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  • 数字信号处理:理解奈奎斯特采样定律
    2021-05-21 11:11:00

    我们以观察转轮为例来理解一下采样周期和信号周期的关系。

    转轮被分割成8个可区分的部分,标序号1-8。假设转动(信号)周期为8秒,拍摄(采样)周期也为8秒,也就是每8秒都给转轮拍一张照片,每次拍摄转轮恰好转过一个周期,在照片中相位完全不发生改变。减少采样周期至4秒,此时可以观察到轮子发生转动,但不知道顺时针或逆时针转动。进一步的,减少采样周期至3秒甚至更少,我们可以看出轮子转动的具体相位情况。因此,采样周期应当小于原信号周期的0.5倍,采样频率则应为信号频率的两倍。

     

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    定义:为了不失真地恢复模拟信号,采样频率应该不小于模拟信号频谱中最高频率的2倍。

     

    香农采样定理,又称奈奎斯特采样定理,是信息论,特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论。采样是将一个信号(即时间或空间上的连续 函数)转换成一个数值序列(即时间或空间上的离散函数)。采样得到的离散信号经保持器后,得到的是阶梯信号,即具有零阶保持器的特性。如果信号是带限的,并且采样频率高于信号最高频率的一倍,那么,原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。公式为:fs≥2fmax。采样率越高,稍后恢复的波形就越接近原信号,但是对系统的要求就更高,转换电路必须具有更快的转换速度。

     分别是采样频率大于、等于和小于奈奎斯特采样的情况,小于的情况下直接出现了混叠。

     

    网上找到图片

    所以说:采样定理是连续信号和离散信号之间的桥梁。

    举个列子:

     采样定理的作用和意义:

           采样过程所应遵循的规律,又称取样定理、抽样定理。采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系,是连续信号离散化的基本依据。采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的,因此称为奈奎斯特采样定理。1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理,因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用,因此在许多文献中又称为香农采样定理。采样定理有许多表述形式,但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。

    采样定理在数字式遥测系统、分时制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用。

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  • 奈奎斯特采样定理

    万次阅读 多人点赞 2018-07-29 19:43:27
    但对于计算机来说,处理这些连续的信号显然是无能为力,要使计算机能够识别、计算、处理这些连续信号就必须将其转化为离散信号,将连续信号转换为离散信号的过程就叫采样。常用的mp3、数码照片、视频等都是经过了...

    现实世界接触到的诸如电信号、光信号、声音信号等这些信号都是随时间连续变化的,称之为连续信号。但对于计算机来说,处理这些连续的信号显然是无能为力,要使计算机能够识别、计算、处理这些连续信号就必须将其转化为离散信号,将连续信号转换为离散信号的过程就叫采样。常用的mp3、数码照片、视频等都是经过了采样,才能应用于计算机上。
    采样后,计算机得到的是离散的点,用这些离散的点来代替连续的线就势必会产生误差,那么这个误差是不是在容许的范围内,根据采样得到离散的点能不能还原出连续的信号?

    奈奎斯特采样定理
    奈奎斯特采样定理解释了采样率和所测信号频率之间的关系。 阐述了采样率fs必须大于被测信号感兴趣最高频率分量的两倍。 该频率通常被称为奈奎斯特频率fN。

    公式7. 采样率应大于奈奎斯特频率的两倍。

    为更好理解其原因,让我们来看看不同速率测量的正弦波。 情况A,频率f的正弦波以同一频率采样。 这些采样标记在原始信号的左侧,在右侧构建时,信号错误地显示为恒定直流电压。 情况B,采样率是信号频率的两倍。 现在信号显示为三角波。 这种情况下,f等于奈奎斯特频率,这也是特定采样频率下为了避免混叠而允许的最高频率分量。 情况C,采样率是4f/3。

    图6. 采样率过低会造成波形重构不准确。

    采样率过低会造成波形重构不准确。因此,为了无失真地恢复原波形信号,采样率fs必须大于被测信号感兴趣最高频率分量的两倍。 通常希望采样率大于信号频率约五倍。

    混叠
    如需按一定速率采样以避免混叠,那么混叠到底是什么? 如果信号的采样率低于两倍奈奎斯特频率,采样数据中就会出现虚假的低频成分。 这种现象便称为混叠。 

    图7. 混叠发生在采样率过低的时候,产生不精确的波形显示。

     混叠发生在采样率过低的时候,产生不精确的波形显示。

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  • 首先,为什么要有带通采样定理这个东西呢,对于所有的信号都使用奈奎斯特采样定理它不香吗?对于一些低频信号,使用奈奎斯特采样定理,那确实挺好。但是,科技在发展呀,现在基带信号骑在载波信号上形成的调制信号,...

