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  • 空间数据插值

    2018-04-28 11:11:00
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    2015-04-11 05:55:02
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    2012-03-12 16:28:22
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  • 如何利用MATLAB进行数据插值

    万次阅读 多人点赞 2020-04-20 19:57:51
    文章目录前言1 引例-零件加工问题2 数据插值的计算机制3 数据插值的实现方法3 应用案例1-粮储仓的通风控制问题4 应用案例2-机动车刹车距离问题5 应用案例3-沙盘制作问题总结 前言 本文是科学计算与MATLAB语言课程的...

    前言

    本文是科学计算与MATLAB语言课程的第5章第3、4小结的学习笔记,通过查阅本文,可以轻松掌握利用MATLAB进行数据插值。 E n j o y   y o u r   r e a d i n g ! Enjoy\ your\ reading! Enjoy your reading!
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    1 引例-零件加工问题

    在飞机制造中,机翼的加工是一项关键技术。由于机翼尺寸很大,通常在图纸中只能标出一些关键点的数据。下表给出了某型飞机机翼的下缘轮廓线数据,求x每改变0.1时y的值。

    x035791112131415
    y01.21.72.02.12.01.81.21.01.6
    x=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15];
    y=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6];
    x1=0:0.1:15;
    y1=interp1(x,y,x1,'spline');
    plot(x1,y1)
    

    fig1

    2 数据插值的计算机制

    从数学上来说,数据插值是一种函数逼近的方法。

    x x x x 1   x 2   . . . x k . . . x n x_1 \ x_2 \ ...x_k...x_n x1 x2 ...xk...xn
    y y y y 1   y 2   . . . y k . . . y n y_1\ y_2\ ...y_k...y_n y1 y2 ...yk...yn

    y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)
    它的实质就是用一个近似函数 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)来逼近未知函数 f ( x ) f(x) f(x),然后利用这个近似函数 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)进行插值。

    3 数据插值的实现方法

    数据插值的实现方法
    在MATLAB中,一维插值函数为interp1(),其调用格式为:
    Y1=interp1(X,Y,X1,method)
    该语句将根据X、Y的值,计算函数在X1处的值。其中,X、Y是两个等长的已知向量,分别表示采样点和采样值。X1是一个向量或标量,表示要插值的点。
    method参数用于指定插值方法,常用的取值有以下四种:
    (1)linear:线性插值,默认方法。将与插值点靠近的两个数据点用直线连接,然后在直线上选取对应插值点的数据。
    (2)nearest:最近点插值。选择最近样本点的值作为插值数据。
    (3)pchip:分段3次埃尔米特插值。采用分段三次多项式,除满足插值条件,还需满足在若干节点处相邻段插值函数的一阶导数相等,使得曲线光滑的同时,还具有保形性。
    (4)spline:3次样条插值。每个分段内构造一个三次多项式,使其插值函数除满足插值条件外,还要求在各节点处具有连续的一阶和二阶导数。

    思考:为什么这两种插值方法都用3次多项式而不用更高次的?
    这里就要提一下龙格现象了,龙格(Runge)发现多项式插值并非次数越高越精确!
    四种方法的比较:

    x=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15]; 
    y=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6]; 
    x1=0:0.1:15; 
    y1=interp1(x,y,x1,'spline'); %3次样条插值
    subplot(2,2,1)
    plot(x1,y1)
    legend('3次样条插值')
    hold on
    y2=interp1(x,y,x1,'linear'); %线性插值
    subplot(2,2,2)
    plot(x1,y2,'r')
    legend('线性插值')
    y3=interp1(x,y,x1,'pchip'); %分段3次埃尔米特插值
    subplot(2,2,3)
    plot(x1,y3,'g')
    legend('分段3次埃尔米特插值')
    y4=interp1(x,y,x1,'nearest'); %最近点插值
    subplot(2,2,4)
    plot(x1,y4,'b')
    legend('最近点插值')
    

    fig2
    线性插值和最近点插值方法比较简单。其中线性插值方法的计算量与样本点n无关。n越大,误差越小。
    3次埃尔米特插值和3次样条插值都能保证曲线的光滑性。相比较而言,3次埃尔米特插值具有保形性;而3次样条插值要求其二阶导数也连续,所以插值函数的性态更好。
    二维插值函数:
    MATLAB中的二维插值函数为interp2(),其调用格式为:
    Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)
    其中,X、Y是两个向量,表示两个参数的采样点,Z是采样点对应的函数值。X1、Y1是两个标量或向量,表示要插值的点。

