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  • 配对t检验的适用条件,独立样本T检验、配对T
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    2020-12-23 02:10:59

    提起配对t检验的适用条件,大家都知道,有人问配对样本T检验的假设前提是什么,另外,还有人想问t检验的应用条件是什么,你知道这是怎么回事?其实两独立样本T检验的适用范围是什么,下面就一起来看看独立样本T检验、配对T检验、方差分析的零假设是什么?它们的适用条件有何不同?spss数据文件形式有何,希望能够帮助到大家!

    配对t检验的适用条件

    零假设:

    独立样本T检验:μ0=0;

    两独立样本T检验的适用范围是什么?

    配对T检验:μ1-μ2=0;

    方差分析:所有的μ都相等。

    如考察不同性别 (男、女两个维度)的被试其考试焦虑的差异,那么就要用T检验,如果是考察不同年级(大一、大二、大三、大四;只要大于等于3个水平)的大学生其考试焦虑的差异,那么就需要用方差分析 !数据文件没有什么不同

    成组t检验和配对t检验的区别

    成组t检验随机性更强,而配对t检验的目的性更强,所以效率更高。

    配对t检验,是单样本t检验的特例,主要观察以下几种情形:

    1、配对的两个受试对象分别接受两种不同的处理;

    2、同一受试对象接受两种不同的处理;

    3、同一受试对象处理前后的结果进行比较;

    配对t检验的适用条件:配对样本T检验的假设前提是什么

    4、同一对象的两个部位给予不同的处理。

    成组t检验,也称两独立样本资料的t检验,适用于完全随机设计的两样本均数的比较。将受试对象随机分配成两个处理组,每一组随机接受一种处理。

    注意事项:

    1、选用的检验方法必须符合其适用条件(注意:t检验的前提:1.来自正态分布总体 2.随机样本 3.均数比较时,要求俩总体方差相等,即具有方差齐性) 。理论上,即使样本量很小时,也可以进行t检验。(如样本量为10,一些学者声称甚至更小的样本也行),只要每组中变量呈正态分布,两组方差不会明显不同。

    如上所述,可以通过观察数据的分布或进行正态性检验估计数据的正态假设。方差齐性的假设可进行F检验,或进行更有效的Levene’s检验。如果不满足这些条件,可以采用校正的t检验,或者换用非参数检验代替t检验进行两组间均值的比较。

    2、区分单侧检验和双侧检验。单侧检验的界值小于双侧检验的界值,因此更容易拒绝,犯第Ⅰ错误的可能性大。t检验中的p值是接受两均值存在差异这个假设可能犯错的概率。在统计学上,当两组观察对象总体中的确不存在差别时,这个概率与我们拒绝了该假设有关。一些学者认为如果差异具有特定的方向性,我们只要考虑单侧概率分布,将所得到t-检验的P值分为两半。另一些学者则认为无论何种情况下都要报告标准的双侧t检验概率。

    3、假设检验的结论不能绝对化。当一个统计量的值落在临界域内,这个统计量是统计上显著的,这时拒绝虚拟假设。当一个统计量的值落在接受域中,这个检验是统计上不显著的,这是不拒绝虚拟假设H0。因为,其不显著结果的原因有可能是样本数量不够拒绝H0 ,有可能犯第Ⅰ类错误。

    4、正确理解P值与差别有无统计学意义。P越小,不是说明实际差别越大,而是说越有理由拒绝H0 ,越有理由说明两者有差异,差别有无统计学意义和有无专业上的实际意义并不完全相同。

    5、假设检验和可信区间的关系结论具有一致性差异:提供的信息不同区间估计给出总体均值可能取值范围,但不给出确切的概率值,假设检验可以给出H0成立与否的概率。

    6、涉及多组间比较时,慎用t检验。

    科研实践中,经常需要进行两组以上比较,或含有多个自变量并控制各个自变量单独效应后的各组间的比较,(如性别、药物类型与剂量),此时,需要用方差分析进行数据分析,方差分析被认为是T检验的推广。在较为复杂的设计时,方差分析具有许多t-检验所不具备的优点。(进行多次的T检验进行比较设计中不同格子均值时)。

    以上就是与独立样本T检验、配对T检验、方差分析的零假设是什么?它们的适用条件有何不同?spss数据文件形式有何相关内容,是关于配对样本T检验的假设前提是什么的分享。看完配对t检验的适用条件后,希望这对大家有所帮助!

