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  • 计算积分,在函数体中修改函数名和上下限以及误差精度。 matlab程序m文件。
  • matlab中利用复化梯形公式和复化simpson公式实现积分运算,对于数值计算类课程很有帮助。
  • 3 梯形公式MATLAB公式

    千次阅读 2020-06-08 11:44:07
    梯形公式的MATLAB公式1 根据梯形公式和误差估计公式编写MATLAB程序计算定积分2 用trapz函数,cumtrapz函数计算...用梯形公式计算积分 >> h=pi/8000;a=0;b=pi/2;x=a:h:b;n=length(x);y=exp(sin(x)); >> z

    1 根据梯形公式和误差估计公式编写MATLAB程序计算定积分

    在这里插入图片描述
    用梯形公式计算定积分
    在这里插入图片描述

    >>  h=pi/8000;a=0;b=pi/2;x=a:h:b;n=length(x);y=exp(sin(x));
    >> z1=(y(1)+y(n))*h/2;z2=(sum(y(2:n-1)))*h;z8000=z1+z2
    
    z8000 =
    
        3.1044
    
    >> syms t;
    >> f=exp(sin(t));
    >> intf=int(f,t,a,b),Fs=double(intf)
     
    intf =
     
    int(exp(sin(t)), t, 0, pi/2)
     
    
    Fs =
    
        3.1044
    
    >> wz=abs(Fs-z8000)
    
    wz =
    
       1.2851e-08
    
    >> 
    

    2 用trapz函数,cumtrapz函数计算定积分

    trapz函数,cumtraoz函数讲解

    >> h=pi/40; x=0:h:pi/2;y=exp(-x).*sin(x);
    >> z1=sum(y(1:20))*h;z2=sum(y(2:21))*h;z=(z1+z2)/2
    
    z =
    
        0.3954
    >> z3=trapz(x,y)//trapz(x,y)=trapz(y)*h
    
    z3 =
    
        0.3954
    >> z4=trapz(y)*h
    
    z4 =
    
        0.3954
    >> z5=cumtrapz(y)*h
    
    z5 =
    
      1110    0.0028    0.0109    0.0234    0.0395    0.0586    0.0798    0.1028    0.1270    0.1519    0.1771
    
      12210.2023    0.2273    0.2517    0.2755    0.2983    0.3201    0.3408    0.3602    0.3785    0.3954
    >> abs(z-z3)
    
    ans =
    
         0
    
    >> abs(z-z5(21))
    
    ans =
    
         0
    

    3 梯形数值积分的MATLAB主程序

    公式参考资料

    fun.m
    function F=fun(x)
    F=(1/sqrt(2*pi))*exp(-x^2/2);
    ------------------------------------------------------------------------------------------
    rctrap.m
    function T=rctrap(fun,a,b,m)
    n=1;
    h=b-a;
    T=zeros(1,m+1);
    x=a;
    T(1)=h*(feval(fun,a)+feval(fun,b))/2;
    for i=1:m
        h=h/2;n=n*2;s=0;
        for k=1:n/2
            x=a+h*(2*k-1);s=s+feval(fun,x);
        end;
        T(i+1)=T(i)/2+h*s;
    end;
    ------------------------------------------------------------------------------------------
    >> T=rctrap(@fun,0,pi/2,14)
    
    T =
    
      1110.4046    0.4325    0.4395    0.4413    0.4417    0.4418    0.4419    0.4419    0.4419    0.4419    0.4419
    
      12150.4419    0.4419    0.4419    0.4419
    
    >> syms t ;fi=int(exp((-t^2)/2)/(sqrt(2*pi)),t,0,pi/2);
    >> Fs=double(fi)
    
    Fs =
    
        0.4419
    
    >> wz=double(abs(Fs-T))
    
    wz =
    
      1110.0373    0.0094    0.0023    0.0006    0.0001    0.0000    0.0000    0.0000    0.0000    0.0000    0.0000
    
      12150.0000    0.0000    0.0000    0.0000
    
    

    辛普森公式及其误差分析

    在这里插入图片描述

    用辛普森公式计算

    在这里插入图片描述
    取n=20001个等距节点,并将计算结果与精确值进行比较.

