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  • Numpy随机数1. Numpy随机数概述在Numpy中包含的随机数生成函数如下表所示: ... 返回输入数组维度对应服从标准正太分布的矩阵 randint(low[, high, size, dtype]) 返回范围为[low, high)范围的整型随

    Numpy随机数

    1. Numpy随机数概述

    在Numpy中包含的随机数生成函数如下表所示:

    函数函数功能
    rand(d0, d1, …, dn)返回输入数组维度对应的矩阵
    randn(d0, d1, …, dn)返回输入数组维度对应服从标准正太分布的矩阵
    randint(low[, high, size, dtype])返回范围为[low, high)范围的整型随机数据
    random_integers(low[, high, size])返回[low, high]之间的随机整数
    random_sample([size])返回[0.0, 1.0)之间的浮点随机数
    random([size])从范围[0.0, 1.0)返回浮点随机数
    ranf([size])从范围[0.0, 1.0)返回浮点随机数
    sample([size])从范围[0.0, 1.0)返回浮点随机数
    choice(a[, size, replace, p])从给出的1维数组中产生其随机采样
    bytes(length)返回随机字节

    2. 随机数生成示例

    2.1 rand(d0, d1, …, dn)

    该函数返回规定维度的随机矩阵,随机数是来源于服从[1,0)分布的采样。
    示例:

    np.random.rand(3, 4)
    [[ 0.9453398   0.15785589  0.14297825  0.40554182]
     [ 0.58353036  0.16330881  0.79096958  0.29872379]
     [ 0.30474484  0.85217927  0.06831362  0.61730196]]

    2.2 randn(d0, d1, …, dn)

    该函数返回规定维度的随机矩阵,随机数是来源于服从(0,1)标准正太分布的采样。该函数与random.standard_normal类似,可以通过如下算式得到相应的正太分布N(mu, sigma^2):
    sigma * np.random.randn(…) + mu
    示例:

    np.random.randn(3, 4)
    [[-2.30951289 -1.05847819 -0.06452076 -0.82147271]
     [ 0.324241   -0.51254897  0.51067497  0.66082303]
     [-0.0982416   0.78864197 -0.80479118  2.2884627 ]]

    2.3 randint(low[, high, size, dtype])

    该函数返回服从[low, high)离散均匀分布的随机数矩阵。若果high参数没有指定则范围将被限定为[0, low)
    示例:

    np.random.randint(0, 3, (3, 4))
    [[1 0 2 0]
     [0 2 0 2]
     [2 2 2 1]]

    2.4 random_integers(low[, high, size])

    该函数与上一个函数类似,区别是返回服从[low, high]离散均匀分布的随机数矩阵。若果high参数没有指定则范围将被限定为[1, low]
    示例:

    np.random.random_integers(0, 3, (3, 4))
    [[2 2 0 3]
     [2 0 1 2]
     [3 3 2 0]]

    产生a与b之间的N个均匀整数:
    a + (b - a) * (np.random.random_integers(N) - 1) / (N - 1.)

    2.5 random_sample([size]),random([size]),ranf([size]),sample([size])

    该函数返回范围为 [0.0, 1.0)的连续均值浮点数分布,若是需要产生的数范围为[a,b),则:
    (b - a) * random_sample() + a
    示例:

    np.random.random_sample((3, 4))
    [[ 0.12439296  0.44063728  0.65585181  0.29929493]
     [ 0.93312505  0.61461946  0.15346194  0.11332448]
     [ 0.35118524  0.31794849  0.69337822  0.73912451]]

    2.6 choice(a, size=None, replace=True, p=None)

    该函数返回的是一维数组a中的抽取矩阵,若a是一个数字则一维数字便是np.arange(a)。
    示例:

    a = [2, 4, 6, 8, 10]
    np.random.choice(a, (3, 4))
    [[ 2  2  6  2]
     [ 4 10  2  8]
     [ 8 10  6  2]]

    2.7 bytes(length)