    发布者:姓名配对,原创文章禁止转载 出处:http://www.allyfurn.com/pdxzx/62890.html

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    0 更新日志

    • 2022-3-15 增加 “关闭T265回环检测”
    • 2022-3-15 增加 T265轨迹保存
    • 2021-10-28 增加T265坐标系描述

    1 T265参数

    1.1 硬件参数

    1、T265采用了Movidius Myriad 2视觉处理单元(VPU),V-SLAM算法都直接在VPU上运行 可直接输出6DOF相机位姿

    2、T265使用了双目鱼眼相机 分辨率848X800分辨率 30HZ 单色图像 视场角 163° Fov(±5°)

    3、IMU型号为 BMI-055

    4、相机与IMU的参数都保存在了传感器中,可通过示例demo直接读取出相机的内参和相机与IMU之间的外参
    5、相机外形尺寸 108 x 24.5 x 12.5 mm
    在这里插入图片描述

    1.2 坐标系描述

    265放置方式: 将摄像头镜头面对准正前方,即摄像头坐标系Z轴指向正前方、Y轴指向地面、X轴指向右。

    T265输出的里程计(话题:/camera/odom/sample)的坐标系与官方提供的图片坐标系有不同。实际测量到的坐标系为,正前方为X_odom轴正方向、左边为Y_odom轴正方向、天向为Z_odom轴正方向。

    IMU输出值的坐标系为官方图片中的坐标系。

    2 T265 数据读取

    2.1 环境安装

    安装方法有两种,一种是源码安装,另一种是使用命令安装2进制包进行安装,第二种方法较为简单。

    step 1: 注册服务器公钥

    sudo apt-key adv --keyserver keys.gnupg.net --recv-key F6E65AC044F831AC80A06380C8B3A55A6F3EFCDE || sudo apt-key adv --keyserver hkp://keyserver.ubuntu.com:80 --recv-key F6E65AC044F831AC80A06380C8B3A55A6F3EFCDE
    

    step 2: 添加镜像源

    Ubuntu 1604 使用如下命令

    sudo add-apt-repository "deb http://realsense-hw-public.s3.amazonaws.com/Debian/apt-repo xenial main" -u
    

    Ubuntu 1804 使用如下命令

    sudo add-apt-repository "deb https://librealsense.intel.com/Debian/apt-repo $(lsb_release -cs) main" -u
    

    如果上述如果上述命令不能使用,再替换为

    sudo add-apt-repository "deb http://realsense-hw-public.s3.amazonaws.com/Debian/apt-repo bionic main" -u
    

    step 3: 安装环境

    sudo apt-get update
    sudo apt-get install librealsense2-dkms librealsense2-utils librealsense2-dev librealsense2-dbg
    

    step 4: 插上T265 在终端里面运行 realsense-viewer 测试

    realsense-viewer
    

    成功运行以后可以得到如下的界面效果
    在这里插入图片描述

    下面是一个晃动T265的视频,一旦运动速度过快的话,输出的位姿就会飞掉。
    在这里插入图片描述

    2.2 读取T265内外参数信息

    T265在出厂前就对相机进行了标定,每个相机内部都带有相机的内参和外参。在终端中输入以下命令,即可读取到T265的配置信息

    rs-enumerate-devices
    

    在这里插入图片描述
    如果需要读取到相机内参和外参[4] ,以及IMU的参数则可以使用如下命令(添加-c参数)

    rs-enumerate-devices -c
    

    在这里插入图片描述

    2.3 使用ROS包读取T265数据

    使用环境ROS Kinetic 版本

    step1 安装依赖项:

    sudo apt-get install ros-kinetic-ddynamic-reconfigure
    

    step2 下载安装ROS包 realsense-ros

    cd ~/catkin_ws/src/
    git clone https://github.com/IntelRealSense/realsense-ros.git
    cd realsense-ros/
    git checkout `git tag | sort -V | grep -P "^2.\d+\.\d+" | tail -1`
    cd ..
    catkin_make -DCATKIN_ENABLE_TESTING=False -DCMAKE_BUILD_TYPE=Release
    

