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  • 多元函数偏导数的法。 2. 多元函数自由极值的法 3. 多元函数条件极值的法.4. 学习掌握MATLAB 软件有关的命令。【实验内容】求函数z =x 4-8xy +2y 2-3的极值点和极值【实验准备】1.计算多元函数的自由极值...

    实验六 多元函数的极值

    【实验目的】

    1. 多元函数偏导数的求法。 2. 多元函数自由极值的求法 3. 多元函数条件极值的求法.

    4. 学习掌握MATLAB 软件有关的命令。

    【实验内容】

    求函数z =x 4-8xy +2y 2-3的极值点和极值

    【实验准备】

    1.计算多元函数的自由极值

    对于多元函数的自由极值问题, 根据多元函数极值的必要和充分条件, 可分为以下几个步骤:

    步骤1. 定义多元函数z =f (x , y )

    步骤2. 求解正规方程f x (x , y ) =0, f y (x , y ) =0, 得到驻点

    ∂2z ∂2z ∂2z

    步骤3. 对于每一个驻点(x 0, y 0) , 求出二阶偏导数A =, B =, C =2, 2

    ∂x ∂y ∂x ∂y

    步骤4. 对于每一个驻点(x 0, y 0) , 计算判别式AC -B , 如果AC -B >0, 则该驻点是

    2

    极值点, 当A >0为极小值, A

    2

    2

    2

    如果AC -B

    2.计算二元函数在区域D 内的最大值和最小值

    设函数z =f (x , y ) 在有界区域D 上连续,则f (x , y ) 在D 上必定有最大值和最小值。求f (x , y ) 在D 上的最大值和最小值的一般步骤为:

    步骤1. 计算f (x , y ) 在D 内所有驻点处的函数值;

    步骤2. 计算f (x , y ) 在D 的各个边界线上的最大值和最小值;

    步骤3. 将上述各函数值进行比较,最终确定出在D 内的最大值和最小值。 3.函数求偏导数的MATLAB 命令

    MATLAB 中主要用diff 求函数的偏导数, 用jacobian 求Jacobian 矩阵。

    可以用help diff, help jacobian查阅有关这些命令的详细信息

    【实验方法与步骤】

    练习1 求函数z =x 4-8xy +2y 2-3的极值点和极值. 首先用diff 命令求z 关于x,y 的偏导数

    >>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>diff(z,x) >>diff(z,y)

    结果为

    ans =4*x^3-8*y ans =-8*x+4*y 即

    ∂z ∂z =4x 3-8y , =-8x +4y . 再求解正规方程,求得各驻点的坐标。一般方程组的符∂x ∂y

    号解用solve 命令,当方程组不存在符号解时,solve 将给出数值解。求解正规方程的MATLAB 代码为:

    >>clear;

    >>[x,y]=solve('4*x^3-8*y=0', '-8*x+4*y=0', 'x' , 'y' )

    结果有三个驻点,分别是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数:

    >>clear; syms x y;

    >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>A=diff(z,x,2) >>B=diff(diff(z,x),y) >>C=diff(z,y,2)

    结果为

    A=2*x^2 B =-8 C =4

    由判别法可知P (-4, -2) 和Q (4, 2) 都是函数的极小值点,而点Q(0,0)不是极值点,实际上,

    P (-4, -2) 和Q (4, 2) 是函数的最小值点。当然,我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍

    点。

    >>clear;

    >>x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5; >>[X,Y]=meshgrid(x,y);

    >>Z=X.^4-8*X.*Y+2*Y.^2-3; >>mesh(X,Y,Z)

    >>xlabel('x' ),ylabel('y' ),zlabel('z' ) 结果如图6.1

    图6.1 函数曲面图

    可在图6.2种不容易观测极值点与鞍点, 这是因为z 的取值范围为[-500,100],是一幅远景图, 局部信息丢失较多, 观测不到图像细节. 可以通过画等值线来观测极值.

