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  • 功能安全专题之端到端(E2E) 的通信保护

    万次阅读 多人点赞 2020-06-17 18:32:31
    2.1 E2E的可选配置(Profiles) AUTOSAR指定了一系列的标准化及可配置的E2E配置,每个配置实现了一系列的安全机制,并且指定的对应的E2E控制字段的格式。 任一E2E配置使用的都是如下的保护机制的一部分: CRC校验和,...

    本文来自AUTOSAR技术资料。

    前言

    功能安全(Functional Safety)是一项系统特性,由于基于功能安全的设计会影响到系统设计,所以从系统开发初始阶段就要进行考虑。由于软件的复杂度会影响 到功能安全的设计,所以在AUTOSAR规范中,包含了部分与功能安全相关的需求,这些新技术和概念能够帮助降低功能安全相关组件的复杂度。不过需要强调的是,AUTOSAR虽然通过提供安全措施和机制来支持基于功能安全产品开发,但这些独立的安全措施(Safety Measure)并不能形成整体的安全解决方案。

    在功能安全标准(ISO 26262 2018, Part 6)中,提到了要避免软件相关元素之间干扰(Freedom from Interference between software elements)。软件之间的相互干扰主要集中在软件的执行时间(Timing),软件间的死锁(Dead locks,Live locks),内存使用(Memory),信息交换(Information Exchange)。

    本文主要介绍一下AUTOSAR规范中对于端到端(下称E2E)通信的保护措施。

    1 失效模式

    在一个分布式的系统中,如果系统的功能安全依赖于数据的完整性,那么发送方(Sender)和接收方(Receiver)之间的数据交换就可以对系统的功能安全造成影响。根据ISO 26262 Part 6的附录D,数据交换过程中,可能存在的失效模式有如下几种:

    • 信息的重复发送 (Repetition of Information),相同的信息被收到了多次
    • 信息的丢失 (Loss of Information),整条或者信息的一部分在通信过程中丢失
    • 信息的延迟 (Delay of Information),接收信息的时间易于期望的时间
    • 信息的插入 (Insertion of Information),多余的内容被插入到信息中
    • 假冒的或者不正确的寻址 (Masquerade or Incorrect Addressing of Information),假冒的发送者发送未认证的信息被接收方接受,或者正确的信息被错误的接收方接受
    • 信息顺序错误 (Incorrect Sequence of Information),数据流中的信息顺序错误
    • 信息破损 (Corruption of Information),信息的内容被篡改
    • 向多个接收方发送非对称信息 (Asymmetric information sent from a sender to multiple receivers),接收方者收到的数据不一致
    • 仅部分接收方收到发送者的信息 (Information from a sender received by only a subset of receivers
    • 阻塞通信通道 (Blocking access to communication channel)

    这些失效可能发生的数据交换的场景包括,与I/O外设的通信,基于数据总线的通信等等。产生失效的原因包括系统性失效与随机失效,在软件方面,如生成代码过程中的错误,手动编码引入的错误,网络协议栈的错误等等;硬件方面,如处理器的故障,网络硬件的故障,电磁辐射等等。

    E2E保护的概念是假设安全相关的数据交换,需要在运行时进行保护,以消除通信链路中可能的失效带来的影响。

    2 E2E通信安全机制介绍

    从软件组件(SWC)的角度来看,通过RTE进行的通信就像是俩个不同的端点(End)之间的简单通信。但是这个级别的抽象是基于复杂的机制包括多个软件层次,通信协议栈,驱动和底层硬件。
    E2E通信的要点在于标准化安全机制的保护能力与灵活性。接下来我们讨论下E2E保护如何应用到ECU内部与ECU之间的通信的。
    首先,发送者一方扩展用于封装应用数据的数据结构,增加控制字段,即E2E Header。这些控制字段通常包括校验和(Checksum),计数器(Counter)和其它的一些配置选项。扩展出来的字段也交由RTE进行发送,如下图所示:
     E2E Header
    然后,在接收方验证包括这些控制字段在内的应用数据。如果验证成功,则这些控制数据则被移除,并将应用数据交由软件组件处理。错误处理也由接收方执行。

    2.1 E2E的可选配置(Profiles)

    AUTOSAR指定了一系列的标准化及可配置的E2E配置,每个配置实现了一系列的安全机制,并且指定的对应的E2E控制字段的格式。
    任一E2E配置使用的都是如下的保护机制的一部分:

    • CRC校验和,基于AUTOSAR CRC Library
    • 连续计数器(Sequence Counter),每个数据包,连续计数器都会增加,其值会在接收方进行检查是否正确的增加
    • 心跳计数器(Alive Counter),每个数据包,心跳计数器都会发生改变,接收方会验证数值是否发生变化,但变化的范围不做检查
    • 针对每个通信端口特定的通信ID,全局唯一,即使系统包括多个ECU的情况下
    • 超时检测,检查接收方的通信超时(Communication Timeout)和发送方的确认超时(Acknowledgement Timeout)

    AUTOSAR中指定了3种E2E的配置,Profile1, 2和4,不同的AUTOSAR供应商还会提供其它的Profile。如Profile 1的E2E配置如下:

    MechanismDescriptionFault Model
    CounterA 4Bit Counter is incremented with every Send-Request. This Value is explicitly sent.Repetition, deletion, insertion, incorrect sequence
    TimeoutUsing a non-blocking read, the receiver can determine if the value of the counter has been increased.Deletion, delay
    Data IDEach sender-receiver port has a unique 16-Bit ID, which is used in the CRC calculation.Insertion, addressing faults

    AUTOSAR E2E Profile 1和2由于CRC字段长度的限制(8 bit),所以Profile 4通过增加CRC字段长度,支持到最大4KB长度的消息,如下图所示:
    在这里插入图片描述
    由于引入的长度字段,Profile 4支持的E2E消息保护的长度与Profile 1, 2不同,是可变的。

    2.2 E2E的状态机系统

    E2E数据的接收是周期性进行,接收方在每个周期内,调用对应Profile的检测接口针对接收到的数据进行检测。检测结果验证这个周期内接收到的数据的正确性,并可以提供额外的信息用于说明检测到的失效。
    AUTOSAR目前的E2E中的状态机系统支持配置的设置信息,如丢失的数据包个数,重复的包个数,可修复、不可修复的通信错误及通信的初始化动作。下图给出了状态及迁移的说明:
    在这里插入图片描述

