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  • 向量叉积的模
    千次阅读
    2020-10-09 10:11:03

    一:向量叉积

    设两个点P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)

    叉积PxQ=(y1z2-y2z1,x2z1-x1z2,x1y2-x2y1)

    代码实现(vb.net封成一个函数):

    Private Function Cross(ByVal Mat4() As Double, ByVal Mat5() As Double)
            Dim Mat6() As Double
            Mat6 = {Mat4(1) * Mat5(2) - Mat5(1) * Mat4(2), Mat4(2) * Mat5(0) - Mat4(0) * Mat5(2), Mat4(0) * Mat5(1) - Mat5(0) * Mat4(1)}
            Return Mat6
     End Function

     

    二:向量叉积的模

    向量积的模=两向量组成的平行四边形面积

    |PxQ|= sqrt((x1y2-x2y1)^2+(y1z2-y2z1)^2+(z1x2-z2x1)^2)

     

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    经典证明:向量叉积的几何意义

    转自:http://www.matrix67.com/blog/archives/6217

    为什么以向量 (a, b) 和 (c, d) 为邻边,构成的平行四边形的面积正好是 ad – bc 呢?下图是一个非常漂亮的无字证明。

    这是我在阅读 The Mathematical Mechanic: Using Physical Reasoning to Solve Problems 一书时受到启发并制作完成的。


    展开全文
  • 向量叉积分配律简单证明

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    向量叉积分配律简单证明 引入 叉积 向量叉积即向量积a×ba×ba×b,运算结果是一个向量,满足: 方向与aaa,bbb都垂直,符合右手法则; 等于∣a∣∣b∣sinθ|a||b|sinθ∣a∣∣b∣sinθ,几何意义为以aaa,bbb为...

    向量叉积分配律简单证明

    引入

    叉积
    • 向量叉积即向量积 a × b a×b a×b,运算结果是一个向量,满足:
    • 方向与 a a a, b b b都垂直,符合右手法则;
    • 模等于 ∣ a ∣ ∣ b ∣ s i n θ |a||b|sinθ absinθ,几何意义为以 a a a, b b b为邻边的平行四边形面积大小。
    坐标运算
    • a = ( m , n ) a=(m,n) a=(m,n) b = ( p , q ) b=(p,q) b=(p,q)
    • a × b a×b a×b的竖坐标 = m q − n p =mq-np =mqnp(符号遵循右手法则)
    证明
    • a = ( m , n ) a=(m,n) a=(m,n) b = ( p , q ) b=(p,q) b=(p,q)
    • a = x 1 + y 1 = ( m , 0 ) + ( 0 , n ) a=x1+y1=(m,0)+(0,n) a=x1+y1=(m,0)+(0,n) b = x 2 + y 2 = ( p , 0 ) + ( 0 , q ) b=x2+y2=(p,0)+(0,q) b=x2+y2=(p,0)+(0,q)
    • a × b a×b a×b的竖坐标 = ( x 1 + y 1 ) × ( x 2 + y 2 ) =(x1+y1)×(x2+y2) =(x1+y1)×(x2+y2)
      = x 1 × x 2 + x 1 × y 2 + y 1 × x 2 + y 1 × y 2 =x1×x2+x1×y2+y1×x2+y1×y2 =x1×x2+x1×y2+y1×x2+y1×y2
      = x 1 × y 2 + y 1 × x 2 =x1×y2+y1×x2 =x1×y2+y1×x2
      = ( m , 0 ) × ( 0 , q ) + ( 0 , n ) × ( p , 0 ) =(m,0)×(0,q)+(0,n)×(p,0) =(m,0)×(0,q)+(0,n)×(p,0)
      = m q − n p =mq-np =mqnp
    • 问题来了,这里的证明过程中,第一步直接把括号拆开,相当于默认叉积具有分配律,那么这一定是对的吗?
    • 很多地方都没有给出证明,所以这里考虑对叉积分配律给出简单的证明。