    step3 启动测试demo,即可看到T265的位姿数据

    roslaunch realsense2_camera demo_t265.launch
    

    在这里插入图片描述

    如果需要查看图像数据,则需要对rs_t265.launch lanunch文件中使能图像输出
    在这里插入图片描述
    step4 重新启动测试demo即可查看到图像数据

    roslaunch realsense2_camera demo_t265.launch
    

    在这里插入图片描述图像数据发布的Topic 图像数据30Hz

    • /camera/fisheye1/camera_info
    • /camera/fisheye1/image_raw
    • /camera/fisheye2/camera_info
    • /camera/fisheye2/image_raw

    IMU 数据发布的Topic, 陀螺仪数据200Hz 加速度数据为 63Hz

    • /camera/accel/sample
    • /camera/gyro/sample

    里程计发布的Topic 200Hz

    • /camera/odom/sample

    如果需要将加速度和陀螺仪的数据整合到一个topic发布的话,则需设置如下参数:
    在这里插入图片描述
    此时IMU的发布频率为200Hz

    2.4 使用Opencv库读取T265图像

    数据
    主函数内容:

     #include<iostream>
    #include<string>
    
    #include <librealsense2/rs.hpp>
    
    #include <opencv2/opencv.hpp>
    #include<opencv2/core/core.hpp>
    #include<opencv2/highgui/highgui.hpp>
    
    using namespace std;
    using namespace cv;
    
    int main(int argc,char** argv)
    {
        rs2::config cfg;
    
        // 使能 左右目图像数据
        cfg.enable_stream(RS2_STREAM_FISHEYE,1, RS2_FORMAT_Y8);
        cfg.enable_stream(RS2_STREAM_FISHEYE,2, RS2_FORMAT_Y8);
    
        // 使能 传感器的POSE和6DOF IMU数据
        cfg.enable_stream(RS2_STREAM_POSE, RS2_FORMAT_6DOF);
    
        rs2::pipeline pipe;
        pipe.start(cfg);
    
        rs2::frameset data;
    
        while (1)
       {
        data = pipe.wait_for_frames();
    	// Get a frame from the pose stream
    	auto f = data.first_or_default(RS2_STREAM_POSE);
    	auto pose = f.as<rs2::pose_frame>().get_pose_data();
    	
    	cout<<"px: "<<pose.translation.x<<"   py: "<<pose.translation.y<<"   pz: "<<pose.translation.z<<
    	"vx: "<<pose.velocity.x<<"   vy: "<<pose.velocity.y<<"   vz: "<<pose.velocity.z<<endl;
    	cout<<"ax: "<<pose.acceleration.x<<"   ay: "<<pose.acceleration.y<<"   az: "<<pose.acceleration.z<<
    	"gx: "<<pose.angular_velocity.x<<"   gy: "<<pose.angular_velocity.y<<"   gz: "<<pose.angular_velocity.z<<endl;
    
         rs2::frame image_left = data.get_fisheye_frame(1);
          rs2::frame image_right = data.get_fisheye_frame(2);
    
          if (!image_left || !image_right)
              break;
    
          cv::Mat cv_image_left(cv::Size(848, 800), CV_8U, (void*)image_left.get_data(), cv::Mat::AUTO_STEP);
          cv::Mat cv_image_right(cv::Size(848, 800), CV_8U, (void*)image_right.get_data(), cv::Mat::AUTO_STEP);
    
          cv::imshow("left", cv_image_left);
          cv::imshow("right", cv_image_right);
          cv::waitKey(1);
        }
    
        return 0;
    }
    

    即可读取到T265的图像数据和位姿数据

    在这里插入图片描述

    3 T265附加功能开发

    3.1 保存T265的轨迹到txt文件

    在测试算法的过程中需要对比T265算法输出轨迹,因此涉及到将T265发布的里程计数据保存在txt文本中。 程序思路是接收 T265发布的 “/camera/odom/sample” 话题,然后将Topic上的里程计数据按照 EVO评估脚本的顺序写入到txt文件保存。这个功能代码包可以从这个github地址[7]下载。

