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  • 二项式定理公式推导

    万次阅读 2019-05-13 10:01:27
  • 一、二项式定理 、 二、组合恒等式 ( 递推式 1 ) 、 三、组合恒等式 ( 递推式 2 ) 、 四、组合恒等式 ( 递推式 3 ) 帕斯卡 / 杨辉三角公式 、 五、组合分析方法 、 六、递推式组合恒等式特点





    一、二项式定理



    二项式定理 :

    n n n 是正整数 , 对于一切 x x x y y y , 有以下定理 :

    ( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k y n − k (x + y)^n = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}x^k y^{n-k} (x+y)n=k=0n(kn)xkynk


    ( n k ) \dbinom{n}{k} (kn) 表示 n n n 元集中取 k k k 个元素的组合数 , 是 集合组合数 C ( n , k ) C(n,k) C(n,k) 的另一种写法 ;


    另一个常用形式 ( y = 1 y = 1 y=1 ) :

    ( 1 + x ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k (1 + x)^n = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}x^k (1+x)n=k=0n(kn)xk


    基本求和公式 ( x = y = 1 x = y =1 x=y=1 ) :

    2 n = ∑ k = 0 n ( n k ) 2^n = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k} 2n=k=0n(kn)





    二、组合恒等式 ( 递推式 1 )



    ( n k ) = ( n n − k ) \dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k} (kn)=(nkn)



    组合分析方法 : ( n k ) \dbinom{n}{k} (kn) 是求 k k k 个子集选取方法 , ( n n − k ) \dbinom{n}{n-k} (nkn) 是求 n − k n-k nk 个子集的选取方法 , 二者是一一对应的 ;


    一般情况下 , ( n k ) \dbinom{n}{k} (kn) 的下项 , 不超过上项的一半 ;
    如果出现 ( 10 8 ) \dbinom{10}{8} (810) , 就可以写成 ( 10 2 ) \dbinom{10}{2} (210)





    三、组合恒等式 ( 递推式 2 )



    ( n k ) = n k ( n − 1 k − 1 ) \dbinom{n}{k} = \dfrac{n}{k} \dbinom{n - 1}{k - 1} (kn)=kn(k1n1)



    代入组合数的公式 , 可以得到 等号 = = = 两侧的值是相等的 ;

    该公式用于消去系数的 , 示例如下 :


    计算 ∑ k = 0 n k ( n k ) \sum\limits_{k=0}^n k\dbinom{n}{k} k=0nk(kn) 组合式 :


    此时需要消去 k k k 系数 ;


    使用 n k ( n − 1 k − 1 ) \dfrac{n}{k} \dbinom{n - 1}{k - 1} kn(k1n1) 代替 ( n k ) \dbinom{n}{k} (kn) , 有以下计算过程 :

    ∑ k = 0 n k ( n k ) = ∑ k = 0 n k n k ( n − 1 k − 1 ) \begin{array}{lcl} \sum\limits_{k=0}^n k\dbinom{n}{k} = \sum\limits_{k=0}^n k \dfrac{n}{k} \dbinom{n - 1}{k - 1} \end{array} k=0nk(kn)=k=0nkkn(k1n1)


    可以将加和式中的 k k k 约掉 , 此时 n n n 就与求和变量无关了 , 此时可以将 n n n 提取到加和符号 ∑ \sum 外面 ,

    ∑ k = 0 n k ( n k ) = ∑ k = 0 n k n k ( n − 1 k − 1 ) = n ∑ k = 0 n ( n − 1 k − 1 ) \begin{array}{lcl} \sum\limits_{k=0}^n k\dbinom{n}{k} &=& \sum\limits_{k=0}^n k \dfrac{n}{k} \dbinom{n - 1}{k - 1} \\\\ &=& n \sum\limits_{k=0}^n \dbinom{n - 1}{k - 1} \end{array} k=0nk(kn)==k=0nkkn(k1n1)nk=0n(k1n1)

    然后计算 ∑ k = 0 n ( n − 1 k − 1 ) \sum\limits_{k=0}^n \dbinom{n - 1}{k - 1} k=0n(k1n1) ,