    >> a=0;b=1;m=10000;h=(b-a)/(2*m);x=a:h:b;
    >> y=exp((-x^2)/2)/(sqrt(pi*2))>> y=exp((-x.^2)./2)./(sqrt(pi*2));
    >> z1=y(1)+y(2*m+1);
    >> z2=2*sum(y(2:2:2*m));
    >> z3=4*sum(y(3:2:2*m));
    >> z=(z1+z2+z3)*h/3
    
    z =
    
        0.3413
    
    >> syms t
    >> f=exp((-t^2)/2)/(sqrt(pi*2));
    >> intf=int(f,t,a,b);
    >> Fs=double(intf)
    
    Fs =
    
        0.3413
    
    >> wz=abs(Fs-z)
    
    wz =
    
       1.0682e-05
    

    估计用辛普森公式计算定积分

    在这里插入图片描述
    时的误差,取
    在这里插入图片描述
    这里还有一点问题

    >> syms x
    >> y=exp(sin(x));yx4=diff(y,x,4);
    >> h=pi/40;
    >> x=0:0.00001:pi/2;
    >> juyx4=abs(yx4);
    >> RS=(h^4)*(pi/2)*max(juyx4)/180
    

    辛普森数值积分的MATLAB程序

    用comsimpson.m和quad.m分别计算定积分
    在这里插入图片描述
    取精度为e-4,并与精确值进行比较.

    fun.m
    function F=fun(x)
    F=exp((-x.^2)./2)./(pi*2);
    ------------------------------------------------------------------------------------------
    comsimpson.m
    function y=comsimpson(fun,a,b,n)
    z1=feval(fun,a)+feval(fun,b);
    z2=0;z3=0;m=n/2;h=(b-a)/(2*m);
    x=a;
    for k=2:2:m*2
        x2=x+k*h;
        z2=z2+2*feval(fun,x2);
    end;
    for k=3:2:m*2
        x3=x+k*h;
        z3=z3+4*feval(fun,x3);
    end;
    y=(z1+z2+z3)*h/3;
    ------------------------------------------------------------------------------------------
    >> [Q1,FCNT14]=quad(@fun,0,1,1.e-4,3)
           9     0.0000000000     2.71580000e-01     0.0426977989
          11     0.2715800000     4.56840000e-01     0.0637486722
          13     0.7284200000     2.71580000e-01     0.0297303788
    
    Q1 =
    
        0.1362
    
    
    FCNT14 =
    
        13
    
    >> Q2=comsimpson(@fun,0,1,10000)
    
    Q2 =
    
        0.1362
    
    >> syms t
    >> f=exp((-t^2)/2)/(pi*2);
    >> fi=int(f,t,0,1)
     
    fi =
     
    (2^(1/2)*erf(2^(1/2)/2))/(4*pi^(1/2))
     
    >> Fs=double(fi)
    
    Fs =
    
        0.1362
    
    >> wQ1=abs(Fs-Q1)
    
    wQ1 =
    
       1.4609e-09
    
    >> wQ2=abs(Fs-Q2)
    
    wQ2 =
    
       1.4785e-05
    
    展开全文
  • 复化梯形公式求二重积分matlab源码

    千次阅读 2020-06-08 13:11:05
    复化梯形公式求二重积分matlab源码 %%%%%%%%%% 2020.6.5 %%%%%%%%% %%%%%%%%%%复化梯形公式求二重积分%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Liu Deping %%%%%%%%%clear all;%%%被积函数及积分上下限导入;s=input('请输入函数表达式...