    3.2 关闭T265回环检测功能

    在使用T265作为视觉里程计时,当T265运动一圈以后回到起点或到过此前走过的场景时,轨迹可能会出现跳变的情况,这种跳变对控制和导航都存在较大的影响。

    T265可以通过在launch文件中加入一个参数对回环检测的功能进行关闭(github上答案[6]

     <rosparam>
          /camera/tracking_module/enable_relocalization: false
      </rosparam>
    

    这里使用的代码参考了博客[2]和[3]中的内容。 T265在VINS_Fusion上运行的方法可参考博客[5]。

    参考资料

    [1] https://www.intelrealsense.com/get-started-tracking-camera/
    [2] https://blog.csdn.net/u011341856/article/details/106430940?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-1.add_param_isCf&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-1.add_param_isCf
    [3] https://github.com/IntelRealSense/librealsense/tree/master/examples/pose
    [4] https://github.com/IntelRealSense/librealsense/tree/master/tools/enumerate-devices
    [5] https://blog.csdn.net/weixin_44631150/article/details/104495156?utm_medium=distribute.wap_aggpage_search_result.none-task-blog-2allsobaiduend~default-2-104495156.nonecase&utm_term=t265%E8%BE%93%E5%87%BAimu
    [6] https://github.com/IntelRealSense/realsense-ros/issues/779
    [7] 保存T265轨迹 https://github.com/RuPingCen/transform_t265

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  • t分布与t检验详解

    万次阅读 多人点赞 2019-01-25 16:39:10
    最近又遇到了t分布及t检验方面的内容,发现有些地方自己当初没有很明白,就又查了些资料,加深了一下自己的理解,这里也将自己的一些理解记录下来。 1. 理论基础——大数定理与中心极限定理  在正式介绍t分布前,...

            最近又遇到了t分布及t检验方面的内容,发现有些地方自己当初没有很明白,就又查了些资料,加深了一下自己的理解,这里也将自己的一些理解记录下来。

    1. 理论基础——大数定理与中心极限定理

           在正式介绍t分布前,还是再强调一下数理统计学中的两大基石般的定理:大数定理与中心极限定理,后面会用到。这里我就不以数学公式的方式来说明了,直接说一下两个定理所表达的意思。

    • 大数定理。不管是强大数定理还是弱大数定理,都表达着这样一个意思:当样本数量足够大时,这些样本的均值无限接近总体的期望。  
    • 中心极限定理。不管样本总体服从什么分布,当样本数量足够大时,样本的均值以正态分布的形式围绕总体均值波动。中心极限定理的表达方式可以有多种,我这里只是其中一种。

    2. t 统计量

           t 统计量是英国化学家、数学家、统计学家 William Sealy Gosset提出的,当年他在爱尔兰的吉尼斯酒厂(这个酒厂还有个很牛的事儿,它的老板编著了现今著名的《吉尼斯世界纪录》)工作时,酒厂禁止其将研究成果公开发表,以免泄露秘密,迫不得已William Sealy Gosset以笔名“The Student”发表研究成果,t统计量及t分布的命名就是源于改笔名。

          大麦是酿造啤酒的主要原料,因此酒厂就希望大麦产量越高越好,于是就不断改进大麦种植工艺,此时就需要做试验来比较不同工艺下大麦的产量,但是实际条件不允许(或者为了减轻工作负担)大面积种植麦子来比较工艺的优劣,因此试验田种植是比较合适的方式。比如现在有两片试验田(如下图所示),左边的是采用工艺A种植的麦子,右边的是采用工艺B种植的麦子,两边各种100株麦子。下面我要开始编故事啦。。。

                                                          

           现在发现左边麦田中平均每株麦穗上有100粒麦子,右边麦田中平均每株麦穗上有120粒麦子,这说明啥?说明采用工艺B能得到更高的麦子产量对不?咱们外行可能会这么看,但是人家专业的可不轻易这么认为。这是采用小面积的试验田种出的麦子,一个是量少,不足以说明问题(想想咱们的大数定理),另一个是无法保证除工艺区别外其它因素都一样。因此,William Sealy Gosset就想,这20粒麦子的差值能不能说明工艺的优劣问题呢?

