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  • 样本及抽样分布
    2020-03-02 19:55:09

    习题五

    大数定律是叙述随机变量序列的前一些项的算术平均值在某种条件下收敛到这些项的均值的算术平均值;中心极限定理则是确定在什么条件下,大量随机变量之和的分布逼近于正态分布。本章介绍几个大数定律和中心极限定理。——概率论与数理统计浙大版

      本章主要介绍了大数定律及中心极限定理。

    习题六

    本章我们介绍总体、随机样本及统计量等基本概念,并着重介绍几个常用统计量及抽样分布。

      本章主要介绍了总体、样本及抽样分布的相关应用。

    写在最后

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      常见分布见附录一,传送门在这里

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    一、随机样本 1、基本点 总体:观察对象的全体 个体:总体中的每个对象 样本:从总体中随机选取的部分...3、随机样本的联合分布 ①、总体X离散 ②、总体X连续 二、样本统计量 1、定义 样本的不含未知参数函数 2、2

    一、随机样本
    1、基本点
    总体:观察对象的全体
    个体:总体中的每个对象
    样本:从总体中随机选取的部分对象
    注:样本的二重性
    ①、随机性:样本X1、X2···在抽取前是随机变量
    ②、确定性:样本抽取后,就得到n个确定值
    2、抽样方式
    统计上,一般采取有放回抽样。从总体X中有放回选取的n样本Xi,称为来自总体的简单样本,简称样本
    样本特点:

    注:总体容量很大时,无放回选取的样本也叫做简单样本
    3、随机样本的联合分布
    ①、总体X离散

    ②、总体X连续

    二、样本统计量
    1、定义
    样本的不含未知参数函数

    2、2类常用样本统计量
    ①、样本k阶原点矩

    ②、样本k阶中心矩

    重要:
    样本均值:

    样本方差:

    注:样本矩是随机变量,而总体矩是确定的常数

    三、抽样分布
    统计量的分布称为抽样分布,常用的有四种
    注:Xi为样本
    1、X2分布

    记作:

    (1)、概率密度曲线:

    (2)、性质
    ①、

    ②、

    2、t分布
    对于

    则:

    记作:

    (1)、概率密度曲线

    3、F分布
    对于:

    则:

    注:

    (1)概率密度曲线:

    4、标准正态分布

    四、来自正态总体的样本函数的两大定理
    1、

    2、

    注:

    五、分位点


    1、X2分位点
    】
    2、t分位点

    3、F分位点

    注:

    4、标准正态分布分位点

    注:
    a<0.5时:

    a>0.5时:

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    样本及抽样分布——《概率论及其数理统计》第六章学习笔记

    前言

    从第五章开始,就有点看不懂了,问题8大,简单记下,有空再复习。

    内容上,显而易见,第三节的抽样分布是重中之重,而第一节是带来样本,总体等名词的概念,第二节则是介绍直方图和箱线图,只有第三节涵盖了该章几乎80%的知识点,且多数是出现在题目的知识点。

    MindMap

    在这里插入图片描述

    随机样本

    定义

    直接看课本的定义

    设 X 是具有 分布函数 F 的随机变量,
    若 X 1 , X 2 , . . . , X n 若 X_1, X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn
    是具有 同一分布函数 F 的、相互独立的随机变量,则称
    X 1 , X 2 , . . . , X n X_1, X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn
    为分布函数 F 得到的 容量为n的简单随机样本, 简称样本,其观测值为(小写的)
    x 1 , x 2 , . . . , x n x_1, x_2, ...,x_n x1,x2,...,xn
    称为 样本值, 又称为 X 的 n 个 独立的观察值

    分布函数

    从习题的内容来看,考察样本的分布函数要比直接考察定义的概率要大一些。

    F ∗ ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = ∏ i = 1 n F ( x i ) F^*(x_1, x_2, ..., x_n) = \prod_{i=1}^{n}{F(x_i)} F(x1,x2,...,xn)=i=1nF(xi)