    3 应用案例1-粮储仓的通风控制问题

    在某粮情自动测控系统中,根据粮温、粮湿计算平衡点湿度,与大气湿度进行比较,再根据通风模拟情况决定是否自动进行通风。已测得平衡点湿度与粮温、粮湿关系的部分数据如下表,请推算相应范围内温度每变化1度、湿度每变化1个点的平衡点湿度。

    平衡点湿度与粮温、粮湿度关系表
    (第一列:粮温,第一行:粮湿,其余:平衡点湿度)
    粮温\粮湿2030405060708090
    08.910.3211.312.513.915.317.821.3
    58.710.81112.113.214.816.5520.8
    108.39.6510.881213.214.616.420.5
    158.19.410.711.913.114.516.220.3
    208.19.210.81213.214.816.920.9
    x=20:10:90;
    y=(0:5:20)';
    z=[8.9,10.32,11.3,12.5,13.9,15.3,17.8,21.3;8.7,10.8,11,12.1,13.2,14.8,16.55,20.8;8.3,9.65,10.88,12,13.2,14.6,16.4,20.5;8.1,9.4,10.7,11.9,13.1,14.5,16.2,20.3;8.1,9.2,10.8,12,13.2,14.8,16.9,20.9];
    xi=20:90;
    yi=(0:20)';
    zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'spline');
    surf(xi,yi,zi)
    

    fig3

    4 应用案例2-机动车刹车距离问题

    在车辆行驶中,从驾驶员看到障碍物开始,到作出判断而采取制动措施停车所需的最短距离叫停车视距。停车视距由三部分组成:一是驾驶员反应时间内行驶的距离(即反应距离);二是开始制动到车辆完全停止所行驶的距离(即制动距离);三是车辆停止时与障碍物应该保持的安全距离。其中,制动距离主要与行驶速度和路面类型有关。根据测试,某型车辆在潮湿天气于沥青路面行驶时,其行车速度(单位:km/h)与制动距离(单位:m)的关系如下表所示。

    速度2030405060708090100110120130140150
    制动距离3.157.0812.5919.6828.3438.5750.463.7578.7195.22113.29132.93154.12176.87

    假设驾驶员的反应时间为10s,安全距离为10m。请问:
    ①根据某驾驶员的实际视力和视觉习惯,其驾驶时的有效视距为120m,则其在该路面行车时,时速最高不能超过多少(结果取整)?
    ②若以表中数据为参考,设计一条最高时速为125km/h的高速公路,则设计人员应该保证驾驶者在公路上任一点的可视距离为多少米?

    设速度为 v v v,停车视距为 d d d,反应距离为 d 1 d_1 d1,制动距离为 d 2 d_2 d2,安全距离为 d 3 d_3 d3,反应时间为 a s a_s as,则
    d = d 1 + d 2 + d 3 d=d_1+d_2+d_3 d=d1+d2+d3其中, d 1 = a s v d_1=a_sv d1=asv d 2 d_2 d2为v的函数, d 3 d_3 d3已知。
    第一问:根据某驾驶员的实际视力和视觉习惯,其驾驶时的有效视距为120m,则其在该路面行车时,时速最高不能超过多少(结果取整)?
    已知反应时间为10s,安全距离为10m,可采用解方程方法:
    10 v + d 2 + 10 = 120 10v+d_2+10=120 10v+d2+10=120存在的问题是, d 2 d_2 d2 v v v的函数,但是函数关系未知,方程不可解。
    下面考虑数据插值方法,以表格中的数据为样本,进行数据插值,计算出与120m的停车视距所对应的速度指标。
    编程思路:
    第一步:建立速度和停车视距向量。
    第二步:以1为单位,对采样区间内所有速度进行插值,计算出相应的停车视距。
    第三步:求出停车视距120所对应的速度。
    第四步:绘图展示。
    如何根据停车视距120找到对应的速度?
    第一步:令代表停车视距的向量di减去120,再取绝对值,得到一个新的向量x。
    第二步:将x按升序排列,并记录最小元素的序号,该序号即为停车视距120所对应的速度数据在向量vi中的序号。
    第三步:根据序号取得速度数据。

