浮点数的加减运算一般由以下五个步骤完成：对阶、尾数运算、规格化、舍入处理、溢出判断

一、对阶

所谓对阶是指将两个进行运算的浮点数的阶码对齐的操作。

对阶的目的是为使两个浮点数的尾数能够进行加减运算。

因为，当进行M x·2Ex与M y·2Ey加减运算时，只有使两浮点数的指数值部分相同，才能将相同的指数值作为公因数提出来，然后进行尾数的加减运算。

对阶的具体方法是：首先求出两浮点数阶码的差，即⊿E＝E x-E y，将小阶码加上⊿E，使之与大阶码相等，同时将小阶码对应的浮点数的尾数右移相应位数，以保证该浮点数的值不变。

几点注意：

（1）对阶的原则是小阶对大阶，之所以这样做是因为若大阶对小阶，则尾数的数值部分的高位需移出，而小阶对大阶移出的是尾数的数值部分的低位，这样损失的精度更小。

（2）若⊿E＝0，说明两浮点数的阶码已经相同，无需再做对阶操作了。

（3）采用补码表示的尾数右移时，符号位保持不变。

（4）由于尾数右移时是将最低位移出，会损失一定的精度，为减少误差，可先保留若干移出的位，供以后舍入处理用。

二、尾数运算

尾数运算就是进行完成对阶后的尾数相加减。这里采用的就是我们前面讲过的纯小数的定点数加减运算。

三、结果规格化

在机器中，为保证浮点数表示的唯一性，浮点数在机器中都是以规格化形式存储的。

对于IEEE754标准的浮点数来说，就是尾数必须是1.M的形式。

由于在进行上述两个定点小数的尾数相加减运算后，尾数有可能是非规格化形式，为此必须进行规格化操作。

规格化操作包括左规和右规两种情况。

左规操作：将尾数左移，同时阶码减值，直至尾数成为1.M的形式。

例如，浮点数0.0011·25是非规格化的形式，需进行左规操作，将其尾数左移3位，同时阶码减3，就变成1.1100·22规格化形式了。

右规操作：将尾数右移1位，同时阶码增1，便成为规格化的形式了。

要注意的是，右规操作只需将尾数右移一位即可，这种情况出现在尾数的最高位（小数点前一位）运算时出现了进位，使尾数成为10.xxxx或11.xxxx的形式。例如，10.0011·25右规一位后便成为1.00011·26的规格化形式了。

四、 舍入处理

浮点运算在对阶或右规时，尾数需要右移，被右移出去的位会被丢掉，从而造成运算结果精度的损失。

为了减少这种精度损失，可以将一定位数的移出位先保留起来，称为保护位，在规格化后用于舍入处理。

IEEE754标准列出了四种可选的舍入处理方法：

（1）就近舍入（round to nearest）这是标准列出的默认舍入方式，其含义相当于我们日常所说的“四舍五入”。

例如，对于32位单精度浮点数来说，若超出可保存的23位的多余位大于等于100…01，则多余位的值超过了最低可表示位值的一半，这种情况下，舍入的方法是在尾数的最低有效位上加1；若多余位小于等于011…11，则直接舍去；若多余位为100…00，此时再判断尾数的最低有效位的值，若为0则直接舍去，若为1则再加1。

（2）朝+∞舍入（round toward +∞）对正数来说，只要多余位不为全0，则向尾数最低有效位进1；对负数来说，则是简单地舍去。

（3）朝-∞舍入（round toward -∞）与朝+∞舍入方法正好相反，对正数来说，只是简单地舍去；对负数来说，只要多余位不为全0，则向尾数最低有效位进1。

（4）朝0舍入（round toward 0）

即简单地截断舍去，而不管多余位是什么值。这种方法实现简单，但容易形成累积误差，且舍入处理后的值总是向下偏差。

五、 溢出判断

与定点数运算不同的是，浮点数的溢出是以其运算结果的阶码的值是否产生溢出来判断的。

• 若阶码的值超过了阶码所能表示的最大正数，则为上溢，进一步，若此时浮点数为正数，则为正上溢，记为+∞，若浮点数为负数，则为负上溢，记为-∞；
• 若阶码的值超过了阶码所能表示的最小负数，则为下溢，进一步，若此时浮点数为正数，则为正下溢，若浮点数为负数，则为负下溢。
• 正下溢和负下溢都作为0处理。

要注意的是，浮点数的表示范围和补码表示的定点数的表示范围是有所不同的，定点数的表示范围是连续的，而浮点数的表示范围可能是不连续的。

六、例子

float a=0.3; b=1.6;

a=(0.3)10=(0011 1110 1001 1001 1001 1001 1001 1010)2    Sa=0    Ea=011 1110 1    Ma=1.001 1001 1001 1001 1001 1010

b=(1.6)10=(0011 1111 1100 1100 1100 1100 1100 1101)2      Sb=0    Eb=011 1111 1     Mb=1.100 1100 1100 1100 1100 1101

a+b=?

第一步：对阶

∵ Ea<Eb   Eb-Ea=2

∴ Ma要调整为 0.0 1001 1001 1001 1001 1001 10       10

   E=011 1111 1

第二步：尾数运算

    0.01001100110011001100110

+  1.10011001100110011001101

    1.11100110011001100110011‬

第三步：规格化

1.11100110011001100110011‬已经是个规格化数据了

第四步：舍入处理

由于在对阶时，Ma有右移，且第一次最高为1，第二次为0，所以按"0舍1入"，尾数运算结果调整为 1.11100110011001100110100

第五步：溢出判断

没有溢出，阶码不调整，所以最后的结果为

a+b=(0  01111111  11100110011001100110100)2=(0011 1111 1111 0011 0011 0011 0011 0100)2=(3FF33334)16

转为10进制

a+b=1.90000010

b-a=?

第一步：对阶

跟上面加法一样

第二步：尾数运算

   1.10011001100110011001101           

-  0.01001100110011001100110

   1.01001100110011001100111

第三步：规格化

1.01001100110011001100111已经是个规格化数据了

第四步：舍入处理

由于在对阶时，Ma有右移，且第一次最高为1，第二次为0，所以按"0舍1入"，尾数运算结果调整为 1.01001100110011001100110

第五步：溢出判断

没有溢出，阶码不调整，所以最后的结果为

a-b=(0  01111111  01001100110011001100110)2=(0011  1111  1010  0110  0110  0110  0110  0110)2=(3FA66666)16

转为10进制

a-b=1.29999995

附：浮点运算加法器逻辑电路

摘自

 浮点数的运算步骤 - 活着的虫子 - 博客园

2.5.3 浮点数的乘除法运算

运算步骤：

        ①阶码加减

        ②尾数的乘除

        ③规格化操作

        ④舍入操作

        ⑤判断阶码溢出

        具体步骤与浮点数加减法相似，不再赘述！

链接：2.5 浮点数的表示及运算（浮点数加减法运算）_凤文Sharing的博客-CSDN博客

有上节的基础，本节直接看例题即可：

这里用的是原码一位乘进行尾数相乘：

 这里用的是原码两位乘，与上一张图片结果一致。