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  • 2021-04-21 11:31:49

    MATLAB的离散非周期信号频域分析报告

    基于MATLAB的离散信号频域分析、快速傅里叶变换与采样定理

    离散信号频域分析

    周期离散方波信号频域分析

    与周期模拟信号一样,周期离散信号同样可以展开成傅里叶级数形式,并得到离散傅里叶级数(DFS)

    X

    上式可以看成周期离散信号x(n)的离散傅里叶级数展开。

    x

    上式是DFS的反变换,记作IDFS并且称X(kΩ)与x(n)构成一对离散傅里叶级数变换对。(以上两式中Ω=2π/N)

    在MTALAB中,DFS通过建立周期延拓函数语句实现:

    function Xk=DFS(n,x,N)

    if N>length(x)

    n=0:N-1;

    x=[x zeros(1,N-length(x))];

    end

    k=0:N-1;

    WN=exp(-j*2*pi/N);

    nk=n'*k;

    WNnk=WN.^nk;

    Xk=x*WNnk;

    end

    建立一个离散非周期方波信号

    x

    R4n通过周期延拓后所得的周期序列利用

    clear all;close all;clc;

    n=0:3;

    x=ones(1,4);

    X=fft(x,1024);

    Xk1=DFS(n,x,4);

    Xk2=DFS(n,x,8);

    figure(1);

    plot((-1023:2048)/2048*8,[abs(X) abs(X) abs(X)],'--');hold on;

    stem(-4:7,[abs(Xk1) abs(Xk1) abs(Xk1)],'LineWidth',2);grid;

    figure(2);

    plot((-1023:2048)/2048*16,[abs(X) abs(X) abs(X)],'--');hold on;

    stem(-8:15,[abs(Xk2) abs(Xk2) abs(Xk2)],'LineWidth',2);grid;

    set(gcf,'color','w');

    运行后得到的是分别以4和8为周期延拓后的R4

    即第一幅图表示的是周期序列 x

    第二幅图表示的是周期序列xn

    两图中的包络线表示的是通过快速傅里叶变换(FFT)所得到的频谱线。

    (二)非周期离散方波信号频域分析

    对于非周期离散方波信号,可采用离散时间傅里叶变换DTFT进行分析。

    X

    上式为离散时间信号x(n)的离散时间傅里叶变换(DTFT)。

    x

    上式为XΩ的离散时间傅里叶反变换(IDTFT

    由于:

    i=-∞

    所以序列x(n)绝对可和,意味着DTFT存在,而非稳定序列(比如周期序列)不满足绝对可和条件,所以其DTFT不存在。

    在MTALAB中,DTFT可以用以下语句实现:

    w=-3*pi:0.01:3*pi;

    K=length(w);

    X=x*exp(-j*n'*w*K);

    建立一个离散非周期方波信号

    x

    R8n的离散傅里叶变换Xejω

    clear all;close all;clc;

    n=0:7;

    x=ones(1,8);

    w=-3*pi:0.01:3*pi;

    X=x*exp(-j*n'*w);

    figure(1);

    plot(w/pi,abs(X));grid;

    figure(2);

    plot(w/pi,angle(X));grid;

    set(gcf,'color','w');

    运行后分别得到该离散非周期方波信号的幅频特性与相频特性:

    幅频特性

    相频特性

    两种变换DFS的DTFT的性质

    DFS主要具有如下性质:

    线性性质

    周期卷积性质

    复共轭

    帕斯瓦尔定理

    DTFT同连续时间信号傅里叶变换相似,具有如下性质:

    线性性质

    时域频域平移性质

    时间翻转性质

    共轭对称性质

    时域频域卷积性质

    调制性质

    频域微分性质

    帕斯瓦尔定理

    从DTFT的推导过程,说明DTFT是DFS当N→∞的极限情况。

    共同点:在时域都是离散的,在频域都是以2π为周期,周而复始。

    不同点:离散时间周期信号频谱是离散的,具有谐波性,X(kΩ)是谐波复振幅,适用于计算机计算。而离散时间非周期信号的频谱则是连续的,不具有谐波性, XΩ表示的是谐波密度,是连续变量Ω

    离散傅里叶变换(DFT)

    由于DTFT不便于计算机进行计算,所以需要建立一种时域和频域都是离散的傅里叶变换对,这就是离散傅里叶变换(DFT)

    X

    上式为离散时间非周期信号的离散傅里叶变换(DFT)

    x

    上式为DFT的反变换,记作IDFT。Xk和xn称为离散傅里叶变换(

    在MTALAB中,DFT通过建立函数实现:

    function Xk=DFT(n,x,N)

    if N>length(x)

    n=0:N-1;

    x=[x zeros(1,N-length(x))];

    end

    k=0:N-1;

