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  • 过完备字典

    2015-03-27 16:35:06
    基于过完备字典的稀疏表示,用于图像恢复、图像去噪
  • 构建DCT过完备字典

    万次阅读 热门讨论 2017-11-01 20:33:43
    本文主要介绍了如何构建DCT过完备字典。首先介绍了什么是DCT字典,以及什么样的字典能够构成过完备字典,给出了构成过完备字典的代码,并对代码的原理进行了简单的解释。

    1. 什么是DCT字典

      参考《离散余弦变换(DCT)的来龙去脉》,所谓 DCT 字典就是对图像 F 进行 DCT 余弦变换时所采用的变换矩阵 A 。但是有一点需要注意,这个矩阵是一个方阵,也就是说不是一个过完备字典(过完备字典要求矩阵的行数远远小于矩阵的列数)。

    2. 构成过完备字典的要求

      过完备原子库通常要求具有广泛的时频特性以达到能够灵活反映图像特征的目的,对于字典中的单个原子 g(t)L2(R) 进行平移、伸缩、旋转、调制就可以生成过完备原子库,对 g(t) 有以下要求:

      (1) 连续可微的实函数

      (2) O(1/(t2+1))

      (3) 范数为 1,即 ||g||=1

      (4) g(t)dt0,g(0)0

    3. 如何从字典构成过完备字典

       对于 DCT 变换后所获得的完备字典,采用上采样和调制的方法将其扩展成为过完备字典,具体的做法是将得到的完备字典对其频率上做更加精细的遍历和抽样,再乘以各种余弦进行调制,从而获得一个新的过完备字典。

    3.1 网络上的参考程序

      对于产生针对 8*8大小图片的, 64*256 大小的 DCT 字典,在网上有如下 Matlab 代码,但是这个代码是有问题的!

    DCT=zeros8,16); 
    Pn = 16; bb = 8;
    for k=0:1:Pn-1, 
         V=cos[0:1:bb-1]'*k*pi/16); 
         if k>0, V=V-mean(V); end; 
         DCT(:,k+1)=V/norm(V); 
    end; 
    DCT=kron(DCT,DCT); 

       上面的代码中,V=cos([0:1:bb-1]'*k*pi/16);相当于对 DCT 字典进行采样,但是这里需要注意的是,根据 DCT 变换的公式可知,本来值应该针对奇数点进行计算,但是在这里对里面的偶数也进行了计算,所以相当于一个分频采样;之后的kron(A,B)相当于用A中的每一个元素乘以B矩阵,在重新构成的一个矩阵,实际上就是两个余弦函数相乘,所以可以理解为对于原始字典的一种调制。其中计算减去均值并处以方差的原因在于,在使用K-SVD训练字典的过程中,需要首先将字典按列归一化,而这一步可以理解为按列归一化。总的来说,上面构成过完备字典的过程就是首先对DCT字典进行分频采样,在进行调制,最终获得了 DCT 过完备字典。

      但是!说过的,上面的代码是有问题的!问题在于以下两点,还有一点是可以进行改进的:

      (1) 公式错误,在计算DCT字典的过程中忘了要在前面乘以系数 1N 和系数2N

      (2) 归一化做早了。如果DCT过完备字典只是用来作为 K-SVD 的初始化字典,那么要对初始化的字典按列归一化,但是上面的程序在构建DCT字典的时候进行归一化,之后用归一化的字典再进行 kron 积运算,这样运算之后的字典的每一列显然不是均值为 0 方差为 1 的。下面举例说明,假设矩阵 A 和矩阵 B 的每一列均已经归一化完成,且矩阵 A 和矩阵 B 表示为如下形式

    A=[a11a21a12a22],B=[b11b21b12b22]

    kron(A,B)的第一列可以写成如下形式
    [a11b11a11b21a21b11a21b21]T

    计算其中的均值和方差如下
     μ=a11b11+a11b21+a21b11+a21b212×N=a11(b11+b21)+a21(b11+b21)2×N=(a11+a21)(b11+b21)2×N=0

     S2=(a11b110)2+(a11b210)2+(a21b110)2+(a21b210)22×N=a211b211+a211b221+a221b211+a221b2212×N=a211(b211+b221)+a221(b211+b221)2×N=(a211+a221)(b211+b221)2×N=N2(a211+a221)(b211+b221)N×N=N2