    二项式定理是 : ( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k y n − k (x + y)^n = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}x^k y^{n-k} (x+y)n=k=0n(kn)xkynk

    根据二项式定理 , 可以得到 ( 1 + 1 ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) (1 + 1)^{n} = \sum\limits_{k=0}^n \dbinom{n}{k} (1+1)n=k=0n(kn)

    推导 : ( 1 + 1 ) n − 1 = ∑ k = 0 n − 1 ( n − 1 k − 1 ) = 2 n − 1 (1 + 1)^{n-1} = \sum\limits_{k=0}^{n-1} \dbinom{n-1}{k-1} = 2^{n-1} (1+1)n1=k=0n1(k1n1)=2n1

    之后可以继续进行后续计算 ;





    四、组合恒等式 ( 递推式 3 ) 帕斯卡 / 杨辉三角公式




    ( n k ) = ( n − 1 k ) + ( n − 1 k − 1 ) \dbinom{n}{k} = \dbinom{n - 1}{k} + \dbinom{n - 1}{k - 1} (kn)=(kn1)+(k1n1)



    该递推式 , 用于拆项 :


    可以将 ( n k ) \dbinom{n}{k} (kn) 拆成 ( n − 1 k ) + ( n − 1 k − 1 ) \dbinom{n - 1}{k} + \dbinom{n - 1}{k - 1} (kn1)+(k1n1) 之和 ;


    ( n − 1 k ) \dbinom{n - 1}{k} (kn1) 拆成 ( n k ) − ( n − 1 k − 1 ) \dbinom{n}{k} -\dbinom{n - 1}{k - 1} (kn)(k1n1) 之差 ;


    将 将 ( n − 1 k − 1 ) \dbinom{n - 1}{k - 1} (k1n1) 拆成 ( n k ) − ( n − 1 k ) \dbinom{n}{k} -\dbinom{n - 1}{k} (kn)(kn1) 之差;


    在一堆求和的组合数中 , 拆分成两个数之差 , 可以抵消很多组合数 ;

    经常在大的求和公式中进行化简时使用 ;



    使用组合分析的办法证明该公式 :

    n n n 元集中选取 k k k 子集 , 这是集合组合数 ;


    指定其中某个元素 a a a ;

    ① 包含 a a a 元素 : k k k 子集中包含 a a a 元素的情况组合数 ( n − 1 k − 1 ) \dbinom{n - 1}{k - 1} (k1n1) , k k k 子集中包含 a a a , 只需要在除 a a a 元素外 , 剩下的 n − 1 n-1 n1 个元素中 , 选出 k − 1 k-1 k1 个元素即可 ;

    ② 不包含 a a a 元素 : k k k 子集中不包含 a a a 元素的情况组合数 ( n − 1 k ) \dbinom{n - 1}{k} (kn1) , k k k 子集中不包含 a a a , 只需要在除 a a a 元素外 , 剩下的 n − 1 n-1 n1 个元素中 , 选出 k k k 个元素即可 ;





    五、组合分析方法



    以上面证明 帕斯卡 / 杨辉三角 公式为例


    组合分析方法使用 : 使用组合分析方法证明组合数时 , 先指定集合 , 指定元素 , 指定两个计数问题 , 公式两边是对同一个问题的计数 ;

    • 指定集合 : n n n 元集
    • 指定元素 : 某个特定元素 a a a
    • 指定计数问题 :
      • ① 问题 1 : n n n 元集 k k k 组合数 ;
      • ② 问题 2 : n n n 元集中 k k k 组合数 , 组合中含有元素 a a a , 不含有元素 a a a 的两种组合计数 ;




    六、递推式组合恒等式特点



    使用 比较小的组合数 表示 比较大的组合数 , 称为递推式组合恒等式 ;


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  • 广义二项式定理

    千次阅读 2018-08-17 20:53:17
    推导过程如下: f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)^2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)^n(泰勒展开) 现在f(x)=1/(1-x) 那么求导得到f'(x)= -1/(1-x)^2 *(-1)=1/(1-x)^2 f''(x)= -2/(1-x)^3 *(-1)=2/(1-x)^3 ...

