经典证明：向量叉积的几何意义

为什么以向量 (a, b) 和 (c, d) 为邻边，构成的平行四边形的面积正好是 ad – bc 呢？下图是一个非常漂亮的无字证明。

这是我在阅读 The Mathematical Mechanic: Using Physical Reasoning to Solve Problems 一书时受到启发并制作完成的。

向量叉积分配律简单证明

引入

叉积

• 向量叉积即向量积$a\times b$，运算结果是一个向量，满足：
• 方向与$a$,$b$都垂直，符合右手法则；
• 模等于$|a||b|sin\theta$，几何意义为以$a$,$b$为邻边的平行四边形面积大小。

坐标运算

• 令$a=(m,n)$，$b=(p,q)$
• $a\times b$的竖坐标$=mq-np$（符号遵循右手法则）

证明

• $a=(m,n)$，$b=(p,q)$
• 设$a=x1+y1=(m,0)+(0,n)$，$b=x2+y2=(p,0)+(0,q)$
• $a\times b$的竖坐标$=(x1+y1)\times (x2+y2)$
  $=x1\times x2+x1\times y2+y1\times x2+y1\times y2$
  $=x1\times y2+y1\times x2$
  $=(m,0)\times (0,q)+(0,n)\times (p,0)$
  $=mq-np$
• 问题来了，这里的证明过程中，第一步直接把括号拆开，相当于默认叉积具有分配律，那么这一定是对的吗？
• 很多地方都没有给出证明，所以这里考虑对叉积分配律给出简单的证明。

证明

• 已知$a$,$b$,$c$为平面内向量，求证：$a\times (b+c)=a\times b+a\times c$.
• 首先通过平移是向量起点重合，
• 从几何意义入手，需要满足以$a,b$为邻边的平行四边形面积与以$a,c$为邻边的平行四边形面积之和等于以$a,b+c$为邻边的平行四边形面积（这里的面积可能为负值），
  
• 显然，这么看难以证明。
• 那可以把$b$,$c$投影到与$a$垂直的直线上，令投影后的向量分别为$b^{\prime }$,$c^{\prime }$，如图：
  
• 由叉积的几何意义易得，$a\times b=a\times b^{\prime }$，$a\times c=a\times c^{\prime }$
• 故$a\times b+a\times c=a\times b^{\prime }+a\times c^{\prime }=-|a||b^{\prime }|+|a||c^{\prime }|=|a|(|c^{\prime }|-|b^{\prime }|)$
  
• 同理又有$a\times (b+c)=a\times (b+c{)}^{\prime }=|a||(b+c{)}^{\prime }|$，
• 因为$|c^{\prime }|-|b^{\prime }|=|(b+c{)}^{\prime }|$，所以$a\times b^{\prime }+a\times c^{\prime }=a\times (b+c{)}^{\prime }$，所以$a\times (b+c)=a\times b+a\times c$，
• 得证。
• 实际上，这样就相当于把原先的三个普通平行四边形转化为了三个矩形，便于证明。

向量叉积

仅在三维空间，两个向量的叉积才有定义，记作 u ^ v
定义为：
u ^ v = ||u|| ||v|| sin(θ) n
其中，θ表示u 和 v 的夹角， ||u|| 和 ||v|| 分别是向量 u和v 的模，n 则是u、v 所构成平面的法向（垂直于u、v平面的单位向量），方向由右手定则决定。

矩阵表示

叉积可以表示成如下行列式：

其中， u = (u1, u2, u3)，v = (v1, v2, v3)，i、j、k为基向量，为三维坐标系的x, y, z方向的单位向量。
这个行列式可以使用拉普拉斯在展开和萨吕法则计算。
使用拉普拉斯展开可以沿第一展开为：

使用萨吕法则可以展开为：

几何意义

根据定义可以得出，向量叉积的几何意义是以u和v为零边的平行四边形的有向面积。

应用

在计算机图形学中，向量叉乘的应用广泛。比如，判断线段的相对位置，线段相交，点在多边形内，求凸包等。

判断两条线段的相对位置

在二维平面上有两条线段，分别是AB和AC，如何通过向量叉积来确定他们的相对位置关系
点A、B、C的坐标为



首先构造两个向量AB和AC,

由于二维空间不存在叉积的定义，所以引入z轴，将向量AB、AC扩展到三维空间，可以将二位向量可看作z轴恒为0的三维向量，
那么，两个向量叉积的则可表示为：

res > 0, AC在AB的逆时针方向
res = 0, AB和AC共线
res < 0, AC在AB的顺时针方向