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    这段时间一直在学习机器学习相关知识,现利用MATLAB来编写一个RBF神经网络的应用。

    其中测试数据如下

    链接: https://pan.baidu.com/s/1Y7VcK6oWpHByKIYGCBJ5fw 密码: yma4


    测试结果如图


    测试代码如下:

    clc
    clear all %清空无用变量
    load spectra_data.mat %加载数据
    A=NIR';%对原来数据进行转置,使其符合神经网络输入
    B=octane';%同上
    temp=randperm(size(A,2));%获取样本总数随机排列序列
    P_train = A(:,temp(1:50));%截取学习数据
     T_train = B(:,temp(1:50));%截取学习结果
     P_test =A(:,temp(51:end));%截取测试数据
    T_test =B(:,temp(51:end));%截取测试结果
    N=size(T_test,2);%测试集的个数
    net=newrbe(P_train,T_train,30);%创建神经网络
    T_sim=sim(net,P_test);%训练网络
    error = abs(T_sim-T_test)./T_test;%错误值
    R2 = (N * sum(T_sim .* T_test) - sum(T_sim) * sum(T_test))^2 / ((N * sum((T_sim).^2) - (sum(T_sim))^2) * (N * sum((T_test).^2) - (sum(T_test))^2));
    figure%画图
    plot(1:N,T_test,'b:*',1:N,T_sim,'r-o')
    legend('真实值','预测值')
    xlabel('预测样本')
    ylabel('辛烷值')
    string = {'测试集辛烷值含量预测结果对比';['R^2=' num2str(R2)]};
    title(string)

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  • RBF神经网络典型案例分析 【例6-1】考虑具有3输入2输出的一组数据,如表6-1所示。 >> clear all; xite=0.10;alfa=0.05; W=rands(5,2); W_1=W;W_2=W_1; h=[0,0,0,0,0]'; c=2*[-0.5 -0.25 0 0.25 0.5;-0.5 -0.25...

    RBF神经网络典型案例分析

    【例6-1】考虑具有3输入2输出的一组数据,如表6-1所示。

    >> clear all;
    xite=0.10;alfa=0.05;
    W=rands(5,2);
    W_1=W;W_2=W_1;
    h=[0,0,0,0,0]';
    c=2*[-0.5 -0.25 0 0.25 0.5;-0.5 -0.25 0 0.25 0.5;-0.5 -0.25 0 0.25 0.5]; 
    b=10; 
    xs=[1,0,0];				%样本输入
    ys=[1,0];  				%样本输出
    OUT=2;NS=1;
    k=0;E=1.0;
    while E>=1e-20
    k=k+1;   
    times(k)=k;
    for s=1:1:NS   				%多输入多输出样本 
    x=xs(s,:);
    

    RBF神经网络的学习算法

    在这里插入图片描述

    RBF神经网络的函数

    newrb函数设计的RBF神经网络net可以用于函数逼近。径向基函数的扩展速度的值需要根据具体问题灵活选择。对于变化较快的函数,如果spread的值取得过大就会使逼近结果过于粗糙;对于变化较慢的函数,如果spread的值取得过小就会使逼近结果不够光滑,网络的性能就会受到影响。
    【例6-3】利用newrb函数创建一个近似RBF神经网络。
    程序实现代码如下:

    >> clear all;
     P = [1 2 3];
    T = [2.0 4.1 5.9];
    net = newrb(P,T);
    P = 1.5;
    Y = sim(net,P)
    

    2)newrbe函数
    newrbe函数用于设计一个准确的RBF神经网络,函数的调用格式如下:
    net = newrbe(P,T,spread)
    其中,输入参数P为输入向量;T为输出向量;spread为径向基函数的分布密度,spread的值越大,函数越平滑,默认值为1.0。
    一般来讲,newrbe函数和newrb函数一样,神经元数目越大,函数的拟合效果就越平滑。但是,过多的神经元可能会导致计算困难。
    【例6-4】利用newrbe函数创建一个RBF神经网络,注意与【例6-3】的区别。
    程序实现代码如下:

    >> clear all;
    P = [1 2 3];
    T = [2.0 4.1 5.9];
    net = newrbe(P,T);
    P = 1.5;
    

    newpnn函数创建的是一个两层的神经网络:第一层是径向基神经元,用dist函数计算加权输入,用netprod函数计算网络输入;第二层是竞争神经元,用dotprod函数计算加权输入,用netsum函数计算网络输入。其中,只有第一层包含阈值。网络将第一层的值设置为P,第一层的阈值设置为0.8326/spread,并且当加权输入为±spread时,径向基函数取值恰好为0.5,第二层的权值被设置为T。
    【例6-5】利用newpnn函数创建一个概率神经网络。
    程序实现代码如下:

    >> clear all;
    P = [1 2 3 4 5 6 7];
    Tc = [1 2 3 2 2 3 1];
    T = ind2vec(Tc)  	                  %将数据索引转换为向量组
    net = newpnn(P,T);
    Y = sim(net,P)
    Yc = vec2ind(Y)   	%将向量组转换为数据索引
    

    newgrnn函数用于创建一个广义回归神经网络。广义回归神经网络是RBF神经网络的一种,通常用于函数逼近(请参考6.8节)。newgrnn函数的调用格式如下:
    net = newgrnn(P,T,spread)
    其中,输入参数P为输入向量;T为输出向量;spread为径向基函数的分布密度,spread的值对网络的逼近精度有很大的影响,需要不断地调整spread的值。spread的值越小,函数的比较越精确,但是逼近过程就越粗糙;spread的值越大,逼近过程越平滑,但是逼近的误差会比较大。
    【例6-6】利用newgrnn函数创建一个广义回归网络。
    程序实现代码如下:

    >> clear all;
    P = [1 2 3];
    T = [2.0 4.1 5.9];
    net = newgrnn(P,T);
    P = 1.5;
    Y = sim(net,P)
    

    MATLAB神经网络工具箱中提供的radbas函数用于实现RBF神经网络的传递。radbas函数的调用格式如下:
    A = radbas(N,FP)
    其中,输入参数N为S×Q维的网络输入(列向量)矩阵;FP为性能参数(可以忽略),返回网络输入向量N的输出矩阵A。
    【例6-7】计算向量的径向基函数及其微分。
    程序实现代码如下:

    >> clear all;
    n=-6:0.1:6;
    a=radbas(n-2);  		%中心位置向右平移2个单位
    b=exp(-(n).^2/2); 	%除以2,曲线更加“矮胖”
    figure;
    subplot(121);plot(n,a);
    hold on;
    plot(n,b,'r:');
    title('不同位置和形状的radbas函数');
    c=diff(a);  			%计算a的微分
    subplot(122);plot(c);
    title('径向基函数的微分');
    

    在这里插入图片描述
    2)vec2ind函数
    vec2ind函数用于将向量组转换为数据索引,与ind2vec函数是互逆的。vec2ind函数的调用格式如下:
    [ind,n] = vec2ind(vec)
    其中,vec为m×n的稀疏矩阵x,x中的每个向量i,除了包括1,其余元素均为0,得到的行向量包括这些非零元素的下标。
    【例6-8】利用ind2vec函数与vec2ind函数实现网络的转换。
    程序实现代码如下:

    >> clear all;
    ind = [1 3 2 3];  			%定义一个数据索引列向量
    vec = ind2vec(ind)  		%将数据索引列向量转换为向量组
    vec =
       (1,1)        1
       (3,2)        1
       (2,3)        1
       (3,4)        1
    >> %最后一行中具有全零的向量被转换为索引并返回,同时保留行数
    vec = [0 0 1 0; 1 0 0 0; 0 1 0 0]'
    

    权函数

    info = dist(‘code’)
    根据code值的不同,返回有关函数的信息。当code=deriv时,返回导函数名称;当code=pfullderiv时,返回输入向量;当code=wfullderiv时,返回权值;当code=name时,返回函数的全称;当code=fpnames时,返回函数参数的名称;当code=fpdefaults时,返回默认的函数参数。
    【例6-9】利用dist函数计算两个随机矩阵的欧几里得距离。
    程序实现代码如下:

    >> clear all;
    >> W = rand(4,3);  	%4×3矩阵
    >> P = rand(3,2);  	%3×2矩阵
    >> Z = dist(W,P)   	%得到的结果为4×2矩阵
    Z =
        0.7063    0.4456
        0.8313    0.9227
        0.7717    1.0744
        0.7835    0.5330
    >> D=dist(Z)  		%只有一个输入,计算Z中每行与其他行的距离
    

    2)normprod函数
    normprod为规范点的权函数,函数的调用格式为:
    Z = normprod(W,P,FP)
    dim = normprod(‘size’,S,R,FP)
    dw = normprod(‘dz_dw’,W,P,Z,FP)
    其输入参数的含义与dist函数参数的含义类似。其中,Z为返回的规范点积权。
    【例6-10】利用normprod函数计算随机矩阵的规范点积权。
    程序实现代码如下:

    >>clear all;
    W = rand(4,3);
    P = rand(3,1);
    Z = normprod(W,P)
    

    3)netprod函数
    netprod为乘积网络输入函数,函数的调用格式如下:
    N = netprod({Z1,Z2,…,Zn})
    其中,输入参数Zi为S×Q维的矩阵;Z为从Z1到Zn的组合;输出参数N为从Z1到Zn的积。
    info = netprod(‘code’)
    根据code值的不同,返回有关函数的信息。当code=name时,返回传递函数的全称;当code=deriv时,返回导函数名称;当code=fullderiv时,返回导数的次数;当code=fpnames时,返回函数参数的名称;当code=fpdefaults时,返回默认的函数参数。
    【例6-11】利用netprod函数计算几个矩阵中相应元素的积。
    程序实现代码如下:

    >> clear all;
    >> Z1 = [1 2 4;3 4 1];
    Z2 = [-1 2 2; -5 -6 1];
    Z = {Z1,Z2};
    N = netprod({Z})
    

    4)dotprod函数
    dotprod为矩阵的内权积函数,函数的调用格式如下:
    Z = dotprod(W,P,FP)
    dim = dotprod(‘size’,S,R,FP)
    dw = dotprod(‘dw’,W,P,Z,FP)
    info = dotprod(‘code’)
    其输入参数的含义与dist函数参数的含义类似。其中,Z为返回矩阵的内权积。
    【例6-12】利用dotprod函数计算矩阵之间的内权积。

    >> W = rand(4,3);  	%4*3矩阵
    P = rand(3,2);   		%3*2矩阵
    Z = dotprod(W,P)  	%计算矩阵的内权积
    

    输入函数

    MATLAB神经网络工具箱中提供的netsum函数用于计算网络输入,它可以将加权输入与偏置相结合,求出输入矩阵元素的和。netsum函数的调用格式如下:
    N = netsum({Z1,Z2,…,Zn},FP)
    其中,Z1,Z2,…,Zn等输入参数是S×Q同型矩阵,函数将返回它们对应位置元素的和;N为与输入矩阵同型的矩阵。
    info = netsum(‘code’)
    根据code值的不同,返回有关函数的信息。当code=name时,返回函数的全称;当code=type时,返回函数的类型;当code=fpnames时,返回函数参数的名称;当code=fpdefaults时,返回默认的函数参数;当code=fullderiv时,返回0或1,这取决于S×Q矩阵。
    【例6-13】利用netsum函数计算网络输入函数和。
    程序实现代码如下:

    >> clear all;
    z1 = [1, 2, 4; 3, 4, 1];
    z2 = [-1, 2, 2; -5, -6, 1];
    b = [0; -1]
    n = netsum({z1, z2, concur(b, 3)})
    

    竞争传递函数

    compet为神经网络的竞争传递函数,传递函数用于从网络中求得网络输出。compet函数的调用格式如下:
    A = compet(N,FP)
    其中,N为S×Q维矩阵,包含Q个长度为S的列向量,对每个列向量分别求最大值,返回同型矩阵A,在每列的最大值对应位置,A中的元素为1,其余元素为0,A的每列中有且仅有一个元素等于1;FP为返回函数参数的结构。
    可以用n给网络的第i层设置传递函数,下面举例说明。
    【例6-14】计算一个向量的网络输出。
    程序实现代码如下:

    >> clear all;
    n = [0; 1; -0.5; 0.5];
    a = compet(n);
    subplot(2,1,1), bar(n), ylabel('n')
    subplot(2,1,2), bar(a), ylabel('a')
    
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  • Matlab的RBF神经网络程序 求助,Matlab 的 RBF神经网络程序为什么测试均方误差很大?clcclearclose all%-------------------------------------------------%产生训练样本与测试样本A=0.086207 0.262772 0.1269570....