           William Sealy Gosset知道,每株麦穗上的平均麦子数是有波动的,可能这一次种的麦子平均值是100,下一次就不一定了,可能就是105,也可能是95。那可以这样考虑啊,这20的差值是不是在工艺A下麦子平均产量的正常波动范围内?样本均值的波动可以用样本均值的标准差表示,注意:这里说的是样本均值的标准差,而不是样本的标准差,基于这种想法可以构造这样一个统计量

                                                                                                 \frac{\bar{u}_{A}-\bar{u}_{B}}{S_{\bar{u}_{A}}}

           来评估工艺的优劣,其中\bar{u}_{A}是工艺A下每株麦穗上结的麦子数,\bar{u}_{B}是工艺B下每株麦穗上结的麦子数,s_{\bar{u}_{A}}是工艺A下每株麦穗上结的麦子数平均值的标准差。好了,到了这里故事也编得差不多了,t 统计量的由来也差不多就这样了,下面咱们严谨的定义一下 t 统计量,分两种情况,一种是单总体情况,另一种是双总体情况。

    • 单总体情况。这种情况下 t 统计量的定义为

                                                                                            t=\frac{\bar{X}-u_{0}}{\sigma /\sqrt{N}}

           式中\bar{X}为样本的均值,u_{0}为总体的均值,\sigma为总体标准差,N为样本个数,由于总体标准差无法得知,因此一般用样本标准差S来估计总体标准差。从数学上可以证明,若样本个数为N,样本均值的标准差(样本均值的波动)等于总体的标准差(总体波动)除以样本个数N,我们可以通过大数定理来简单理解一下,当样本个数增大时,样本均值的波动也应该是越小的。总体的标准差是无法获知的,一般用样本标准差来估计。这里着重强调一个概念——标准误,标准误即样本均值的标准差,它对于理解假设检验很重要。

    • 双总体的情况。这种情况下t 统计量的定义为

                                                                                        t=\frac{\bar{X_{1}}-\bar{X_{2}}}{S_{ \bar{X_{1}}-\bar{X_{2}} } }

           式中\bar{X_{1}}为样本1的均值,\bar{X_{2}}为样本2的均值,S_{ \bar{X_{1}}-\bar{X_{2}} }为样本1与样本2均值差值的标准误。这里我不再说明S_{ \bar{X_{1}}-\bar{X_{2}} }是怎么计算的了,一个原因是比较复杂,需要分几种情况讨论,另一个更主要的原因是S_{ \bar{X_{1}}-\bar{X_{2}} }如何计算不重要,计算机内置函数会帮我们计算的,重要的是理解 t 统计量是如何提出的以及表示什么意思。

    3. t 分布与正态分布

            t 统计量的分布就是 t 分布了,下面我们以单总体时的 t 统计量为例,说明一下 t 分布与正态分布的关系。我们已经知道了样本的均值为\bar{X},也知道\bar{X}的标准差为S/\sqrt{N},那么依据中心极限定理,样本均值\bar{X}服从均值为u_{0},方差为S^{2}/N的正态分布,也许你已经发现了,没错,当样本数量足够大时,t 分布无限接近标准的正态分布N(0,1)

            在第一节中也强调了,不管是大数定理还是中心极限定理,都是在样本数量足够大时管用的。在样本数量不是足够大时,尽管t 分布的概率密度曲线和正态分布N(0,1)分布曲线相近,但是还是有所区别,用样本标准差估计总体标准差是一个原因。

                                                    

          f(t)是t分布的概率密度曲线,这里我不写出f(t)的具体公式了,有兴趣的同学可以自行研究,伟大的统计学家们已经研究透测f(t)了,并且制作了t分布的概率表。从 t 统计量的定义式看就知道,样本个数的影响非常关键,因此 t 分布中有一个重要的概念——自由度,其值为N-1。为什么是N-1呢?我拿样本方差的计算过程来说明吧,样本方差为