    >>contour(X,Y,Z, 600) >>xlabel('x' ),ylabel('y' ) 结果如图6.2

    图6.2 等值线图

    由图6.2可见, 随着图形灰度的逐渐变浅, 函数值逐渐减小, 图形中有两个明显的极小值点

    P (-4, -2) 和Q (4, 2) . 根据提梯度与等高线之间的关系, 梯度的方向是等高线的法方向, 且指

    向函数增加的方向. 由此可知, 极值点应该有等高线环绕, 而点Q (0, 0) 周围没有等高线环绕, 不

    是极值点, 是鞍点.

    练习2 求函数z =xy 在条件x +y =1下的极值.. 构造Lagrange 函数

    L (x , y ) =xy +λ(x +y -1)

    求Lagrange 函数的自由极值. 先求L 关于x , y , λ的一阶偏导数

    >>clear; syms x y k >>l=x*y+k*(x+y-1); >>diff(l,x) >>diff(l,y) >>diff(l,k)

    ∂L ∂L ∂L =y +λ, =x +λ, =x +y -1, 再解正规方程 ∂x ∂y ∂λ

    >>clear; syms x y k

    >>[x,y,k]=solve('y+k=0', 'x+k=0', 'x+y-1=0', 'x' , 'y' , 'k' )

    得x =

    111

    , y =, λ=-, 进过判断, 此点为函数的极大值点, 此时函数达到最大值. 222

    22

    练习3 抛物面z =x +y 被平面x +y +z =1截成一个椭圆, 求这个椭圆到原点的最

    长与最短距离.

    这个问题实际上就是求函数

    f (x , y , z ) =x 2+y 2+z 2

    22

    在条件z =x +y 及x +y +z =1下的最大值和最小值问题. 构造Lagrange 函数

    L (x , y , z ) =x 2+y 2+z 2+λ(x 2+y 2-z ) +μ(x +y +z -1)

    求Lagrange 函数的自由极值. 先求L 关于x , y , z , λ, μ的一阶偏导数

    >>clear; syms x y z u v

    >>l=x^2+y^2+z^2+u*(x^2+y^2-z)+v*(x+y+z-1); >>diff(l,x) >>diff(l,y) >>diff(l,z) >>diff(l,u) >>diff(l,v)

    ∂L ∂L ∂L =2x +2x λ+μ, =2y +2y λ+μ, =2z -λ+μ ∂x ∂y ∂z

    ∂L ∂L =x 2+y 2-z , =x +y +z -1 ∂λ∂μ

    再解正规方程

    >>clear;

    >>[x,y,z,u,v]=solve('2*x+2*x*u+v=0', '2*y+2*y*u+v=0', '2*z-u+v=0', 'x^2+y^2-z=0', 'x+y+z-1=0', 'x' , 'y' , 'z' , 'u' , 'v' )

    λ=-3±

    511-1±3, μ=-7±, x =y =, z =2 . 332

    上面就是Lagrange 函数的稳定点,求所求的条件极值点必在其中取到。由于所求问题存在最大值与最小值(因为函数f 在有界闭集{(x , y , z ) :x 2+y 2=z , x +y +z =1},上连续,从而存在最大值与最小值),故由

    f (

    -1±3-1±3

    , , 2 3.) =9 53 22

    求得的两个函数值,可得椭圆到原点的最长距离为9+53,最短距离为9-53。

    练习4 求函数z =x 2+y 2-4x -2y +7在上半圆x 2+y 2≤16, y ≥0上的最大值和最小值。

    首先画出等高线进行观测,相应的MATLAB 程序代码为:

    >>clear;

    >>x=-4:0.1:4; y=-4:0.1:4; >>[X,Y]=meshgrid(x,y); >>Z=X.^2+Y.^2-4*X-2*Y+7; >>contour(X,Y,Z,100) >>xlabel('x' ),ylabel('y' )

    结果如图6.3

    观测图6.3可看出,在区域D 内部有唯一的驻点,大约位于(2, 1) 在该点处汉书趣的最小值。在圆弧与直线的交点处取得最大值,大约位于(-4, 2) 。下面通过计算加以验证。

