永磁同步电机(permanent magnet synchronous motor, PMSM)以其结构简单、功率密度高、控制性能好等优点得到广泛应用。电机的高性能运行需要获取精确的定子电阻Rs、dq轴电感Ld、Lq以及转子磁链值，但这些电磁参数会随电机负载以及温度改变而发生变化，严重时会导致电机系统故障。
例如在电机实际运行过程中，电机散热或其他损耗因素导致电机运行温度升高，从而导致定子电阻阻值增加、磁链值减少，降低电机的控制效果甚至造成电机的永久损坏。获取准确的电机参数可以改善电机的控制性能，提高电机的运行效率。
准确获取定子电阻值与电感值可以实现比例积分控制器(proportional-integral controller, PI)参数的整定计算，电机电感与磁链值的精确获取有利于提高电机解耦控制的解耦效果。因此，实现电机参数实时精确获取对PMSM控制系统安全可靠运行起着至关重要的作用。
PMSM参数变化原因
电机控制系统高性能运行需要获取精确的参数，电机参数会因其运行温度而改变，其中定子电阻、铁磁材料的磁导率与温度有非线性关系，在对功率密度要求较高的领域，电机温度的变化会导致电枢电阻出现20%～40%的变化以及永磁体磁链出现20%的变化，温度变化范围较大时，甚至导致永磁体失磁。
另外电机合成磁场谐波产生的涡流也会引起永磁体永久失磁。除了温度的影响外，磁路饱和程度对电机参数的影响也逐渐得到关注，磁路饱和会对Ld、Lq产生影响。
综上所述，由于温度以及磁路饱和造成电机参数改变导致PMSM控制性能下降，因此电机参数精确辨识并通过控制器自适应更新可以实现电机高性能运行。PMSM参数辨识方法主要分为离线辨识与在线辨识。
技术特点
离线辨识需要电机保持静止状态时对电机参数进行辨识，但在实际的应用过程中，电机的温度随负载的变化而改变，因此离线辨识对电机稳定运行时参数辨识意义不大。
永磁电机在线辨识的几类方法中，最小二乘法辨识过程简单且计算量适中，但在参数辨识时存在目标函数对电机参数求导的过程，噪声或者电机转速波动都会对求导过程造成影响。模型参数自适应法具有算法简单和易于实现的优点，但可调的自适应模型复杂不易建立。
扩展卡尔曼滤波虽然克服了卡尔曼滤波仅适用于线性系统以及噪声敏感的问题，但由于其每一步都要进行矩阵和矢量运算，导致辨识过程中计算量巨大且当辨识参数较多时计算非常复杂。智能算法在参数辨识中有良好的辨识结果，但智能算法存在前期需要数据量大、计算复杂度很大和对硬件的要求很高等问题，普通的控制器达不到理想效果。综上所述，现有的永磁电机参数辨识算法均存在优势与不足，适用于不同的电机运行领域。
发展方向
PMSM参数辨识还存在一些问题：①PMSM辨识方程欠秩导致参数结果不惟一，而且在辨识过程中易陷入局部最优；②人工智能算法存在需要数据量大和辨识过程计算量大的问题；③参数辨识精度和鲁棒性问题。
1)构建全秩PMSM辨识方程
PMSM辨识方程欠秩是造成参数辨识过程不惟一的主要原因。目前多数学者通过注入特定的激励电流来构建全秩辨识方程，但注入的小扰动电流会影响辨识精度。虽然有学者[26]提出采用两组交轴电压、电流以及电角速度代入离散化电压方程构建全秩辨识方程，但该方法其他参数对辨识估算值产生影响。因此构建全秩PMSM辨识方程仍然是需要关注并深入研究的方面。
2)降低人工智能算法计算量
智能算法因较强的非线性寻优能力得到广泛的关注，但该类算法存在计算量巨大和数据处理负担过重的问题。Bharadwai[27]首先利用输入和输出变量参数对神经网络进行离线训练，然后再将神经网络用于电机参数实时辨识，此方法虽然降低了神经网络的计算量，但没有考虑自身的稳定性，不能保证辨识结果的收敛性，因此降低人工智能算法的计算量仍然需要进一步的研究。
3)提高参数辨识精度
电机的实际运行过程中，存在开关延时、死区时间和开关管压降等非线性问题，使得参数的辨识精度不高。大多数学者通过死区补偿来消除这些因素的影响，目前死区补偿方法有基于硬件的补偿算法和基于软件的补偿算法。
基于硬件的补偿算法，有学者采用简单实用的谐波电流监测来对系统的非线性因素进行补偿。基于软件的补偿算法不增加系统成本，不改变系统现有的结构，但是在大部分的软件补偿算法中，由于实际系统会有采样干扰以及零电流钳位情况，这给电流方向的确定带来了很大的困难，因此如何利用补偿算法提高参数辨识精度仍然需要研究。
4)提高电机参数的鲁棒性
基于永磁同步电机有限集模型预测已经取得了一些研究成果，其中，在保证系统稳定前提下，提高预测电流控制对电机参数的鲁棒性是目前研究的热点。预测电流控制是一种依赖模型准确度的控制策略，参数失配时系统控制性能变差，传统的延时补偿环节补偿结果不准确，可以将在线参数辨识和前馈控制器相结合，加强补偿的准确性，提高系统鲁棒性。
本文编自2020年第8期《电气技术》，标题为“永磁同步电机参数辨识研究综述”，作者为刘伟、王俊。