    2.3 集成E2E库文件

    AUTOSAR中的E2E保护以库的形式使用,因此存在多种使用的方式。AUTOSAR标准中,以附录的形式提供了一种E2E Protection Wrapper (E2EPW)的封装。目前,AUTOSAR中的E2E保护,只支持通过RTE基于Sender/Receiver的形式使用,其它种类的接口类型仍在定义中(如,基于Client/Server的接口)。因此,E2EPW接口封装了RTE的Read/Write接口,用于向软件组件提供方便的数据发送与接收接口。E2EPW是单独的软件组件,需要向供应商购买。在E2EPW的方案中,功能安全相关的软件组件额外增加了一个软件层次,用于封装E2E库中的接口及RTE接口,如下图所示:
    在这里插入图片描述
    需要注意的是E2EPW接口并非通用接口,每一个使用E2EPW接口的软件组件,都需要通过工具配置针对本组件一种通信类型的E2EPW接口。同时,为了避免非功能安全软件组件的影响,在同非功能安全组件通信时,最好也使用E2EPW封装的接口。

    2.4 E2E Transformer

    针对使用仅符合QM要求的通信协议栈进行的安全通信,AUTOSAR标准提供了E2E Transformer (E2eXf)的组件用于支持配合实现安全通信。E2eXf负责触发E2E Library,隐藏掉E2E Library的复杂性(如,E2E相关检查和状态机维护)。E2eXf需要和ComXf和SomeIpXf配合使用,在通信协议栈中的位置如下所示:
    在这里插入图片描述

    3 检测和响应

    E2E Library在AUTOSAR中,作为标准的支持库来实现。发送方需要在发送数据之前,通过E2E Library来对数据增加保护;接收方收到数据后,通过E2E Library对收到的数据进行运行时检测。使用E2E Library时,检测到的通信失效通知给接收方。

    4 限制条件

    • 仅使用E2E Library并不能达成系统的功能安全要求,只有证明了基于E2E的安全机制达成的必要的覆盖率才可以(如,硬件的失效率,Bit错误率,网络的结点数量,消息的重复率等等)
    • 基于RTE的软件组件之间的通信比仅仅点对点的通信要复杂,如RTE中的数据转换(Data Conversion)错误,过滤(Filtering),通知信息的丢失(Missing Notification)等等,需要追加额外的机制才能达成安全要求
    • 在ECU内的所有组件上使用E2E保护,可能导致运行时的性能问题。同时,对于Profile 1和2来说,Data ID个数的限制可能导致数据的仿冒
    • E2E通信不支持时间戳(Time Stamp)机制,因此数据的到达时间可能不精确
    展开全文
  • 数据库E-R图制作工具,里面带原版安装包和中文版补丁
  • 无穷积分 ∫e^(-x^2)dx 的几种巧妙解法

    万次阅读 多人点赞 2020-02-05 20:05:47
    广义积分 ∫e^(-x^2)dx 是一个比较常见的无穷积分,在许多领域有着重要应用。在此介绍几种巧妙的解法,供读者欣赏。

       ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x \displaystyle\int_{-\infin}^{\infin}e^{-x^2}dx ex2dx 是一个比较常见的无穷积分,在许多领域有着重要应用。

      在此介绍几种巧妙的解法,供读者欣赏。 为了您更好的阅读体验,请使用电脑浏览。

    1. 极坐标变换

       ( ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ) 2 = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ∫ − ∞ ∞ e − y 2 d y = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d x d y ( 极坐标变换 ) = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e − r 2 r d r d θ = ( ∫ 0 2 π d θ ) ( 1 2 ∫ 0 ∞ e − r 2 d r 2 ) = 2 π 1 2 = π ∴    ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π   . \begin{aligned}\big(\int_{-\infin}^{\infin}e^{-x^2}dx\big)^2&=\int_{-\infin}^{\infin}e^{-x^2}dx\int_{-\infin}^{\infin}e^{-y^2}dy\\&=\int_{-\infin}^{\infin}\int_{-\infin}^{\infin}e^{-(x^2+y^2)}dxdy \quad(\text{极坐标变换})\\&=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infin}e^{-r^2}rdrd\theta\\&=\big(\int_{0}^{2\pi}d\theta\big)\big(\frac{1}{2}\int_{0}^{\infin}e^{-r^2}dr^2\big)\\&=2\pi\frac{1}{2}=\pi\\ \therefore \,\,\int_{-\infin}^{\infin}e^{-x^2}dx&=\sqrt{\pi}\,.\end{aligned} (ex2dx)2ex2dx=ex2dxey2dy=e(x2+y2)dxdy(极坐标变换)=02π0er2rdrdθ=(02πdθ)(210er2dr2)=2π21=π=π .

    2. 几何做法(一)

    S 1 = { ( x , y )   ∣   x 2 + y 2 ≤ R 2 } S 2 = { ( x , y )   ∣   0 ≤ x ≤ R ,   0 ≤ y ≤ R } S 3 = { ( x , y )   ∣   x 2 + y 2 ≤ 2 R 2 }   \begin{aligned}S_1&=\{(x,y)\,|\,x^2+y^2\leq R^2\}\\S_2&=\{(x,y)\,|\,0\leq x \leq R,\,0\leq y \leq R\}\\S_3&=\{(x,y)\,|\,x^2+y^2\leq 2R^2\}\\\,\end{aligned} S1S2S3={(x,y)x2+y2R2}={(x,y)0xR,0yR}={(x,y)x2+y22R2}     ( ∫ 0 R e − x 2 d x ) 2 = ∫ 0 R e − x 2 d x ∫ 0 R e − y 2 d y = ∫ 0 R ∫ 0 R e − ( x 2 + y 2 ) d x d y = ∬ S 2 e − ( x 2 + y 2 ) d x d y \begin{aligned}\big(\int_{0}^{R}e^{-x^2}dx\big)^2&=\int_{0}^{R}e^{-x^2}dx\int_{0}^{R}e^{-y^2}dy\\&=\int_{0}^{R}\int_{0}^{R}e^{-(x^2+y^2)}dxdy\\&=\iint_{S_2}e^{-(x^2+y^2)}dxdy\end{aligned} (0Rex2dx)2=0Rex2dx0Rey2dy=0R0Re(x2+y2)dxdy=S2e(x2+y2)dxdy

       ∵ e − ( x 2 + y 2 ) ≥ 0 ∴ ∬ S 1 e − ( x 2 + y 2 ) d x d y ≤ ∬ S 2 e − ( x 2 + y 2 ) d x d y ≤ ∬ S 3 e − ( x 2 + y 2 ) d x d y \begin{aligned}&\because e^{-(x^2+y^2)}\geq 0 \\ &\therefore \iint_{S_1}e^{-(x^2+y^2)}dxdy\leq\iint_{S_2}e^{-(x^2+y^2)}dxdy\leq\iint_{S_3}e^{-(x^2+y^2)}dxdy\end{aligned} e(x2+y2)0S1e(x2+y2)dxdyS2e(x2+y2)dxdyS3e(x2+y2)dxdy

