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  • 一、法向量恒垂直于超平面 为什么超平面的法向量恒垂直于超平面呢?我们先来看一下超平面方程: wTx+b=0w^Tx+b=0wTx+b=0 这是多维的超平面方程,先来研究个简单的,在二维的情况下,不考虑偏置项b,超平面方程可以写...

    一、法向量恒垂直于超平面

    为什么超平面的法向量恒垂直于超平面呢?我们先来看一下超平面方程:
    w T x + b = 0 w^Tx+b=0 wTx+b=0
    这是多维的超平面方程,先来研究个简单的,在二维的情况下,不考虑偏置项b,超平面方程可以写做:
    x 1 + x 2 = 0 x_1+x_2=0 x1+x2=0
    画图如下:
    在这里插入图片描述

    x 1 + x 2 = 0 x_1+x_2=0 x1+x2=0的方程是直线L,我们将此方程改写成向量相乘的形式:
    ( 1 1 ) ⋅ ( x 1 x 2 ) = 0 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{pmatrix}= 0 (11)(x1x2)=0
    其中 ( 1 1 ) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} (11)是法向量w的表达式, ( x 1 x 2 ) \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{pmatrix} (x1x2)是直线方程L的向量表达式,横坐标值为 x 1 x_1 x1,纵坐标值为 x 2 x_2 x2

    向量点乘就是把两个向量的模乘以两个向量夹角的余弦值.
    ∣ W ∣ ∗ ∣ O X ∣ ∗ c o s θ |W|*|OX|*cos \theta WOXcosθ
    由于上面式子向量点乘的值等于0所以要么两个向量的模有一个等于0要么它们的夹角余弦值等于零。由于模等于零没有意义,因此它们的余弦值等于零。因此它们的夹角等于 9 0 o 90^o 90o。至于偏置b的情况,加上偏置b只不过是将直线L做了个平移,不会影响向量w与直线L的角度关系。

    由于 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2代表直线L方程的任意一个点,所以法向量w恒垂直于直线L。拓展到多维的情况也是如此。
    下面来看第二个内容:

    二、和法向量方向相同的点代入超平面方程恒大于等于零

    按照同样的方法,比如有两个点,一个是点A,一个是点B。点A在直线L的上方,点B在直线L的下方,设点A的坐标是( x A , y A x_A,y_A xA,yA),点B的坐标方程是( x B , y B x_B,y_B xB,yB),如下图所示:
    在这里插入图片描述

    将点A与点B分别代入二维的坐标方程,有:
    x A + y A = 0 x_A+y_A=0 xA+yA=0
    x B + y B = 0 x_B+y_B=0 xB+yB=0
    同样的写成向量相乘的形式有:
    ( 1 1 ) ⋅ ( x A y A ) = 0 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} x_A \\ y_A \\ \end{pmatrix}= 0 (11)(xAyA)=0
    ( 1 1 ) ⋅ ( x B y B ) = 0 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} x_B \\ y_B \\ \end{pmatrix}= 0 (11)(xByB)=0
    同样根据向量点乘的定义有,向量w与向量OA的夹角小于90度,因此向量w与向量OA点乘大于零,向量w与向量OB的夹角余弦值大于90°是个负值,所以点乘结果小于零。因此直线上面的点代入方程后结果大于零,直线下方的点代入方程后结果小于零。

    法向量与位移项位移确定一个超平面

    根据超平面公式:

    w T x + b = 0 w^Tx+b=0 wTx+b=0

    w T w^T wT与b确定后,超平面的方程也确定了,因此超平面也就确定了。

    等倍缩放超平面的法向量和位移项,超平面不变

    超平面方程两边同时乘以一个常系数,等式仍然成立。

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  • 我们把使得当时,的样本点,以及使得当时,的样本点称为“支持向量”,两个异类支持向量到超平面的距离之和为 它被称为“间隔”。 欲找到具有“最大间隔”划分的超平面,也就是要找到能满足约束条件的参数和,...

    在样本空间中,划分超平面可通过如下线性方程来描述

    其中法向量,决定了超平面的方向;位移项,决定了超平面与原点之间的距离。样本空间中任意点到超平面的距离为

    假设超平面能将样本正确分类,即对于,若,则有;若,则有。 我们把使得当时,的样本点,以及使得当时,的样本点称为“支持向量”,两个异类支持向量到超平面的距离之和为

    它被称为“间隔”。

    欲找到具有“最大间隔”划分的超平面,也就是要找到能满足约束条件的参数,使得最大,即 

    显然,为了最大化间隔,仅需最大化,这等价于最小化。于是

    这就是支持向量机(SVM)的基本型。

    通常我们通过其对偶问题运用SMO算法来更高效地求解。训练完成后,大部分的训练样本都不需保留,最终模型仅与支持向量有关。

    然而在现实任务中,原始样本空间内也许并不存在一个能正确划分两类样本的超平面,例如“异或”问题。对这样的问题,可将样本从原始空间映射到一个更高维的特征空间,使得样本在这个特征空间内线性可分。如果原始空间是有限维,即属性数有限,那么一定存在一个高维特征空间使样本可分。