摘  要：较高性能的永磁同步电机矢量控制系统需要实时更新电机参数，文章中采用一种在线辨识永磁同步电机参数的方法。这种基于最小二乘法参数辨识方法是在转子同步旋转坐标系下进行的，通过MATLAB/SIMULINK对基于最小二乘法的永磁同步电机参数辨识进行了仿真，仿真结果表明这种电机参数辨识方法能够实时、准确地更新电机控制参数。
关键词：永磁同步电机;参数辨识;最小二乘法
Simulation of PMSM based on least squares on-line parameter identification
WANG Hong-shan , ZHANG Xing，XIE Zhen , YANG Shu-ying
Abstract：This paper presents a bbbbbb to determine the parameters of PMSM on line which are necessary to implement the vector control strategy. The presented identification technique, based least-squares, reveals itself suitable to be applied to PMSM. The estimation is based on a standard model of PMSM, expressed in rotor coordinates. The bbbbbb is suitable for online operation to continuously update the parameter values. The developed algorithm is simulated in MATLAB/SIMULINK. Simulation results are presented, and accurate parameters for PMSM is provided.
KEY WORDS：PMSM; Parameter Identification; Least-Squares
0 引言
电机参数辨识方面的文献数量颇多，研究成果丰富。参数辨识技术的研究始于70年代末、80年代初。直至今日，这个领域仍有新的研究成果出现、参数辨识的方法众多，方法与方法之间各有不同。但总的说来，现有的辨识方法可以归纳成5种类型，分别是：信号注入法、直接估算法、补偿坐标系法、最小二乘法、模型参考自适应方法。
信号注入法通过向电机注入测试信号或者已知特性的谐波，并利用频谱特性来辨识电机参数，然而谐波或者测试信号的注入会对控制系统产生不利的影响;扩展的卡尔曼滤波和模型参考自适应控制策略，即使当出现系统和测量噪声时，仍能对电机参数进行准确估计，然而该方案实现起来比较困难。最小二乘理论是高斯在解决天体运动轨道时提出的。最小二乘辨识法是最重要的系统辨识方法之一，也是参数模型的主要辨识方法，得到了广泛的应用。本文在分析永磁同步电机的同步旋转坐标系下方程的基础上运用最小二乘法，通过matlab/simulink仿真环境对永磁同步电机的参数进行辨识，结果表明：这种参数辨识方法能够为准确地辨识出永磁同步电机的参数。
1 基于最小二乘法的永磁同步电机参数辨识
1.1 电机参数辨识的必要性
在交流调速系统中，矢量控制技术能使交流电动机获得与他励直流电动机一样的控制特性，采用矢量控制技术的交流调速系统的性能达到直流调速系统的水平，无速度传感器的矢量控制是在常规带速度传感器的矢量控制基础上发展起来的，在无速度传感器的矢量控制中必须用到电机参数。工程上不能预知现场所用电机的参数，也不可能采用常规的空载试验和堵转试验去测量电机参数，并且随着电机的老化和周围环境的变化，电机实际参数与所给参数之间存在较大的差别，所以作为通用变频器必须具有电机参数的自测定功能。电机投入正常运行之前的参数辨识方法，特别是不需要增加任何附加电路而仅靠电机调速系统本身实现参数辨识方法已成为现代交流电机参数辨识的新特点。从控制的角度来讲, 解决受控对象参数不准的方法之一就是对受控对象的参数进行在线辨识,并不断更新其参数值, 使控制器设定值与实际值相适应。
1.2 最小二乘法的基本原理