        ∬ S 1 e − ( x 2 + y 2 ) d x d y = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 R e − r 2 r d r d θ = ( ∫ 0 π / 2 d θ ) ( 1 2 ∫ 0 R e − r 2 d r 2 ) = π 4 ( 1 − e − R 2 ) \begin{aligned}\iint_{S_1}e^{-(x^2+y^2)}dxdy&=\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{R}e^{-r^2}rdrd\theta\\&=\big(\int_{0}^{\pi/2}d\theta\big)\big(\frac{1}{2}\int_{0}^{R}e^{-r^2}dr^2\big)\\&=\frac{\pi}{4}(1-e^{-R^2})\end{aligned} S1e(x2+y2)dxdy=0π/20Rer2rdrdθ=(0π/2dθ)(210Rer2dr2)=4π(1eR2)

    同理   ∬ S 3 e − ( x 2 + y 2 ) d x d y = π 4 ( 1 − e − 2 R 2 )   . 则    π 4 ( 1 − e − R 2 ) ≤ ∬ S 2 e − ( x 2 + y 2 ) d x d y ≤ π 4 ( 1 − e − 2 R 2 )   . 两边取极限   R → ∞ ,则   ( ∫ 0 ∞ e − x 2 d x ) 2 = ∬ R 2 e − ( x 2 + y 2 ) d x d y = π 4 . 所以   ∫ 0 ∞ e − x 2 d x = π 2   . \begin{aligned}\\&\text{同理}\,\iint_{S_3}e^{-(x^2+y^2)}dxdy=\frac{\pi}{4}(1-e^{-2R^2})\,.\\&\text{则}\,\, \frac{\pi}{4}(1-e^{-R^2})\leq\iint_{S_2}e^{-(x^2+y^2)}dxdy\leq\frac{\pi}{4}(1-e^{-2R^2})\,.\\&\text{两边取极限}\,R\to\infin\text{,则}\,\Big(\int_{0}^{\infin}e^{-x^2}dx\Big)^2=\iint_{R^2}e^{-(x^2+y^2)}dxdy=\frac{\pi}{4}.\\&\text{所以}\,\int_{0}^{\infin}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2} \,.\end{aligned} 同理S3e(x2+y2)dxdy=4π(1e2R2).4π(1eR2)S2e(x2+y2)dxdy4π(1e2R2).两边取极限R,则(0ex2dx)2=R2e(x2+y2)dxdy=4π.所以0ex2dx=2π .

    3. 几何做法(二)

    考虑曲线   z = e − x 2   绕   z   轴旋转一周生成的旋转体的体积,由高数知识 \begin{aligned}\text{考虑曲线}\, z=e^{-x^2}\, \text{绕}\, z\, \text{轴旋转一周生成的旋转体的体积,由高数知识}\end{aligned} 考虑曲线z=ex2z轴旋转一周生成的旋转体的体积,由高数知识
    V = ∫ 0 1 π x 2 d z = π ∫ 0 1 ( − ln ⁡ z ) d z = π ( z − z ln ⁡ z )   ∣ 0 1 = π ( 1 − lim ⁡ z → 0 + ( z − z ln ⁡ z ) ) = π \begin{aligned}V&= \int_0^{1}\pi x^2dz\\&=\pi \int_0^{1}(-\ln z)dz\\&=\pi (z-z\ln z)\,\Big|_0^1\\&=\pi (1-\lim_{z\to 0^{+}}(z-z\ln z))\\&=\pi\end{aligned} V=01πx2dz=π01(lnz)dz=π(zzlnz)01=π(1z0+lim(zzlnz))=π

    旋转体在几何上的表示如图所示,旋转生成的曲面方程为   z = e − ( x 2 + y 2 ) . 旋转体的体积也可以理解为曲面   z = e − ( x 2 + y 2 ) 与   x O y   之间部分的体积,即 \begin{aligned}&\text{旋转体在几何上的表示如图所示,旋转生成的曲面方程为} \,z=e^{-(x^2+y^2)}. \\ &\text{旋转体的体积也可以理解为曲面} \,z=e^{-(x^2+y^2)} \text{与}\,xOy\,\text{之间部分的体积,即}\end{aligned} 旋转体在几何上的表示如图所示,旋转生成的曲面方程为z=e(x2+y2).旋转体的体积也可以理解为曲面z=e(x2+y2)xOy之间部分的体积,即
    π = V = ∬ R 2 e − ( x 2 + y 2 ) d x d y = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ∫ − ∞ ∞ e − y 2 d y = ( ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ) 2 \pi=V=\iint_{R^2}e^{-(x^2+y^2)}dxdy=\int_{-\infin}^{\infin}e^{-x^2}dx\int_{-\infin}^{\infin}e^{-y^2}dy=\big(\int_{-\infin}^{\infin}e^{-x^2}dx\big)^2 π=V=R2e(x2+y2)dxdy=ex2dxey2dy=(ex2dx)2 则 ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π . \begin{aligned} \text{则} \int_{-\infin}^{\infin}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}.\end{aligned} ex2dx=π .

    4. 拉普拉斯变换

    令   f ( t ) = ∫ 0 ∞ e − x 2 t d x ,对   f ( t )   作拉普拉斯变换,令 \begin{aligned}&\text{令}\,f(t)=\int_0^{\infin}e^{-x^2t}dx\text{,对}\,f(t)\,\text{作拉普拉斯变换,令}\end{aligned} f(t)=0ex2tdx,对f(t)作拉普拉斯变换,令
       F ( s ) = L [ f ( t ) ] = ∫ 0 ∞ L [ e − x 2 t ] t   d x = ∫ 0 ∞ 1 s + x 2 d x = 1 s ∫ 0 ∞ 1 1 + ( x s ) 2 d ( x s ) ( let    u = x s ) = 1 s arctan ⁡ u   ∣ 0 ∞ = π 2 s − 1 2 \begin{aligned}F(s)=\mathscr{L}[f(t)]&=\int_0^{\infin}\mathscr{L}[e^{-x^2t}]_t\,dx\\&=\int_0^{\infin}\frac{1}{s+x^2}dx\\&=\frac{1}{\sqrt{s}}\int_{0}^{\infin}\frac{1}{1+(\displaystyle \frac{x}{\sqrt{s}})^2}d(\frac{x}{\sqrt{s}}) \quad (\textrm{let}\,\, u=\frac{x}{\sqrt{s}})\\&=\frac{1}{\sqrt{s}}\arctan u\,\Big|_0^{\infin}\\&=\frac{\pi}{2}s^{-\frac{1}{2}}\end{aligned} F(s)=L[f(t)]=0L[ex2t]tdx=0s+x21dx=s 101+(s x)21d(s x)(letu=s x)=s 1arctanu0=2πs21