    v=20:10:150;
    vs=v.*(1000/3600);
    d1=10.*vs;
    d2=[3.15,7.08,12.59,19.68,28.34,38.57,50.4,63.75,78.71,95.22,113.29,132.93,154.12,176.87];
    d3=10;
    d=d1+d2+d3;
    vi=20:1:150;
    di=interp1(v,d,vi,'spline');
    x=abs(di-120);
    [y,i]=sort(x);
    vi(i(1))
    plot(vi,di,vi(i(1)),di(i(1)),'rp')
    

    fig4
    停车视距的增长随着车速增加呈非线性增长。速度越快,要求视线越远。
    第二问:设计一条最高时速为125km/h的高速公路,则设计人员应该保证驾驶者在公路上任一点的可视距离为多少米?

    >>j=find(vi==125);
    >>di(j)
    >>ans=
     480.14
    >>plot(vi,di,125,480.14,'rp')
    

    5 应用案例3-沙盘制作问题

    某地面部队分成红蓝两方在指定的陌生区域(平面区域[0,2000]*[0,2000]内,单位:m)进行作战演习。在演习过程中,红方侦查单位已经测得一些地点的高程如下表所示。

    y/x020040060080010001200140016001800
    02000200020011992195419381972199519991999
    2002000200220061908153313811728195919982000
    40020002005204319219778971310193020032000
    6001997197820092463237414451931220920502003
    8001992189215661971276821112653261021212007
    10001991187515111556222119862660260121192007
    12001996195017972057284927982608230320522003
    14001999199920792685339033842781216520162000
    16002000200220432271266826682277204920032000
    18002000200020042027206720672027200420002000

    ①根据表中数据,制作军事沙盘。
    ②在演习范围内,占领最大高地的一方将获得居高临下的优势。请问红方应第一时间抢占哪块区域。

    解题思路:
    第一问:用二维插值估算数据,以方便制作军事沙盘。
    第二问:在插值的基础上,绘制等高线图,找到最大高地。

    x=0:200:1800;
    y=x';
    z=[2000,2000,2001,1992,1954,1938,1972,1995,1999,1999;
    2000,2002,2006,1908,1533,1381,1728,1959,1998,2000;
    2000,2005,2043,1921,977,897,1310,1930,2003,2000;
    1997,1978,2009,2463,2374,1445,1931,2209,2050,2003;
    1992,1892,1566,1971,2768,2111,2653,2610,2121,2007;
    1991,1875,1511,1556,2221,1986,2660,2601,2119,2007;
    1996,1950,1797,2057,2849,2798,2608,2303,2052,2003;
    1999,1999,2079,2685,3390,3384,2781,2165,2016,2000;
    2000,2002,2043,2271,2668,2668,2277,2049,2003,2000;
    2000,2000,2004,2027,2067,2067,2027,2004,2000,2000];
    surf(x,y,z);
    x1=0:100:1800;
    y1=x1';
    z1=interp2(x,y,z,x1,y1,'spline');
    surf(x1,y1,z1);
    x2=0:50:1800;
    y2=x2';
    z2=interp2(x1,y1,z1,x2,y2,'spline');
    surf(x2,y2,z2);
    contour(x2,y2,z2,12)
    

    fig5
    从图中可以看出最大高地的位置。

    总结

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    展开全文
  • 点云数据插值

    2012-05-15 16:18:01
    实现点云数据插值,对于大量的不规则点云数据,需要通过插值运算实现网格化。
  • 提出了一种基于粒子群的三次样条插值算法,详细阐述了该算法应用于矿压缺失数据插值时的实现步骤和基本流程。该算法具有三次样条插值方法良好的分段光滑性,同时具有粒子群算法参数少、易于实现的优点。对相同地点不同...
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  • 一维数据插值。 导入此功能 节点模块 运行npm install interp1 将一个导入添加到npm包中, import interp1 from 'interp1'; 然后,您可以在代码中使用该函数。 CDN 将以下脚本标记[removed][removed]放在index.html...
  • 多级B样条曲线的分散数据插值 该库提供了用C ++ 11实现的[1]中的自适应MBA算法。 这是用于分散N维数据插值和逼近的快速算法。 还提供了Python绑定。 C ++中的2D插值示例: # include int main () { // ...
  • MATLAB之 数据插值(附实例+代码)