最小二乘法最初是由解超定方程，求最优解提出的。设y为一组自变量
的函数，
。若进行m次观测，则：
但m=n时，只要A-1存在，即可求出待定参数：a=(a1,a2...,an)，上式有唯一解：a=A-1y
当m>n时，称为超定方程组，通常不能选定一组参数以满足所有的m个方程，因而需要用估计方法估算最佳值。可以采用最小二乘法进行估计：
1.3 基于最小二乘法的永磁同步电机参数辨识
在基于最小二乘法的电机参数辨识中关键在于如何得到以待辨识参数为未知量的线性方程。下面说明如何在转子同步旋转坐标系下获得以待辨识参数为未知量线性方程的电机模型。
首先用固定于转子的同步旋转坐标dq轴系来分析永磁同步电机的数学模型。取转子永磁体基波励磁磁场轴线(磁极轴线)为d轴，d轴与A相绕组的夹角θr，而q轴(交轴)逆时针方向超前d轴90度电角度，xy坐标系为固定在定子上的旋转坐标系，定子磁链的方向为x轴的正方向，dq轴随同转子以电角速度ωr一起旋转。dq轴上的分量可以由定子三相绕组经三相坐标系或矢量变换得到，即进行三相轴系到两相旋转轴系dq的变换。
以电流的旋转变换为例分析如何得到转子同步旋转坐标系下的电机模型。
式中， θr为转子位置;
为定子的d轴和q轴电流; 
为A轴、B轴和C轴的电流。
通过式(4)的坐标变换可以得到在转子同步旋转坐标系下电机的模型方程：
式中： Rs为定子电阻; Ld为d轴电感; Lq为q轴电感; Lmd为励磁电感; if为等效励磁电流。
在电机中，若不计温度变化对永磁体的供磁的影响，可认为永磁体的基波磁场
是恒定的，即if是个常量。
，实际上是d轴永磁体励磁磁场在q轴线圈中产生的运动电动势，也就是空载电动势e0。式(5)可以化简为：
式(6)写成矩阵形式：
由式(7)可以明显地看出，经过了坐标变换得到了以定子电阻Rs、q轴电感La和d轴电感Ld为未知量的线性方程，可以运用最小二乘法对电机参数进行辨识。
2 基于最小二乘法永磁同步电机参数辨识的仿真模型
在Matlab7.0的Simulink环境下，在分析永磁同步电机数学模型的基础上，建立了永磁同步电机参数辨识系统的仿真模型如图1所示。
图1 基于最小二乘法参数辨识的系统原理框图
系统采用控制方案：根据模块化建模的思想，将控制系统分割为各个功能独立的子模块，其中主要包括：永磁同步电机本体模块、电机运行状态测量模块和最小二乘法参数辨识模块。
通过这些功能模块的有机整合，就可在Matlab/Simulink中搭建出永磁同步电机参数辨识系统的仿真模型，并实现电机参数辨识算法。
其中，最小二乘法参数辨识模块由于需要大量的矩阵运算，采用了M语言进行编写后作为一个模块嵌入Simulink环境中，充分利用Simulink提供模块化环境和M语言的灵活性，做到两者有效结合。
3 仿真结果
针对上述建立的仿真模型进行了永磁同步电机系统的仿真测试。永磁同步电机参数见表1：
表1 仿真参数
仿真的过程中，在永磁同步电机的转子轴上加-30Nm/s递增的转矩，使永磁同步运行在发电模式的同时，电机处于不停地加速状态，这样做的目的是使得电机的状态方程满足式(7)。仿真的最大步长为 ，采用M语言编写的参数辨识模块于0.53s启动，每隔0.01s进行一次参数辨识。从而每隔0.01s利用新辨识出的电机参数在之前辨识出的电机参数的基础上进行更新，以获得准确的实时电机参数。
图2是在电机待辨识参数初始值都为0的情况下，对永磁同步电机控制过程中参数辨识的仿真结果：虚线分别表示电机的实际参数值，实线表示参数辨识的结果。从图2的a、b和c图都可以看出从0.53s算法开始运行，永磁电机的d轴和q轴电感包括定子电阻从初始值0开始单调地向电机相应的实际参数进行收敛，并无限地逼近相应电机参数的实际值。
仿真结果表明基于最小二乘法的参数辨识算法能够在线实时准确辨识出电机参数，具有较好的收敛性和辨识精度。
(a)d轴电感
(b)q轴电感
(c) 定子电阻
图2 电机参数辨识结果
4 结 论
为了提高对永磁同步电机的控制性能，本文在永磁同步电机的转子同步旋转坐标系下，采用最小二乘法对电机参数进行辨识，在Matlab/Simulink中搭建出永磁同步电机参数辨识系统的仿真模型。仿真结果表明基于最小二乘法的参数辨识算法能够在线实时准确辨识出电机参数，具有较好的收敛性和辨识精度。