    对   F ( s )   作拉普拉斯反变换 \text{对}\,F(s)\,\text{作拉普拉斯反变换} F(s)作拉普拉斯反变换

       f ( t ) = L − 1 [ F ( s ) ] = π 2 L − 1 [ 1 s − 1 2 + 1 ] = π 2 1 Γ ( − 1 2 + 1 ) t − 1 2 = π 2 1 Γ ( 1 2 ) t − 1 2 \begin{aligned}f(t)=\mathscr{L}^{-1}[F(s)]&=\frac{\pi}{2}\mathscr{L}^{-1}[\frac{1}{s^{-\frac{1}{2}+1}}]\\&=\frac{\pi}{2}\frac{1}{\Gamma(-\frac{1}{2}+1)}t^{-\frac{1}{2}}\\&=\frac{\pi}{2}\frac{1}{\Gamma(\frac{1}{2})}t^{-\frac{1}{2}}\end{aligned} f(t)=L1[F(s)]=2πL1[s21+11]=2πΓ(21+1)1t21=2πΓ(21)1t21

    由余元公式: Γ ( s ) Γ ( 1 − s ) = π sin ⁡ π s . 令   s = 1 2 ,则    Γ ( 1 2 ) = π , 则   f ( t ) = π 2 t   ,   ∫ 0 ∞ e − x 2 d x = f ( 1 ) = π 2   . \begin{aligned}&\text{由余元公式:}\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin \pi s} .\\ &\text{令}\,s=\frac{1}{2}\text{,则}\,\,\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi},\\&\text{则}\, f(t)=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{t}}\,,\,\int_0^{\infin}e^{-x^2}dx=f(1)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,.\end{aligned} 由余元公式:Γ(s)Γ(1s)=sinπsπ.s=21,则Γ(21)=π f(t)=2t π ,0ex2dx=f(1)=2π .

    5. 变量代换(一)

    令   t = x 2 ,则   d t d x = 2 x = 2 t , d x = d t 2 t   . \begin{aligned}\text{令}\,t=x^2\text{,则}\,\frac{dt}{dx}=2x=2\sqrt{t} ,dx=\frac{dt}{2\sqrt{t}}\,.\end{aligned} t=x2,则dxdt=2x=2t ,dx=2t dt.
    ∫ 0 ∞ e − x 2 d x = ∫ 0 ∞ e − t d t 2 t = 1 2 ∫ 0 ∞ e − t t 1 2 − 1 d t = 1 2   Γ ( 1 2 ) \int_{0}^{\infin}e^{-x^2}dx=\int_{0}^{\infin}e^{-t}\frac{dt}{2\sqrt{t}}=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infin}e^{-t}t^{\frac{1}{2}-1}dt=\frac{1}{2}\,\Gamma(\frac{1}{2}) 0ex2dx=0et2t dt=210ett211dt=21Γ(21)
    由上一种方法    Γ ( 1 2 ) = π ,则 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x = π 2 . \begin{aligned}&\text{由上一种方法}\,\,\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}\text{,则}\int_{0}^{\infin}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.\end{aligned} 由上一种方法Γ(21)=π ,则0ex2dx=2π .

    6. 变量代换(二)

    记   I = ∫ 0 ∞ e − x 2 d x ,令   x = u t ,   u > 0   为参数,则 \begin{aligned}\text{记}\,I=\int_0^{\infin}e^{-x^2}dx\text{,令}\,x=ut,\,u>0\,\text{为参数,则}\end{aligned} I=0ex2dx,令x=ut,u>0为参数,则 I = u ∫ 0 ∞ e − u 2 t 2 d t e − u 2 I = e − u 2 u ∫ 0 ∞ e − u 2 t 2 d t \begin{aligned}I&=u\int_0^{\infin}e^{-u^2t^2}dt\\e^{-u^2}I&=e^{-u^2}u\int_0^{\infin}e^{-u^2t^2}dt\end{aligned} Ieu2I=u0eu2t2dt=eu2u0eu2t2dt 两边对变量   u   积分, I ∫ 0 ∞ e − u 2 d u = ∫ 0 ∞ ( e − u 2 u ∫ 0 ∞ e − u 2 t 2 d t ) d u \begin{aligned}\text{两边对变量}\,u\,\text{积分,} I\int_0^{\infin}e^{-u^2}du&=\int_0^{\infin}\big(e^{-u^2}u\int_0^{\infin}e^{-u^2t^2}dt\big)du\\ \end{aligned} 两边对变量u积分,I0eu2du=0(eu2u0eu2t2dt)du
    右边交换积分次序, \begin{aligned}\text{右边交换积分次序,} \end{aligned} 右边交换积分次序,

    I 2 = 1 2 ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 ∞ e − ( 1 + t 2 ) u 2 d u ) d t = 1 2 ∫ 0 ∞ 1 1 + t 2 d t = 1 2 arctan ⁡ t   ∣ 0 ∞ = π 4 \begin{aligned}I^2&=\frac{1}{2}\int_0^{\infin}\big(\int_0^{\infin}e^{-(1+t^2)u^2}du\big)dt\\&=\frac{1}{2}\int_0^{\infin}\frac{1}{1+t^2}dt \\&=\frac{1}{2}\arctan t\,\Big|_0^{\infin}\\&=\frac{\pi}{4}\end{aligned} I2=210(0e(1+t2)u2du)dt=2101+t21dt=21arctant0=4π

    所以   I = π 2   . \begin{aligned}\text{所以}\,I=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,.\end{aligned} 所以I=2π .

    7. 构造含参变量函数

    记   I = ∫ 0 ∞ e − x 2 d x   .   令   f ( x ) = ∫ 0 1 e − x ( 1 + t 2 ) 1 + t 2 d t ,   x ≥ 0 ,则 \begin{aligned}\text{记}\,I=\int_0^{\infin}e^{-x^2}dx\,. \,\text{令}\,f(x)=\int_0^{1}\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}dt,\,x\geq 0\text{,则}\end{aligned} I=0ex2dx.f(x)=011+t2ex(1+t2)dt,x0,则
        f ( 0 ) = ∫ 0 1 1 1 + t 2 d t = arctan ⁡ t   ∣ 0 1 = π 4 f ( ∞ ) = lim ⁡ x → ∞ ∫ 0 1 e − x ( 1 + t 2 ) 1 + t 2 d t = 0 \begin{aligned} &f(0)=\int_0^{1}\frac{1}{1+t^2}dt=\arctan t\,\Big|_0^1=\frac{\pi}{4} \\ &f(\infin)=\lim_{x\to\infin}\int_0^{1}\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}dt=0\end{aligned} f(0)=011+t21dt=arctant01=4πf()=xlim011+t2ex(1+t2)dt=0

        f ′ ( x ) = − ∫ 0 1 ∂ ∂ x ( e − x ( 1 + t 2 ) 1 + t 2 ) d t = − ∫ 0 1 e − x ( 1 + t 2 ) d t = − e − x ∫ 0 1 e − x t 2 d t ( l e t    u = x t ,   d t = d u / x   ) = − e − x x ∫ 0 x e − u 2 d u \begin{aligned}f'(x)&=-\int_0^1\frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}\Big)dt\\&=-\int_0^{1}e^{-x(1+t^2)}dt \\ &=-e^{-x}\int_0^{1}e^{-xt^2}dt \quad (let\,\,u=\sqrt{x}t,\,dt=du/\sqrt{x}\,) \\&=-\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\int_0^{\sqrt{x}}e^{-u^2}du\end{aligned} f(x)=01x(1+t2ex(1+t2))dt=01ex(1+t2)dt=ex01ext2dt(letu=x t,dt=du/x )=x ex0x eu2du