    复化梯形公式求二重积分matlab源码

    这段代码具有很好的交互性和通用性,将代码复制到matlab编辑器之后,按照提示操作即可。傻瓜式操作,结果一目了然~

    %%%%%%%%%%     2020.6.5        %%%%%%%%%
    %%%%%%%%%%复化梯形公式求二重积分%%%%%%%%%
    %%%%%%%%%%     Liu Deping      %%%%%%%%%
    clear all;
    %%%被积函数及积分上下限导入;
    s=input('请输入函数表达式:f = ','s');
    f=inline(s);
    a = input('请输入积分变量x左边界a的值:');
    b = input('请输入积分变量x右边界b的值:');
    c = input('请输入积分变量y左边界c的值:');
    d = input('请输入积分变量y右边界d的值:');
    h1 = input('请输入积分变量x步长h1的值:');
    h2 = input('请输入积分变量y步长h2的值:');
    m=round((b-a)/h1);
    n=round((d-c)/h2);
    %%%系数矩阵T,t[i,j]为复化梯形公式的系数;
    TT=zeros(m+1,n+1);
    TT(1,1)=1;
    TT(m+1,1)=1;
    TT(1,n+1)=1;
    TT(m+1,n+1)=1;
    for i=2:m
        TT(i,1)=2;
        TT(i,n+1)=2;
    end
    for j=2:n
        TT(1,j)=2;
        TT(m+1,j)=2;
    end
    TT(TT==0)=4   %%系数表
     
    %%%计算各二维节点函数值,并存放于矩阵F中;
    F=zeros(m+1,n+1);
    for i=0:m
        for j=0:n
          F(i+1,j+1)=f(a+i*h1,c+j*h2);    
        end
    end 
     
    %%%结果输出;
    format long;
    fprintf('各节点函数值;')
    F
    fprintf('复化梯形公式计算结果;')
    Tnm=(b-a)*(d-c)/(4*m*n)*sum(sum(TT.*F))
    
    

    之后还有辛普森公式求二重积分,希望喜欢的小伙伴持续关注篱落~~成殇~~

    展开全文
  • 包含代码和文档 采用复化梯形公式和复化辛普森公式求积分,并与精确值进行比较得下表。 采用复化梯形公式和复化辛普森公式求积分,并与精确值进行比较得下表。
  • 对面积采用两种方法计算,1梯形公式,2cumtrapz函数。 结果数据对比,不管采用哪种方法,结果和理想结果都不一致。而且两种方法计算曲线的趋势有很大差别。有哪位大神可以告诉我原因吗? ![图片说明]...
  • 利用复化梯形公式计算 I(f)=∫15sinxxdxI(f) = \int_1^5{\frac{sinx}{x}dx}I(f)=∫15​xsinx​dx 的近似值,精确至7位有效数字。 Matlab程序: clc; clear all syms x %% 已知条件 Fx(x) = sin(x)/x; a = 1; b = 5...

    一、复化梯形公式求积分

    1.1 题目

    利用复化梯形公式计算
    I ( f ) = ∫ 1 5 s i n x x d x I(f) = \int_1^5{\frac{sinx}{x}dx} I(f)=15xsinxdx
    的近似值,精确至7位有效数字。

    1.2 程序

    clc; clear all
    syms x 
    
    %% 已知条件
    Fx(x) = sin(x)/x;
    a = 1;
    b = 5;
    epsilon = 5e-8;
    e = 1;
    T = []; % 存放Tf的值
    h = b-a;
    Xk1 = [a, b];  % 存放已选的 xk
    Xk2 = [];      % 存放将要使用的 x(k+1/2)
    sumfx = 0;     % sum( fx(k+1/2) )
    
    %% 计算
    digits(8)
    format long
    k = 0;
    Tf = vpa( b - a ) / 2 * ( Fx(a) + Fx(b) );
    T = [T, Tf];
    fprintf('k=%d, 2^k=%d, Tk=%0.8f\n',k,2^k,Tf) 
    
    while(e>epsilon)
        for i=1:length(Xk1)-1
            temp = ( Xk1(i) + Xk1(i+1) ) / 2;
            sumfx = sumfx + Fx(temp);
            Xk2 = [Xk2,temp];
        end
        Xk1 = [Xk1,Xk2];
        Xk1 = sort(Xk1);
        
        k = k + 1;
        Tf = vpa( 0.5 * ( Tf + h * sumfx ) );
        T = [T, Tf];
        e = abs(Tf - T(end-1))/3;
        fprintf('k=%d, 2^k=%d, Tk=%0.8f, e=%0.8f\n',k,2^k,Tf,e) 
        