    可见归一化程序做早了,这样得到的 Kron 并不是列归一化的。

      (3) 很明显,上面的 for 循环可以使用矩阵相乘的形式进行替代。

    3.2 本文所使用的程序

      下面所给的程序仅仅是构建的DCT过完备字典,并没有按列做归一化。如果使用DCT过完备字典作为过完备基,将含有噪声的图像在上面稀疏分解的话,这样就已经足够了;如果后期还要利用 K-SVD 进行字典学习的话,还需要按列做归一化。

    MM = 8; NN = 16;      % 其中MM是DCT字典的行数,NN是DCT字典经过分频采样后的列数
    V = sqrt(2 / MM)*cos((0:MM-1)'*(0:NN-1)*pi/MM/2); 
    V(1,:) = V(1,:) / sqrt(2);
    DCT=kron(V,V);    

    参考文献:

    1. 张晓阳. 基于K-SVD和残差比的稀疏表示图像去噪研究[D]. 重庆大学, 2012.
    2. 杨俊, 谢勤岚. 基于DCT过完备字典和MOD算法的图像去噪方法[J]. 计算机与数字工程, 2012, 40(5):100-103.
    3. 孙黎明. 图像稀疏去噪算法的并行改进研究[D]. 重庆大学, 2011.
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    在基于稀疏表示的超分辨率重建方法中,经常会提到一个词,叫做过完备字典,那么什么是过完备字典呢?

    稀疏表示理论的核心在于y=Da,其中y是一个真实的信号,D是一个过完备字典,a是其稀疏表示。假设y是n行1列的矩阵,D为n*k的矩阵,其中k>n,a为k行1列的矩阵,并且a为一极小的非0向量,及a中的大多数元素都是0.

    我们称D为过完备字典,及信号y可以在过完备字典下,稀疏表示为a。明显的D为n行k列,a为k行1列,K>n,及方程的个数是小于未知数的个数的,具体来说有n个方程,k个未知数,所以方程的解不唯一,方程是欠定的,字典D为过完备字典。

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    过完备字典,稀疏表示,图像去噪

    过完备字典,稀疏表示,图像去噪

    稀疏表示y=Dz,其中y是一个真实的信号,D是一个字典,z是其稀疏表示。
    在对图像进行表示时,最初完备正交基由于表示简单唯一而被广泛使用,但是正交基的要求一般比较严格,所以导致它对图像的表示不够稀疏。基于过完备字典下的信号稀疏分解的思想: 相对完备正交基而言,过完备基的基底一般是冗余的,也就是基元素的个数比维数要大。图像在过完备基下的表示比完备正交基更加稀疏,图像中的干净部分可以利用少量的非零稀疏表示系数进行线性表示,而噪声一般认为不具有稀疏性,因此可以根据它们之间的区别实现去除噪声的目的。
    压缩感知的理论结果表明,在不严格的的条件下,稀疏表示可以从下采样信号中正确恢复。高分辨率和对应低分辨率的稀疏表示是相同的。高分辨率的信号间的线性关系可以从他们的低维投影中恢复出来。

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      本文主要介绍基于DCTDCT 过完备字典和 K-SVD 的图像稀疏去噪方法。在实现这个功能之前需要了解下面的一些知识:

      1. 《离散余弦变换(DCT)的来龙去脉》

      2. 《构建DCT过完备字典》

      3. 《稀疏表示》

      4. 《K-SVD的原理及实现方法》

    1. 稀疏去噪的原理

      基于稀疏分解的图像去噪按照是否是图像中的稀疏成分把图像中的信息和噪声分开。一个原子是有特殊结构的,图像中有一定结构的成分构成有用信息,是能够用原子来表示的。但图像中的噪声是没有结构的,所以不能用原子来表示。这样就可以将图像和噪声区别开来,已达到去噪的目的。

      基于稀疏分解的图像去噪方法是先从含有噪声的图像中提取稀疏成分,然后利用提取出的图像稀疏成分重建图像,则重建的图像即为去噪后的图像。

    2. 图像稀疏去噪算法描述

    1. 选择字典作为过完备字典 ,参考 《构建DCT过完备字典》构建一个64×256的字典。

    2. 将含噪图像矩阵以 8 × 8 为一块,依次按列和行的方式,并将每一个子图象转换为一个 64× 1 的列向量。生成新的矩阵Blocks,Blocks中位于同一列的元素都减去该列所在的均值(按列归一化,字典初始化的过程也是按列归一化的)。

    3. 使用噪声图像,利用 K-SVD 的方法训练字典

    4. 再将噪声图像在训练好的字典上分解,重构原始信号,加上去掉的均值完成去噪。

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