    概率密度的类似,不打了

    直方图和箱线图

    直方图(频率直方图) 很好理解,就不在此展开了。

    我们重点看箱线图。

    分位数

    在了解箱线图之前,我们需要知道 样本分位数

    分位数很好理解,其实就是样本中的 一个分割的数字,将样本分成两个部分,我们设容量为 n 的样本观测值 x1, x2, …, xn 的样本p分位数xp, 有以下性质

    1. 至少np 个观测值 小于或等于xp。
    2. 至少n(1-p) 个观察值大于等于 xp。

    具体的表达式为
    x p = { x ( [ n p ] + 1 ) , 当 n p 不 是 整 数 , 1 2 [ x ( n p ) + x ( n p + 1 ) ] , 当 n p 整 数 。 x_p = \left\{ \begin{array}{lr} x_{([np]+1)}, \qquad & 当n_p 不是整数, \\ \frac{1}{2}[x_{(np)} + x_{(np+1)}], & 当n_p 整数。 \end{array} \right. xp={x([np]+1),21[x(np)+x(np+1)],np,np
    特别,当 p = 0.5时,其实就是我们熟悉的中位数。

    我们将 0.25分位数 称为 第一四分位数,记为 Q1,0.75分位数 称为 第三四分位数, 记为 Q3。由此则可以引出箱线图。

    箱线图

    该图基于 最小值Min, Q1,中位数M,Q3,最大值Max 5个值。具体做法可以直接参考课本的内容。

    箱线图有以下重要性质:

    1. 中心位置,中位数所在位置就是数据集的中心。
    2. 散布程度,可以通过箱线图直观看出各区间的数据的集中与分散。

    疑似异常值

    这里主要是 数据中出现 某一个数据(不合常理的大或者小的数据),就称为 疑似异常值

    我们记 Q1 和 Q3 的距离为 IQR,称为 四分位数间距,若数据 小于 Q1-1.5IQR, 或者 大于 Q3+1.5IQR,就是疑似异常值。

    经过上述处理的箱线图 就是 修正箱线图

    抽样分布

    重点来了!

    统计量

    定义

    设 X 1 , . . . , X n 是 来 自 总 体 X 的 一 个 样 本 , g ( X 1 , . . . , X n ) 是 X 1 , . . . , X n 的 函 数 , 且 g 不 含 未 知 参 数 , 就 称 为 g ( X 1 , . . . , X n ) 是 一 统 计 量 。 设 X_1,...,X_n 是来自总体X的一个样本,g(X_1,...,X_n) 是X_1,...,X_n 的函数, \\且 g不含未知参数,就称为g(X_1,...,X_n) 是一统计量。 X1,...,XnXg(X1,...,Xn)X1,...,Xn,gg(X1,...,Xn)

    常见统计量

    样本均值
    X ‾ = 1 n X i \overline{X} = \frac{1}{n}X_i X=n1Xi
    样本方差
    S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 = 1 n − 1 ( ∑ i = 1 n X i − n X ‾ 2 ) S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{(X_i - \overline{X})^2} = \frac{1}{n-1}(\sum_{i=1}^{n}{X_i - n\overline{X}^2}) S2=n11i=1n(XiX)2=n11(i=1nXinX2)
    样本标准差
    S = S 2 = 1 n − 1 ( ∑ i = 1 n X i − n X ‾ 2 ) S=\sqrt{S^2} = \sqrt{\frac{1}{n-1}(\sum_{i=1}^{n}{X_i - n\overline{X}^2})} S=S2 =n11(i=1nXinX2)
    样本k阶矩
    A k = 1 n ∑ i = 1 n X i k , k = 1 , 2 , . . . A_k = \frac{1}n \sum_{i=1}^n{X_i^k}, \quad k=1,2,... Ak=n1i=1nXik,k=1,2,...
    样本中心矩
    B k = 1 n ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) k , k = 2 , 3 , . . . B_k = \frac{1}n \sum_{i=1}^n{(X_i-\overline{X})^k}, \quad k=2,3,... Bk=n1i=1n(XiX)k,k=2,3,...

