在数据库设计中范式分解是我们经常会用到的一种优化方法，这部分的概念还是非常的多的，接下来我会首先介绍范式分解的相关概念，然后具体介绍范式分解的方法。相信静下心来读完这边文章对你应该会有点帮助，如果你准备好了，那么就让我们开始吧~

第一部分 相关概念

1. 函数依赖（FD）

如果A->B，称为A决定B，即当A确定时，B的值唯一

2. 闭包（Closure）

求闭包的过程很简单，比如求A的闭包（A+），只需找到所有只有A在左边的函数依赖，将所有的右边的都加到A的闭包中来，遍历所有的函数依赖，最后不要忘记加上A自己
闭包可以用来求关系模式的key：对于R（A，B，C），若A+ = ABC , 那么可以判定A是R的key。

3. 平凡依赖（trivial FD）

称A->A这样的函数依赖为一个平凡的依赖，当然由此我们也知道了非平凡依赖是什么了。

4. 主属性

所有的候选键包含的属性集合是主属性集合
相应的非主属性是所有候选码都不包含的属性

5. 范式（Normal Form）

1.第一范式

每个属性都具有原子性，是不可再被细分的

2.第二范式

定义：如果关系模式R是第一范式的，而且关系中每一个非主属性不部分依赖于主键，称R是第二范式的。
所以第二范式的主要任务就是
满足第一范式的前提下，消除部分函数依赖。
什么叫部分依赖呢，比如AB是R（A,B,C）的主键，那么如果有A->C，这就是一个部分函数依赖

3.第三范式

在第二范式的基础上，不存在非主属性对码的传递性依赖
举个例子： R（A,B,C），A是主键，如果同时有A->B和B->C，这就是一个传递依赖了

4.BC范式

对于所有的非平凡依赖，它的左边必须是一个超码
即在第三范式的基础上，消除了对主属性对码的部分和传递依赖

5.第四范式

和BC范式非常相像，对于所有的非平凡多值依赖，左边必须是超码

6. 正则覆盖

&无关项（extraneous attribute）定义：若果去除函数依赖中的属性不会改变函数依赖的闭包，就称该属性是无关的。
形式定义：
●如果A∈α并且F逻辑蕴涵（F-{α→β}）U{(α-A)→β},则A在α是无关的
●如果A∈β并且函数依赖{F-{α→β}）U{α→（β-A）}逻辑蕴涵F，则A在β是无关的（下面有例题）

检验方法：
令R为一关系模式，F是在R上成立的给定的函数依赖集。考虑依赖α→β上的属性A。
●如果A∈α，令λ=α-{A}，并且计算λ→β是否可以由F推出。
●如果A∈β，F’=（F-{α→β}）U{α→（β-A）}，并检验α→A是否能够由F’推出。

&正则覆盖定义：F的正则覆盖Fc是一个依赖集，使得F与Fc相互逻辑蕴涵。此外，还包含如下性质：
●Fc中任何函数依赖都不含无关属性。
●Fc中函数依赖左半部分都是唯一的。即，Fc中不存在α1→β1，α2→β2，满足α1=α2。

例子：R(A,B,C)
F={A->BC, B->C, A->B, AB->C}

F={A->BC, B->C, AB->C}

F={A->BC, B->C}

F={A->B, B->C}

那么了解正则覆盖有什么作用呢？
可证明Fc与F具有相同的闭包，即验证是否满足Fc等价于验证是否满足F，这一点我们一会儿验证范式分解是否正确会用到。

参考链接

7. 无损连接（lossless join）

如果我们把R分解为R1和R2，此分解是无损的必须满足：α=R1∩R2是R1或者是R2的超码。

8. 依赖保持（dependency preserving）

需要验证 {F1 并 F2 并 F3。。。} += F+，即每一个分解出的R包含的函数依赖的并集的闭包和原集F的闭集相等。
如果F上的每一个函数依赖都在其分解后的某一个关系上成立，则这个分解是保持依赖的（注意这是一个充分条件！）。如果上一点不成立，并不能断言分解不是保持依赖的，还要使用下面的通用方法来做进一步判断。
对F的每一个A->B 使用以下流程

这里的属性闭包是在函数依赖集F下计算出来的。如果result中包含了β的所有属性，则函数依赖α→β。分解是保持依赖的当且仅当上述过程中F的所有依赖都被保持。

当然这个是非常麻烦的，因为要验证所有的函数依赖。所以待会我们会介绍运用正则覆盖简化函数依赖集，减少工作量。

第二部分 范式分解

好了，以上部分是我们要用到的所有相关概念，如果有的概念不是很清楚，建议你看看别的博主的文章，这方面的资料还是很多的。

以下是范式分解的流程：

这样分解后得到的就满足BC范式了
在分解完之后很重要的一点是要对无损性和依赖保持进行检查，如果不能满足，那么宁愿退化成第三范式。

1. 几个重要知识点

   • 平凡函数依赖与非平凡函数依赖

     • X→Y，但Y⊈X则称X→Y是非平凡的函数依赖。
     • X→Y，但Y⊆X 则称X→Y是平凡的函数依赖。

   • 完全函数依赖与部分函数依赖

     在R(U)中，

     • 如果X→Y，并且对于X的任何一个真子集X’, 都有 X’ ↛ Y, 则称Y对X完全函数依赖，记作X → Y。
     • 若X→Y，但Y不完全函数依赖于X，则称Y对X部分函数依赖，记作X → Y