        % 更新值
        h = h / 2;
        sumfx = 0;
        Xk2 = [];
    end
    
    If = Tf;
    fprintf('复化梯形求积公式的结果为:%0.8f\n',If)
    

    1.3 运行结果

    在这里插入图片描述

    二、复化梯形公式求二重积分

    2.1 题目

    (1)给定积分 I ( f ) = ∫ c d ( ∫ a b f ( x , y ) d x ) d y I(f)=\int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b} f(x, y) \mathrm{d} x\right) \mathrm{d} y I(f)=cd(abf(x,y)dx)dy,取初始步长 h h h k k k及精度 ε \varepsilon ε,应用复化梯形公式,采用逐次二分步长的方法并应用外推思想编制计算 I ( f ) I(f) I(f)的通用程序,计算至相邻两次近视值之差的绝对值不超过 ε \varepsilon ε为止;

    (2)用所编程序计算积分 I ( f ) = ∫ 0 π / 6 ( ∫ 0 π / 3 tan ⁡ ( x 2 + y 2 ) d x ) d y I(f)=\int_{0}^{\pi / 6}\left(\int_{0}^{\pi / 3} \tan \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x\right) \mathrm{d} y I(f)=0π/6(0π/3tan(x2+y2)dx)dy
    ε = 1 2 × 1 0 − 5 \varepsilon=\frac{1}{2} \times 10^{-5} ε=21×105

    2.2 程序

    2.2.1 二重积分通用程序

    function[result] = trapezoid(a,b,c,d,F,epsilon)
        %% 初值条件
        T0 = [];  % 存放Tm,n(f)
        T1 = [];  % 存放T(1)m,n(f)
        T2 = [];  % 存放T(2)m,n(f)
        T3 = [];  % 存放T(3)m,n(f)
    
        m = 1;  % 将[a,b] m等分
        n = 1;  % 将[c,d] n等分; 注:虽然这里m与n相等,但分开计算。
        h = (b - a) / m;  % x的步长
        k = (d - c) / n;  % y的步长
        xx = [a,b];
        yy = [c,d];
        e = 1; % 误差
    
        %% 计数位
        count = 0;
        T0_count = 0;
        T1_count = 0;
        T2_count = 0;
        T3_count = 0;
    
        %% 计算
        digits(10)
        T =  h * k  / 4 * ( F(xx(1),yy(1)) + F(xx(1),yy(2)) + F(xx(2),yy(1)) + F(xx(2),yy(2)) )   ;
        T0 = [T0, T];
        T0_count = T0_count + 1;
        count = 1;
        fprintf('k=%d, 2^k=%d, T0=%0.8f\n',count,2^count,T) 
    
        while(e>epsilon)
            m = 2 * m;
            n = 2 * n;
            h = (b - a) / m;
            k = (d - c) / n;
    
            % 计算x、y的取值
            xx = [a];  % 暂时只存入左边值
            yy = [c];  % 暂时只存入左边值
            for i = 1:m
                temp = a + i * h;
                xx = [xx,temp];
            end
            for j = 1:n
                temp = c + j * k;
                yy = [yy,temp];
            end
    
            % 计算T0
            T = 0;
            for i = 1:m
                for j = 1:n
                    T = T + vpa( h * k /4 * (F(xx(i),yy(j)) + F(xx(i),yy(j+1)) + F(xx(i+1),yy(j)) + F(xx(i+1),yy(j+1)) ) );
                end
            end
            T0 = [T0,T];
            T0_count = T0_count + 1;
            count = count + 1;
            fprintf('k=%d, 2^k=%d, T0=%0.8f',count,2^count,T) 
    
            % 计算T1
            if T0_count - T1_count == 2 && T0_count >= 2
                temp = 4 / 3 * T0(end) - 1 / 3 * T0(end-1);
                T1 = [T1,temp];
                T1_count = T1_count + 1;
                fprintf(', T1=%0.8f',T1(end)) 
            end
    
