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  • Jacobi迭代法
    2021-04-23 15:57:57

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  • Jacobi迭代法

    万次阅读 2018-08-08 17:02:15
    其中Jacobi迭代法就是很简单易懂的一种。 我编写的C++代码如下,其中文件matrix.txt内容如下, 第一行的第一个数字表示矩阵的行数或者列数,因为rows==cols 下面的三行表示矩阵本体 最后的一行表示该矩阵和向量...

    当我们计算线性方程组的解时,
    这里写图片描述
    可以把方程组变换为上面的下面这张图所示,即左右两边都有x,改图是写成矩阵的形式,如果我们写成方程组的形式,变为
    这里写图片描述
    我们手写计算通常都是待定系数法,如计算下面:
    a+b=10;
    a+2b=16;
    待定系数即可算出a=4,b=6;但是计算机计算这些数量巨大的方程式使用迭代法,尤其当矩阵是大型稀疏矩阵(矩阵中有大部分元素都为0)时。
    Jacobi迭代法也是依据上图方程式变形得到,
    这里写图片描述
    即:
    这里写图片描述
    这里的每一个x的下标i表示第i个x值,上标k+1表示迭代到了k+1次。
    迭代求解的思想:
    简单迭代法的求根过程分成两步,第一步先提供根的某个猜测值,即所谓迭代初值,然后将迭代初值逐步加工成满足精度要求的根。迭代法的设计思想是:f (x) = 0等价变换成 然后由迭代公式 逐步球的满足精度的解。实际迭代中不同迭代函数的求解可能影响求的精确解的运算量,甚至可能因为函数发散而无法求解。解题时可通过对导函数的判断而判断函数是否发散,而编写代码时可以通过判断循环次数——即循环过多次而不能从循环中出来时就判断为死循环,无法求得正解。

    //c++代码
    /*雅可比算法的代码实现*/
    #include<iostream>
    #include<iomanip>
    #include<string>
    #include<vector>
    using namespace std;      
    
    //函数求数组中的最大值
    double MaxOfList(vector<double>x){
        double max=x[0];
        int n=x.size();
        for(int i=0;i<n;i++)
            if(x[i]>max) max=x[i];
        return max;
    }
    
    //雅可比迭代公式
    void Jacobi(vector<vector<double> > A,vector<double> B,int n){
        vector<double> X(n,0);
        vector<double> Y(n,0);
        vector<double> D(n,0);
        int k=0; //记录循环次数
        do{ 
            X=Y;//注意到这一行代码与高斯赛德尔迭代法的区别
            for(int i=0;i<n;i++){
                double tem=0;
                for(int j=0;j<n;j++){
                    if(i!=j) tem += A[i][j]*X[j];
                }
                Y[i]=(B[i]-tem)/A[i][i];
                cout<<left<<setw(8)<<Y[i]<<" ";
            }
            cout<<endl;
            k++;
            if(k>100){
                cout<<"迭代失败!(可能是函数不收敛)"<<endl;
                return ;
            }
    
            for(int a=0;a<n;a++){
                D[a]=X[a]-Y[a];
            }
        }while( MaxOfList(D)>0.00001 || MaxOfList(D)<-0.00001);
    
        return ;
    }
    
    int main(){
    
        int n;
        cout<<"请输入方程组未知数的个数n:";
        cin>>n;
        cout<<endl;
    
        vector<vector<double> >A(n,vector<double>(n,0));
        vector<double>B(n,0);
    
        cout<<"请输入方程组的系数矩阵:"<<endl;
        for(int i=0;i<n;i++){
            for(int j=0;j<n;j++){
                cin>>A[i][j];
            }
        }
        cout<<endl;
    
        cout<<"请输入方程组的值向量:"<<endl;
        for(int k=0;k<n;k++){
            cin>>B[k];
        }
        cout<<endl;
    
        cout<<"您输入的方程组为:"<<endl;
        for(int a=0;a<n;a++){
            for(int b=0;b<n;b++){
                cout<<A[a][b]<<" ";
            }
            cout<<"    "<<B[a]<<endl;
        }
        cout<<endl;
        cout<<"由雅可比迭代公式求的方程组的解为:"<<endl;
        Jacobi(A,B,n);
        return 0;
    }