    记    g ( x ) = ∫ 0 x e − t 2 d t   , 则   f ′ ( x ) = − e − x x g ( x ) ,   g ′ ( x ) = e − x 2 ,   g ( 0 ) = 0 ,   g ( ∞ ) = I . \begin{aligned}&\text{记}\,\,g(x)=\int_0^{x}e^{-t^2}dt\,,\\&\text{则} \, f'(x)=-\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}g(\sqrt{x}),\,g'(x)=e^{-x^2},\,g(0)=0,\,g(\infin)=I.\end{aligned} g(x)=0xet2dt,f(x)=x exg(x ),g(x)=ex2,g(0)=0,g()=I.

    由牛顿-莱布尼兹公式, \begin{aligned}\text{由牛顿-莱布尼兹公式,}\end{aligned} 由牛顿-莱布尼兹公式,

        f ( ∞ ) − f ( 0 ) = ∫ 0 ∞ f ′ ( x ) d x = − ∫ 0 ∞ e − x x g ( x ) d x ( let   u = x ,   d u = d x 2 x ) = − 2 ∫ 0 ∞ e − u 2 g ( u ) d u = − 2 ∫ 0 ∞ g ( u ) g ′ ( u ) d u = − 2 ∫ 0 ∞ g ( u ) d ( g ( u ) ) = − ∫ 0 ∞ d ( g ( u ) 2 ) = g ( 0 ) 2 − g ( ∞ ) 2 \begin{aligned}f(\infin)-f(0)&=\int_0^{\infin}f'(x)dx\\&=-\int_0^{\infin}\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}g(\sqrt{x})dx\quad (\textrm{let} \,u=\sqrt{x},\,du=\frac{dx}{2\sqrt{x}} )\\&=-2\int_0^{\infin}e^{-u^2}g(u)du\\&=-2\int_0^{\infin}g(u)g'(u)du\\&=-2\int_0^{\infin}g(u)d(g(u))\\&=-\int_0^{\infin}d\big(g(u)^2\big)\\&=g(0)^2-g(\infin)^2 \end{aligned} f()f(0)=0f(x)dx=0x exg(x )dx(letu=x ,du=2x dx)=20eu2g(u)du=20g(u)g(u)du=20g(u)d(g(u))=0d(g(u)2)=g(0)2g()2

    所以, 0 − π 4 = 0 − I 2 ,   I = π 2   . \begin{aligned}\text{所以,} 0-\frac{\pi}{4}&=0-I^2,\,I=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,.\end{aligned} 所以,04π=0I2,I=2π .

    8. Wallis 公式

    Wallis 公式内容: \begin{aligned}\text{Wallis 公式内容:}\end{aligned} Wallis 公式内容:
    lim ⁡ n → ∞ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! 2 n = 2 π \lim_{n\to\infin}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\sqrt{2n}=\sqrt{\frac{2}{\pi}} nlim(2n)!!(2n1)!!2n =π2 推导过程参见: \text{推导过程参见:} 推导过程参见:Wallis公式_百度百科

       ∵   lim ⁡ n → ∞ ( 1 + x 2 n ) n x 2 = e ∴   lim ⁡ n → ∞ ( 1 + x 2 n ) − n = e − x 2 \begin{aligned}\because \,\lim_{n\to\infin} \Big(1+\frac{x^2}{n}\Big)^{\frac{n}{x^2}}&=e\\ \therefore \,\lim_{n\to\infin} \Big(1+\frac{x^2}{n}\Big)^{-n}&=e^{-x^2}\end{aligned} nlim(1+nx2)x2nnlim(1+nx2)n=e=ex2

    ∫ 0 ∞ e − x 2 d x = ∫ 0 ∞ lim ⁡ n → ∞ ( 1 + x 2 n ) − n d x = lim ⁡ n → ∞ ∫ 0 ∞ ( 1 + x 2 n ) − n d x \begin{aligned}\int_0^{\infin}e^{-x^2}dx=&\int_0^{\infin}\lim_{n\to\infin} \Big(1+\frac{x^2}{n}\Big)^{-n}dx =\lim_{n\to\infin} \int_0^{\infin}\Big(1+\frac{x^2}{n}\Big)^{-n}dx \end{aligned} 0ex2dx=0nlim(1+nx2)ndx=nlim0(1+nx2)ndx

    ( 可以验证积分与极限次序是可交换的 ) . \begin{aligned}\\&(\text{可以验证积分与极限次序是可交换的}).\end{aligned} (可以验证积分与极限次序是可交换的).