            % 计算T2
            if T1_count - T2_count == 2  && T1_count >= 2
                temp = 4 / 3 * T1(end) - 1 / 3 * T1(end-1);
                T2 = [T2,temp];
                T2_count = T2_count + 1;
                fprintf(', T2=%0.8f',T2(end)) 
            end
    
            % 计算T3
            if T2_count - T3_count == 2  && T2_count >= 2
                temp = 4 / 3 * T2(end) - 1 / 3 * T2(end-1);
                T3 = [T3,temp];
                T3_count = T3_count + 1;
                fprintf(', T3=%0.8f',T3(end)) 
            end
    
            if T3_count >= 2
                e = T3(end) - T3(end-1);
                fprintf(', e=%0.8f',e) 
            end
            fprintf('\n') 
        end
        fprintf('复化梯形二重积分求积公式的结果为:%0.8f\n',T3(end))
        result = T3(end);
    end
    

    2.2.2 主函数程序

    clc; clear;
    
    syms x y
    F(x,y) = tan(x^2 + y^2);
    a = 0;
    b = pi/3;
    c = 0;
    d = pi/6;
    epsilon = 0.5e-5;
    
    result = trapezoid(a,b,c,d,F,epsilon);
    

    2.3 运行结果

    在这里插入图片描述

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  • 算法流程 四、代码实现(matlab) 1. 相关参数设定: sim 其中计算动态矩阵和建模向量的程序如下: function 2. 仿真模型: myP 代码由参数设定,矩阵计算,仿真三个部分组成,基础算法比较简单,注释得也很清楚,...

    ee2ef91717e7c86ba01d1420c7cb095d.png

    一、背景:

    20世纪中后期,在工业控制领域出现了一类新的计算机控制算法,称为模型预测控制(model predictive control, MPC)[1]。众所周知,到今天PID控制仍然是工业控制的主流,那么为什么还要发展MPC呢? PID作为一种“万能”控制器,其不需要知道环境的模型,就可以进行调试,同时其最大的优点在于调控参数数,易于整定。但PID主要在控制回路中其主要作用,当控制从单回路升级到整个系统之后,缺乏变量间耦合信息的单回路控制就很难保证良好的全局性能。为了能够保证全局性能,现代控制理论应运而生。围绕着航空航天、化工生产系统,最优控制、极点控制这一类先进控制都曾让人认为可以完美地控制系统,但通过实践就发现完美的理论与工业过程之间仍旧存在着巨大的鸿沟,原因在于:

    (1)现代控制理论的基点是精确的数学模型,但在实际工业过程中难以得到精准的数学模型

    (2)工业环境的结构、参数都具有极大的不确定性

    (3)现代控制理论算法过于复杂无法满足控制过程实时性的要求指标

    为了解决上述问题,打破传统控制的约束,人们致力于寻找一类对模型精准度不高、可以处理多变量和多约束的现代控制算法。模型预测控制就是在这一大背景下发展起来的先进控制算法。

    模型预测算法有以下好处:

    (1)例如DMC一类预测算法,其基于简单的脉冲信号或者阶跃信号就可以获得非参数模型,且不需要进一步对模型进行辨识,而这类信号对于工业过程来说是容易实现的。

    (2)例如GPC一类的算法汲取了预测控制中多步优化的思想,增强了控制器的鲁棒性。

    二、预测控制

    预测控制算法一般分为以下三个部分:

    (1)预测模型:所有的预测控制算法都需要预先得到一个预测模型,通过模型来得到预测输出。

    (2)滚动优化:即在每一个采样时间点,算法只优化一个范围内的有限时域,得出所有优化控制后,只实施当前控制量于系统,到下一个采样时间点又再次进行优化预测。

    (3)反馈校正:根据预测模型可计算下一个采样时间点的输出,到下一个采样时间点用实测输出与预测输出求误差,以此对未来的输出进行启发式修正。

    为了便于大家的理解,今天从DMC(动态矩阵预测控制算法)入手,来具体介绍模型预测控制算法。

    三、动态矩阵控制(DMC)