    转载自博客: 包括具体的测试数据。
    https://blog.csdn.net/xiaowei_cqu/article/details/8585703

    展开全文
  • MATLAB Jacobi迭代法 求解线性方程组

    千次阅读 多人点赞 2021-10-05 10:40:55
    一、Jacobi迭代法是什么? 二、对应的编程思想以及公式推导 1.Jacobi迭代法 公式推导 2.Jacobi迭代法求解线性方程组 例子 3.Jacobi迭代法 编程实现 总结 前言 雅克比(Jacobi)迭代法求解线性方程...

    文章目录



    前言

                                           雅克比(Jacobi)迭代法求解线性方程组


    Jacobi迭代法是什么? 

    简单的讲其实就是我们平时求解的方法(最常用的方法)

    以下是Jacobi的迭代过程:

     

     


    二、对应的编程思想以及公式推导


    1.Jacobi迭代法 公式推导

    线性方程组为:                         Ax=b

    将A分裂:                          A=D+L+U         

    从而得到迭代公式为:     x=-D^{-1}\left( L+U \right) x+D^{-1}b

    由于D为对角元素,从而有:          D^{-1}=\frac{1}{D}

    即编程语言可以写为:       x=-\left( L+U \right) *x/D+b/D

    推到过程为:

                                                Ax=b \\\ \\ A=D+L+U \\\ D=\left( \begin{matrix} a_{11}& & & \\ & a_{22}& & \\ & & \ddots& \\ & & & a_{nn}\\ \end{matrix} \right) \ \\\L=\left( \begin{matrix} 0& & & \\ a_{21}& 0& & \\ \vdots& & \ddots& \\ a_{n1}& \cdots& a_{nn-1}& 0\\ \end{matrix} \right) \ \\\ U=\left( \begin{matrix} 0& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ & 0& & a_{2n}\\ & & \ddots& \vdots\\ & & & 0\\ \end{matrix} \right) \\\ Ax=\left( D+L+U \right) x=b \\\ Dx=-\left( L+U \right) x+b \\\ x=-D^{-1}\left( L+U \right) x+D^{-1}b


    2.Jacobi迭代法求解线性方程组 例子

     

     

     

    3.Jacobi迭代法 编程实现

    完整程序代码为:

    function [x,error,iter]=GJJacobi_solve(A,b,epsilon,max_iter)
    % x , error , iter 为输出变量     A ,b epsilon,max_iter为输入变量
    n=length(b);
    x=zeros(n,1);
    % 首先编写第一步代码目的  x =-(L+U)*x/D+b/D
    %第二部明确符号的意义 D表示对角线的元素 L表示下三角的元素 U表示上三角的元素 b表示列向量的长度
    %确定误差error = norm(x-y)
    
    %输入矩阵A 以及 列向量b
    
    
    %表示L  U  D
    L=tril(A); %tril(A)表示取矩阵A的下三角元素,  包含了对角线元素
    U=triu(A); %triu(A) 表示取矩阵A的上三角元素,  包含了对角线元素
    D=diag(diag(A)); %表示取矩阵A的主对角元素
    
    
    
    %想办法使得L,U对角线元素都为0
                                 % L(logical(eye(size(L))))=0; %由于维度不对,从而只是等号右边为零不对
                                 %  U(logical(eye(size(U))))=0;
    %改正
                                  %B =  zeros(1,n);              %[0,0,0]
    L(logical(eye(size(L))))=0;   %[8;11;12]
    U(logical(eye(size(U))))=0;
    
                                 
    
    %需要看看是否输出的是对角线元素为0
    disp(L)
    disp(U)
    
    
    
    
    
    
    