    返回随机字节
    示例:

    np.random.bytes(5)
    l�;�

    常见分布函数

    1. Numpy中包含的分布函数

    函数具体分布
    beta(a, b[, size])Draw samples from a Beta distribution.
    binomial(n, p[, size])Draw samples from a binomial distribution.
    chisquare(df[, size])Draw samples from a chi-square distribution.
    dirichlet(alpha[, size])Draw samples from the Dirichlet distribution.
    exponential([scale, size])Draw samples from an exponential distribution.
    f(dfnum, dfden[, size])Draw samples from an F distribution.
    gamma(shape[, scale, size])Draw samples from a Gamma distribution.
    geometric(p[, size])Draw samples from the geometric distribution.
    gumbel([loc, scale, size])Draw samples from a Gumbel distribution.
    hypergeometric(ngood, nbad, nsample[, size])Draw samples from a Hypergeometric distribution.
    laplace([loc, scale, size])Draw samples from the Laplace or double exponential distribution with specified location (or mean) and scale (decay).
    logistic([loc, scale, size])Draw samples from a logistic distribution.
    lognormal([mean, sigma, size])Draw samples from a log-normal distribution.
    logseries(p[, size])Draw samples from a logarithmic series distribution.
    multinomial(n, pvals[, size])Draw samples from a multinomial distribution.
    multivariate_normal(mean, cov[, size, …)Draw random samples from a multivariate normal distribution.
    negative_binomial(n, p[, size])Draw samples from a negative binomial distribution.
    noncentral_chisquare(df, nonc[, size])Draw samples from a noncentral chi-square distribution.
    noncentral_f(dfnum, dfden, nonc[, size])Draw samples from the noncentral F distribution.
    normal([loc, scale, size])Draw random samples from a normal (Gaussian) distribution.
    pareto(a[, size])Draw samples from a Pareto II or Lomax distribution with specified shape.
    poisson([lam, size])Draw samples from a Poisson distribution.
    power(a[, size])Draws samples in [0, 1] from a power distribution with positive exponent a - 1.
    rayleigh([scale, size])Draw samples from a Rayleigh distribution.
    standard_cauchy([size])Draw samples from a standard Cauchy distribution with mode = 0.
    standard_exponential([size])Draw samples from the standard exponential distribution.
    standard_gamma(shape[, size])Draw samples from a standard Gamma distribution.
    standard_normal([size])Draw samples from a standard Normal distribution(mean=0, stdev=1).
    standard_t(df[, size])Draw samples from a standard Student’s t distribution with df degrees of freedom.
    triangular(left, mode, right[, size])Draw samples from the triangular distribution over the interval [left, right].
    uniform([low, high, size])Draw samples from a uniform distribution.
    vonmises(mu, kappa[, size])Draw samples from a von Mises distribution.
    wald(mean, scale[, size])Draw samples from a Wald, or inverse Gaussian, distribution.
    weibull(a[, size])Draw samples from a Weibull distribution.
    zipf(a[, size])Draw samples from a Zipf distribution.

    2. 函数使用

    这里就是用最常用的高斯分布作为示例进行讲解,其它分的使用也是类似的。

    mu = 50
    sigma = 10.0
    a = np.linspace(0, 100, 1000)
    y = 1/(sigma * np.sqrt(2 * np.pi))*np.exp(-(a - mu)**2 / (2 * sigma**2))
    data = np.random.normal(mu, sigma, 1000)
    plt.figure()
    plt.hist(data, 50, normed=True)
    plt.plot(a, y, 'r-')
    plt.show()

    这里写图片描述

    展开全文
  • 常见衰落模型的概率分布函数
  • 1. 介绍连续型随机变量的分布函数及其概率密度 2. 介绍均匀分布,指数分布,正态分布的性质以及必要性证明

    1. 随机变量的分布函数

    • 背景: 对于非离散型的随机变量 X X X,其取值不能一一列举出来,因此就不能像离散型随机变量那样使用分布律描述它。非离散型随机变量有很多种,其中连续型随机变量极其常见,因此我们重点研究连续型随机变量。对于连续性随机变量,在某个点的概率为 0 0 0,另外,实际中,对于元件的寿命,测量的误差等,研究其落在某个区间的概率更有意义,因此我们引出了随机变量的分布函数

    • 定义: 设 X X X是一个随机变量, x x x 是任意实数,函数 F ( x ) = P { X ≤ x } , − ∞ < x < ∞ F(x)=P\{X \leq x\}, -\infty<x<\infty F(x)=P{Xx},<x< 则为 X X X分布函数

      虽然对于离散型随机变量,我们可以使用分布律来全面地描述它,但为了从数学上能够统一地对随机变量进行研究,因此,我们针对离散型随机变量和非离散型随机变量统一地定义了分布函数。