    令   tan ⁡ t = x n ,则   d t d x = 1 n ( 1 + x 2 n ) − 1 ,   d x = n ( 1 + x 2 n ) d t . \begin{aligned}\text{令}\,\tan t=\frac{x}{\sqrt{n}} \text{,则}\,\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\sqrt{n}}(1+\frac{x^2}{n})^{-1},\, dx=\sqrt{n}(1+\frac{x^2}{n})dt.\end{aligned} tant=n x,则dxdt=n 1(1+nx2)1,dx=n (1+nx2)dt.
    原式 = lim ⁡ n → ∞ ∫ 0 π 2 n ( 1 + x 2 n ) − n + 1 d t = lim ⁡ n → ∞ ∫ 0 π 2 n ( 1 + ( tan ⁡ t ) 2 ) − ( n − 1 ) d t = lim ⁡ n → ∞ n ∫ 0 π 2 ( cos ⁡ t ) 2 n − 2 d t ( ∫ 0 π 2 ( cos ⁡ t ) 2 n d t = ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! π 2   ) = lim ⁡ n → ∞ n   ( 2 n − 3 ) ! ! ( 2 n − 2 ) ! ! π 2 = π 2 lim ⁡ n → ∞ ( n − 1 ) + 1   ( 2 ( n − 1 ) − 1 ) ! ! ( 2 ( n − 1 ) ) ! ! ( let    n ′ = n − 1 ) = π 2 lim ⁡ n ′ → ∞ n ′ + 1 2 n ′   ( 2 n ′ − 1 ) ! ! ( 2 n ′ ) ! ! 2 n ′ = π 2 2 lim ⁡ n ′ → ∞ n ′ + 1 n ′ lim ⁡ n ′ → ∞ ( 2 n ′ − 1 ) ! ! ( 2 n ′ ) ! ! 2 n ′ = π 2 2 ⋅ 1 ⋅ 2 π = π 2 \begin{aligned} \text{原式}&=\lim_{n\to\infin} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{n}(1+\frac{x^2}{n})^{-n+1}dt \\&=\lim_{n\to\infin} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{n}(1+(\tan t)^2)^{-(n-1)}dt\\&=\lim_{n\to\infin} \sqrt{n}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos t)^{2n-2}dt \quad \Big( \int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos t)^{2n}dt=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}\,\Big)\\&=\lim_{n\to\infin} \sqrt{n}\,\frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!}\frac{\pi}{2} \\&=\frac{\pi}{2}\lim_{n\to\infin} \sqrt{(n-1)+1}\,\frac{(2(n-1)-1)!!}{(2(n-1))!!} \quad (\textrm{let}\,\,n'=n-1)\\&=\frac{\pi}{2}\lim_{n'\to\infin} \frac{\sqrt{n'+1}}{\sqrt{2n'}}\,\frac{(2n'-1)!!}{(2n')!!}\sqrt{2n'}\\&=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\lim_{n'\to\infin} \frac{\sqrt{n'+1}}{\sqrt{n'}}\lim_{n'\to\infin} \frac{(2n'-1)!!}{(2n')!!}\sqrt{2n'}\\&=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\cdot1\cdot\sqrt{\frac{2}{\pi}}\\&=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\end{aligned} 原式=nlim02πn (1+nx2)n+1dt=nlim02πn (1+(tant)2)(n1)dt=nlimn 02π(cost)2n2dt(02π(cost)2ndt=(2n)!!(2n1)!!2π)=nlimn (2n2)!!(2n3)!!2π=2πnlim(n1)+1 (2(n1))!!(2(n1)1)!!(letn=n1)=2πnlim2n n+1 (2n)!!(2n1)!!2n =22 πnlimn n+1 nlim(2n)!!(2n1)!!2n =22 π1π2 =2π

    所以   ∫ 0 ∞ e − x 2 d x = π 2 . \begin{aligned}\text{所以}\,\int_0^{\infin}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\end{aligned}. 所以0ex2dx=2π .



    若读者还有其他巧妙解法,请不吝赐教! \small \text{若读者还有其他巧妙解法,请不吝赐教!} 若读者还有其他巧妙解法,请不吝赐教!

    文末彩蛋:大家好,这是我的孪生兄弟: \small \textbf{文末彩蛋:大家好,这是我的孪生兄弟:} 文末彩蛋:大家好,这是我的孪生兄弟: 无穷积分   ∫ sin ⁡ x x d x   的几种巧妙解法! \small \textbf{无穷积分}\,\displaystyle \int \frac{\sin x}{x}dx\, \textbf{的几种巧妙解法!} 无穷积分xsinxdx的几种巧妙解法!


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  • 前端E2E测试略解

    万次阅读 2018-07-25 10:23:03
    什么是E2EE2E(End To End)即端对端测试,属于黑盒测试,通过编写测试用例,自动化模拟用户操作,确保组件间通信正常,程序流数据传递如预期。 典型E2E测试框架对比 名称 断言 是否跨浏览器支持 实现 ...

    什么是E2E

    E2E(End To End)即端对端测试,属于黑盒测试,通过编写测试用例,自动化模拟用户操作,确保组件间通信正常,程序流数据传递如预期。

    典型E2E测试框架对比

    名称断言是否跨浏览器支持实现官网是否开源
    nightwatchassert 和 Chai Expectseleniumhttp://nightwatchjs.org/
    cypressChai、Chai-jQuery 等Chromehttps://www.cypress.io/
    testcafe自定义的断言不是基于 selenium 实现https://devexpress.github.io/testcafe/
    katalonTDD/BDD未知https://www.katalon.com/katalon-studio/
    1. nightwatch 需要安装配置 selenium,selenium-server需要安装jdk(Java Development Kit)。
    2. cypress 安装方便,测试写法和单元测试一致,只支持 Chrome 类浏览器,有支持其他浏览器的计划
    3. testcafe 安装方便,测试写法与之前的单元测试差异比较大,编写测试用例时只能选择到可见的元素
    4. katalon 不是测试框架,是 IDE ,比较重,并且不开源,测试用例不是用 js 编写但是可以通过 Chrome 插件录测试用例

    经过测试使用对比,nightwatch 和 cypress 是 vue 推荐的框架,社区活跃度较高,功能较为完备,开源,推荐二选一(nightwatch 需要装 jdk,准备工作多,但 AP I丰富度更高;cypress 有自己的可视化窗体,能记录运行信息,重现 bug 精品)

    nightwatch

    1. 安装

    npm i selenium-server nightwatch chromedriver -D
    

    chromedriver 安装需要翻墙,很坑,如果没梯子去网上搜罗单独的包,然后改配置文件

    2. 配置

    根目录新建nightwatch.conf.js(也可json,推荐js):

    const path = require('path');
    module.exports = {
      // 测试文件入口
      src_folders: ['tests'],
      // 输出报表路径
      output_folder: 'reports',
    
      // selenium配置
      selenium: {
        start_process: true,
        server_path: require('selenium-server').path,
        host: '127.0.0.1',
        // selenium log输出
        log_path: 'reports',
        port: 9090,
        cli_args: {
          'webdriver.chrome.driver': require('chromedriver').path,
          'webdriver.gecko.driver': require('chromedriver').path
        }
      },
    
      test_settings: {
        default: {
          launch_url: 'http://localhost',
          selenium_port: 9090,
          selenium_host: 'localhost',
          silent: true,
          screenshots: {
            enabled: false,
            path: ''
          }
        },
    
        chrome: {
          desiredCapabilities: {
            browserName: 'chrome',
            javascriptEnabled: true,
            acceptSslCerts: true
          }
        }
      }
    };
    

    3.测试用例

    新建 tests 文件夹,在里面新建 test.js,内容如下:

    module.exports = {
      'Demo test Baidu' : function (browser) {
        browser
          .url('www.baidu.com')
          .waitForElementVisible('body', 1000)
          .setValue('input[name=wd]', 'NightWatch')
          .click('#su')
          .pause(1000)
          .assert.containsText('#container', 'NightWatch')
          .end();
      }
    };
    

    4. 运行

    ①推荐在 package.json 中配置

    "scripts": {
        "test": "./node_modules/.bin/nightwatch --env"
      },
    

    就可以直接 npm test,也可以在shell中手动。
    ②根目录新建 entry.js(名字自起)

    require('nightwatch/bin/runner.js');
    

    之后shell中node entry.js

    cypress

    1. 安装

    npm install cypress --save-dev
    

    2. 启动

    ./node_modules/.bin/cypress open
    

    可添加至 npm scripts

    3. 写测试用例

    touch {your_project}/cypress/integration/simple_spec.js
    
    describe('My First Test', function() {
      it("Gets, types and asserts", function() {
        cy.visit('https://example.cypress.io')
    
        cy.contains('type').click()
    
        // Should be on a new URL which includes '/commands/actions'
        cy.url().should('include', '/commands/actions')
    
        // Get an input, type into it and verify that the value has been updated
        cy.get('.action-email')
          .type('fake@email.com')
          .should('have.value', 'fake@email.com')
      })
    })
    
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  • 对自然数e的理解,推导(基础)

    万次阅读 2018-01-08 02:05:00
    对自然数e的理解,推导(基础) 在前面的博文 古典概型事件数计算, 分房,配对,乱序(概统1)一文中,已经写到了对e的理解,在n把钥匙配n把锁的”乱序配对”问题中,当n很大时,n把钥匙与n把锁乱序后配对,无一配对...