    求函数在区域D 内的驻点,计算相应的函数值。求z 关于x,y 的偏导数

    >>clear; syms x y; >>z=x^2+y^2-4*x-2*y+7; >>diff(z,x) >>diff(z,y)

    结果得

    ∂z ∂z

    =2x -4, =2y -2, 解正规方程 ∂x ∂y

    >>clear; [x,y]=solve('2*x-4=0', '2*y-2=0', 'x' , 'y' )

    得驻点为(2,1),相应的函数值为2。

    求函数在直线边界y =0, -4≤x ≤4上的最大值和最小值。将y =0代入原函数,则二元函数变为一元函数

    z =x 2-4x +7, -4≤x ≤4.

    首先观测此函数图形,相应的MATLAB 程序代码为:

    >>x=-4:0.01:4; y=x.^2-4*x+7; >>plot(x,y);

    >>xlabel('x' ),ylabel('z' )

    结果如图6.4所示

    由图6.4可看出,当x =-4时函数取得最大值,x =2时函数取得最小值。下面用计算验证。对函数求导

    >>clear; syms x ; >>z=x^2-4*x+7; diff(z,x) 得

    dz

    =2x -4,可知驻点为x =2,而边界点为x =±4,计算着三个点上的函数值可得当dx

    x =-4时函数取得最大值39,x =2时函数取得最小值3。

    求函数在圆弧边界线上x

    2

    +y 2≤16, y ≥0的最大值和最小值。此边界线可用参数方程

    x =4cos t , y =4sin t , 0≤t ≤π

    表示。则二元函数变为一元函数

    z =-16cos t -8sin t +23

    首先观测此函数图形,相应的MATLAB 程序代码为:

    >>t=0:0.01*pi:pi; z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23; >>plot(t,z);

    >>xlabel('t' ),ylabel('z' )

    结果如图6.5所示

    由图6.5可看出,当t ≈0. 5时函数取得最小值,x =π时函数取得最大值。下面用计算验证。对函数求导

    >>clear; syms t ;

    >>z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23; diff(z,t) 得

    dz

    =18sin t -8cos t , 解正规方程 dt

    >>clear;

    >>t=solve('16*sin(t)-8*cos(t)=0', 't' ) >>numeric(t) %求出t 的数值

    得t =arctan

    1

    ≈0, 4636,边界点为t =0, π,计算着三个点上的函数值可得当t =0. 4636时2

    函数取得最小值0.5111,t =π, (x =-4, y =0) 时函数取得最小值39。

    综上所述,在点(2,1)处函数取得最小值2,在点(-4,0)处函数取得最大值39。

    【练习与思考】

    1. 求z =x +y -4xy +1的极值,并对图形进行观测。

    2. 求函数f (x , y )=x +2y 在圆周x +y =1的最大值和最小值。

    2

    2

    2

    2

    4

    4

    3. 在球面x +y +z =1求出与点(3,1,-1)距离最近和最远点。

    22

    4. 求函数f (x , y , z ) =x +2y +3z 在平面x -y +z =1与柱面x +y =1的交线上

    的最大值。 22

    5. 求函数z =x +y 在三条直线x =1, y =1, x +y =1所围区域上的最大值和最小

    值。

    222

    展开全文
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    用matlab求符号函数数组或函数矩阵的导数实例教程

    在符号矩阵中,矩阵的每个元素都可以存放符号函数,这是对符号函数数组的求到运算是对数组元素逐个进行的。接下来就以实例向大家介绍一下用matlab对符号函数数组或函数矩阵求导数的具体方法步骤,希望大家喜欢。

    96cd521a6091336548fa080b370941b3.png

    如何用matlab求符号函数数组或函数矩阵的导数?