    • 性质

      1 o F ( x ) 1^o \quad F(x) 1oF(x)是一个不减函数

      对于任意实数 x 1 , x 2 ( x 1 < x 2 ) x_1,x_2(x1<x_2) x1,x2(x1<x2),有 F ( x 2 ) − F ( x 1 ) = P { x 1 < X ≤ x 2 } ≥ 0 F(x_2)-F(x_1) = P\{x_1<X \leq x_2\} \geq 0 F(x2)F(x1)=P{x1<Xx2}0 成立

      2 o 2^o\quad 2o 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 , F ( − ∞ ) = 0 , F ( ∞ ) = 1 0\leq F(x)\leq 1,\quad F(-\infty) = 0,\quad F(\infty) = 1 0F(x)1F()=0F()=1

      3 o 3^o\quad 3o F ( x + 0 ) = F ( x ) F(x+0)=F(x) F(x+0)=F(x), 即 F ( x ) F(x) F(x) 是右连续的

    • 用分布函数表示事件概率

      • P { X ≤ b } = F ( b ) P\{X\leq b\}=F(b) P{Xb}=F(b)
      • P { X > a } = 1 − P { X ≤ a } = 1 − F ( a ) P\{X> a\}=1-P\{X\leq a\} = 1-F(a) P{X>a}=1P{Xa}=1F(a)
      • P { a < X ≤ b } = P { X ≤ b } − P { X < = a } = F ( b ) − F ( a ) P\{ a<X\leq b\}=P\{X\leq b\}-P\{X<=a\} = F(b)-F(a) P{a<Xb}=P{Xb}P{X<=a}=F(b)F(a)
      • P { X < b } = F ( b − 0 ) P\{X< b\}=F(b-0) P{X<b}=F(b0)
      • P { X ≥ b } = 1 − P { X < b } = 1 − F ( b − 0 ) P\{X\geq b\}=1-P\{X< b\} = 1- F(b-0) P{Xb}=1P{X<b}=1F(b0)
      • P { X = b } = P { X ≤ b } − P { X < b } = F ( b ) − F ( b − 0 ) P\{X = b\}=P\{X \leq b\}-P\{X < b\} = F(b)-F(b-0) P{X=b}=P{Xb}P{X<b}=F(b)F(b0)
      • 注意
      1. 这里的 F ( b − 0 ) F(b-0) F(b0)表示 分布函数 F ( x ) F(x) F(x) x = b x=b x=b处理左极限。 同理, F ( b + 0 ) F(b+0) F(b+0)表示 分布函数 F ( x ) F(x) F(x) x = b x=b x=b处理右极限 。
      2. 细心的同学也许注意到背景部分提到连续型随机变量在某一个点的概率为0,这里还整 F ( b − 0 ) F(b-0) F(b0) F ( b + 0 ) F(b+0) F(b+0) 搞这么麻烦是为了啥? 原因是这部分内容,对连续型和离散型随机变量都成立,离散型随机变量在某一个点有具体的不为0的概率值,因此不能忽略!

    2. 连续型随机变量及其概率密度

    • 定义,如果随机变量 X X X的分布函数 F ( x ) F(x) F(x),存在非负函数 f ( x ) f(x) f(x),使对于任意实数 x x x F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t , F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt, F(x)=xf(t)dt, 则称 X X X连续型随机变量 ,其中函数 f ( x ) f(x) f(x)称为 X X X概率密度函数,简称概率密度

    • 概率密度具有以下性质:

      1 o 1^o\quad 1o f ( x ) ≥ 0 f(x)\geq0 f(x)0

      2 o 2^o\quad 2o ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1 +f(x)dx=1

      3 o 3^o\quad 3o 对于任意实数 x 1 , x 2 ( x 1 ≤ x 2 ) x_1,x_2(x_1\leq x_2) x1,x2(x1x2) P x 1 < X ≤ x 2 = F ( x 2 ) − F ( x 1 ) = ∫ x 1 x 2 f ( x ) d x ; P{x_1< X\leq x_2}=F(x_2)-F(x_1)= \int_{x_1}^{x_2}f(x)dx; Px1<Xx2=F(x2)F(x1)=x1x2f(x)dx;

      4 o 4^o\quad 4o f ( x ) f(x) f(x) x x x处连续,则有 F ′ ( x ) = f ( x ) . F^{\prime}(x)=f(x). F(x)=f(x).

