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    [注意:本文中所有的傅里叶变换和反变换均含对称因子$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$,且$z=e^{-ik\omega}$]

    1. 多分辨率分析

    1.1 概念

    多分辨率分析指的是一系列$L^2(R)$的子空间$V_j$,每个子空间$V_{j+1}$都是它“上一级”子空间$V_j$的“精细化”:

    (i) $V_j\subset V_{j+1}$    # 子空间逐级嵌套

    (ii) $\overline{U_{j \in Z}V_j}=L^2(R)$  # 所有子空间的并“构成”$L^2(R)$。注意此处上横线不是求补的意思(待补充:)

    (iii) $\cap_{j \in Z} V_j=\{0\}$    # 全部子空间的交为空集。可这样理解:交的结果趋向于最“不精细”的那个子空间$V_{-\infty}$

    (iv) $f(t) \in V_0 \iff f(2^jt)\in V_j$ # 子空间之间存在“缩放”关系

    对子空间$V_0$,存在一组尺度函数$\{ \phi (t-k) \}$作为规范正交基。

    我们假定$\phi(t)$是实值且归一化的函数,那么下式成立:

    $\int_R\phi(t)dt=\sqrt{2\pi}\Phi(0)=1$   # 傅里叶变换式取$\omega=0$即得

    根据子空间之间的“包含”和“缩放”关系,可以写出空间$V_j$的规范正交基:

    $\phi_{j,k}(t)=2^{j/2}\phi(2^jt-k)$

    系数$2^{j/2}$使得时间尺度变换后的基的范数仍为1。

    如果函数$f(t) \in \sum_{k \in Z}c_k\phi_{j,k}(t)$,那么可以写出$f(t)$在$V_j$的规范正交基上的投影:

    $c_k=\langle f(t),\phi_{j,k}(t) \rangle$

    因为各级子空间存在包含与被包含的关系,所以子空间$V_j$的基总可以用$V_{j+1}$的基的线性组合表示。例如:

    $\phi (t) = \sqrt{2} \sum_{k \in Z} h_k \phi (2t-k)$

    上式中,$h_k=\langle \phi(t), \phi_{1,k}(t) \rangle$

    对于更一般的$\phi_j(t)$:

    $\phi_j(t)=\sum_{k \in Z} h_k \phi_{j+1,k}(t)$

    注意对上式中的各级子空间$V_0, V_1, ..., V_j, V_{j+1}, ...$,$h_k$总是相同的。

    对于更更一般的$\phi_{j,k}(t)$,将$h_k$进行移位即可:

    $\phi_{j,l}(t)=\sum_{k \in Z} h_{k-2l} \phi_{j+1, k}(t)$

    考虑到各级子空间之间的尺度关系,$h$的下标为$k-2l$是自然的事。

    系数$h_k$称为尺度滤波器,具有如下性质:

    (i) $\sum_{k \in Z} h_k=\sqrt{2}$    # 为了保持归一化,$\sum h_k$必须等于$\sqrt{2}$。回想下HAAR的尺度滤波器系数

    (ii) $\sum_{k \in Z} h_k h_{k-2l} = \delta(l)$  # 因为$\phi(t)$是正交基,所以距离为$2l$的权序列不相关

    (iii) $\sum_{k \in Z} h_k^2=1$  # 为了保持尺度变换前后(尺度滤波器内的部分)能量不变

    如果将$L^2(R)$上的任意函数$f(t)$投影到$V_j$:

    $P_{f,j}(t)=\sum_{k \in Z}\langle f(t), \phi_{j,k}(t) \rangle\phi_{j,k}(t)$

    如果我们有一个函数$f_{j+1}\in V_{j+1}$,那么有:

    $f_{j+1}(t)=\sum_{k \in Z}a_k\phi_{j+1,k}(t)$

    现在将$f_{j+1}(t)$投影到$V_j$:

    $f_j(t)=\sum_{l\in Z}b_l\phi_{j,l}(t)$

    为了求出$b_l$的表达式,我们可以这样考虑:

    想象一下将$\phi_{j+1}$投影到$V_j$,每一个$\phi_{j+1}$都要用$\phi_j$的线性组合来表示。所以$\phi_{j,l}$前的系数是以$a_k$为权的$h_k$的线性组合(加上偏移量$2l$):