    1、创建符号函数数组,具体的创建方法及代码示例请看下图所示。

    9a57a841749e1abcc5c048eb4697a694.png

    2、求该二维数组对x的一阶导数,代码及结果如下图所示:

    fcf480a0aaad7baa33629e527055508b.png

    3、下面就求一下该二维数组对t的二阶导数,同样具体代码及结果如下图所示:

    fee4abe1af3faf36a90b2bcb5519c868.png

    4、下面就求该二维数组的二阶混合导数,同样具体代码及结果如下图所示:

    c00cd2ee7f3656dec45cf38412f2376f.png

    5、此外我们还可以用jacobian指令求向量函数的jacobian矩阵。这里我们先创建一个(3*1)的向量函数,如下图所示:

    ee0476478299fd8dec1ae892d07c9340.png

    6、求得的jacobian矩阵,所用指令及结果如下图所示:

    192ecd18b0a487f1b47cc5051c0036b9.png

    教程结束,以上就是关于用matlab求符号函数数组或函数矩阵的导数实例教程的全部内容,希望大家看完有所收获!更多精彩教程,尽在我们网站!

    时间:2017-11-11 15:56 / 作者:百科全说

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    syms x;
    f_1=log(x);   %原函数
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  • MATLAB如何计算函数导数

    千次阅读 2019-11-28 09:06:30
    这个是怎么回事?不懂! 欢迎使用Markdown编辑器 你好! 这是你第一次使用 Markdown编辑器 所展示的欢迎页。如果你想学习如何使用Markdown编辑器, 可以仔细阅读这篇文章,了解一下Markdown的基本语法知识。...

    这个是怎么回事?不懂!求解答!!谢谢

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    你好! 这是你第一次使用 Markdown编辑器 所展示的欢迎页。如果你想学习如何使用Markdown编辑器, 可以仔细阅读这篇文章,了解一下Markdown的基本语法知识。

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    Gamma公式展示 Γ(n)=(n1)!nN\Gamma(n) = (n-1)!\quad\forall n\in\mathbb N 是通过欧拉积分

    Γ(z)=0tz1etdt. \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt\,.

    你可以找到更多关于的信息 LaTeX 数学表达式here.

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    • 关于 甘特图 语法,参考 这儿,

    UML 图表

    可以使用UML图表进行渲染。 Mermaid. 例如下面产生的一个序列图:

    张三李四王五你好!李四, 最近怎么样?你最近怎么样,王五?我很好,谢谢!我很好,谢谢!李四想了很长时间,文字太长了不适合放在一行.打量着王五...很好... 王五, 你怎么样?张三李四王五

    这将产生一个流程图。:

    链接
    长方形
    圆角长方形
    菱形
    • 关于 Mermaid 语法,参考 这儿,

    FLowchart流程图

    我们依旧会支持flowchart的流程图:

    Created with Raphaël 2.2.0开始我的操作确认?结束yesno
    • 关于 Flowchart流程图 语法,参考 这儿.

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    1. mermaid语法说明 ↩︎

    2. 注脚的解释 ↩︎

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  • MATLAB多元函数导数求极值或最优值Word版》由会员分享,可在线阅读,更多相关《MATLAB多元函数导数求极值或最优值Word版(9页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。1、传播优秀Word版文档 ,希望对您有帮助,可双击去除...
  • 对域或指定点(或一组点)上的单变量函数导数进行数值评估。 句法 离散实现: f和x是向量,其中f存储对x的值 在x每个点上。 df = differentiate(f,x) df = differentiate(f,x,x_star) 连续实现: f是定义...
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  • matlab|求导数/最值

    千次阅读 2020-06-14 15:13:22
    本博文源于matlab导数求极值求最值,涉及内容极限命令求导/diff求导/一元函数一阶导数,多阶导数,求参数导数/函数极值和最值/不给定区间求最值
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  • diff和gradient求数值近似导数的异同

    千次阅读 2016-06-07 11:38:31
    diff是导数的符号运算命令,使用时要加上syms的定义变量命令; diff(f) 表达式f对默认自变量的一次微分值; diff(f, t) 表达式f对自变量t的一次微分值; diff(f,n) 表达式f对默认自变量的n次微分值; diff...
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  • Matlab如何离散点的导数

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