(x,y)0
    2. ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d x d y = F ( ∞ , ∞ ) = 1 \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dxdy = F(\infty,\infty) = 1 f(x,y)dxdy=F(,)=1
    3. G G G x O y xOy xOy平面上的区域,点 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)落在 G G G内的概率为 P { ( X , Y ) ∈ G } = ∬ G f ( x , y ) d x d y P\{(X,Y) \in G\} = \iint_G f(x,y)dxdy P{(X,Y)G}=Gf(x,y)dxdy
    4. f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)连续,则有 ∂ 2 F ( x , y ) ∂ x ∂ y = f ( x , y ) \frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x \partial y} = f(x,y) xy2F(x,y)=f(x,y)

    二维连续性随机变量的分布函数计算公式

    F ( x , y ) = ∫ − ∞ y ∫ − ∞ x f ( u , v ) d u d v F(x,y) = \int_{-\infty}^y \int_{-\infty}^x f(u,v) dudv F(x,y)=yxf(u,v)dudv

    如何求连续型随机变量落在区域 G G G内概率 P { ( X , Y ) ∈ G } P\{(X,Y) \in G\} P{(X,Y)G}的公式

    P = { ( X , Y ) ∈ G } = ∫ ∫ G ( x , y ) d x d y P= \{(X,Y) \in G\} = \int\int_G(x,y)dxdy P={(X,Y)G}=G(x,y)dxdy

    常见的二维分布

    均匀分布 f ( x , y ) = { 1 S , ( x , y ) ∈ D 0 , 其 他 f(x,y) = \left\{\begin{aligned}& \frac{1}{S} ,(x,y) \in D \\&0 \qquad ,其他\end{aligned}\right. f(x,y)=S1(x,y)D0,

    二维正态分布

    在这里插入图片描述

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    2021-11-11 10:24:43
    随机变量的分布函数 定义 设XXX是一个随机变量,xxx是任意实数,函数F(x)=P{X⩽x}F(x)= P\{X \leqslant x\}F(x)=P{X⩽x}称为X的分布函数(X为数轴上随机点的坐标) 分布函数F(x)F(x)F(x)表示随机变量XXX落在(−∞,x]...
  • 概率论之 多维随机变量的期望,协方差矩阵前言多维系统状态多维随机变量的期望多维随机变量的协方差矩阵矩阵表示公式表示后记 前言 上一次写了一维随机变量的期望,方差,协方差。本次来记录多维随机变量的期望和...
  • 变量值的项数N为奇数时,处于中间位置的变量值即为中位数;当N为偶数时,中位数则为处于中间位置的2个变量值的平均数。html>//求中位数functionmedian(sortedArr){varn=sortedArr.length;if(n%2==0)return...
  • 概率论总结(一):离散随机变量

    千次阅读 2021-05-07 02:03:42
    目录: 离散随机变量定义及性质 常见的离散概率分布 - 伯努利分布 - 二项分布 - 几何分布 - 泊松分布 期望、矩、方差、标准差 多个随机变量的联合分布 ...离散随机变量的函数也是一个离散随机变量,它的分布列
  • 随机变量:取值依赖于某个随机试验的结果,并由事件结果所确定的变量X(ω)为随机变量,简记X 随机变量基本特点:1.变异性:不同的试验结果可能取不同的值 2.随机性:试验中出现的结果是随机的 离散型随机变量的...
  • 排列与组合 function y=pailie(n,k)y=factorial(n)/factorial(n-k);function y=zuhe(n,k)y=pailie(n,k)/factorial(k); >> p=zuhe(5,2)*zuhe(3,2)/zuhe(8,4)p =0.4286分布律与分布函数: 二项分布: >...
  • 概率是描述在一次随机试验中的某个随机事件发生可能性大小的度量。 随机事件与基本事件 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件。试验的每一个可能的结果称为基本事件。 什么是随机现象? 在给定的...
  • 随机变量与普通函数的区别

    千次阅读 2021-03-02 20:42:30
  • 前言 ... 为了能重复执行这个接口,可以在请求前清理测试数据,也可以把请求的参数设置成一个可变的值(每次不一样),这样就可以每次都能注册成功了。 使用动态变量 ...当输入{ 的时候,会自动显示上面三种随机
  • 随机变量的定义:设随机试验的样本空间为S={e}.X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数,称X=X(e)为随机变量;e为样本点。 比如我们掷两次骰子,投资点数之和为e,即e的值可以为2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12, X ...
  • 如果随机变量X的所有可能取值不可以逐个列举出来,而是取数轴上某一区间内的任意点,那么称之为连续型随机变量。例如,一批电子元件的寿命、实际中常遇到的测量误差等都是连续型随机变量。>&g...
  • 设 XXX 是一个随机变量,称 φ(t)=E(eitX),−∞<t<∞\varphi(t)=E(e^{itX}),-\infty<t<\inftyφ(t)=E(eitX),−∞<t<∞ 为 XXX 的 特征函数 例: 均匀分布 U(a,b) 因为密度函数为 p(x)={1b−a,a<...
  • 随机变量及其分布

    2021-05-22 23:10:39
    随机变量分为两大类:离散型和非离散型,其中非离散型包括连续型和混合型 随机变量:对每一个样本点e都有X=X(e)与之对应,则X为随机变量 离散型随机变量 离散型:随机变量的全部可能取值是有限个或可列无限个 离散型...
  • 原理:Y的概率等于其原象的概率之和 证明如下
  • 概率论之 一维随机变量的期望,方差,协方差前言一维系统期望公式性质方差公式性质协方差公式性质相关系数相关性与独立性后记 前言 随机变量的期望、方差、协方差性质非常重要,但又比较容易忘,记录一下加深记忆。...

空空如也

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怎么理解随机变量