    $f_j(t)=\sum_{l\in Z}b_l\phi_{j,l}(t)=\sum_{l\in Z} \left(  \sum_{k \in Z}a_kh_{k-2l}  \right) \phi_{j,l}(t)$

    1.2 小波函数

    $\psi(t)=\sqrt{2}\sum_{k \in Z}g_k\phi(2t-k)$

    $\psi_{j,k}(t)=2^{j/2}\psi(2^jt-k)$

    $g_k=(-1)^kh_{1-k}$

    $\psi_{j,l}(t)=\sum_{k \in Z}g_{k-2l}\phi_{j+1,k}(t)=\sum_{k \in Z}(-1)^k h_{1+2l-k}\phi_{j+1,k}(t)$

    1.3 $\phi(t)$的symbol

    上面我们将$\phi(t)$表示为

    $\phi(t)=\sqrt{2}h_k\phi(2t-k)$

    若将$h_k$记作$h(k)$,上面的式子就是一个卷积式子。于是经过一些简单变换就得到:

    $\Phi(\omega)=H(\frac{\omega}{2})\Phi(\frac{\omega}{2})$

    $H(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sum_{k \in Z}h_ke^{-ik\omega}$

    $\phi(t)$具有如下性质:

    (i) $||\Phi||=1$  # 单位长度

    (ii) $\Phi(0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ 

    (iii) $H(0)=1$ # 直流增益1

    (iv) $H(\omega)$周期为$2\pi$  # $h$是离散的,所以这条显然

    1.4 The Stability Function

    根据空间$V_j$的基在时域的正交性质,可以推导出下式(The Stability Function):

    $\mathcal{A}(\omega)=\sum_{l \in Z} \left|  \Phi(\omega + 2\pi l) \right| ^2=\frac{1}{2\pi}$

    以HAAR小波为例,其频域为sinc函数,按$2\pi$移位平方累加,在整个频域为常数。

    另一方面,在时域上有下式成立:

    $\sum_{k \in Z}\phi(t-k)=1$

    The Stability Function只需$\phi(t)$为正交基即可,不需要尺度条件。如果加上尺度条件,还有下面的式子:

    $|H(\omega)|^2+|H(\omega+\pi)|^2=1$

    如果一个函数的频谱满足上式及以下条件,那么该函数有与之对应的尺度函数:

    (i) $H(0)=1$    # $h_k$过直流

    (ii) 满足$H(z)=(\frac{1+z}{2})^NS(z)$,其中$max_{|z|=1}|S(z)|\le 2^{N-1}$ 

        # 1. 系数$(\frac{1+z}{2})^N$使得$H(z)$为低通形式;

        # 2. [1, 1]的z变换为$\frac{1+z}{2}$(考虑了归一化系数),所以$(\frac{1+z}{2})^N$可看作N组[1, 1]的卷积的z变换。

    1.5 $g(t)$的symbol$G(\omega)$

    $G(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{k \in Z} g_k e^{-ik\omega}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sum_{k \in Z} (-1)^kh_{1-k}e^{-ik\omega}$

    $G(\omega)$和$\Psi(\omega)$的性质

    (i) $\Psi(\omega)=G(\frac{\omega}{2})\Phi(\frac{\omega}{2})$

    (ii) $G(\omega)=-e^{-i\omega}\overline{H(\omega+\pi)}$

    (iii) $G(0)=0$  # 高通效果

    (iv) $\sum_{k \in Z}g_k=0$  # 直流增益0

    (v) $\sum_{k \in Z}h_{2k}=\sum_{k \in Z}h_{2k+1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

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  • 多分辨率分析的图像融合

    千次阅读 2018-12-14 14:42:51
    多分辨率分析的医学图像融合 多分辨率分析的图像融合方法是先将幅图像分解到不同尺度、不同分辨率上,再对低频能量信息和高频细节信息分别进行融合。它考虑了人眼视觉系统是在不同尺度上处理接受视觉信号,并对...