    千次阅读 2020-08-06 11:33:22
    数据插值 数据插值可以根据有限个点的取值状况,合理估算出附近其他点的取值,从而节约大量的实验和测试资源,节省大量的人力、物力和财力。 引例-零件加工问题 >> x=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15]; >> y...

    数据插值

    数据插值可以根据有限个点的取值状况,合理估算出附近其他点的取值,从而节约大量的实验和测试资源,节省大量的人力、物力和财力。

    引例-零件加工问题

    在这里插入图片描述

    >> x=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15];
    >> y=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6];
    >> x1=0:0.1:15;
    >> y1=interp1(x,y,x1,'spline');
    >> plot(x1,y1)
    

    数据插值的计算机制

    数据插值是一种函数逼近的方法。

    一维插值

    Y1=interp1(X,Y,X1,method)

    二维插值

    interp2():二维插值函数。
    调用格式:
    Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)
    其中,X、Y是两个向量,表示两个参数的采样点, Z是采样点对应的函数值。X1、 Y1是两个标量或向量,表示要插值的点。

    数据插值的实现方法

    method用于指定插值方法,常用的取值有以下四种:

    1. linear: 线性插值,默认方法。将与插值点靠近的两个数据点用直线 连接,然后在直线上选取对应插值点的数据。
    2. nearest :最近点插值。选择最近样本点的值作为插值数据。
    3. pchip:分段3次埃尔米特插值。采用分段三次多项式,除满足插值条件,还需满足在若干节点处相邻段插值函数的一-阶导数相等,使得曲线光滑的同时,还具有保形性。
    4. spline: 3次样条插值。每个分段内构造一个三次多项式, 使其插值函数除满足插值条件外,还要求在各节点处具有连续的一阶和二阶导数。

    机动车刹车距离问题

    在这里插入图片描述
    假设驾驶员的反应时间为10s,安全距离为10m。请问: .
    ①根据某驾驶员的实际视力和视觉习惯,其驾驶时的有效视距为120m,则其在该路面行车时,时速最高不能超过多少( 结果取整) ?
    ②若以表中数据为参考,设计一条最高时速为125km/h的高速公路,则设计人员应该保证驾驶者在公路上任一点的可视距 离为多少米?

    设速度为v,停车视距为d,反应距离为d1,制动距离为d2,安全距离为d3,反应时间为a,则d=d1+d2+d3 。
    其中,d1=av, d2为v的函数,d3已知。

    编程思路:
    1. 建立速度和停车视距向量。
    2. 以1为单位,对采样区间内所有速度进行插值,计算出相应的停车视距。
    3. 求出停车视距120所对应的速度。
    4. 绘图展示。
    如何根据停车视距120找到对应的速度?
    1. 令代表停车视距的向量di减去120,再取绝对值,得到一个新的向量x。
    2. 将x按升序排列,并记录最小元素的序号,该序号即为停车视距120所对应的速度数据在向量vi中的序号。
    3. 根据序号取得速度数据。
    >> v=20:10:150;
    >> vs=v*(1000/3600);
    >> d1=10*vs;
    >> d2=[3.15 7.08 12.59 19.68 28.34 38.57 50.4 63.75 78.71 95.22 113.29 132.93 154.12 176.87];
    >> d3=10;
    >> d=d1+d2+d3;
    >> vi=20:150;
    >> di=interp1(v,d,vi,'spline');
    >> x=abs(di-120);
    >> [y,i]=sort(x);
    >> vi(i(1))
    
    ans =
    
        36
    >> plot(vi,di,vi(i(1)),di(i(1)),'rp')
    

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  • MATLAB数据插值和曲线拟合

    千次阅读 2020-08-23 22:15:07
    MATLAB数据插值 在工程测量和科学实验中,所得到的数据通常是离散的。 如果要得到这些离散点以外的其他点的数值,就需要根据这些已知数据进行插值。 根据被插值函数的自变量个数,插值问题分为一维插值、二维插值和...