    • 连续型随机变量 X X X,任取一个指定实数 a a a的概率为 0 0 0,即 P { X = a } = 0 P\{X=a\}=0 P{X=a}=0

      证明如下:

      根据分布函数定义,有 P { X = a } = P { X ≤ a } − P { X < a } = F ( a ) − F ( a − 0 ) P\{X = a\}=P\{X \leq a\}-P\{X < a\} = F(a)-F(a-0) P{X=a}=P{Xa}P{X<a}=F(a)F(a0) ,我们知道 F ( a − 0 ) F(a-0) F(a0) 表示 F ( x ) F(x) F(x) x = a x=a x=a处理左极限,即 lim ⁡ x → a − F ( x ) \lim\limits_{x\rightarrow a^-}F(x) xalimF(x) , 由于 F ( x ) F(x) F(x) 在定义域内连续,所以有 F ( a − 0 ) = lim ⁡ x → a − F ( x ) = F ( a ) F(a-0)=\lim\limits_{x\rightarrow a^-}F(x)=F(a) F(a0)=xalimF(x)=F(a) . ∴ P { X = a } = F ( a ) − F ( a − 0 ) = 0 \therefore P\{X = a\}= F(a)-F(a-0) = 0 P{X=a}=F(a)F(a0)=0

      相关推论:

      1. 这里虽然 P { X = a } = 0 P\{X=a\}=0 P{X=a}=0 , 但随机变量 X X X是可以取到 a a a 点的, 也就是说 对于事件 A A A,如果其发生的概率 P ( A ) = 0 P(A)=0 P(A)=0, A A A不一定是 不可能事件, 但是如果已经知道 A A A 是不可能事件,则必有 P ( A ) = 0 P(A)=0 P(A)=0

      2. 连续型随机变量,计算区间概率时,区间端点可有可无,即 P { a < X ≤ b } = P { a ≤ X ≤ b } = P { a ≤ X < b } = P { a ≤ X < b } P\{a<X\leq b\} = P\{a\leq X\leq b \}=P\{a\leq X<b\}=P\{a\leq X<b\} P{a<Xb}=P{aXb}=P{aX<b}=P{aX<b} .

      3. 由第二条可知,我们假设 P { a < X ≤ b } = P { a ≤ X ≤ b } = 1 P\{a<X\leq b\} = P\{a\leq X\leq b \}=1 P{a<Xb}=P{aXb}=1, 会发现虽然 P { a < X ≤ b } = 1 P\{a<X\leq b\}=1 P{a<Xb}=1, 但是却不能取到 a a a 点,所以得出结论:对于事件 A A A,如果其发生的概率 P ( A ) = 1 P(A)=1 P(A)=1,则 A A A不一定是必然事件,但是如果已经知道 A A A 是必然事件,则必有 P ( A ) = 1 P(A)=1 P(A)=1.

    3. 重要的连续型随机变量分布

    3.1 均匀分布

    • 若连续型随机变量 X X X具有概率密度 f ( x ) = { 1 b − a , a < x < b , 0 , e l s e f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a},\quad a<x<b, \\ 0,\quad else \end{cases} f(x)={ba1,a<x<b0,else 则称 X X X在区间 ( a , b ) (a,b) (a,b) 上服从均匀分布,记作 X ∼ U ( a , b ) \pmb{X\sim U(a,b)} XU(a,b)XU(a,b)XU(a,b)

      必要性证明

      ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = ∫ − ∞ a 0 d x + ∫ a b 1 b − a d x + ∫ b + ∞ 0 d x = x b − a ∣ a b = 1 \begin{aligned}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^{a}0dx+\int_{a}^{b}\frac{1}{b-a}dx+\int_{b}^{+\infty}0dx = \left.\frac{x}{b-a}\right|_a^b = 1 \end{aligned} +f(x)dx=a0dx+abba1dx+b+0dx=baxab=1

    • 分布函数

      F ( x ) = { 0 , − ∞ < x ≤ a , x − a b − a , a < x < b , 1 , x ≥ b . \begin{aligned}F(x) = \begin{cases} 0,\quad & -\infty<x\leq a, \\ \frac{x-a}{b-a},\quad & a< x <b, \\ 1,\quad & x\geq b. \end{cases}\end{aligned} F(x)=0,baxa,1,<xa,a<x<b,xb.

