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  • ode23
    2021-04-22 05:57:21

    我正在尝试将我的代码从MATLAB翻译成Python。我遇到的问题是如何将一个ODE翻译成Python。我在网上读到了我可以用的东西scipy.integrate.ode/scipy.集成.odeint为了这个。不幸的是,我不能得到我想要的方式。在

    我的MATLAB代码如下:function [W] = PSFFA_MM1 (arrivalRate, serviceRate)

    tspan = 1:1:96;

    ic = 0;

    opts = odeset('RelTol',1e-2,'AbsTol',1e-4);

    [t,x] = ode23(@(t,x) myode(t,x,arrivalRate, serviceRate), tspan,ic,opts);

    function dxdt = myode(t,x,lambda, MU)

    l = interp1(lambda, t);

    mu = interp1(MU, t);

    dxdt = -mu*(x/(x+1)) +l;

    end

    W = x./arrivalRate;

    end

    我的Python代码如下:

    ^{pr2}$

    我正在努力解决的一个问题是,在MATLAB中不需要显式地指定'x',而这必须在Python中明确指定。在

    我知道这不是一个具体的问题,但我希望有人能进一步帮助我。在

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    今天说一说MATLAB中ode23函数的原理,在网上看了好多,但是不知道是怎么计算的,就知道是那么用的,但是最后结果咋回事不知道,今天来讲一讲是怎么计算的。

    首先来个程序:

    function f=eg6fun(t,y)

    f=-y^3-2;

    end上面是我定义的一个函数,看着挺简单的哈!不多说了。

    [t,y]=ode23(@eg6fun,[0,30],1);这句话是我用ode23调用的语句,先说一下,这里eg6fun是我上面函数的名称,也就是ode23主要计算的就是这个函数的微分。[0,30]为t的范围,这里t没有什么太大的作用,只是为了计算步长用的,之后我把运行后的t和y数据粘在这里,我们发现,在MATLAB中步长并不是固定的。这里应该是用一个什么函数求得,我没查,感兴趣的自己查一下。1为y的初值,也就是我们常常说的y0。

    先粘上实验结果,我们在分析怎么来的:

    下面的是t的值,这里MATLAB将t在[0,30]区间分成了67份,我这里只粘了一部分:

    0

    0.0266666666666667

    0.0974376132058027

    0.178185989598692

    0.270160382755732

    下面是y的结果,y最后也是一个[1,67]的矩阵:

    1

    0.922959859735161

    0.740501273051361

    0.556672216994644

    0.363414446549133

    下面我们来说是怎么计算的吧!看下面的图,这个是我在数值分析书上照的,其实ode23就是龙格库塔函数的应用,而龙格库塔函数就是根据欧拉法得来的,看下图:

    c34891d784bfe35330f85b3d33e5769d.png

    上面图片中有三个公式,第一个公式h后面括号中的内容就是要求积分的函数,就是我们程序中的eg6fun。那么就好办了,把图中公式中的括号中的内容换成我们的公式也就是

    -y^3-2

    然后计算就好了。这里h为步长,也就是我们程序中t的步长,我们可以看到第一次t为0.0266666666666667,而下一次的步长为0.0974376132058027-0.0266666666666667,只要这么一步一步计算就好了。

    (这里看图中黑色笔手写的公式)

    这里计算一步来表示计算的大概过程:

    例如: (1)计算Yp=y1+h * (-y1^3 - 2) = 1 - 0.027*3 = 0.919

    (2)       Yc=y1+h * (-Yp^3 - 2) = 1 - 0.027*(0.919^3 - 2) = 0.925

    (3)        Y(n+1) = 1/2 * (Yp + Yc) = 1/2 * (0.919 + 0.925) = 0.922

    因为这里我们保留精度为3位小数,可能计算的有些误差。还有一点需要注意,龙格库塔函数是对欧拉方法进行的改进,其实龙格库塔函数的精度要比欧拉方法更高。因此这里计算有些许误差。但是大概的过程就是这样的。

    上面的内容是之前写的,讲解的是欧拉算法计算微分的过程,其实龙格-库塔方法后来在书中看到,下面介绍一下龙格库塔方法:

    4349dd3b5d370d6854bea7b805cda75b.png

    MATLAB中的ode23就是用的二阶的龙格库塔方法,就是图中3.6的三个公式,这里h为步长,上面给出的t,c1和c2是系数,这个系数取值不是固定的,MATLAB中是啥我也不是确定,但是书中最后给的是c1=0,c2=1,λ2和μ21取值1/2。这样一来,计算一波:y1=1;求y2,将y1带入公式中的yn,这里没有x,所以有x的项可以忽略

    k1=-3;

    k2=f(1-(1/2)*0.0267*3)=f(0.96)=-2.88

    y2=1-0.0267*2.88=0.923

    y2求出,其余的过程都是这样求得。ode45是四阶龙格库塔函数,下图为4阶求法,这里不再做介绍:

    fbe70f5be28010e89978855c59923f50.png

    到此MATLAB中ode23的计算方法已经讲解完了,当然,ode45跟这个应该类似,就是ode45比ode23更精确一点,在MATLAB中,如果我们用ode45会发现,t在[0,30]间分成了167份,很明显精度提高了。其实MATLAB中有好多的函数都是用到了数值分析中的内容,而数值分析就是用我们的笨方法来计算数值的一种工具,这是我自己定义的哈,通过减少误差来使计算出来的数据更准确。

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    ode45          Nonstiff(非刚性)                     中等                     大多数时候。这应该是你尝试的第一                                                                                                   个解算器。

    ode23          Nonstiff(非刚性)                      低                        用于粗糙误差容许问题或解决中等刚                                                                                                 性问题。

    ode113        Nonstiff(非刚性)                     由低到高              用于有严格误差容许的问题或用于解                                                                                                   决计算密集的问题。

    ode15s        stiff(刚性)                               由低到中等           如果ode45速度慢因为问题是刚性。

    ode23s        stiff(刚性)                                低                         如果用粗误差公差来求解刚性系统,                                                                                                 且质量矩阵是常数。

    ode23t         Moderately stiff(中等刚性)      低                         对于中等刚度的问题如果你需要一                                                                                                     个没有数值阻尼的解。

    ode23tb       stiff(刚性)                                低                          如果使用粗误差公差来求解刚性系统。

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    题目如下图

    解题过程以及注释如下

    function [y1,y2]= myfun3
    tspan = 0:0.1:20;%计算结果的数值区间
    y0 =[20;12];%y1和y2的初值,即y1(0)和y2(0)
    [t,r]= ode23(@dy, tspan,y0);%调用ode23函数
    %注意,这里使用的调用函数的方法是@函数名,而非'函数名',因为该函数并非.m文件,不能用引号调用。
    y1 = r(:,1);%结果赋值
    y2 = r(:,2);%结果赋值
    
    function z =dy(t,y)%因为是方程组,必须用矩阵哦
    z = [(1 - 0.013*y(2))*y(1);%存放y1't
        (-1 + 0.011*y(1))*y(2)];%存放y2't
    

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空空如也

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