    经验分布函数

    我觉得只需要知道一个点就可以了:样本观测值中小等于 指定值x所占的比率。

    三大分布

    X2 分布

    χ 2 分 布 \chi^2 分布 χ2

    我们设 Xi是 来自总体 N(0,1) 的样本,则
    χ 2 = X 1 2 + X 2 2 + . . . + X n 2 \chi^2 = X_1^2 + X_2^2 + ... +X_n^2 χ2=X12+X22+...+Xn2
    服从自由度 为 n 的
    χ 2 分 布 , 记 为 χ 2 ∼ χ 2 ( n ) \chi^2 分布, 记为 \chi^2 \sim \chi^2(n) χ2χ2χ2(n)
    概率密度为:
    f ( y ) = { 1 2 n 2 Γ ( n / 2 ) y n / 2 − 1 e − y / 2 , y > 0 0 , 其 他 f(y) = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(n/2)}{y^{n/2 -1}e^{-y/2}}, \qquad & y > 0 \\ 0, & 其他 \end{array} \right. f(y)={22nΓ(n/2)1yn/21ey/2,0,y>0
    该分布满足可加性
    E ( χ 2 ) = n , D ( χ 2 ) = 1 E(\chi^2) = n, D(\chi^2) = 1 E(χ2)=n,D(χ2)=1

    t 分布

    X ∼ N ( 0 , 1 ) , Y ∼ χ 2 ( n ) , 且 X 和 Y 相 互 独 立 , t = X Y / n X\sim N(0,1), Y\sim \chi^2(n), 且 X 和 Y 相互独立,\\ t = \frac{X}{\sqrt{Y/n}} XN(0,1),Yχ2(n),XYt=Y/n X

    t 服从 自由度 为n 的 t 分布,记为 t~t(n).

    概率密度函数为
    h ( t ) = Γ [ ( n + 1 ) / 2 ] π n Γ ( n / 2 ) ( 1 + t 2 n ) − ( n + 1 ) / 2 , − ∞ < t < ∞ h(t) = \frac{\Gamma[(n+1)/2]}{\sqrt{\pi n}\Gamma(n/2)}{(1+\frac {t^2}n)^{-(n+1)/2}}, -\infty <t<\infty h(t)=πn Γ(n/2)Γ[(n+1)/2](1+nt2)(n+1)/2,<t<

    F 分布

    在这里插入图片描述

    敲累了,直接上图片吧。

    这个就是两个满足 第一个分布,然后分式的情况。

    补充说明,Γ 就是 伽马函数。

    正态总体的样本均值与样本方差的分布

    条件:总体存在均值 μ, 方差为 σ^2,
    E ( X ‾ ) = μ , D ( X ‾ ) = σ 2 / n E ( S 2 ) = σ 2 E(\overline{X}) = \mu, \quad D(\overline{X}) = \sigma^2/n \\ E(S^2) = \sigma^2 E(X)=μ,D(X)=σ2/nE(S2)=σ2

    Th2

    X1,…,Xn 是总体N(μ,σ^2)的样本,
    X ‾ ∼ N ( μ , σ 2 / n ) . \overline{X} \sim N(\mu, \sigma^2 / n). XN(μ,σ2/n).

    Th3

    ( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) X ‾ 与 S 2 相 互 独 立 \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1) \\ \overline{X} 与 S^2 相互独立 σ2(n1)S2χ2(n1)XS2

    Th4

    X ‾ − μ S / n ∼ t ( n − 1 ) \frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1) S/n Xμt(n1)

    Th5

    设 Xi,和 Yi 的来自两个正态总体,且两个样本相互独立。
    S 1 2 / S 2 2 σ 1 2 / σ 2 2 ∼ F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) . 当 σ 1 2 = σ 2 2 = σ 2 时 \frac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1). \\ 当\sigma^2_1 = \sigma_2^2 = \sigma^2 时 σ12/σ22S12/S22F(n11,n21).σ12=σ22=σ2

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  • 文章目录总体和样本统计量三大分布四大定理 总体和样本 统计量 三大分布 四大定理

    总体和样本

    统计量

    三大分布

    四大定理

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