    1.建立预测模型

    DMC基于对象的阶跃响应来建立非参数模型,其适用于渐进稳定的线性对象。

    对于DMC而言,首先要测定对象的单位采样值:

    T为采样周期。在时间t=NT之后,阶跃响应将趋于一个稳定值(系统的稳态),即

    的误差已经极小(
    代表建模时域)。那么对象的动态信息就可以用一个有限区间:

    来表示,这个集合的参数就构成了DMC的模型参数,向量(2)为矩阵的模型向量。利用(2)就足以对未来时刻的输出值进行预测。在

    时刻,假设对未来N个时刻的初始预测值为:

    ,当k时刻有一控制增量

    时,可利用线性叠加定理算出其在未来预测时刻内的输出值:
    同理,从k时刻开始,在M个连续的控制增量

    作用下可以得到未来各个时刻的输出值:

    (5)就是我们所需要的预测模型.

    2.实行滚动优化

    滚动优化是模型预测控制中必不可缺的环节,其目的在每一个时刻

    ,都要再一次确定该时刻起之后
    个控制增量(5).使得预测输出(4)都能够不断的接近给定的目标值:

    分别代表控制步长和预测步长。一般来说
    .

    为了滚动计算每一个时刻

    的预测输出,必须确定最优的控制增量
    。在这里,也是利用模型预测控制的基本套路
    设计性能指标函数:

    为权重系数,一般情况设定
    为一,这样就可以减少一个参数变量,让控制器更易于调整。将(8)写为向量的形式为:

    其中:

    分别为误差权重矩阵和控制权重矩阵,其都为对角矩阵。

    将(6)带入(9)得:

    其中A由模型向量(2)构成,表示为:

    时刻时,
    已知,对(10)关于
    求导,取求导为0(根据矩阵求导规则求导),可得到:

    所需要传递给过程的增量为(12)的第一个元素

    求得

    之后,对其进行积分,得到

    传递给过程, 就可以推进到
    时刻,将
    时刻取代
    时刻,然后使用
    求出
    ,将其又传递给过程,如此滚动进行,所以就称为“滚动优化”。

    3. 反馈校正

    时刻把
    施加到预测模型(4)上就可以得到下一个时刻
    的预测输出:
    ,此时可以将
    作为下一个时间点
    的初始预测输出
    .但在过程运行中,由于存在模型偏差以及外部扰动,预测值会出现较大的偏差,若不及时进行反馈校正,误差就会随着时间累积,最后使得整个系统不可控,那么这个时候我们需要对预测值
    进行反馈校正。在下一个时刻
    ,可以得到过程的真实输出
    ,可以得到预测输出
    ,那么就可以求预测误差:

    利用反馈误差对预测输入进行校正就可以得到校正预测值

    此时将

    设定为下一给时刻的初始预测值
    即可。

    细心的观众会发现,模型向量的建模时域为

    ,那么当进行了一次滚动优化之后,预测值的时间就位移到了
    时刻,这显然是不合理的,所以要将预测值整体向前移动一个时间点,使得
    ,具体做法为:

    其中

    ,为位移举证,
    维矩阵。

    4. 算法流程

    75c4897a7f793f1deb66f66fe3fbb8f9.png

    c47588e2cbece3eecd8d49538f714432.png

    四、代码实现(matlab)

    1. 相关参数设定:

    sim

    其中计算动态矩阵和建模向量的程序如下:

    function

    2. 仿真模型:

    myP

    代码由参数设定,矩阵计算,仿真三个部分组成,基础算法比较简单,注释得也很清楚,固不再赘述。

    六.仿真结果:

    e11408cd71eb77599ded835510bbacca.png

    左图是轨迹跟踪的仿真结果,右图是误差曲线走势,并没有特别认真的去调试各项参数,但DMC已经表现出了比较良好的控制效果。

    参考

    1. ^预测控制/席裕庚著, —2版. —北京: 国防工业出版社, 2013.12
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