辨识的参数为：  定子电阻Rs, 永磁磁链φf， dq轴电感Lq
主要步骤可如下：

1.建立矢量控制的电机模型

2.确定辨识方法

3.将定子电压方程转化为辨识方程

4.搭建辨识仿真模型，开始仿真

第一步  建立矢量控制的电机模型

第二步 确定辨识方法–这里我采用RLS方法(递推最小二乘法)
它的主要公式由以下三部分组成

第三步 将定子电压方程转化为辨识方程
因为采用的id=0，故只需对q轴的定子电压进行辨识分析


其中协方差矩阵初值P(0)选为特征值为1e4的3*3单位矩阵，遗忘因子选为0.999，a,b,c的初值分别选为0,0，1e4。

注： w是转子旋转电角速度 它等于转子速度wm(rad/s)乘以极对数

转子电角度 = 机械角度 * 极对数
第四步 在矢量控制的基础上搭建辨识仿真模型，开始仿真

同时需要在输入前和输入后加上滤波器，滤掉扰动噪声

仿真结果如下：

辨识结果：定子电阻5.53 电感0.01235 永磁磁链0.127

与真实电机数据比较

可得辨识误差为：定子电阻1.25%    dq轴电感 6.74%  永磁磁链1.6%
总结：对电感辨识误差略大，但总体电机参数辨识效果良好，达到了电机参数辨识的目的。

永磁同步电机的在线参数辨识仿真模型一一一RLS(递推最小二乘法)
写在前面
在这篇博客的基础之上，运用RLS对电机的定子电阻R, 永磁磁链ψf， dq轴电感Ls进行辨识。
永磁同步电机的在线参数辨识仿真模型（一）一一一最小二乘法及递推最小二乘法
针对表贴式的永磁同步电机SPMSM进行在线参数辨识：

辨识的参数为： 定子电阻R, 永磁磁链ψf， dq轴电感Ls

主要步骤可如下：
1.建立矢量控制的电机模型

2.确定辨识方法

3.将定子的d-q电压方程转化为辨识方程

4.搭建辨识仿真模型，开始仿真。
1.辨识模型的推导




图2 参数辨识的基本原理
通过电机的基本数学模型对其定子电阻R, 永磁磁链ψf， dq轴电感Ls进行递推最小二乘法辨识，具体推导过程如下：
1.1 d-q轴永磁同步电机基本的数学模型



1.2 辨识模型的建立与推导
首先是将所需要辨识的 定子电阻R, 永磁磁链ψf， dq轴电感Ls提取出来，依据电压方程可改写成矩阵的形式如下：

又由于采取的是双闭环矢量PID控制，且id*=0的矢量控制策略，暂时不考虑电流变化率对辨识稳定性所造成的影响，即整个辨识是建立在系统稳态下进行的，由此式（1.19）又可变形为：



可依据q轴电压方程将其变形为最小二乘的辨识模型，如下：



又或者可参考RLS的递推解：


由此，依据式（1.17）可得递推公式并进行编程，如式（1.24）所示。

2.辨识仿真模型的搭建与分析
2.1辨识仿真模型的搭建
首先搭建双闭环矢量PID控制的Simulink仿真模型，如图3所示。并运用.m文件或者MATLAB/FCN函数进行递推最小二乘法的编程与应用，如图4所示。PMSM的参数设定，如图5所示。最终运行过程下得到三个参数Ls、R和ψf的辨识结果，如表2所示。


