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  • 已知一组数据点 编写一程序求解三次样 条插值函数 满足 并针对下面一组具体实验数据 0.25 0.3 0.39 0.45 0.53 0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280 求解其中边界条件为 . Matlab 计算程序为 clear clc x=[0.25 ...
  • 由于大家出门买菜会用到,所以缓慢整理数值方法以提供最优买菜... 通过输入一组插值节点,可以得到对应的拉格朗日估计函数,利用MATLAB实现。 这里提一下几个缺点,插值估计在高情况下会出现隆格现象,也就是精度...

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    由于大家出门买菜会用到,所以缓慢整理数值方法以提供最优买菜策略

    想要把一些数值方法通过软件简单实现并记录。接触数值分析最开始的插值方法便是拉格朗日插值法和牛顿插值法。理论部分并不难,下面我们想要输出拉格朗日插值多项式的符号解输出。

    通过输入一组插值节点,可以得到对应的拉格朗日估计函数,利用MATLAB实现。

    这里提一下几个缺点,插值估计在高次情况下会出现隆格现象,也就是精度不高,有时候甚至给出几个点就要考虑一下精度够不够,更不用说如果进行十个点以上的估计了;以及对比牛顿法之下,如果每加入一个节点就要重新计算整个方程式是比较麻烦的,真正的大型的计算是要增加计算压力的。虽然是买菜时最不实用的数值方法,但是还是值得学习的。

    function Y=lagrange(x,y)%输入节点,输出拉格朗日函数
    %x是节点的横坐标矩阵
    %y是节点的纵坐标矩阵
    l=1;
    Y=0;
    n=length(x);
    syms X ;
    for k=1:n
        for j=1:n
            if j~=k
            l=l*(X-x(j))/(x(k)-x(j));%计算l是拉格朗日基函数
            end
        end
        l=l*y(k);
            Y=l+Y;%每一项基函数乘以y的值的和即为全式子
            l=1;
    end 
    end

    dc3be2bddc5d3756570d25ff2e07b5e5.png

    如果需要展开形式,可以expand(Y)。这里插值基函数不容易直接观察得到。

    c7d4205b87a50f05aa74ec835fece6ea.png

    当然还是要强调低次插值估计的可以考虑使用,根据上面函数,输入节点x,y即可。

    综上所述,这是低次估计的可行方法,如果要用这个来预测估值股票价格当然不靠谱,买菜使用无可厚非。

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  • 基于MATLAB求解类方程组第1类 线性方程组线性方程组是指各个方程变量的最高幂为1的方程组。线性方程组主要有定方程组、不定方程组、超定方程组和奇异方程组。线性方程组的通为齐线性方程组的基础系...

    132ecea9c8bed940c255180164006a7b.gif

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    基于MATLAB求解三类方程组

    第1类 线性方程组

    线性方程组是指各个方程变量的最高次幂为1次的方程组。线性方程组主要有定解方程组、不定解方程组、超定方程组和奇异方程组。线性方程组的通解为齐次线性方程组的基础解系加上线性方程组的一个特解。

    线性方程组的一般形式为

    f0173f6729fdf3ec62c5a249a6bb5a2d.png

    矩阵形式为  AX=B

    其中,A为系数矩阵;B为常数矩阵。

    线性方程组解的判定方法

    • 如果系数矩阵A的秩不等于增广矩阵[A,B]的秩,那么方程组无解;

    • 如果系数矩阵A的秩等于增广矩阵[A,B]的秩且等于方程变量个数n,那么方程组有唯一解;

    • 如果系数矩阵A的秩不等于增广矩阵[A,B]的秩且小于方程变量个数n,那么方程组有无穷多解;

    采用MATLAB计算的相关基础代码

    求矩阵的秩

    求秩函数:rank函数

    调用格式:

    k=rank(A)

    k=rank(A,tol)

    求方程组特解

    x=A\B;

    求方程组基础解系

    求基础解系函数:null函数

    调用格式:

    z=null(A)

    z=null(A,'r')

    1. 定解方程组

    定解方程组:方程的个数与方程变量的个数相等,方程组有唯一的解。

    示例:求下列定解方程组的解

    39274dbf7c3ecf807f63698442efe11f.png

    求解代码:

    A=[2,1;2,-3];

    B=[1;5];

    results=A\B

    结果:

    x=1,y=-1

    此解为定解方程组的唯一解。

    2. 不定解方程组

    不定解方程组:方程变量的个数多余方程个数的方程组。

    示例:求下列不定解方程组的解

    c26eb6ca0dd9ad2b985f8c5e7c67bcf2.png

    求解代码:

    A=[2,1,2;2,-3,2];

    B=[6;5];

    results=A\B

    结果:

    x=2.875,y=0.25,z=0

    此解为不定解方程组的一个特解。

    3. 超定方程组

    超定方程组:方程变量的个数少于方程个数的方程组。

    示例:求下列超定方程组的解

    0030b8529fe370a1630a4bff81f35dae.png

    求解代码:

    A=[2,1;-2,3;1,4];

    B=[3;5;6];

    results=A\B

    结果:

    x=0.2222,y=1.6154

    此解为超定方程组的一个最小二乘近似解。

    4. 奇异方程组

    奇异方程组:方程组系数矩阵为奇异矩阵(行列式等于0)的方程组.