                                                                                 S^{2}=\sum_{i=1}^{N}(X_{i}-\bar{X})^{2}

    N个样本均值确定时,如果知道了其中的任意N-1个样本的值,那么剩下的一个样本的值自然就确定了,这就是为什么自由度为N-1。这里还是在贴一次t分布的概率表吧。

                                        

    4. t 检验

           现在我们再回到一开始的“比较麦子种植工艺A和B的优劣比较”问题,   William Sealy Gosset提出的问题是:这20的差值是否在工艺A下麦子平均产量的正常波动范围内?这实际上是一个双样本的 t 检验问题,不过可以将其转化为单样本的 t 检验问题,认为工艺B下麦子的均值也为100,即然后看一下这20的差值是否是显著的。现在我们提出如下假设

                                                                         H_{0}:  工艺B与工艺A下大麦产量一致

           上面的例子中没有给出工艺B下麦子产量的标准差,我这里先假设一个,为5\sqrt{5},那么可以按照单样本的 t 统计量定义式计算此时的统计量值

                                                                               \frac{120-100}{5\sqrt{5}/\sqrt{100}}=17.889

           选定\alpha= 95%的置信水平,自由度为99(样本个数为100),查 t 概率分布表得到1.660(自由度99与自由度100接近,我这里就按100算了),这远小于17.889,因此我们有理由拒绝接受原假设,从而认为工艺B提升了麦子的产量。

    5. 小结

           对于 t 检验,我还想再说两句,不管是独立样本还是相依样本的 t 检验,目的都是为了判断两类样本在某一变量上的均值差异是否显著,这也是构造 t 检验的作用。

     

     

     

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  • 如何理解t检验、t分布、t值?

    万次阅读 2019-08-07 00:03:00
    t检验、t分布、t值其实都是同一个数学概念中的不同部分。1 t检验的历史阿瑟·健力士公司(Arthur Guinness Son Co.)是一家由阿瑟·健力士(Arthu...

    t检验、t分布、t值其实都是同一个数学概念中的不同部分。


    1 t检验的历史

    阿瑟·健力士公司(Arthur Guinness Son Co.)是一家由阿瑟·健力士(Arthur Guinness)于1759年在爱尔兰都柏林建立的一家酿酒公司:


    640?wx_fmt=jpeg


    不过它最出名的却不是啤酒,而是《吉尼斯世界纪录大全》:


    640?wx_fmt=png


    1951年11月10日,健力士酒厂的董事休·比佛爵士(Sir Hugh Beaver)在爱尔兰韦克斯福德郡打猎时,因为没打中金鸻,于是和同行们争论哪种鸟飞得最快,彼此争论不休。由于当时的参考资料并不足以回答这个问题,这促使比弗想出版一本记载世界之最的书,这就是后来的《吉尼斯世界纪录大全》。


    还有一个让健力士公司在历史留名的,就是他的员工威廉·希利·戈斯特(1876-1937):


    640?wx_fmt=jpeg


    在健力士公司,戈斯特提出了t检验以降低啤酒质量监控的成本,但健力士酒厂为了保护公司的商业机密和智慧财产,明文禁止员工发表文章。


    戈斯特并没有因为这项规定而放弃他的学术研究发表,他在《生物统计期刊》以“学生”(The Student)为笔名,发表了关于t检验的文章,所以t检验又称为“学生t检验”。


    直到1937年,戈斯特因心脏病去世之前,健力士酒厂一直不知道戈斯特从事统计研究工作,并以“学生”笔名发表研究成果。许多统计研究者要和戈斯特见面,都必须像间谍电影般地秘密安排见面地点和时间。


    现在位于都柏林的健力士专卖店中有一个戈斯特的纪念碑,上面写著“化学家、统计学家威廉·希利·戈斯特,首席酿酒师,学生t检验”:


    640?wx_fmt=png


    2 t检验的思路

    啤酒,主要原料是大麦,啤酒厂肯定是希望尽力提高亩产。


    比如,健力士公司有下面两块麦田:


    640?wx_fmt=jpeg


    左边的麦田采用传统A工艺进行种植,平均每株大麦可以结100粒穗子。


    而右边的麦田采用改进过的B工艺种植,健力士公司想知道“B工艺是否提高了产量”。


    为了节约成本、减小损耗,抠门的健力士公司从B工艺的麦田中采样了5株大麦,样本均值为120粒穗子。然后把难题抛给了戈斯特。


    似乎直观看来产量提高了,毕竟均值增加了 640?wx_fmt=png ,可是戈斯特想得更多一些。


    2.1 戈斯特的分析


    戈斯特提出一个假设检验(关于假设检验可以参看这篇文章):

    • 假设:B工艺没有提高产量,即AB下的麦穗都是同一个分布

    • 检验:看看在此假设下, 640?wx_fmt=png 发生的概率高不高


    已知的数据是,A工艺下的单株麦穗的个数服从 640?wx_fmt=png ,标准差 640?wx_fmt=png 未知的正态分布:


    640?wx_fmt=png


    而B工艺下的麦田的样本均值 640?wx_fmt=png ,采样了5株。


    不同的标准差对应的正态分布图像不同:


    640?wx_fmt=png


    图像的跨度由标准差 640?wx_fmt=png 决定:


    640?wx_fmt=png


    640?wx_fmt=png 如果服从以下正态分布:


    640?wx_fmt=png


    640?wx_fmt=png ,跨度不大,采样五个点使其 640?wx_fmt=png 的图像如下:


    640?wx_fmt=png


    可见, 640?wx_fmt=png 的概率非常低,即AB下的麦穗是同一个分布的可能性不大,我们有很大把握可以认为B工艺真正提高了产量。


    而如果 640?wx_fmt=png 服从的是跨度更大的正态分布,采样五个点使其 640?wx_fmt=png 的图像如下(为了演示,正态分布的参数选的不是很严谨):


    640?wx_fmt=png


    这样的正态分布下, 640?wx_fmt=png 的概率并不低,即AB下的麦穗还是可能为同一个分布的,我们没十足的把握认为B工艺提高了产量。


    因此,看起来不能单纯依靠 640?wx_fmt=png ,或许除以样本标准差 640?wx_fmt=png 可以消除跨度的影响:


    640?wx_fmt=png


    因为A工艺的 640?wx_fmt=png 我们不清楚,但是我们假设AB同分布,所以直接使用了样本标准差 640?wx_fmt=png


    当然,样本数 640?wx_fmt=png 也会影响结果。比如说,在 640?wx_fmt=png 下,得到 640?wx_fmt=png ,那么根据大数定理,我们不用算了,基本上可以认为“B工艺提高了产量”。


    所以,戈斯特认为应该综合考虑样本均值 640?wx_fmt=png 、样本方差 640?wx_fmt=png 和样本数 640?wx_fmt=png ,给出了一个统计量t值:


    640?wx_fmt=png


    该统计量越大说明AB工艺导致的差别越大,越有可能说明“B工艺提高了产量”。


    3 t分布

    对于t值:


    640?wx_fmt=png


    对应的概率密度函数,也就是t分布为:


    640?wx_fmt=png


    其中 640?wx_fmt=png ,也叫做自由度。而 640?wx_fmt=png 为伽马函数。


    640?wx_fmt=png 接近于正态分布 640?wx_fmt=png (灰色的虚线就是 640?wx_fmt=png ),下面是 640?wx_fmt=png 的t分布:


    640?wx_fmt=png


    而t值,实际上对应的就是横坐标的值,比如说t值等于4:


    640?wx_fmt=png


    t=4之后的曲线下面积其实就是P值(关于P值可以参看这篇文章):


    640?wx_fmt=png


    所以,我们知道t值之后,就可以根据 640?wx_fmt=png 以及要求的P值,查出当前的t值是否会拒绝我们的假设。


    举个例子,比如本文中的AB工艺下的数据为:


    640?wx_fmt=png


    计算出来:


    640?wx_fmt=png


    服从 640?wx_fmt=png 的t分布:


    640?wx_fmt=png


    如果我们要求 640?wx_fmt=png 的显著水平的话,那么就可以拒绝“B工艺没有提高产量”这个假设了。


    公众号:AI蜗牛车

    保持谦逊、保持自律、保持进步


    640?wx_fmt=jpeg

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