    41528d3028836879cd698677c3999917.gifMatlab的RBF神经网络程序

    求助,Matlab 的 RBF神经网络程序为什么测试均方误差很大?clcclearclose all%-------------------------------------------------%产生训练样本与测试样本A=0.086207 0.262772 0.1269570.113793 0.261712 0.1464890.113793 0.261176 0.1855530 0.253351 0.1757870.006897 0.239692 0.1269570 0.233549 0.1269570 0.232297 0.1025420 0.231777 0.1123080 0.231585 0.1660210 0.231511 0.0439470 0.231155 0.1562550 0.230674 0.1513720 0.230357 0.0781270 0.229985 0.1855530 0.2295 0.1269570 0.229246 0.1562550 0.229015 0.0585960 0.228854 0.0585960 0.228858 0.1513720 0.228995 0.131840 0.229027 0.1025420 0.229285 0.1562550 0.2297 0.1367230 0.230721 0.1171910.034483 0.230721 0.1709040.006897 0.237376 0.1269570.086207 0.245976 0.1562550.062069 0.289381 0.1562550.086207 0.351242 0.1855530.062069 0.491243 0.1123080.086207 0.605574 0.1123080.034483 0.674478 0.1562550.062069 0.733842 0.1709040.196552 0.768613 0.1123080.086207 0.792452 0.1709040.034483 0.807965 0.1171910.086207 0.826889 0.131840.168966 0.844617 0.1660210.168966 0.859543 0.1367230.196552 0.879376 0.1367230.196552 0.894525 0.2246160.196552 0.911278 0.1464890.141379 0.922284 0.0585960.196552 0.927073 0.1367230.113793 0.930332 0.1464890.168966 0.932973 0.1464890.168966 0.938881 0.0634780.168966 0.94669 0.1025420.196552 0.952802 0.0976590 0.958737 0.1513720.006897 0.960443 0.1025420 0.96324 0.1171910.113793 0.965827 0.0781270.034483 0.966464 0.2392650.113793 0.969583 0.1709040.086207 0.971601 0.1855530.141379 0.973354 0.131840.034483 0.974763 0.1367230.062069 0.975569 0.1171910.034483 0.976746 0.1367230.006897 0.977846 0.131840.062069 0.978429 0.1757870.086207 0.979458 0.1562550.062069 0.9806 0.1171910.006897 0.980925 0.1367230.141379 0.981492 0.1269570.086207 0.982099 0.1269570.113793 0.982412 0.1269570.141379 0.982897 0.1367230.141379 0.983022 0.1660210.141379 0.983042 0.1269570.

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    2021-04-15 10:38:24
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    一、一维正态分布

    f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} f(x)=2π σ1e2σ2(xμ)2 记作 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X \sim N(\mu,\sigma^2) XN(μ,σ2)

    可以将一般正态分布转化为标准正态分布:若 X ∼ N ( μ , σ 2 ) , Y = X − μ σ ∼ N ( 0 , 1 ) X \sim N(\mu,\sigma^2),Y=\frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1) XN(μ,σ2),Y=σXμN(0,1)

    二、径向基函数

    径向基函数(Radial Basis Function,RBF)是一个取值仅取决于到原点距离的实值函数,记作 ϕ ( x ) = ϕ ( ∣ ∣ x ∣ ∣ ) \phi(x)=\phi(||x||) ϕ(x)=ϕ(x),也可以是到任意一中心点 c c c的距离,即 ϕ ( x , c ) = ϕ ( ∣ ∣ x − c ∣ ∣ ) \phi(x,c)=\phi(||x-c||) ϕ(x,c)=ϕ(xc)。任何一个满足上述特性的函数都可以称为RPF。
    ϕ ( x , c ) = e − ( x − c ) 2 r 2 \phi(x,c)=e^{-\frac{(x-c)^2}{r^2}} ϕ(x,c)=er2(xc)2
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    高斯函数:
    f ( x ) = a e − ( x − b ) 2 2 c 2 f(x)=ae^{-\frac{(x-b)^2}{2c^2}} f(x)=ae2c2(xb)2