    多分辨率分析的医学图像融合

    多分辨率分析的图像融合方法是先将多幅图像分解到不同尺度、不同分辨率上,再对低频能量信息和高频细节信息分别进行融合。它考虑了人眼视觉系统是在不同尺度上处理接受视觉信号,并对细节信息更加敏感的特性,能够达到良好的融合效果。多模态医学融合技术在临床诊断上发挥着重要的作用,它充分利用不同模态医学图像对病灶描述能力的互补性和冗余性,通过对多幅图像间互补信息和冗余数据的处理来提高融合图像的可靠性和清晰度。

    医学图像融合可实现不同模态影像间信息的优势互补,弥补由于单一模态医学图像成像机理不同而造成的信息缺失,对医生准确、快速地诊断治疗疾病有着重要的意义。临床上单一模态的医学影像并不能完整详细地反应病灶形态特征和代谢状况。融合的医学影像能够清晰显示所检查的目标部位的解剖结构、空间位置,以及病变与毗邻区正常组织的关系,有助于医生全面了解和熟悉正常组织、器官的形态学特征。因此,可通过医学图像融合技术,把对应病灶区的解剖结构信息和代谢功能信息综合到一幅图像上,再结合现代数学图像处理技术中的增强、重建及识别方法,实现对目标区域病理状况更加准确诊断。

    像素级图像融合

    像素级图像融合是在源图像经过探戈配准的前提下,依据某种融合策略直接对待融合的源图像中的像素进行融合。像素级图像融合是最低层次的融合技术,它保留了尽可能多的场景信息,精度比较高,可用来提高信号的灵敏度与信噪比,以利于跟踪目标的观测和图像特征的提取。像素级融合大致可以分为两类:基于空间域的图像融合和基于变换域的图像融合。It generates a fused image in which each pixel is determined from a set of pixels in the various sources.

    (1)基于空间域的图像融合:此类方法是直接在图像的像素灰度空间上进行融合。经典的空间域融合算法:线性加权平均图像融合算法,主成分分析图像融合算法,IHS色彩空间变换图像融合算法、伪彩色图像融合算法、基于调制的图像融合算法,基于统计的图像融合算法及基于神经网络的图像融合算法等。Fusion at feature-level requires first the extraction of features contained in the various input sources. Those features can be identified by characteristics such as size, shape, contrast and texture.

    (2)变换域的像素级图像融合:此类方法是首先对融合的各幅源图像进行多尺度变换,然后通过某种融合规则对变换后的子带系数进行融合,最后对融合后的系数进行逆变换得到最终的融合图像。传统的基于变换域的融合算法主要包括:基于DCT变换的图像融合算法、基于傅里叶变换的图像融合算法、基于多尺度分解的图像融合算法等。

    特征级图像融合

    特征级图像融合属于中间层次上的信息融合,在这一层次的融合中,首先对带融合的源图像进行特征提取,然后对图像在特征域中的表述进行融合,最后在一张总的特征图中合并这些特征。特征级融合既保留了源图像中大量的重要信息,又可以对信息进行压缩,减少了运算量,有利于算法的实时处理,并且所提取的特征信息直接与决策分析相关,最终的图像融合结果能最大限度地体现觉得分析所需的特征信息,从而提高系统的目标检测能力,更有利于系统的判决。

    决策级图像融合

    决策级融合从各源图中获取决策,按照一定的准则及各个决策的可信度,将这些决策合并成一个全局性最优决策。决策图融合是最高层次的信息融合,其结果为指挥控制提供依据,在这一层次的融合过程中,首次根据毎幅源图像分别建立同一目标的目标的初步判决和结论,然后对来自各个图像的决策进行相关处理,最后进行决策级的融合处理,从而获得最终的联合判决。决策级融合具有很好的实时性和容错性,但其预处理代价高,信息丢失多。

    展开全文
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  • 小波分析2006(第4讲:离散小波变换的多分辨率分析)1.pdf
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  • 多分辨率分析—高斯金字塔与拉普拉斯金字塔

    千次阅读 多人点赞 2017-03-01 15:01:15
    图像金字塔式进行图像的多分辨率分析的方法。一幅图像在尺寸较小的情况下,只需要较低的分辨便可以看清其轮廓;反之,较大尺寸的图像需要较大的分辨率。 下面我们来一个图像金字塔的示意图: 假设一幅图像的...