    对自然数e的理解,推导(基础)

    在前面的博文 古典概型事件数计算, 分房,配对,乱序(概统1)一文中,已经写到了对e的理解,在n把钥匙配n把锁的”乱序配对”问题中,当n很大时,n把钥匙与n把锁乱序后配对,无一配对成功的概率是 1 e \frac{1}{e} e1 大约是0.37,大约是 1 3 \frac{1}{3} 31的概率,那么至少有一把锁和钥匙能够成功配对的概率是(1- 1 e \frac{1}{e} e1),大约是 2 3 \frac{2}{3} 32的概率。

    因为对e的理解很重要,而且看到很多网文仅仅只是简单说明,这里再来详细说说,用一句话来说,e就是分裂循环极限,或者说分割循环极限。举个例子,银行存款:假设存1万元,假设存一年的利息是100%,假如一年以后取,利息加本金就是2万元。如果每半年取一次,每次的利息就只有50%,一年以后本金加利息=2.25万元,;如果每个季度取一次,每次的利息就只有25%,一年以后本金加利息大约2.4414万元,假设再加快取出速度,每天取,每小时取,那么最大本金加利息最多就是2.71828万元,这就是 e 值, e = ( 1 + 1 n ) n e = (1+\frac{1}{n})^n e=(1+n1)n。这个就叫自然数

    直观来理解,e就是一个将单位时间无限细分,细分无限迭代的极限。比如银行计算利息,时间范围是1年,做无限分割,得到无限个利息增长的小段( 1 n , 或 者 x n \frac{1}{n},或者\frac{x}{n} n1nx),这些小段利息再无限迭代,就是 ( 1 + 1 n ) (1+\frac{1}{n}) (1+n1) 或者 ( 1 + x n ) (1+\frac{x}{n}) (1+nx) n次相乘,得到的结果就是e或者 e x e^x ex

    e的分解:

    e x e^{x} ex = ∑ i = 0 ∞ ( x ) i i ! \sum_{i=0}^{\infty}\frac{(x)^{i}}{i!} i=0i!(x)i
    e x e^{x} ex = 1+x+ ( x ) 2 2 ! + ( x ) 3 3 ! + . . . + ( x ) n 1 n ! \frac{(x)^2}{2!}+\frac{(x)^3}{3!} + ... +(x)^{n}\frac{1}{n!} 2!(x)2+3!(x)3+...+(x)nn!1
    ====
    近似计算(e<4)的情况,e的指数越大,后面的项越大,越需要多项展开):
    e x e^{x} ex = 1+x+$\frac{(x)2}{2}+\frac{(x)3}{6} + \frac{(x)^4}{24} +\frac{(x)^5}{120} $
    ====
    下面是根据e的定义得出的公式
    根据e的定义,e 就是 n次细分再n次乘积,并且 n − &gt; ∞ n-&gt;\infty n> ,可得:
    e e e = ∑ i = 0 ∞ 1 i ! \sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!} i=0i!1 = $\lim_{n->\infty }(1+\frac{1}{n})^{n} $
    e x e^{x} ex = ∑ i = 0 ∞ ( x ) i i ! \sum_{i=0}^{\infty}\frac{(x)^{i}}{i!} i=0i!(x)i= $\lim_{n->\infty }(1+\frac{x}{n})^{n} $
    设n=x*t; 得到 x n \frac{x}{n} nx = 1 t \frac{1}{t} t1
    e x e^{x} ex = $\lim_{n->\infty }(1+\frac{x}{n})^{n} $= $\lim_{ t ->\infty }(1+\frac{1}{t})^{tx} $

    =====
    思考问题1:
    由上面已知,当n趋于正无穷的时候,即 lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) n \lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n limn(1+n1)n = e;
    那么,如果n趋于负无穷呢?即 lim ⁡ n → − ∞ ( 1 + 1 n ) n \lim_{n\to-\infty}(1+\frac{1}{n})^n limn(1+n1)n = e; 成立吗?怎样证明?
    lim ⁡ x → 0 ( 1 + x ) 1 x \lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}} limx0(1+x)x1=e 来证明
    已知: lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = e \lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n = e limn(1+n1)n=e; (1)
    n = 1 x n=\frac{1}{x} n=x1;
    (1)式变成
    lim ⁡ x → 0 ( 1 + x ) 1 x = e \lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = e limx0(1+x)x1=e; (2)
    n → − ∞ n\to-\infty n时,表达式是:
    lim ⁡ n → − ∞ ( 1 + 1 n ) n \lim_{n\to-\infty}(1+\frac{1}{n})^n limn(1+n1)n ; (3)
    y = 1 n y=\frac{1}{n} y=n1;
    已知 n → − ∞ n\to-\infty n,可得 y → 0 y\to0 y0;
    (3)式变成
    lim ⁡ n → − ∞ ( 1 + 1 n ) n \lim_{n\to-\infty}(1+\frac{1}{n})^n limn(1+n1)n
    = lim ⁡ y → 0 ( 1 + y ) 1 y \lim_{y\to0}(1+y)^{\frac{1}{y}} limy0(1+y)y1
    由(2)式,可得
    = lim ⁡ y → 0 ( 1 + y ) 1 y \lim_{y\to0}(1+y)^{\frac{1}{y}} limy0(1+y)y1 =e;(4)
    因此
    lim ⁡ n → − ∞ ( 1 + 1 n ) n \lim_{n\to-\infty}(1+\frac{1}{n})^n limn(1+n1)n = e; (5)
    =====
    可以写成
    lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) n \lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n limn(1+n1)n = e; (6)
    lim ⁡ n → − ∞ ( 1 + 1 n ) n \lim_{n\to-\infty}(1+\frac{1}{n})^n limn(1+n1)n = e; (7)
    ====
    因此,无论 n → ∞ n\to\infty n或者 n → − ∞ n\to-\infty n,都有
    ( 1 + 1 n ) n = e (1+\frac{1}{n})^n = e (1+n1)n=e; (8)