    • a a a:曲线高度
    • b b b:即 μ \mu μ,指曲线在 x x x轴的中心
    • c c c:即 σ \sigma σ,指width(与半峰全框有关)
      在这里插入图片描述

    三、径向基函数解决插值问题

    在这里插入图片描述

    • 每个蓝色的点是一个样本
    • 绿色虚线对应一个训练样本,对应一个高斯函数(高斯函数中心就是样本点)
    • 蓝色实线表示真实拟合这些训练数据的曲线

    (1)样本点 ( x n , y n ) ∈ D , n = 1 , 2 , . . . , N (x_n,y_n) \in D ,n=1,2,...,N (xn,yn)D,n=1,2,...,N

    (2)完全内插法要求插值函数经过每个样本点,即 F ( x n ) = y n F(x_n)=y_n F(xn)=yn,样本点共有 N N N

    (3)RBF的方法是选择 N N N个奇函数 φ ( ∣ ∣ x − x n ∣ ∣ ) \varphi(||x-x_n||) φ(xxn) φ ( ∣ ∣ x − x n ∣ ∣ ) = e − 1 2 σ 2 ∣ ∣ x − x n ∣ ∣ 2 \varphi(||x-x_n||)=e^{-\frac{1}{2\sigma^2}||x-x_n||^2} φ(xxn)=e2σ21xxn2(4)基于径向基函数的插值函数为: F ( x ) = ∑ n = 1 N w n φ n ( ∣ ∣ x − x n ∣ ∣ ) = w 1 φ 1 ( ∣ ∣ x − x 1 ∣ ∣ ) + w 2 φ 2 ( ∣ ∣ x − x 2 ∣ ∣ ) + . . . + w n φ n ( ∣ ∣ x − x n ∣ ∣ ) F(x)=\sum_{n=1}^{N}w_n\varphi_n(||x-x_n||)=w_1\varphi_1(||x-x_1||)+w_2\varphi_2(||x-x_2||)+...+w_n\varphi_n(||x-x_n||) F(x)=n=1Nwnφn(xxn)=w1φ1(xx1)+w2φ2(xx2)+...+wnφn(xxn)

    四、RBF神经网络简介

    RBF神经网络的结构与多层前向网络类似,是一种具有单隐层的三层前向神经网络。

    • 输入层:由信号源结点组成
    • 隐含层:单神经元层,但神经元数可视所描述问题的需要而定
    • 输出层:对输入的作用做出响应
      从输入层到隐含层空间的变换是非线性的

    从输入层空间到隐含层空间的变换是非线性的,而从隐含层空间到输出层空间的变换是线性的。隐含层神经元的变换函数是RBF,它是一种局部分布的中心径向对称衰减的非负非线性函数。

    BP神经网络用于函数逼近时,权值的调节采用负梯度下降法,这种权值调节的方法存在着收敛速度慢和局部极小等局限性。同时,BP 神经网络在训练过程中需要对网络中的所有权值和阈值进行修正,属于全局逼近的神经网络。

    而RBF 神经网络在逼近能力、分类能力和学习速度等方面均优于BP神经网络。另外,尽管RBF神经网络比BP 神经网络需要更多的神经元,但是它能够按时间片来优化训练网络。因此,RBF神经网络是一种局部逼近性能非常好的神经网络结构,有学者证明它能以任意精度逼近任一连续函数。

    RBF人工神经网络以其独特的信息处理能力在许多领域得到了成功的应用,它不仅具继承了神经网络强大的非线性映射能力,而且具有自适应、自学习和容错性等,能够从大量的历史数据中进行聚类和学习,进而得到某些行为变化的规律。同时,RBF神经网络是一种新颖有效的前馈式神经网络,具有最佳局部逼近和全局最优的性能,且训练方法快速易行,这些优点使得RBF神经网络在非线性时间序列预测中得到了广泛的应用。

    • 全局逼近: 当神经网络的一个或多个可调参数(权值和阈值)对任何一个输出都有影响,则称该神经网络为全局逼近网络
    • 局部逼近:对网络输入空间的某个局部区域只有少数几个连接权值影响网络的输出,则称该网络为局部逼近网络