    • 性质

      落在 ( a , b ) (a,b) (a,b)子区间内的概率,只跟子区间长度有关,跟子区间位置无关,证明很简单,不再赘述

    • 应用

      在公交站台的等车时间,针落在坐标纸上的倾斜角等

    3.2 指数分布

    • 若连续型随机变量 X X X具有概率密度 f ( x ) = { 1 θ e − x / θ , 0 < x , 0 , e l s e \begin{aligned}f(x)=\begin{cases} \frac{1}{\theta}e^{-x/\theta},\quad 0<x, \\ 0,\quad else \end{cases}\end{aligned} f(x)={θ1ex/θ,0<x0,else 其中 θ > 0 \theta>0 θ>0为常数,则称 X X X服从参数为 θ \theta θ指数分布,记作 X ∼ E ( θ ) \pmb{X\sim E(\theta)} XE(θ)XE(θ)XE(θ)

      必要性证明

      ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = ∫ − ∞ 0 0 d x + ∫ 0 + ∞ 1 θ e − x / θ d x = − e − x θ ∣ 0 + ∞ = 1 \begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^{0}0dx+\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{\theta}e^{-x/\theta}dx = \left.-e^{-\frac{x}{\theta}}\right|_0^{+\infty} = 1 \end{aligned} +f(x)dx=00dx+0+θ1ex/θdx=eθx0+=1

    • 分布函数

      F ( x ) = { 1 − e − x / θ , x > 0 0 , e l s e . \begin{aligned} F(x) = \begin{cases} 1-e^{-x/\theta},\quad &x>0 \\0,\quad &else. \end{cases} \end{aligned} F(x)={1ex/θ,0,x>0else.

    • 性质

      无记忆性,如果 X X X是某一元件的寿命,那么已知原件已经使用了 s s s小时,它总共能用至少 s + t s+t s+t 小时的条件概率,与从开始使用时算起它至少能用 t t t 小时的概率相等,数学表达式为 P { X > s + t ∣ X > s } = P { X > t } P\{X>s+t|X>s\} = P\{X>t\} P{X>s+tX>s}=P{X>t}

      证明如下

      P { X > s + t ∣ X > s } = P { ( X > s + t ) ∩ ( X > s ) } P { X > s } = P { X > s + t } P { X > s } = 1 − F ( s + t ) 1 − F ( s ) = 1 − ( 1 − e − ( s + t ) / θ ) 1 − ( 1 − e − ( s ) / θ ) = e − t / θ = P { X > t } \begin{aligned} P\{X>s+t|X>s\} &= \frac{P\{(X>s+t)\cap (X>s)\}}{P\{X>s\}} \\ &=\frac{P\{X>s+t\}}{P\{X>s\}} \\&= \frac{1-F(s+t)}{1-F(s)} \\&= \frac{1-(1-e^{-(s+t)/\theta})}{1-(1-e^{-(s)/\theta})} \\&= e^{-t/\theta} = P\{X>t\}\end{aligned} P{X>s+tX>s}=P{X>s}P{(X>s+t)(X>s)}=P{X>s}P{X>s+t}=1F(s)1F(s+t)=1(1e(s)/θ)1(1e(s+t)/θ)=et/θ=P{X>t}

    • 应用

      服务系统的服务时间,通话时间,某消耗品的寿命等

    3.3 正态分布

    • 若连续型随机变量 X X X具有概率密度 f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 , − ∞ < x < + ∞ \begin{aligned}f(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} , \quad -\infty<x<+\infty \end{aligned} f(x)=2π σ1e2σ2(xμ)2,<x<+ 其中 μ , ( σ > 0 ) \mu,(\sigma>0) μ,(σ>0)为常数,则称 X X X服从参数为 μ , σ \mu,\sigma μ,σ正态分布高斯(Gauss)分布,记作 X ∼ N ( μ , σ 2 ) \pmb{X\sim N(\mu,\sigma^2)} XN(μ,σ2)XN(μ,σ2)XN(μ,σ2)

      必要性证明

      很明显 f ( x ) ≥ 0 f(x)\geq0 f(x)0, 下面证明 ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1 +f(x)dx=1

      x − μ σ = t \frac{x-\mu}{\sigma} = t σxμ=t ,则 f ( x ) = 1 2 π σ e − t 2 2 , d x = σ d t f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{t^2}{2}}, dx = \sigma dt f(x)=2π σ1e2t2,dx=σdt

      ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π σ e − t 2 2 σ d t = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − t 2 2 d t \begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{t^2}{2}}\sigma dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}}dt \end{aligned} +f(x)dx=+2π σ1e2t2σdt=2π 1+e2t2dt

      我们先求 ∫ − ∞ + ∞ e − t 2 2 d t \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}}dt +e2t2dt 的积分,很难直接求出其积分,我们需要用到一个技巧,令 I = ∫ − ∞ + ∞ e − t 2 2 d t I=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}}dt I=+e2t2dt

      I 2 = ∫ − ∞ + ∞ e − t 2 2 d t ⋅ ∫ − ∞ + ∞ e − u 2 2 d u ( 定 积 分 的 值 与 积 分 变 量 无 关 , 与 被 积 函 数 和 积 分 上 下 限 有 关 ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ e − t 2 + u 2 2 d t d u = ∫ 0 2 π ∫ 0 + ∞ ρ e − ρ 2 2 d ρ d θ ( 利 用 极 坐 标 求 解 定 积 分 值 ) = ∫ 0 2 π − e − ρ 2 2 ∣ 0 + ∞ d θ = ∫ 0 2 π 1 d θ = 2 π ∵ I = ∫ − ∞ + ∞ e − t 2 2 d t > 0 ∴ I = 2 π \begin{aligned} I^2 &= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}}dt \cdot\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{u^2}{2}}du \quad(定积分的值与积分变量无关,与被积函数和积分上下限有关) \\&= \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2+u^2}{2}}dtdu \\&=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{+\infty} \rho e^{-\frac{\rho^2}{2}}d\rho d\theta \quad(利用极坐标求解定积分值) \\&=\int_{0}^{2\pi} -e^{-\frac{\rho^2}{2}}|_0^{+\infty} d\theta = \int_{0}^{2\pi}1d\theta \\&= 2\pi \\ &\because I=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}}dt>0 \quad \therefore I = \sqrt{2\pi} \end{aligned} I2=+e2t2dt+e2u2du()=++e2t2+u2dtdu=02π0+ρe2ρ2dρdθ()=02πe2ρ20+dθ=02π1dθ=2πI=+e2t2dt>0I=2π

      ∴ ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − t 2 2 d t = 1 2 π ⋅ 2 π = 1 \begin{aligned} \therefore \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}}dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot {\sqrt{2\pi}} = 1 \end{aligned} +f(x)dx=2π 1+e2t2dt=2π 12π =1

    • 分布函数

      F ( x ) = 1 2 π σ ∫ − ∞ x − ( t − μ ) 2 2 σ 2 d t F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt F(x)=2π σ1x2σ2(tμ)2dt

    • 性质

      1 o 1^o\quad 1o 正态分布曲线关于 x = μ x=\mu x=μ 对称.

      2 o 2^o\quad 2o x = μ x=\mu x=μ 时取得最大值, f ( μ ) = 1 2 π σ f(\mu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} f(μ)=2π σ1

      其他特性,可参考下图理解

      1. 曲线在 x = μ ± σ x=\mu\pm\sigma x=μ±σ 处有拐点
      2. 曲线以 0 x 0x 0x轴为渐近线
      3. x x x μ \mu μ越远, f ( x ) f(x) f(x)的值就越小,这表明对于同样长度的区间,当区间离 μ \mu μ越远, X X X落在这个区间的概率就越小
      4. 如果固定 σ \sigma σ,改变 μ \mu μ的值,则图形沿着 0 x 0x 0x轴平移,而不改变其形状。 μ \mu μ被称作位置参数(参考下图黄色和蓝色的线)
      5. 如果固定 μ \mu μ,改变 σ \sigma σ的值,由于其最大值 f ( μ ) = 1 2 π σ f(\mu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} f(μ)=2π σ1 随着 σ \sigma σ变小,而变得越尖,因而 X X X落在 μ \mu μ附近的概率变大 (参考下图红色和黄色的线)
        正态分布
    • μ = 0 , σ = 1 \mu=0,\sigma=1 μ=0,σ=1 时称随机变量 X X X服从标准正态分布,其概率密度和分布函数分别用 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x) Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x)表示,则有 ϕ ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 \phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} ϕ(x)=2π 1e2x2,

      Φ ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ x − t 2 2 d t \Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}{-\frac{t^2}{2}}dt Φ(x)=2π 1x2t2dt , 由性质很容易推知: Φ ( − x ) = 1 − Φ ( x ) \Phi(-x)=1-\Phi(x) Φ(x)=1Φ(x)

    • 引理,若 X ∼ N ( μ , σ ) X\sim N(\mu,\sigma) XN(μ,σ),则 Z = X − μ σ ∼ N ( 0 , 1 ) Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1) Z=σXμN(0,1).