    1 e \frac{1}{e} e1 = e − 1 e^{-1} e1
    e − 1 e^{-1} e1 = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i i ! \sum_{i=0}^{\infty }\frac{(-1)^{i}}{i!} i=0i!(1)i
    e − 1 e^{-1} e1 = 1 2 ! − 1 3 ! + 1 4 ! − 1 5 ! + . . . + ( − 1 ) n 1 n ! \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}-\frac{1}{5!} +... +(-1)^{n}\frac{1}{n!} 2!13!1+4!15!1+...+(1)nn!1


    =====
    思考问题2:
    e x e^{x} ex的泰勒级数展开多项式中,哪一项的值最大?
    答案是:x等于哪个数就是哪项的值最大, 即恰好第x项的值最大。
    比如,对x=1,
    e 1 e^{1} e1 = 1+1+ ( 1 ) 2 2 + ( 1 ) 3 6 + ( 1 ) 4 24 + ( 1 ) 5 120 + . . . \frac{(1)^2}{2}+\frac{(1)^3}{6} + \frac{(1)^4}{24} +\frac{(1)^5}{120}+... 2(1)2+6(1)3+24(1)4+120(1)5+...
    =1+1+ 1 2 + 1 6 + 1 24 + 1 120 + . . . \frac{1}{2}+\frac{1}{6} + \frac{1}{24} +\frac{1}{120}+... 21+61+241+1201+...
    =1+1+0.5+0.167+0.04+0.008+…;
    第一项最大 x=1。
    ===
    对x=2:
    e 2 e^{2} e2 = 1+2+ ( 2 ) 2 2 + ( 2 ) 3 6 + ( 2 ) 4 24 + ( 2 ) 5 120 + . . . \frac{(2)^2}{2}+\frac{(2)^3}{6} + \frac{(2)^4}{24} +\frac{(2)^5}{120}+... 2(2)2+6(2)3+24(2)4+120(2)5+...
    =1+2+ 4 2 + 8 6 + 16 24 + 32 120 + . . . \frac{4}{2}+\frac{8}{6} + \frac{16}{24} +\frac{32}{120}+... 24+68+2416+12032+...
    =1+2+2+1.33+0.67+0.27+…;
    第一项及第二项 都是最大 ( x ) 2 2 = 2 2 2 = 2 \frac{(x)^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2 2(x)2=222=2
    ===
    x=3,
    e 3 e^{3} e3 = 1+3+ ( 3 ) 2 2 + ( 3 ) 3 6 + ( 3 ) 4 24 + ( 3 ) 5 120 + . . . \frac{(3)^2}{2}+\frac{(3)^3}{6} + \frac{(3)^4}{24} +\frac{(3)^5}{120}+... 2(3)2+6(3)3+24(3)4+120(3)5+...
    =1+3+ 9 2 + 27 6 + 81 24 + 243 120 + . . . \frac{9}{2}+\frac{27}{6} + \frac{81}{24} +\frac{243}{120}+... 29+627+2481+120243+...
    =1+3+4.5+4.73+3.3+2.05+…;
    第三项 最大 ( x ) 3 6 = 3 3 6 \frac{(x)^3}{6}=\frac{3^3}{6} 6(x)3=633=4.73;
    ===
    x=4,
    e 4 e^{4} e4 = 1+4+ ( 4 ) 2 2 + ( 4 ) 3 6 + ( 4 ) 4 24 + ( 4 ) 5 120 + . . . \frac{(4)^2}{2}+\frac{(4)^3}{6} + \frac{(4)^4}{24} +\frac{(4)^5}{120}+... 2(4)2+6(4)3+24(4)4+120(4)5+...
    =1+4+ 16 2 + 64 6 + 256 24 + 1024 120 + . . . \frac{16}{2}+\frac{64}{6} + \frac{256}{24} +\frac{1024}{120}+... 216+664+24256+1201024+...
    =1+4+8+10+12+8.5+…;
    第四项 最大 ( x ) 4 24 = 4 4 24 = 256 24 \frac{(x)^4}{24}=\frac{4^4}{24}=\frac{256}{24} 24(x)4=2444=24256=12;
    以此类推…


    e的直观意义:e就是把一个单位范围内的增长细分再相乘的极限。**

    比如银行计息,如果一年的利息是100%,一年计一次息,年底就是 ( 1 + 1 ) 1 (1+1)^1 1+11=2,年底余额等于年初的2倍,如果银行每月计一次息,那么每月利息只有年利息的 1 12 \frac{1}{12} 121,但是每月计息,一年要乘12次,就是$(1+\frac{1}{12})^{12} , 年 底 余 额 大 约 等 于 年 初 的 2.7 倍 。 如 果 一 年 的 利 息 是 x , 每 个 月 计 一 次 息 , 每 月 利 息 只 有 ,年底余额大约等于年初的2.7倍。如果一年的利息是x,每个月计一次息,每月利息只有 2.7x\frac{x}{12} , 一 年 要 计 息 12 次 , 就 是 ,一年要计息12次,就是 12(1+\frac{x}{12})^{12} , 当 计 息 频 率 越 来 越 快 的 时 候 , 每 次 分 割 部 分 越 来 越 小 , 相 乘 次 数 越 来 越 多 , 到 年 底 的 时 候 , 极 限 本 金 加 利 息 就 是 ,当计息频率越来越快的时候,每次分割部分越来越小,相乘次数越来越多,到年底的时候,极限本金加利息就是 e^x$

    再直观一点理解,e就是频率加快的极限。频率加快,分割变细,乘积次数变多,最后乘积的极限数值就是e.

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    e的本质就是将一个单位范围内的增长细分再相乘的极限。分段越来越细,乘积越来越多,细分乘积到最后的极限,就是e, e其实就是一个无限分割带增长的极限。从这个意义上来说,e也有点类似于圆周率$\pi , , \pi 是 将 围 绕 着 中 心 的 直 线 无 限 分 割 , 最 后 得 到 周 长 除 以 直 径 的 比 例 , 可 以 无 限 分 割 , 是 无 理 数 。 e 是 将 一 段 时 间 ( 比 如 银 行 计 算 利 息 , 1 年 的 范 围 ) 无 限 分 割 , 得 到 无 限 个 利 息 增 长 的 小 段 ( 是将围绕着中心的直线无限分割,最后得到周长除以直径的比例,可以无限分割,是无理数。e是将一段时间(比如银行计算利息,1年的范围)无限分割,得到无限个利息增长的小段( 线e1\frac{1}{n},或者\frac{x}{n} ) , 这 些 增 长 小 段 再 无 限 迭 代 , 表 现 为 ),这些增长小段再无限迭代,表现为 )(1+\frac{1}{n})$ 或者 ( 1 + x n ) (1+\frac{x}{n}) (1+nx) 再n次相乘,可以无限分割,最后得到的乘积结果就是e,或者 e x e^x ex


    银行计息图片示例:
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