    % 先写一个循环(发现运用一个变量时需要先初始化error=1)
    % 设置最小误差为10e-6
    error = 1 ;%初始化误差变量
    iter = 0;  %初始化迭代步数变量
    while error>epsilon && iter<max_iter % 给出循环条件,以及函数输入变量epsilon,max_iter
        for i =1:max_iter
            y=x;%迭代前的矩阵,用来计算迭代误差
            x=-D\(L+U)*x+D\b ;  %从这里知道需要把L,U,D,b表示出来 x=-(L+U)*x/D+b/D 这个维度错误
            error=norm(x-y);  %知道迭代前的数据y,以及迭代后的数据x,设定误差为(x-y)的范数
            
            if error>epsilon %给出判断误差是否减小
                iter =iter+1;
                break
            end     %if 需要 end 结束
        end         %for 需要 end 结束
    end             %while 需要 end 结束
    

    测试代码为:

     A=[8 -3 2
        4 11 -1
        6 3 12];
    b=[20;33;36];
    epsilon=10e-6;
    max_iter=15;
    [x,error,iter]=GJJacobi_solve(A,b,epsilon,max_iter);
    disp('程序计算的精确解为:');
    disp(x);
    disp('最大迭代次数下的误差:');
    disp(error);
    disp('最小迭代次数:');
    disp(iter+1);

    运行结果为:

         0     0     0
         4     0     0
         6     3     0
    
         0    -3     2
         0     0    -1
         0     0     0
    
    程序计算的精确解为:
        3.0000
        2.0000
        1.0000
    
    最大迭代次数下的误差:
       4.1060e-12
    
    最小迭代次数:
        14



    总结

    以上就是今天要讲的内容,本文仅仅简单介绍了雅克比迭代求解线性方程组

    展开全文
  • Jacobi迭代求解MATLAB

    2018-10-12 20:16:40
    进过18次Jacobi迭代后,其相邻迭代解间无穷范数误差小于:1.0e-8 此时Jacobi迭代解如下: x = 1.099999996412137 1.199999996412137 1.299999995744652
  • 利用迭代算法处理问题,需要做好以下三个方面的工做:一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中,至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量,这个变量就是迭代变量。二、建立迭代关系式。所谓迭代...

    利用迭代算法处理问题,需要做好以下三个方面的工做:

    一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中,至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量,这个变量就是迭代变量。

    二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式,指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系)。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键,通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

    三、对迭代过程进行控制。

    牛顿迭代公式

    设已知方程f(x)=0的近似根x0

    ,则在x0附近f(x)可用一阶泰勒多项式

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png近似代替.因此,

    方程f(x)=0可近似地表示为p(x)=0。用x1表示p(x)=0的根,它与f(x)=0的根差异不大.

    设 a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png,由于x1满足

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png解得

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    重复这一过程,得到迭代公式:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    这就是著名的牛顿迭代公式,它相应的不动点方程为

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    Jacobi迭代公式解线性方程组

    线性方程组基本解法:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png方程组可同解变形为

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    Jacobi迭代法的计算公式:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    即 a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    举个用牛顿法的例子:

    题目:用迭代法解方程 63x^3-114x^2-95x+42=0在-1.0, 0.4和1.2三值附近的三个实根。

    #include

    #include

    double f(double x)

    {

    return ((63*x-114)*x-95)*x+42;

    }

    double fp(double x)

    {

    double k = (63*3*x-114*2)*x-95;

    double y = f(x);

    return x - y/k;

    }

    int main()

    {

    int i;

    double temp;

    double base[3] = {-1, 0.4, 1.2};

    for(i=0;i<3;i++)

    {

    temp = base[i];

    while(fabs(f(temp))>1e-7)

    {

    temp = fp(temp);

    }

    printf("%g 附近的根是 %g\n",base[i],temp);

    }

    }

    展开全文
  • Jacobi迭代法是众多迭代法中的一种,其继承了迭代法的基本原理,用来求解线性方程组。
  • 压缩包内有一份实验报告,里面有Jacobi迭代法和复化辛普森法的详细c语言代码+实验结果分析。
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空空如也

空空如也

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Jacobi迭代法