    WN=exp(-j*2*pi/N);

    nk=n'*k;

    WNnk=WN.^nk;

    Xk=x*WNnk;

    End

    建立一个离散非周期方波信号

    x

    R8n的

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    1.连续时间周期信号的傅里叶级数分析

    任何一个周期为T的正弦周期信号,只要满足狄利克里条件,就可以展开成傅里叶级数,(至于为什么能展开傅里叶级数和什么是狄利克利条件,这里先不说,我们知道有这样的结论就好)。三角形式的傅里叶级数为:

    d55f2d40006964ed149a7d7b3b40a19b.png

    或写成合并的形式:

    39808e818f0c4d14835b6599d24a7e5d.png

    其中(这里用括号代表下标)w(0)=2*pi/T,   a(0),a(k),b(k)分别代表直流分量,余弦分量幅度,正弦分量幅度,C(k), e6c028b207302dd8497b17a08385d980.png为合并后的各正弦谐波分量的幅度和初相位,这两个都是kw(0)的函数,画出它们与kw(0)之间的关系的图像称为信号的频谱图,C(k)—kw(0)图像为幅度谱,e6c028b207302dd8497b17a08385d980.png—kw(0)为相位谱。

    傅里叶级数就是说一个周期信号能够由无限个不同频率的正弦信号组成,这些正弦信号称为谐波分量,而频率随着k的增大而增大,k=1为一次谐波,k=2为二次谐波,可知谐波的次数越大,频率就越大(越往后的谐波分量在这个信号中占的份量就越小,即影响不大所以k可以取到有限)。也可以反过来理解:用无限个正弦谐波分量可以合并成一个任意的非正弦周期信号。(这就可以理解为什么会有用频带滤波器来消除噪音,所谓的噪音可看成是一个频率较小的谐波分量,加到信号上面就使信号变了样,所以这时候要去掉和噪音频率相近(因为不知道噪音频率是多少)的谐波分量就是频带滤波,同样的低通高通也一样,通过对相应的频率进行处理,只不过这时候就要换到频域上面才能进行滤波,上面说到的两个频谱图就是换到频域上的例子)。

    由欧拉公式,可以把三角形式的傅里叶级数换成指数形式的傅里叶级数为:

    eced670df884e469b7ea98f1b4f7a0d3.png

    这样周期信号也可以由无限个不同频率的互为谐波关系的周期复指数信号组成。

    其中a(k)为指数形式的傅里叶级数的系数。

    56031483ac682e1eaddd1ec60cb7eefb.png

    其实系数a(k)与三角形式中的a(k),b(k)有关系,a(k)=1/2*(a(k)-jb(k)),所以a(k)为一个复数,绝对值为该谐波分量的幅度,相位角可由实数a和虚数b得到。(为什么会有正负呢?这完全是数学运算的结果,只有把负频率项与相应的正频率项成对地合并起来,才是实际的频谱函数。)

    2.用MATLAB画出一个周期信号的频谱图

    T=2;dt=0.0001;t=-2:dt:2;

    >> x1=sin(t);

    >> w0=2*pi/T;

    >> N=10;

    >> L=2*N+1;

    >> for k=-N:N; %表示谐波分量

    ak(N+1+k)=(1/T)*x1*exp(-j*k*w0*t')*dt;

    end

    >> phi=angle(ak);

    >> subplot(211);

    >> f=(-N:N)*w0

    >> plot(f,abs(ak))

    >> subplot(212);

    >> plot(f,phi)

    3.非周期信号的傅里叶变换分析

    这里就不说明非周期信号的傅里叶变换怎么得来,怎么由离散频率变为连续频率了。直接来两条公式再对公式进行说明。

    傅里叶变换和其逆变换:

    d428f9e798223bfe58f9e19c8f0b1760.png,,

    538b436a040484fcb6a7f7f84c50c2da.png

    任意非周期信号,如果满足狄利克里条件,那么,这个信号可以看成是由无穷多个不同频率(这些频率非常的接近,可看作连续)的周期复指数信号的线性组合构成的。每个频率对应的周期复指数信号称为频率分量,其相对幅度为对应频率的|X(jw)|的值,其相位为对应频率的相位X(jw)的相位。

    MATLAB实现,由于计算机只能处理有限大小的数,所以只能取一定的值。

    >> T=0.01;dw=0.1;

    >> t=-10:T:10;

    w=-10:dw:10;

    for jw=w

    X(w+11)=x1*exp(-j*t'*w)*T %计算傅里叶变换

    Xf=abs(X); %计算幅度谱

    phai = angle(X) %计算相位谱

    写完这篇博客后,我发现了一篇知乎上的好文章http://zhuanlan.zhihu.com/wille/19759362

    展开全文
  • 实验4 非周期信号傅里叶变换,连续非周期信号傅里叶变换,matlab源码.zip
  • 用FFT计算连续时间周期非周期信号的频谱。 一、用DTFT的矩阵表示法计算序列的DFT 已知x(n)=[2,1,-1,2,3],用矩阵表示法求x(ejω)=DTFT[x(n)]及x(n)的5点DFT,并将DFT的(0,2pi)范围移到与DTFT的[-π,π]重叠...