图3 双闭环矢量PID控制Simulink仿真图

图4 基于RLS的PMSM在线参数辨识仿真模型
其中，图4中的RLS_ident3 S函数代码如下：
function[sys,x0,str,ts]=RLS_ident3(t,x,u,flag)
theta0=[0.05,0.01,10000];     %被辨识参数的初值，取充分小的实向量
Pn0 =0.0008*eye(3);      % 协方差矩阵，取充分大的实数为0.5
% Pn0 =[0.0008*eye(1) 0 0;
%       0  0.0008*eye(1) 0;
%       0  0   1*eye(1)] ;
switch flag,
    case 0,
        [sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes(theta0,Pn0);
    case 2,
        sys=mdlUpdate(t,x,u);
    case 3,
        sys=mdlOutputs(t,x,u);
    case {1,4,9}
        sys=[];
    otherwise
        error(['Unhanded flag=',num2str(flag)]);
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function[sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes(theta0,Pn0)
sizes=simsizes;
sizes.NumContStates=0;
sizes.NumDiscStates=12;
sizes.NumOutputs=3;  %% 输出量
sizes.NumInputs=4;   %% 输入量
sizes.DirFeedthrough=0;
sizes.NumSampleTimes=1;
sys=simsizes(sizes);
x0=[theta0';Pn0(:)];% 需要更新的状态向量的初值
str=[];
ts=[-1,0]; % 继承输入信号的采样时间
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function sys=mdlUpdate(t,x,u)
h=[u(1),u(2),u(3)]';                %采集数据
Pn0=reshape(x(4:end),3,3);     %从状态变量中分离出p0 去除初始化值Pn0---P(k-1)
K=Pn0*h/(1+h'*Pn0*h);          %计算增益矩阵
Pn1=(Pn0-K*h'*Pn0);            %计算下一个协方差阵
theta0=x(1:3);                 %从状态变量中分离出theta0
y=[u(4)];
theta1=theta0+K*(y-h'*theta0);  %计算下一个theta
sys=[theta1;Pn1(:)];
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function sys=mdlOutputs(t,x,u)
a1 =1/x(3);    %% 电感Ls
a2 =x(1)/x(3); %% 电阻RS
a3 =x(2)/x(3); %% 磁链flux
% theta1 =x(1:3);
theta1 =[a1 a2 a3];
sys=theta1;



图5 PMSM参数模型设定值
2.2 辨识仿真结果的分析


图6~图8分别为定子电阻R, 永磁磁链ψf， dq轴电感Ls的辨识仿真图以及误差图，可知在稳态的情况下很好的可以达到辨识稳定，且辨识误差不超过10%。在这里值得注意的是dq轴电感Ls通过q轴电压方程设计的递推RLS所辨识误差高达51.16%，而通过d轴电压方程重构其RLS辨识模型，辨识误差得到极大的改善。




图6 定子电阻R的辨识仿真结果及误差图



图7 永磁磁链ψf的辨识仿真结果及误差图



图8 dq轴电感Ls的辨识仿真结果及误差图
图9和图10分别为电角速度和转矩的响应曲线，可知该双闭环矢量PID控制下电机的驱动状态是正常的，且可以很好的进行运转，下一步的工作将参数的在线辨识与控制器的参数整定相结合，从而做到电机的参数自整定。

图9 转速的阶跃响应曲线仿真图


图10 转矩的阶跃响应曲线仿真图
3.总结
1.运用RLS搭建辨识仿真模型，首先需要明确哪些是输入量，哪些是输出量，哪些是估计量，哪些是无关量，进而运用上一篇博客永磁同步电机的在线参数辨识仿真模型（一）一一一最小二乘法及递推最小二乘法进行模型的建立与仿真搭建。

2.利用带遗忘因子的最小二乘法进行IPMSM的参数辨识可以加快收敛速度。并且上述推导过程中未考虑暂态过程下

电流的变化率对参数辨识的影响。具体的设计：在动态算法中引入电流变化率，消除辨识误差的剧烈波动；并对用于更新d轴、q轴电感的增益矩阵K进行修正，减小由于引入电流变化率对电感辨识造成的影响。后续有时间的话，将仿真模型分享出来与详细的推导过程。读者也可以参考《基于改进RLS算法的永磁同步电机参数辨识》。

3.本仿真模型也可以作为SPMSM的参数在线辨识的研究基础，基于此结合其他先进的算法与控制策略进行电机控制性能的改进。
参考资料
[1]R. Ramakrishnan, R. Islam, M. Islam and T. Sebastian, “Real time estimation of parameters for controlling and monitoring permanent magnet synchronous motors,” 2009 IEEE International Electric Machines and Drives Conference, Miami, FL, 2009, pp. 1194-1199, doi: 10.1109/IEMDC.2009.5075355.

[2]林巨广,陈桐.基于改进RLS算法的永磁同步电机参数辨识[J].合肥工业大学学报(自然科学版),2019,42(07):876-880+934.

[3]荀倩,王培良,李祖欣,蔡志端,秦海鸿.基于递推最小二乘法的永磁伺服系统参数辨识[J].电工技术学报,2016,31(17):161-169.