    MATLAB数据插值

    在工程测量和科学实验中,所得到的数据通常是离散的。
    如果要得到这些离散点以外的其他点的数值,就需要根据这些已知数据进行插值。
    根据被插值函数的自变量个数,插值问题分为一维插值、二维插值和多维插值等;根据是用分段直线、多项式或样条函数来作为插值函数,插值问题又分为线性插值、多项式插值和样条插值等。

    1.一维插值

    如果被插值函数是一个单变量函数,则数据插值问题称为一维插值。一维插值采用的方法有线性方法、最近方法、3次多项式和3次样条插值。

    函数interp1:插值函数
    Y1=interp1(X,Y,X1,method)
    根据X、Y的值,计算函数在X1处的值。其中,X、Y是两个等长的已知向量,分别描述采样点和采样值。若同一个采样点有多种采样值,则Y可以为矩阵,Y的每一列对应一组采样。X1是一个向量或标量,描述欲插值的点,Y1是一个与X1等长的插值结果。

    参数:method :用于指定插值方法,允许的取值有:
    ‘linear’:线性插值。线性插值是默认的插值方法,它是把与插值点靠近的两个数据点用直线连接,然后在直线上选取对应插值点的数据。
    ‘nearest’:最近点插值。根据插值点与已知数据点的远近程度进行插值。插值点优先选择较近的数据点进行插值操作。
    ‘pchip’:分段3次埃尔米特插值。MATLAB中有一个专门的3次Hermite插值函数pchip(X,Y,X1),其功能及使用方法与函数interp1(X,Y,X1,‘pchip’)相同。
    ‘spline’:3次样条插值。所谓3次样条插值,是指在每个分段(子区间)内构造一个3次多项式,使其插值函数除满足插值条件外,还要求在各节点处具有光滑的条件。MATLAB中有一个专门的3次样条插值函数spline(X,Y,X1),其功能及使用方法与函数interp1(X,Y,X1,‘spline’)相同。

    例:给出以下概率积分的数据表如表6-1所示,用不同的插值方法计算f(0.472)
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    >> x=0.46:0.01:0.49;         %给出x和f(x)
    >> f=[0.4846555,0.4937542,0.5027498,0.5116683];
    >> format long
    >> interp1(x,f,0.472)     %用默认方法,即线性插值计算f(0.472)
    ans =  0.495553320000000
    >> interp1(x,f,0.472,'nearest')  %用最近点插值计算f(0.472)
    ans = 0.493754200000000
    >> interp1(x,f,0.472,'pchip')      %用3次Hermite插值计算f(0.472)
    ans = 0.495561119712056
    >> interp1(x,f,0.472,'spline')    %用3次样条插值计算f(0.472)
    ans = 0.495560736000000
    format short
    

    例:某检测参数f随时间t的采样结果如表6-2,用数据插值法计算t=2,12,22,32,42,52时的f值
    在这里插入图片描述

    >> T=0:5:65;
    >> X=2:10:52;
    >>F=[3.2015,2.2560,879.5,1835.9,2968.8,4136.2,5237.9,6152.7,6725.3,6848.3,6403.5,6824.7,7328.5,7857.6];
    >> F1=interp1(T,F,X)        %用线性插值方法插值
    >> F2=interp1(T,F,X,'nearest')     %用最近点插值方法插值
    >> F3=interp1(T,F,X,'pchip')       %用3次Hermite插值方法插值
    >> F4=interp1(T,F,X,'spline')      %用3次样条插值方法插值
    

    2.二维插值

    当函数依赖于两个自变量变化时,其采样点就应该是一个由这两个参数组成的一个平面区域,插值函数也是一个二维函数。对依赖于两个参数的函数进行插值的问题称为二维插值问题。同样,在MATLAB中,提供了解决二维插值问题的函数interp2,其调用格式为:
    Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)
    其中,X、Y是两个向量,分别描述两个参数的采样点,Z是与参数采样点对应的函数值,X1、Y1是两个向量或标量,描述欲插值的点。Z1是根据相应的插值方法得到的插值结果。 method的取值与一维插值函数相同。X、Y、Z也可以是矩阵形式。