     

    当 −1≤x≤1−1≤x≤1,且n为正整数时 

    推导过程如下:

    f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)^2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)^n(泰勒展开式)
    现在f(x)=1/(1-x)
    那么求导得到f'(x)= -1/(1-x)^2 *(-1)=1/(1-x)^2
    f''(x)= -2/(1-x)^3 *(-1)=2/(1-x)^3
    以此类推得到fn(x)=n! /(1-x)^(n+1)
    代入a=0,那么f(0)=1
    f'(0)=1,fn(0)=n!
    所以解得f(x)=1+1!/1! *x+2!/2! *x^2+...+n!/n! *x^n
    即f(x)=1+x+x^2+x^3+…+x^n

     

    这样(1+x)的-n次幂的展开式里面比如x的a次幂的系数,也就变成了x1+x2+...+xn=a的非负整数解的个数,利用隔板法即可得到每一项的系数。

     

     

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  • 数学 二项式定理

    2019-12-08 14:22:17
    二项式定理的结论是: 看百度百科的推导其实就够了。 这里我自己推导一下 补充 当指数为负数的时候,有一条公式 参考来源 百度百科 ......

    二项式定理的结论是:
    在这里插入图片描述
    看百度百科的推导其实就够了。

    这里我自己推导一下
    在这里插入图片描述

    补充

    当指数为负数的时候,有一条公式
    在这里插入图片描述

    例题

    https://ac.nowcoder.com/acm/contest/3036/I
    2019广东工业大学新生赛 I 题
    我的题解
    https://blog.csdn.net/WHY995987477/article/details/103444697

    参考来源

    百度百科
    https://baike.baidu.com/item/%E4%BA%8C%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%AE%9A%E7%90%86/7134359?fr=aladdin

    展开全文
  • 广义牛顿二项式定理

    千次阅读 2019-09-28 12:34:07
    普通的牛顿二项式定理在高中学习过的,当乘方为正整数的时候,但是有些时候需要用到不一定是正整数的情况(比如生成函数),需要用到分数或者负数等等,于是广义牛顿二项式定理就出来了。 首先我们引入牛顿二项式...
  • 二项式定理

    2019-01-31 22:38:00
    二项式指含有两项的多项式,如:$5y^3-3$ , $a+b$  二项式与杨辉三角  我们把 $(a+b)^n$ 展开,可以得到一些的多项式  $(a+b)^0=1$  $(a+b)^1=a+b$  $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$  $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b...
  • [CQOI2015]&[bzoj3933]多项式 二项式定理+高精度
  • 常见的指数是形式的二项式定理我们是熟悉的,即对于(x+y)的n次幂,n取正整数,我们能将其展开成有限项数的多项式,但对于n取负数、分数,二项式是否成立了呢? 1676年Newton拓展二项式定理,即证明了如下定理: ...
  • 只和第2,3次有关和其他无关,则概率为0.4*0.4 (5) 有两种方法,正面求解相加,也可以从反面来推,推荐从反面求解,【1 - 没有击中一次的概率】: 1−C50p0(1−p)51 - C_5^0p^0(1-p)^51−C50​p0(1−p)5 二项式定理 二...
  • 牛顿二项式定理计算平方根