    证明

    • 已知 a a a, b b b, c c c为平面内向量,求证: a × ( b + c ) = a × b + a × c a×(b+c)=a×b+a×c a×(b+c)=a×b+a×c.
    • 首先通过平移是向量起点重合,
    • 从几何意义入手,需要满足以 a , b a,b a,b为邻边的平行四边形面积与以 a , c a,c a,c为邻边的平行四边形面积之和等于以 a , b + c a,b+c a,b+c为邻边的平行四边形面积(这里的面积可能为负值),
      在这里插入图片描述
    • 显然,这么看难以证明。
    • 那可以把 b b b, c c c投影到与 a a a垂直的直线上,令投影后的向量分别为 b ′ b' b, c ′ c' c,如图:
      在这里插入图片描述
    • 由叉积的几何意义易得, a × b = a × b ′ a×b=a×b' a×b=a×b a × c = a × c ′ a×c=a×c' a×c=a×c
    • a × b + a × c = a × b ′ + a × c ′ = − ∣ a ∣ ∣ b ′ ∣ + ∣ a ∣ ∣ c ′ ∣ = ∣ a ∣ ( ∣ c ′ ∣ − ∣ b ′ ∣ ) a×b+a×c=a×b'+a×c'=-|a||b'|+|a||c'|=|a|(|c'|-|b'|) a×b+a×c=a×b+a×c=ab+ac=a(cb)
      在这里插入图片描述
    • 同理又有 a × ( b + c ) = a × ( b + c ) ′ = ∣ a ∣ ∣ ( b + c ) ′ ∣ a×(b+c)=a×(b+c)'=|a||(b+c)'| a×(b+c)=a×(b+c)=a(b+c)
    • 因为 ∣ c ′ ∣ − ∣ b ′ ∣ = ∣ ( b + c ) ′ ∣ |c'|-|b'|=|(b+c)'| cb=(b+c),所以 a × b ′ + a × c ′ = a × ( b + c ) ′ a×b'+a×c'=a×(b+c)' a×b+a×c=a×(b+c),所以 a × ( b + c ) = a × b + a × c a×(b+c)=a×b+a×c a×(b+c)=a×b+a×c
    • 得证。
    • 实际上,这样就相当于把原先的三个普通平行四边形转化为了三个矩形,便于证明。
    展开全文
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    仅在三维空间,两个向量叉积才有定义,记作 u ^ v 定义为: u ^ v = ||u|| ||v|| sin(θ) n 其中,θ表示u 和 v 的夹角, ||u|| 和 ||v|| 分别是向量 u和v 的,n 则是u、v 所构成平面的法向(垂直于u、v平面的...

    向量叉积

    叉乘
    仅在三维空间,两个向量的叉积才有定义,记作 u ^ v
    定义为:
    u ^ v = ||u|| ||v|| sin(θ) n
    其中,θ表示uv 的夹角, ||u|| 和 ||v|| 分别是向量 uv 的模,n 则是uv 所构成平面的法向(垂直于uv平面的单位向量),方向由右手定则决定。

    矩阵表示

    叉积可以表示成如下行列式:
    在这里插入图片描述
    其中, u = (u1, u2, u3),v = (v1, v2, v3),ijk为基向量,为三维坐标系的x, y, z方向的单位向量。
    这个行列式可以使用拉普拉斯在展开和萨吕法则计算。
    使用拉普拉斯展开可以沿第一展开为:
    在这里插入图片描述
    使用萨吕法则可以展开为:
    在这里插入图片描述

    几何意义

    根据定义可以得出,向量叉积的几何意义是以uv为零边的平行四边形的有向面积。

    应用

    在计算机图形学中,向量叉乘的应用广泛。比如,判断线段的相对位置,线段相交,点在多边形内,求凸包等。

    判断两条线段的相对位置

    在这里插入图片描述
    在二维平面上有两条线段,分别是AB和AC,如何通过向量叉积来确定他们的相对位置关系
    点A、B、C的坐标为
    A(xa, Ya)
    B(Xb, Yb)
    P(Xp, Yp)
    首先构造两个向量AB和AC,
    在这里插入图片描述
    由于二维空间不存在叉积的定义,所以引入z轴,将向量AB、AC扩展到三维空间,可以将二位向量可看作z轴恒为0的三维向量,
    那么,两个向量叉积的则可表示为:
    在这里插入图片描述
    res > 0, AC在AB的逆时针方向
    res = 0, AB和AC共线
    res < 0, AC在AB的顺时针方向

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  • 文章目录一.预备知识 一.预备知识 ...①所得向量为: ∣a×b∣=∣a∣⋅∣b∣⋅sinθ|a×b|=|a|\cdot|b|\cdot sinθ∣a×b∣=∣a∣⋅∣b∣⋅sinθ 其中θθθ为向量a与向量b的夹角 ②所得向量的方向
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空空如也

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