    另外,RBF神经网络能够逼近任意的非线性函数,可以处理系统内难以解析的规律性,具有良好的泛化能力,并有很快的学习收敛速度。当有很多的训练向量时,这种网络很有效果。目前,RBF神经网络已在非线性函数逼近、时间序列分析、数据分类、模式识别、信息处理、图像处理、系统建模、控制和故障诊断等多种场合得到了成功应用。

    五、RBF神经元模型

    在这里插入图片描述
    ∣ ∣ d i s t ∣ ∣ ||dist|| dist为欧氏距离,用函数式可表示为: ∣ ∣ d i s t ∣ ∣ = ∣ ∣ w − x ∣ ∣ = ∑ i R ( w 1 , i − x i 2 ) = [ ( w − x T ) ( w − x T ) T ] 1 2 ||dist||=||\boldsymbol{w-x}||=\sqrt{\sum_{i}^{R}(w_{1,i}-x_i^2)=[(\boldsymbol{w-x^T})(\boldsymbol{w-x^T})^T]^{\frac{1}{2}}} dist=wx=iR(w1,ixi2)=[(wxT)(wxT)T]21

    净输入 n n n为RBF神经元的中间运算结果 n = ∣ ∣ w − x ∣ ∣ b n=||\boldsymbol{w-x}||b n=wxb

    RBF神经元模型的输出 y y y为: y = r b f ( n ) = r b f ( ∣ ∣ w − x ∣ ∣ b ) y=rbf(n)=rbf(||\boldsymbol{w-x}||b) y=rbf(n)=rbf(wxb)

    r b f ( x ) rbf(x) rbf(x)为径向基函数,常见形式有: r b f ( x ) = e − ( x σ ) 2 rbf(x)=e^{-(\frac{x}{\sigma})^2} rbf(x)=e(σx)2 r b f ( x ) = 1 ( σ 2 + x 2 ) α , α > 0 rbf(x)=\frac{1}{(\sigma^2+x^2)^{\alpha}},\alpha>0 rbf(x)=(σ2+x2)α1,α>0

    六、RBF神经网络结构

    RBF神经网络由输入层、单隐含层、输出层三层组成,如下图所示:
    在这里插入图片描述
    n 1 \boldsymbol{n^1} n1为RBF神经网络隐含层的中间运算结果, n 1 = ∣ ∣ W 1 − x ∣ ∣ b 1 = [ d i a g ( ( W 1 − o n e s ( S 1 , 1 ) x T ) ( W 1 − o n e s ( S 1 , 1 ) x T ) T ) ] 1 2 b 1 \boldsymbol{n^1}=\boldsymbol{||W^1-x||b^1}=[diag((\boldsymbol{W^1}-ones(S^1,1)\boldsymbol{x^T})(\boldsymbol{W^1}-ones(S^1,1)\boldsymbol{x^T})^T)]^{\frac{1}{2}}\boldsymbol{b^1} n1=W1xb1=[diag((W1ones(S1,1)xT)(W1ones(S1,1)xT)T)]21b1
    d i a g ( x ) diag(x) diag(x)表示取矩阵向量主对角线上的元素组成的列向量。

    RBF神经网络隐含层的输出 y 1 \boldsymbol{y^1} y1为: y 1 = r b f ( n 1 ) \boldsymbol{y^1}=rbf(\boldsymbol{n^1}) y1=rbf(n1) n 2 \boldsymbol{n^2} n2为RBF输出层的中间运算结果,表示为: n 2 = W 2 y 1 + b 2 \boldsymbol{n^2}=\boldsymbol{W^2y^1+b^2} n2=W2y1+b2 RBF神经网络的输出 y 2 \boldsymbol{y^2} y2为: y 2 = p u r e l i n ( n 2 ) \boldsymbol{y^2}=purelin(\boldsymbol{n^2}) y2=purelin(n2) 隐含层节点中的径向基函数对输入信号在局部产生响应,即当输入信号靠近该函数的中央范围时,隐含层节点将产生较大的输出。因此,RBF神经网络具有局部逼近能力,RBF神经网络也被称为局部感知场网络

    神经元的传递函数

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