                            目录

    1. 用DTFT的矩阵表示法计算序列的DFT;
    2. 用FFT算法计算序列的线性卷积;
    3. 用FFT算法计算有限(无限)长序列的频谱;
    4. 用FFT计算连续时间周期(非周期)信号的频谱。

    一、用DTFT的矩阵表示法计算序列的DFT

            已知x(n)=[2,1,-1,2,3],用矩阵表示法求x(ejω)=DTFT[x(n)]及x(n)的5点DFT,并将DFT的(0,2pi)范围移到与DTFT的[-π,π]重叠。

    1.实验代码

    %FFT快速计算方法
    
    close all;clear all;clc;
    x=[2,1,-1,2,3];
    nx=0:4;
    K=128;
    dw=2*pi/K;
    k=floor((-K/2+0.5):(K/2-0.5));
    X=x*exp(-j*dw*nx'*k);
    
    figure('position',[800,300,700,200]);
    m=1;n=3;
    subplot(m,n,1);plot(k*dw,abs(X));
    title('5点序列的DTFT和FFT');xlabel('\omega');ylabel('幅度响应');
    Xd=fft([2,1,-1,2,3]);
    hold on;
    plot([0:4]*2*pi/5,abs(Xd),'.');grid on;
    
    Xd1=fftshift(Xd);
    subplot(m,n,2);plot(k*dw,abs(X));grid on;
    xlabel('\omega');ylabel('幅度响应');title('FFT移位后');
    
    hold on;
    plot([-2:2]*2*pi/5,abs(Xd1),'.');
    subplot(m,n,3);
    plot(k*dw,angle(X));grid on;
    title('FFT移位后');xlabel('\omega');ylabel('相位响应');
    

    2.实验结果

     

    二、用FFT法计算序列的线性卷积

            计算序列x(n)=[2,1,3,2,1,5]与h(n)=[1,2,-1,-3]的线性卷积。

    1.实验代码

    %用FFT计算有限长序列的线性卷积和线性相关
    
    close all;clear all;clc;
    x=[2,1,3,2,1,5,1];
    h=[1,2,-1,-3];
    N=length(x)+length(h)-1;    %卷积输出对应长度。
    n=0:N-1;
    x=[x,zeros(1,N-length(x))]; %对x补零。
    h=[h,zeros(1,N-length(h))]; %对h补零。
    X=fft(x);H=fft(h);          %求x,h的FFT。
    Y=X.*H;y=ifft(Y);           %求两序列的FFT相乘并求IFFT。
    
    figure('position',[800,300,700,200]);
    m1=1;m2=3;
    subplot(m1,m2,1);stem(n,x,'.');grid on;
    xlabel('n');ylabel('x(n)');title('序列x(n)');
    subplot(m1,m2,2);stem(n,h,'.');grid on;
    xlabel('n');ylabel('h(n)');title('序列h(n)');
    subplot(m1,m2,3);stem(n,y,'.');grid on;
    xlabel('n');ylabel('y(n)');title('序列y(n)');
    

    2.实验结果

     三、FFT计算有限长序列的频谱

     1.实验代码

    %计算序列的频谱(DTFT)
    
    close all;clear all;clc;
    c=[9,16,32,512];
    T=0.4;
    for i=1:4
        L=c(i);
        D=2*pi/(L*T);
        x=[ones(1,5),zeros(1,L-9),ones(1,4)];
        k=floor(-(L-1)/2:(L-1)/2);
        X=fftshift(fft(x,L));
        m1=2;m2=2;
        subplot(m1,m2,i);plot(k*D,real(X));grid on;
        xlabel('\omega(rad)');ylabel('X(e^j^\omega)');
        Str=['N= ',num2str(L)];
        title({Str});
    end

    2.实验结果

     四、FFT算法实现无限长序列的频谱

            x(n)=0.5nu(n),求无限长序列的频谱。若需时域加倍长截断前后,同一频率处频谱的最大相对误差不大于0.5%,试求截断长度为多少,画出其频谱。设抽样间隔为T=0.4。