    表示将映射后的特征向量,于是,在特征空间中划分超平面所对应的模型可表示为

    接着有以下凸优化问题

    在求解其对偶问题的过程中涉及到计算,这是样本映射到特征空间之后的内积。由于特征空间维数可能很高,甚至可能使无穷维,因此直接计算通常是困难的。为了避开这个障碍,可以设想这样一个函数:

    在特征空间的内积等于它们在原始样本空间中通过函数计算的结果。有了这样的函数,我们就不必直接去计算高维甚至无穷维特征空间中的内积。这个就是“核函数”。

    “核函数选择”成为支持向量机的最大变数,这方面可通过一些基本经验来在常用核函数中进行选择。

    另外,缓解过拟合问题的一个办法是允许支持向量机在一些样本上出错。“软间隔”即是说允许某些样本不满足约束

    当然,在最大化间隔的同时,不满足约束的样本应尽可能少,于是,优化目标为

    其中是一个常数,是“0/1损失函数”。显然,当为无穷大时,上式迫使所有样本均满足约束;当取有限值时,上式允许一些样本不满足约束。这就是常用的“软间隔支持向量机”。

    我们还可以把上式中的0/1损失函数换成别的替代损失函数以得到其他学习模型,这些模型的性质与所用的替代函数直接相关,但它们具有一个共性:优化目标中的第一项用来描述划分超平面的“间隔”大小,另一项用来表述训练集上的误差,如下所示

    其中称为“结构风险”,用于描述模型的某些性质;称为经验风险,用于描述模型与训练数据的契合程度;用于对二者进行折中。上式也称为“正则化”问题,可理解为一种“罚函数法”,即对不希望得到的结果施以惩罚,从而使得优化过程趋向于希望目标。

    综上所述,我们可以导出支持向量回归模型:假设我们能容忍之间最多有的偏差,即仅当之间的差别绝对值大于时才计算损失。这相当于以为中心,构建了一个宽度为的间隔带,若训练样本落入此间隔带,则被认为是被预测正确的

    最后,发展出一系列基于核函数的学习方法,统称为“核方法”。最常见的,是通过“核化”来将线性学习器拓展为非线性学习器。

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     机器学习之支持向量机(SVM)

    SVM 分类模型

           支持向量机(Support Vector Machine, SVM)是一类按监督学习方式对数据进行二元分类的广义线性分类器。是Corinna Cortes和Vapnik8等于1995年首先提出的,它在解决小样本、非线性及高维模式识别中表现出许多特有的优势。 

           SVM的的学习策略就是间隔最大化,可形式化为一个求解凸二次规划的问题,也等价于正则化的合页损失函数的最小化问题。使用铰链损失函数(hinge loss)计算经验风险,并在求解系统中加入了正则化项以优化结构风险。

    SVM最基本的应用是分类。 求解最优的分类面,然后用于分类。

    最优分类面的定义: 对于SVM,存在一个分类面,两个点集到此平面的最小距离最大化,两个点集中的边缘点到此平面的距离最大。

    SVM模型构建:间隔最大化的数学表示

    • 条件是,那么∃ γ>0 , 函数间隔 。最小间隔等于γ,因此所有的数据点
    • 对ω和b同乘n,函数边界γ也会乘以n,有无数解。引入γ=1使得间隔是确定的,此时的间隔称为几何间隔。
    • 等价转换,可以得到带约束条件的最优化问题。

     

    硬间隔SVM:模型求解之KKT条件:

    • KKT条件是不等式约束使用拉格朗日乘数法的必要条件,当原问题是凸问题的时候,也是充分条件。KKT条件是强对偶性的充要条件,是有最优值的必要条件,是拉格朗日乘子法的泛化。
    • KKT条件中的松弛互补条件 λ_i(1−y_i(ω^Tx_i+b))=0,对于支持向量来说1−y_i(ω^Tx_i+b)=0,则λ_i可以取非零值;但对于其他点来说1−y_i(ω^Tx_i+b)≠0,那么λ_i必然为0。

     

     硬间隔SVM:模型转换:

    • 约束条件g(ω) ≤0把ω空间划分为两部分:g(ω)>0 即不满足约束部分,g(ω)≤0满足约束的部分。由于λi≥0,g(ω)>0时,λi g(ω)在λ空间最大值为无穷大;g(ω)≤0时,当λi=0时,λi g(ω)在λ空间最大值为0。
    • 故最优化问题转换为:

    硬间隔SVM:强对偶关系转换

    • 弱对偶关系 :min max L ≥ max min L
    • 强对偶关系:min max L = max min L
    • 凸优化问题都是强对偶的。(二次函数目标函数+线性约束)是凸优化问题。

     

     硬间隔SVM: SMO求λ

    • SMO(Sequential Minimal Optimization) 序列最小优化算法求解。核心思想:优化目标有约束条件没法一次只变动一个参数,所以一次选择两个参数;每次只优化一个参数,其他参数先固定住,仅求当前这个优化参数的极值。SMO步骤如下:
    1. 利用∑_i=1^n▒λ_iy_i=0,选择两个需要更新的参数λi、λj,固定其他参数。相当于把目标问题转化成了仅有约束条件λi≥0的最优化问题。于是约束就变成了: 
    2. 在λi上对优化目标求偏导,令导数为零,从而求出变量值λinew,带入得到λjnew。
    3. 反复执行上述步骤,直到所有乘子满足KKT条件或参数的更新量小于设定值。

    硬间隔SVM:求解b、最终结果

    • 只有在支持向量上才有λ>0,其他λ=0,因此ω、b的值只和支持向量有关。随便找个支持向量,把前面得到的ω带入:,即可得到b。为了b更具鲁棒性,可以求支持向量的均值。
    • 先求λ,得到支持向量,再得到ω、b 。
    •  分类决策函数:

     

     

     

     

     

    •  ξ也叫松弛变量。大于等于0的ξ和0求最大值,肯定等于ξ,所以去掉了max。
    • 超参数C>0,可以理解为错误样本的惩罚程度。若C为无穷大, ξ必然无穷小,就变成了硬间隔 SVM;当 C 为有限值时,才会允许部分样本不遵循约束条件。
    • 没离群的点松弛变量都等于0。

     

    核函数

    • 很多数据不是线性可分的。以著名的非线性可分异或问题为例:

    •  Cover定理:将复杂的模式分类问题非线性地投射到高维空间,将比投射到低维空间更可能是线性可分的。即维度越高,线性可分的可能性越高。
    • 将非线性可分的数据集通过一个非线性转换函数ϕ(x)映射到高维空间转换为线性可分数据。

    •  可以把核 K (x, z) 理解成对φ(x) 和 φ(z) 的近似程度的一种度量手段。 能够写成仅用输入属性向量的内积来表达的算法,那么就可以通过引入 核K(Kernel)。
    • 径向基函数(Radial Basis Function 简称 RBF)核也被称为高斯核,首选。

     

     核函数:应用于SVM

     SVM用于多分类

    •  一次性考虑所有样本,并求解一个多目标函数的优化问题,计算量实在太大,不实用。
    • 一对多法(one-versus-rest,简称OVR SVMs):训练时依次把某个类别的样本归为一类,其他剩余的样本归为另一类,每次仍然解一个两类分类的问题,k个类别的样本就构造出了k个SVM,最终取置信度最大的一个作为分类结果。好处是每个优化问题的规模比较小,而且分类的时候速度很快。人为的造成了 “数据集偏斜”问题。
    • 一对一法(one-versus-one,简称OVO SVMs):在任意两类样本之间设计一个SVM,因此k个类别的样本就需要设计k(k-1)/2个SVM。最后得票最多的类别作为分类结果。虽然分类器的数目多了,但是在训练阶段所用的总时间却比“一类对其余”方法少很多。Libsvm的多类分类就是根据这个方法实现的。

     SVM工具:libsvm

    • libsvm是台湾大学林智仁(Chih-Jen Lin)教授2001年开发的一套实现支持向量机的库。特点:程序小,文档详细,运用灵活,输入参数少,开源的,目前国内应用最多的SVM的库。
    • OpenCV2-4的SVM:基于libsvm 2.6版,C++实现了最优参数自动搜寻等功能。 libsvm最新版为3.25。
    • 官网:https://www.csie.ntu.edu.tw/~cjlin/index.html
    • README:使用说明。 
    • svm.cpp/svm.h:svm算法的具体实现文件。
    • SVM-toy:分类界面可视化的工具。 
    • subset.py:将样本集合按比例抽样出两个子样本集合。
    • easy.py:网格参数寻优。