      证明如下:

      Z = X − μ σ Z=\frac{X-\mu}{\sigma} Z=σXμ的分布函数为

      P { Z ≤ x } = P { X − μ σ ≤ x } = P { X ≤ σ x + μ } = ∫ − ∞ σ x + μ 1 2 π σ e − ( t − μ ) 2 2 σ 2 d t = F ( x ) ∴ f ( x ) = F ′ ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 = ϕ ( x ) ( 变 上 限 积 分 求 导 规 则 : 上 限 带 进 去 乘 以 上 限 对 变 量 求 导 ) ∴ 命 题 得 证 \begin{aligned}P\{Z\leq x\}&=P\{\frac{X-\mu}{\sigma}\leq x\}=P\{X\leq \sigma x+\mu\}\\&=\int_{-\infty}^{\sigma x+\mu}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt = F(x) \\ \therefore &f(x) = F'(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} = \phi(x) \quad(变上限积分求导规则:上限带进去乘以上限对变量求导) \\\therefore 命题得证 \end{aligned} P{Zx}=P{σXμx}=P{Xσx+μ}=σx+μ2π σ1e2σ2(tμ)2dt=F(x)f(x)=F(x)=2π 1e2x2=ϕ(x)()

      第二种证明方法, 令 t − μ σ = u , \frac{t-\mu}{\sigma}=u, σtμ=u,

      P { Z ≤ x } = ∫ − ∞ σ x + μ 1 2 π σ e − ( t − μ ) 2 2 σ 2 d t = 1 2 π ∫ − ∞ u e − u 2 2 d u = Φ ( x ) ∴ 命 题 得 证 \begin{aligned}P\{Z\leq x\}&=\int_{-\infty}^{\sigma x+\mu}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt \\&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{u}e^{-\frac{u^2}{2}}du =\Phi(x) \\ \therefore 命题得证 \end{aligned} P{Zx}=σx+μ2π σ1e2σ2(tμ)2dt=2π 1ue2u2du=Φ(x)

      由该引理可知 F ( x ) = P { X ≤ x } = P { X − μ σ ≤ x − μ σ } = Φ ( x − μ σ ) F(x)=P\{X\leq x\} = P\{\frac{X-\mu}{\sigma}\leq \frac{x-\mu}{\sigma}\} = \Phi(\frac{x-\mu}{\sigma}) F(x)=P{Xx}=P{σXμσxμ}=Φ(σxμ)

      P { x 1 ≤ X ≤ x 2 } = P { x 1 − μ σ ≤ X − μ σ ≤ x 2 − μ σ } = Φ ( x 2 − μ σ ) − Φ ( x 1 − μ σ ) P\{x_1\leq X\leq x_2\}=P\{\frac{x_1-\mu}{\sigma} \leq \frac{X-\mu}{\sigma}\leq \frac{x_2-\mu}{\sigma}\} = \Phi(\frac{x_2-\mu}{\sigma})-\Phi(\frac{x_1-\mu}{\sigma}) P{x1Xx2}=P{σx1μσXμσx2μ}=Φ(σx2μ)Φ(σx1μ)

      P { μ − σ ≤ X ≤ μ + σ } = Φ ( 1 ) − Φ ( − 1 ) = 2 Φ ( 1 ) − 1 = 68.26 % . P\{\mu-\sigma\leq X\leq \mu+\sigma\} = \Phi(1)-\Phi(-1) = 2\Phi(1)-1 = 68.26\%. P{μσXμ+σ}=Φ(1)Φ(1)=2Φ(1)1=68.26%.

      P { μ − 2 σ ≤ X ≤ μ + 2 σ } = Φ ( 2 ) − Φ ( − 2 ) = 2 Φ ( 2 ) − 1 = 95.44 % . P\{\mu-2\sigma\leq X\leq \mu+2\sigma\} = \Phi(2)-\Phi(-2) = 2\Phi(2)-1 = 95.44\%. P{μ2σXμ+2σ}=Φ(2)Φ(2)=2Φ(2)1=95.44%.