    例:设z=x2+y2,对z函数在[0,1]×[0,2]区域内进行插值。

    >> x=0:0.1:1;y=0:0.2:2;
    >> [X,Y]=meshgrid(x,y);       	%产生自变量网格坐标
    >> Z=X.^2+Y.^2;                	%求对应的函数值
    >> interp2(x,y,Z,0.5,0.5)     	%在(0.5,0.5)点插值
    ans =
        0.5100
    >> interp2(x,y,Z,[0.5 0.6],0.4) %在(0.5,0.4)点和(0.6,0.4)点插值
    ans =
        0.4100    0.5200
    >> interp2(x,y,Z,[0.5 0.6],[0.4 0.5])%在(0.5,0.4)点和(0.6,0.5)点插值
    ans =
        0.4100    0.6200
    %下一命令在(0.5,0.4),(0.6,0.4),(0.5,0.5)和(0.6,0.5)各点插值
    >> interp2(x,y,Z,[0.5 0.6]',[0.4 0.5])
    ans =
        0.4100    0.5200
        0.5100    0.6200
    

    3.曲线拟合的实现

    在MATLAB中,用polyfit函数来求得最小二乘拟合多项式的系数,再用polyval函数按所得的多项式计算所给出的点上的函数近似值。

    polyfit函数的调用格式为:
    P=polyfit(X,Y,m)
    [P,S]=polyfit(X,Y,m)
    [P,S,mu]=polyfit(X,Y,m)

    函数根据采样点X和采样点函数值Y,产生一个m次多项式P及其在采样点的误差向量S。其中,X、Y是两个等长的向量,P是一个长度为m+1的向量,P的元素为多项式系数。mu是一个二元向量,mu(1)是mean(X),而mu(2)是std(X)。可以用polyval函数按所得的多项式计算X各点上多项式的值。

    例:用一个3次多项式在区间[0,2π]内逼近函数。
    在给定区间上,均匀地选择50个采样点,并计算采样点的函数值,然后利用3次多项式逼近。

    >> X=linspace(0,2*pi,50);
    >> Y=sin(X);
    >> P=polyfit(X,Y,3)     %得到3次多项式的系数和误差
    P =
        0.0912   -0.8596    1.8527   -0.1649
    
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  • 拉格朗日插值法,matlab的具体实现代码,用于数据拟合
  • 气温数据插值

    千次阅读 2020-02-27 15:20:11
    气温数据插值 1.中国气象数据网,资源环境云平台下载数据,将温度数据除以10,单位由0.1℃转为℃。 2.投影统一 3.气温数据导入ARCGIS中“分类汇总”,选择表格级别2,按住ctrl+g,定位,选择‘可见单元格’,ctrl+c...

    气温数据插值

    1.中国气象数据网,资源环境云平台下载数据,将温度数据除以10,单位由0.1℃转为℃
    2.投影统一
    3.气温数据导入ARCGIS中“分类汇总”,选择表格级别2,按住ctrl+g,定位,选择‘可见单元格’,ctrl+c复制,这样就仅复制了汇总的数据。
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    4.利用裁剪工具,裁剪出某省的气象站点,将excel关联到气象站点shp中去,仅保留匹配信息。

    5.使用地统计向导,先探索数据分析
    详情见空间插值笔记
    根据正态qq图,直方图,来看是否需要进行‘变换

    6.使用地统计向导,分别使用克里金、RBF、IDW,三种方法进行插值,并输出地统计向导最后一步‘交叉验证’的结果。
    大致调节这几个参数,来看交叉验证的精度变化趋势移除阶数1次,核函数选择指数函数,类型选择稳定的,步长数选12,扇区类型选8个扇区。

    7.使用“按掩膜提取”,裁剪出范围内的插值结果

    注:往往是生成气象站点最小外界矩形(即内插方法)
    解决方法:1.图层属性-范围-将范围设置为:与市边界相同,后导出插值结果。
    2.更改环境设置
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    具体操作参考:https://www.sohu.com/a/253305399_465233

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空空如也

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数据插值