    千次阅读 2013-08-14 20:25:48
    牛顿二项式定理描述: 设是实数,对于所有满足的x和y,有   ,其中       那么现在我们令,则,于是上述定理等价转换为: 对于满足的任意z,有   假设n是一个正整数,那么选择为负整数-n,则:     根据上面...
  • 二项式定理可以用以下公式表示: 其中, 又有 等记法,称为二项式系数(binomial coefficient),即取的组合数目。此系数亦可表示为杨辉三角形。[2]它们之间是互通的关系。 验证推导 编辑 考虑用...
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  • 这个如何来证明呢?自己反复列了几次,都没有得出...“不确定的话,就找个数代代看看”这么个思想都没有……,不多说了,深层次的原理是,牛顿的二项式定理。 这里的二项式通项一定要记住,很重要。以下的...
  • 二项式定理,可推导出s=C(n,b)*p^a*q^b 直接计算即可,注意取模 代码: #include &lt;iostream&gt; #include &lt;math.h&gt; using namespace std; typedef long long LL; const LL maxn...
  • 本文主要有关二项式定理的有个相关证明。 0. 简单变形 k⋅(nk)=k⋅n!k!⋅(n−k)!=n⋅(n−1)!(k−1)!(n−k)!=n⋅(n−1k−1) 1. 2n (n0)+(n1)+(n2)+⋯+(nn)=(1+1)n=2n 2. (1+z)r (1+z)r==(r0)z0+(r1)z1+⋯...
  • 一个很容易理解的推导方式是:$(x + y) ^ k = (x + y)(x + y)(x + y)...$,化简之后的每一个数都是分别从每个括号中取一个数出来相乘得到的, 假设这个数=$x ^ i \cdot y^{k - i}$,那么取法有$C_{k}...
  • 这个东西是个二项展开的偶数项系数和,来,我们复习一下高中数学,设f(x)=(ax+b)^n,则其偶数项系数和为(f(1)+f(-1))/2。 #include<cstdio> using namespace std; typedef long long ll; #defin...
  • 题意:给定一个多项式(by+ax)k(by+ax)k...二项式定理:(a+b)n=∑k=0n&amp;nbsp;Ckn&amp;nbsp;ak&amp;nbsp;bn−k(a+b)n=∑k=0n&amp;nbsp;Cnk&amp;nbsp;ak&amp;nbsp;bn−k(a+b)^n=\sum^n_{k...
  • 二、组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 1 证明 ( 二项式定理 + 求导 ) 、 三、组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 2 、 四、组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 2 证明 ( 使用已知恒等式证明 )
  • 题目描述给定一个多项式(by+ax)^k,请求出多项式展开后x^n*y^m 的系数。输入输出格式输入格式: 输入文件名为factor.in。共一行,包含5 个整数,分别为 a ,b ,k ,n ,m,每两个整数之间用一个空格隔开。输出...
  • 然后广义二项式定理(并不知道该怎么用)....变形x*(1+x+x 2 +x 3 +...) 4  ,n次项系数就是把n个数分成4组每组可以为空,用隔板法,板子和数一起选两个为板子 C(n+3,3) 乘x考虑系数变化,就是n-- [update:2017...
  • 但是其复杂度为O(n^2),进一步分析可以知道它跟二项式定理的展开系数一直,因此我们可以根据二项式定理推导出:c[i]=c[i-1]*(n-i+1)/i,但是中间有乘除要防止溢出问题。这两种解法详见code。  题目来源: ...
  • Theorem ...牛顿提出了广义二项式定理,并以此为基础发明了微积分的方法,但对于二项式定理没有给出证明,欧拉尝试过,但失败了,直到1812年高斯利用微分方法得到了证明!
  • 二项式定理推理

    2020-09-25 17:02:57
  • 其他的一些二项式系数推导的积累: ∑ k = 1 n k 2 ( n k ) = n ( n + 1 ) 2 n − 2 \sum_{k=1}^nk^2\binom{n}{k}=n(n+1)2^{n-2} k = 1 ∑ n ​ k 2 ( k n ​ ) = n ( n + 1 ) 2 n − 2 过程: k 2 k^2 k 2 转...
  • 【组合数学:二】鸽巢原理二项式系数多项式定理牛顿二项式定理练习题 鸽巢原理 定理:把 n+1n+1n+1 个物体放进 nnn 个盒子,至少有一个盒子包含两个或更多的物体 应用:给定 mmm 个整数 a1,a2,⋯ ,ama_1,a_2,\...
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  • 两个重要极限定理推导

    千次阅读 2020-07-03 21:31:30
    两个重要极限定理: lim⁡x→0sin⁡xx=1(1) \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \tag{1} x→0lim​xsinx​=1(1) 和 lim⁡x→∞(1+1x)x=e(2) \lim_{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e \tag{2}...

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