    多分辨率分析—高斯金字塔与拉普拉斯金字塔

    简介

    对一副图像进行多分辨率分析有以下优势:1、某些分辨率可能检测不到的特性在不同的分辨率下可能会被检测到。比如对于一副图像上同时存在较小的和较大的物体,检测小的物体(对比度低)通常需要较高的分辨率。反之,检测大的物体就需要较小的分辨率。2、当对视频信号进行帧间滤波时,写出滤波器的差分方程,差分方程的输入是过去某几帧图像的信息。通常的做法时将图像分解到不同的分辨率,然后将不同分辨率的图像信息向量化成一维信号作为差分方程的输入。这样做的好处时可以大大减少噪声。

    图像金字塔是一种简单有效的进行图像多分辨率分析的手段,下图显示了一个四层图像金字塔的简单系统。
    图像金字塔

    假设一幅图像的原始像素是n*n,对这幅图像进行下采样就是在原图的基础上每隔一个样本就丢弃一个样本,那么就会得到一个像素大小为n/2*n/2的新图。

    图像的上采样刚好与上图相反,这个过程直接通过在原图的基础上每一个样本后插入0,从而达到图像尺寸的2倍放大。当然,直接插入0仅仅是增加了图像的尺寸,同时会引入了噪声。可以通过选择内插函数来代替对图像直接进行0插值的处理方式。

    下面显示了两种常见的图像金字塔模型,高斯金字塔和预测残差金字塔。
    测残差金字塔的一个简单系统

    有上图可知,高斯金字塔是指在对图像进行下采样的时候,进行了高斯低通滤波。其中,高斯滤波器也可以换成其他的图像处理方式,比如:进行领域滤波则输出平均金字塔;不进行滤波而直接进行下采样则产生采样金字塔。

    拉普拉斯金子塔就是预测残差金字塔,下面简述其形成过程:假设第k层的输入图像是256 * 256 p ,那么经过下采样以及高斯滤波后形成的第k+1层的高斯图像是128 * 128 p。然后通过上采样及插值函数插值后,会形成一个256 * 256 p的预测图像。显然,插值后的预测图像会和输入的原图有一定的差别。

    下图展示了这之间的差别:
    differents

    插值图像和原图的差别可以通过图像的减法显示出来,因为预测图像是在低分率图像通过插值形成的。其与原图的差值就是原图和其进行低通滤波后的差值,也就是图像直接进行高通滤波后的情况,差值图像必然显示的是图像的高频成分:即图像的细节轮廓部分。

    下图显示了第一幅预测残差图像:
    第一幅预测残差

    既然预测残差图像或者叫其为差值图像是图像的高频部分,可以直接将原图通过高通滤波器观察其输出与预测残差图像的区别。

    下图显示了图像直接通过拉普拉斯高通滤波后的输出:
    lapfilter

    可见,经过拉普拉斯滤波器后的图像和预测残差的图像有一定的相似性。通过选择滤波器的通阻带频率必然会使得预测残差图像和高通图像具有更大的相似度。当把所有的预测残差图像用金子塔的形式展现出来时,预测残差金字塔又称之为拉普拉斯金字塔。

    生成金字塔

    下图显示了高斯金字塔与拉普拉斯金字塔生成:

    高斯金字塔:
    GP

    拉普拉斯金字塔:
    LP

    示例代码

    • demo.m

      clc;
      clear;
      close all;
      
      img=imread('timg.jpg');
      [m,n]=size(img);
      
      if size(img,3)==3  
          img = rgb2gray(img);  
      end  
      
      gauss_pyr=gauss_pyramid2(img,5);  
      
      
      % for i=1:length(gauss_pyr)  
      %    figure;imshow(gauss_pyr{i}); 
      % end   
      
       for i=1:length(gauss_pyr) -1          %获得残差图像,i级预测残差
          imgn{i}=gauss_pyr{i} - expand(gauss_pyr{i+1});  
       end
      
      for i=1:length(imgn)  
         figure;imshow(imgn{i}); 
      end   
      
    • gauss_pyramid2.m

      function pyr = gauss_pyramid2(I,nlev)  
      
      pyr = cell(nlev,1);  
      pyr{1} = I;  
      G_LOWER = I;  
      
      f = [0.05 0.25 0.4 0.25 0.05];    
      f = f'*f;  
      
      for l = 2:nlev     
          G_LOWER=G_LOWER(1:2:size(G_LOWER,1)-1,1:2:size(G_LOWER,2)-1); %downsample     
          pyr{l}=imfilter(G_LOWER, f, 'replicate');  
      end  
      
      end
      
    • expand.m

      function re=expand(img)
      
          %双三次内插
          img = imresize(img, 2, 'bicubic');
      
          re = img;
      end
      
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