      P { μ − 3 σ ≤ X ≤ μ + 3 σ } = Φ ( 3 ) − Φ ( − 3 ) = 2 Φ ( 3 ) − 1 = 99.74 % . P\{\mu-3\sigma\leq X\leq \mu+3\sigma\} = \Phi(3)-\Phi(-3) = 2\Phi(3)-1 = 99.74\%. P{μ3σXμ+3σ}=Φ(3)Φ(3)=2Φ(3)1=99.74%.

      我们看到,正态分布的值落在 ( μ − 3 σ , μ + 3 σ ) (\mu-3\sigma, \mu+3\sigma) (μ3σ,μ+3σ)内几乎时肯定的事情,这就是 3 σ \pmb{3\sigma} 3σ3σ3σ法则

    • X ∼ N ( 0 , 1 ) X\sim N(0,1) XN(0,1),若 z a z_a za 满足条件 P { X > z a } = a , 0 < a < 1 , P\{X>z_a\}=a, \quad 0<a<1, P{X>za}=a,0<a<1则称点 z a z_a za为标准正态分布的 α \pmb{\alpha} ααα分位点

    • 应用

      在自然现象和社会现象中,大量随机变量都服从或者近似服从正态分布。例如,一个地区的男性成年人身高,测量某零件长度的误差,海洋波浪的高度,半导体器件中的热噪声电流或电压等。 后续我们还会介绍正态分布的其他重要特性

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  • 概率论常见分布函数

    千次阅读 2019-09-14 11:33:24
    1、二项分布(n重伯努利实验) 2、伽玛分布 3、均匀分布 4、指数分布 5、泊松分布 6、正态分布

    1、二项分布(n重伯努利实验)

     

    2、伽玛分布

     

    3、均匀分布

    4、指数分布

    5、泊松分布

     

    6、正态分布

     

     

     

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  • 常见分布的特征函数

    千次阅读 2020-08-17 18:44:56
    特征函数的定义非常简单,随机变量 X 的特征函数,其中 i 为虚数单位 一、伯努利分布 二、泊松分布 注意到, 所以原式可化为 三、几何分布 四、均匀分布 五、标准正态分布 六、指数分布 注意到...

    特征函数的定义非常简单,随机变量 X 的特征函数 \phi_{X}(t)=Ee^{itX},其中 i 为虚数单位

    一、伯努利分布

    \phi_{X}(t)=Ee^{itX}=pe^{it}+1-p

    二、泊松分布

    \phi_{X}(t)=Ee^{itX}=\sum_{k=0}^{\infty}e^{itk}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(e^{it}\lambda)^k}{k!}e^{-\lambda}

    注意到,\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(e^{it}\lambda)^k}{k!}e^{-\lambda e^{it}}=1

    所以原式可化为 \phi_{X}(t)=e^{\lambda(e^{it}-1)}

    三、几何分布

    \phi_{X}(t)=Ee^{itX}=\sum_{k=0}^{\infty}e^{itk}(1-p)^{k-1}p=\frac{pe^{it}}{1-e^{it}q}

    四、均匀分布

    \phi_{X}(t)=Ee^{itX}=\int_{a}^{b}\frac{1}{b-a}e^{itx}dx=\frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}

    五、标准正态分布

    \phi_{X}(t)=Ee^{itX}=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{itx}e^{-\frac{1}{2}x^2}dx=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(x-it)^2-\frac{t^2}{2}}dx=e^{-\frac{t^2}{2}}

    六、指数分布

    \phi_{X}(t)=Ee^{itX}=\int_{0}^{\infty}\lambda e^{(it-\lambda )x}dx

    注意到 \int_{0}^{\infty}(it-\lambda ) e^{(it-\lambda )x}dx=1

    所以原式可化为 (1-\frac{it}{\lambda})^{-1}

    七、特征函数的性质

    特征函数以指数的形式存在,因此可以化随机变量的加减为乘除

    1、Y=aX+b,则 \phi_{Y}(t)=e^{itb}\phi_{X}(at)

    2、e^{itx}=cos(tx)+i*sin(tx),因此其模恒小于等于 1

    3、\phi_{X}(t)=Ee^{itX}=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}f(x)dx

    \phi_{X}^{(k)}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}(ix)^ke^{itx}f(x)dx=i^kEX^k

    这个性质在求原点矩时经常用

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空空如也

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