    终于写到这篇博文,相比于低通采样定理,带通采样定理在刚开始接触时,是真的难理解。现在,就由让我来引导你弄清楚带通采样定理吧。

    • 首先,为什么要有带通采样定理这个东西呢,对于所有的信号都使用奈奎斯特采样定理它不香吗?对于一些低频信号,使用奈奎斯特采样定理,那确实挺好。但是,科技在发展呀,现在基带信号骑在载波信号上形成的调制信号,那真的是层出不穷,载波信号有的上来就是三十多G,而基带信号的带宽可能就10M。现在我想把这个调制信号经过采样变成数字信号,我们要是使用奈奎斯特采样定理,你自己算算采样频率fs要多大,六七十Ghz,当然理论上这是可以采样的,但是,重要的是但是:实际中,你要做个这样的A/D转换器?太难了。
    • 奈奎斯特采样定理说明采样频率fs要不小于信号最高频率fH的两倍,最后就能无失真的恢复原信号。如果将从0到fH表示为这个信号的带宽(当然,这时的信号是个低频信号,比较好理解,别又是三四十Ghz的信号了),这时候其实也可以表示为fs只要不小于原信号两倍的带宽即2B就行了。而带通采样定理呢?fs也是以不小于原信号的带宽的两倍为条件的,当然可以根据fH与原信号带宽的关系,分为等于两倍带宽和大于两倍带宽两种。这是下面要讲的,这里看不懂,没关系。感觉还是补充一下什么是带宽吧,如下图中的B就是该信号的带宽。其中f0是中心频率,假设其是载波的频率。
      在这里插入图片描述
    • 下面可以直接上图了:
      图(1)

    这是原始信号的频谱图,现在我们要对于这个频谱图对应的时域信号x(t)进行采样,时域采样对应着频域的啥?频谱的周期延拓呗。下面这个图就是上面的频谱图进行周期延拓后的图。
    在这里插入图片描述
    当然,这个图只是一个特例,即是一个极限,刚好经过fs采样后,延拓后的频谱首尾相连,其实中间也可以是有空隙的,这里是为了由极限来推出公式而已。

    • 推导公式如下:
      { − f L + ( m − 1 ) f s ≤ f L f H ≤ − f H + m f s \left\{\begin{array}{c}-f_{\mathrm{L}}+(m-1) f_{\mathrm{s}} \leq f_{\mathrm{L}} \\ f_{\mathrm{H}} \leq-f_{\mathrm{H}}+m f_{\mathrm{s}}\end{array}\right. {fL+(m1)fsfLfHfH+mfs (1)
      这个公式一定要看懂哈,应该没啥难得吧,要是还是感觉看不懂可以在下方留言,让看到的朋友跟你解释,我看到的话,也会第一时间帮你解释解释。记住频谱是以fs为周期进行左右频移的。
    • 对于上面的公式进行变换可以得到:
      2 f H m ≤ f s ≤ 2 f L m − 1 \frac{2 f_{\mathrm{H}}}{m} \leq f_{\mathrm{s}} \leq \frac{2 f_{\mathrm{L}}}{m-1} m2fHfsm12fL (2)
    • 不要以为到这里公式就完了,这个m,它要有范围呀,你认为它能取到无穷大吗?肯定不行呀。
      首先,m是个整数;
      其次, 1 ≤ m ≤ ⌊ f H B ⌋ 1 \leq m \leq\left\lfloor\frac{f_{\mathrm{H}}}{B}\right\rfloor 1mBfH (3)
      这里 ⌊ ⋅ ⌋ \lfloor\cdot\rfloor 是向下取整哈。
    • 到最后了,可以说明为啥子fH与B的关系为什么可以影响到fs是取2B,还是要大于2B了。
      先看公式(2),如果说fH=nB,那么由公式(3),你说m最大可以取到几?当然是n了,这时候fs=2B,如果fH=(n+0.1)B,此时m最大值仍然是取n,这时候fs就要大于2B了。当然上面的m最大值是n,但是不一定是取n哈,如果不取n,那么fs就肯定大于2B了。
    • 欧克,到此结束,最后还要再把重点说一下,不论是奈奎斯特采样还是带通采样,都可以认为是fs不小于2B最后恢复信号时,即可完全恢复。所以说,其实带通采样也是满足奈奎斯特采样的,而奈奎斯特采样可以看作是带通采样的特例。
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空空如也

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