   • 候选码

     设K为R<U,F>中的属性或属性组合。若K → U，则K称为R的一个候选码(Candidate Key)。

     千万需要记住的是候选码与超码之间的区别

   • 超码

     如果U部分函数依赖于K，即K → U,则K称为超码(Surpkey)。

     候选码是最小的超码，即K的任意一个真子集都不是候选码。

   • 主码

     主码是候选码中的任意一个

   • 主属性与非主属性

     • 包含在任何一个候选码中的属性 ，称为主属性（Prime attribute）
     • 不包含在任何码中的属性称为非主属性（Nonprime attribute）或非码属性（Non-key attribute）

   • 全码

     整个属性组是码，称为全码（All-key）

2. 范式

   • 第一范式

     每个属性不可分割

   • 第二范式

     若关系模式R∈1NF，并且每一个非主属性都完全函数依赖于任何一个候选码，则R∈2NF

   • 第三范式

     消除非主属性对于码的传递依赖
     若R中不存在这样的码X、属性组Y及非主属性Z（Z ⊇ Y）, 使得X→Y，Y→Z成立，Y ↛ X不成立，则称R<U,F> ∈ 3NF。

     三范式分解

   • BC范式

     消除主属性对码的部分和传递函数依赖

     判断：在关系模式R<U,F>中，如果每一个决定属性集都包含候选码，则R∈BCNF。

   3. 无损连接与保持函数依赖性

      • 无损连接

   

   ​ 无损连接判断

   • 保持函数依赖性

   

   ​ 一个无损连接的分解不一定具有依赖保持性，反之亦然 !

   4. 三范式分解(范式分解最终的答案并非是唯一的，和分解的顺序有关！)

      • 三范式分解为保持函数依赖的分解

        步骤如下：

      

      例题：

      设R<U, F>，其中：
      U={C, T, H, R, S, G, X, Y, Z},
      F={C→T, CS→G, HR→C，HS→ R, TH→ R, C→X}，

      ​ 将R 分解为3NF，且保持函数依赖。

      解：

      1. 求F的最小函数依赖集

         该函数依赖集已经是最小化的

         2. 查看是否有一个函数依赖X->A，且XA=R。

         可以很清楚的看到，并没有这种函数依赖。

      2. 查看R中的某些属性是否并不在F中出现过

         可以很清楚的看到有YZ

      3. 将最小函数依赖集中的每一个依赖左右两边放到一起

         则分解为ρ ={YZ, CTX, CSG, HRC, HSR, THR}
         注：这里的CTX放到一起时因为C$\to$T，C$\to$X

      • 三范式分解既具有无损连接性又能保持函数依赖的分解

        非常简单！在原来的基础上加上候选码中的任意一个即可。

        例如此题中的候选码为HS

        那么在原来的ρ中添加HS即可，但是此处需要注意

        ∵ HS⊆ HSR
        ∴ τ= ρ ={CTX, CSG, HRC, HSR, THR, YZ}为满足要求的分解

   5. BCNF分解(范式分解最终的答案并非是唯一的，和分解的顺序有关！)

      • 如何判定BCNF范式呢？

        很简单！就是看每个函数依赖的左边是否包含候选码，如果其中有一个不含候选码，则不为BCNF范式。

      • 将关系模式转换为BCNF 的无损连接的分解

        ​ 递归下去，直到出现$\Phi$或者出现最终的一个依赖符合BCNF约束则停止分解

        ​ 例子1：
        ​ 已知 R (A, B, C), AB为码, 且B->C存在
        ​ 可知：R不满足BCNF
        ​ 设 $\alpha$ = B, $\beta$ = C
        ​ 则 R 可分解为：
        ​ ($\alpha$$\bigcup$ $\beta$) = (B, C)
        ​ (R – ($\beta$ $-$$\alpha$)) = (A, B)

        ​ 例子2：
        

一、

1.假设A能推B：那么每个A1所对应的B的属性值应该一样，由于B的第一行和第三行分别是B1和B3，故A不能推B。
2.假设A能推C：那么每个A1所对应的C的属性值应该一样，由于C的第一行和第三行分别是C1和C2，故A不能推C。
3.假设A能推D：那么每个A2所对应的D的属性值应该一样，由于D的第四行和第五行分别是D1和D2，故A不能推D。

二、

对B和C和D,以及AB,AC,AD,BC,BD分别作上述假设,
发现只存在C推D,AB推C，AB推D三种关系，
那么主键为AB。
由于没有非主属性部分依赖于主属性（即非主属性们均完全依赖于主属性），故为2NF。
从C推D,AB推C里，得知非主属性D传递依赖于主属性AB（尽管AB可以直接推D，这里仍存在传递依赖），则消除该传递依赖即可满足3NF。
分为**R1（ABC）,R2（CD）**即可。