    1.实验代码

    %计算无限长序列的频谱
    
    close all;clear all;clc;
    T=0.4;
    r=1;
    beta=5e-3;b=0.01;
    
    while b>beta
        N1=2^r;n1=0:N1-1;x1=0.5.^n1;X1=fft(x1);
        N2=2*N1;n2=0:N2-1;x2=0.5.^n2;X2=fft(x2);
        k1=0:N1/2-1;k2=2*k1;                    %确定两序列同一角频率的下标。
        d=max(abs(X1(k1+1)-X2(k2+1)));          %对应的同一频率点上的FFT的误差的最大绝对值。
        X1m=max(abs(X1(k1+1)));                 %X1幅度的最大值。
        b=d/X1m;                                %最大相对误差的百分数。
        r=r+1;                                  %序列长度加倍。
    end
    
    k=floor(-(N2-1)/2:(N2-1)/2);                %那奎斯频率范围。
    D=2*pi/(N2*T);                              %角频率间隔。
    m1=1;m2=2;
    subplot(m1,m2,1);plot(k*D,abs(fftshift(X2)));grid on;
    title('相位普');xlabel('模拟角频率(rad/s)');ylabel('相角');
    subplot(m1,m2,2);plot(k*D,angle(fftshift(X2)));grid on;
    title('相位普');xlabel('模拟角频率(rad/s)');ylabel('相角');
    

    2.实验结果

    五、用FFT算法计算连续时间非周期信号的频谱

     

    1.实验代码

    %计算连续非周期信号的频谱。
    
    close all;clear all;clc;
    T0=[0.05,0.02,0.01,0.01];               %4种抽样间隔。
    L0=[10,10,10,20];                       %4种信号记录长度,N=L0(i)/T0(i)。
    for i=1:4
       T=T0(i);N=L0(i)/T0(i);               %按顺序选用T和L。
       D=2*pi/(N*T);                        %频率分辨率。
       n=0:N-1;
       x=exp(-0.02*n*T).*cos(6*pi*n*T)+2*cos(14*pi*n*T);%序列。
       k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2);           %奈斯特下标向量。
       X=T*fftshift(fft(x));                %求x的FFT并移到对称位置。
       [i,X(i)];                            %检查四次循环在奈斯特频率出的幅度。
       m1=2;m2=2;
       subplot(m1,m2,i);plot(k*D,abs(X));grid on;
       xlabel('模拟角频率(rad/s)');ylabel('幅度');
       str=['T=',num2str(T),'N=',num2str(N)];
       title(str);                          %标题显示抽样间隔及FFT点数N。
    end
    

    2.实验结果

     

    六、用FFT计算连续时间周期信号的频谱

    实验六:设周期信号的频谱时两个冲激,即Xa(t)=cos(10t),试用DFT法分析其频谱。

    1.实验代码

    %用DFT法分析周期信号的频谱
    
    clear all;clc;
    N=input('N= ');T=0.05;n=1:N;    %原始数据。
    D=2*pi/(N*T);                   %计算分辨率。
    xa=cos(10*n*T);                 %求x(n)的DFT,移到对称位置。
    Xa=T*fftshift(fft(xa,N));Xa(1); %求x(n)的DFT,移到对称位置。
    k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2);      %对于w=0对称的奈斯特频率下标向量。
    TITLE=sprintf('N=%i,L=%i',N,N+T);%变数值为格式控制下的字符串。
    figure;
    plot(k*D,abs(Xa));grid on;
    xlim([-20,20]);
    xlabel('\omega');ylabel('|X(j\omega)|');
    title(TITLE);                   %N=100,200,800,1200分别执行。
    

    2.实验结果

     

    展开全文
  • 您能帮我对它进行傅里叶变换吗?第一列为时间,第二列为幅值0 014.28571429 028.57142857 035.71428571 050 057.14285714 071.42857143 085.71428571 092.85714286 0100 ...

    您能帮我对它进行傅里叶变换吗?第一列为时间,第二列为幅值

    0        0

    14.28571429        0

    28.57142857        0

    35.71428571        0

    50        0

    57.14285714        0

    71.42857143        0

    85.71428571        0

    92.85714286        0

    100        0

    107.1428571        0

    114.2857143        0

    128.5714286        0

    135.7142857        0

    142.8571429        0

    157.1428571        0

    185.7142857        0

    221.4285714        0

    250        0

    292.8571429        0

    357.1428571        0

    442.8571429        0

    485.7142857        0

    521.4285714        0

    542.8571429        0

    564.2857143        0

    585.7142857        0.010869565

    607.1428571        0

    635.7142857        0

    650        0

    657.1428571        0.02173913

    671.4285714        0.02173913

    685.7142857        0.043478261

    692.8571429        0.032608696

    707.1428571        0

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    千次阅读 多人点赞 2020-10-01 16:43:03
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