    SVM工具:训练技巧

    • K折交叉验证(K-fold cross-validation:初始采样分割成K个子样本,一个单独的子样本被保留作为验证模型的数据,其他K-1个样本用来训练。交叉验证重复K次,每个子样本验证一次,平均K次的结果。k折一般常用为5-10。
    • 获取较好的模型:1. 对数据做归一化;2. 应用 RBF kernel ;3. 用cross-validation和grid-search 得到最优的c和g;4. 用得到的最优c和g训练训练数据。
    • 在特征数或样本很多时,推荐使用线性核,推荐使用liblinear。
    • 数据集偏斜:参与分类的各个类别样本数量差异很大。给样本数量少的类别更大的惩罚因子,libSVM直接使用样本数量的比。

    SVM工具: liblinear

    • liblinear是一个简单的求解大规模规则化线性分类和回归的软件包。最大的特点是速度快! 多分类:liblinear多类分类时采取one vs rest方法。
    • 和libsvm的差异:模型文件格式不兼容;线性模型时,两者的目标函数不一样;liblinear比libsvm快很多;准确率接近。
    • solver_type :L2R_LR使用predict_probability ;  L2R_L2LOSS_SVC_DUAL使用predict。

    一、什么是SVM(支持向量机)?

    支持向量机为一个二分类模型,它的基本模型定义为特征空间上的间隔最大的线性分类器。而它的学习策略为最大化分类间隔,最终可转化为凸二次规划问题求解。

    1.1、SVM(支持向量机)与LR(逻辑回归)的区别?

    LR是参数模型,SVM为非参数模型。LR采用的损失函数为logisticalloss,而SVM采用的是hingeloss。在学习分类器的时候,SVM只考虑与分类最相关的少数支持向量点。LR的模型相对简单,在进行大规模线性分类时比较方便。

    1.2、SVM中什么时候用线性核什么时候用高斯核?  

    当数据的特征提取的较好,所包含的信息量足够大,很多问题是线性可分的那么可以采用线性核。若特征数较少,样本数适中,对于时间不敏感,遇到的问题是线性不可分的时候可以使用高斯核来达到更好的效果。

    1.3、SVM的作用,基本实现原理。

    SVM可以用于解决二分类或者多分类问题,此处以二分类为例。SVM的目标是寻找一个最优化超平面在空间中分割两类数据,这个最优化超平面需要满足的条件是:离其最近的点到其的距离最大化,这些点被称为支持向量。

    解析:建议练习推导SVM,从基本式的推导,到拉格朗日对偶问题。

    1.4、SVM的硬间隔,软间隔表达式;

     

    左边为硬间隔;右边为软间隔

    解析:不同点在于有无引入松弛变量()

    1.5、SVM使用对偶计算的目的是什么,如何推出来的,手写推导。

    目的有两个:一是方便核函数的引入;二是原问题的求解复杂度与特征的维数相关,而转成对偶问题后只与问题的变量个数有关。由于SVM的变量个数为支持向量的个数,相较于特征位数较少,因此转对偶问题。通过拉格朗日算子发使带约束的优化目标转为不带约束的优化函数,使得W和b的偏导数等于零,带入原来的式子,再通过转成对偶问题。

    1.6、SVM的物理意义是什么?

    构造一个最优化的超平面在空间中分割数据。

    1.7、如果数据有问题,怎么处理;

    (1)上下采样平衡正负样例比;(2)考虑缺失值;(3)数据归一化。


    Q1:能够画出多少条线对样本点进行区分?
    答:线是有无数条可以画的,区别就在于效果好不好,每条线都可以叫做一个划分超平面。比如上面的绿线就不好,蓝线还凑合,红线看起来就比较好。我们所希望找到的这条效果最好的线就是具有 “最大间隔的划分超平面”。

    Q2:为什么要叫作“超平面”呢?
    答:因为样本的特征很可能是高维的,此时样本空间的划分就不是一条线了。

    Q3:画线的标准是什么?/ 什么才叫这条线的效果好?/ 哪里好?
    答:SVM 将会寻找可以区分两个类别并且能使间隔(margin)最大的划分超平面。比较好的划分超平面,样本局部扰动时对它的影响最小、产生的分类结果最鲁棒、对未见示例的泛化能力最强。

    Q4:间隔(margin)是什么?
    答:对于任意一个超平面,其两侧数据点都距离它有一个最小距离(垂直距离),这两个最小距离的和就是间隔。比如下图中两条虚线构成的带状区域就是 margin,虚线是由距离中央实线最近的两个点所确定出来的(也就是由支持向量决定)。但此时 margin 比较小,如果用第二种方式画,margin 明显变大也更接近我们的目标。
     

    【未完,待编辑更新ing……】
     

    可参考:

    1、机器学习算法(一)SVM: https://blog.csdn.net/qq_31347869/article/details/88071930

    展开全文
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