    注意:奇异方程组不能直接求解,需增加方程0x+0y=0。

    示例:求下列奇异方程组的解

    4d091161f9f83626da3014d316ca6352.png

    求解代码:

    A=[1,-3;2,-6;0,0];

    B=[1;-2;0];

    results=A\B

    结果:

    x=1,y=0

    此解为奇异方程组的一个解。

    第2类 非线性方程组

    非线性方程组:指方程组变量中至少有一个的最高次幂高于1次的方程组。

    1. 非线性方程的求解

    求解函数:fzero函数

    调用格式:

    x=fzero(fun,x0)

    x=fzero(fun,x0,options)

    其中,fun为待求解方程; x0为初始值,可为实数标量或2元素实数矢量。options选项属性主要有:Display(显示级别),其值有'off(不显示输出)', 'iter(在每次迭代时显示输出)', 'final(仅显示最终输出)', 'notify(仅在函数为收敛时显示输出)'; FunValCheck(检查目标函数值是否有效),其值有'on(当目标函数返回的值是complex,Inf或NaN时,回显示错误)', 'off(系统默认值)'; OutputFcn; PlotFcns(绘制算法执行过程中的各个进度测量值),其值有@optimplotx(绘制当前点)和@optimplotfval(绘制函数值);Tolx(关于正标量的终止容差),默认值为eps(2.2204e-16)

    示例:求非线性方程f=sin(cosh(x))的解。

    求解代码:

    syms x

    fun=inline(sin(cosh(x)));

    x0=1;

    options=optimset('PlotFcns',{@optimplotfval});

    x=fzero(fun,x0,options)

    box on

    set(gca,'fontsize',16,'fontname','times new roman/宋体')

    结果:

    x=1.8115

    33f692319cf8e632f1c9dbc749336ffa.png

    2. 非线性方程组的求解

    求解函数:fsolve函数

    调用格式:

    x=fsolve(fun,x0)

    x=fsolve(fun,x0,options)

    其中,x0为初始值。

    示例:求下面非线性方程组的解,其初始值为[0,0]

    03e87d703e17f36e1b05c2e534a12edb.png

    求解代码:

    fun=@root2d;

    x0=[0,0];

    options=optimoptions('fsolve','Display','none','PlotFcn',@optimplotfirstorderopt);

    x=fsolve(fun,x0,options)

    box on

    set(gca,'fontsize',16,'fontname','times new roman/宋体')

    root2d函数

    function F=root2d(x)

    F(1)=exp(-exp(-(x(1)+x(2))))-x(2)*(1+x(1)^2);

    F(2)=x(1)*cos(x(2))+x(2)*sin(x(1))-0.5;

    结果:

    x1=0.3532,x2=0.6061

    4874323549249c9c9d53c4e171af304f.png

    第3类 常微分方程组

    微分方程是描述动态系统最常用最重要的一类方程。常微分方程是描述一元函数的导数与自变量间关系的方程。

    1. 常微分方程组的符号解(解析解)

    求解函数:dsolve函数

    调用格式:

    R=dsolve(‘eq1','eq2',…,‘cond', ‘v’)

    其中,eq1,eq2为常微分方程;cond为边界和初始条件;v为指定的变量,若不指定变量,则默认变量变量为t。在表达微分方程时,用字母D表达微分算子,D2和D3分别表示2阶和3阶微分算子,D后所跟的字母为因变量。

    示例:求常微分方程组的符号解,其初始值x0=0,y0=0.

    16581759a3594617e14788516dedc82a.png

    求解代码:

    syms x y t

    [x,y]=dsolve('D2x+2*Dx+x+Dy+y=0','Dx+x+D2y+2*Dy+y=exp(t)','x(0)=0,y(0)=0');

    x=simplify(x)

    y=simplify(y)

    2. 常微分方程组的数值解(近似解)

    求解方法:欧拉法(Euler method)和龙格库塔法(Runge-Kutta method)

    (1) 欧拉法(Euler method)

    欧拉公式:

    yn+1=yn+hf(xn,yn)

    改进欧拉公式:

    yf=yn+hf(xn,yn)

    yb=yn+hf(xn,yn)

    yn+1=(yf+yb)/2

    示例:求常微分方程组的数值解,其初值为x0=0,y0=0。

    45d377212e4f5ade2f9f1a5b248d93c8.png

    求解代码:

    fcn=inline('y*tan(x)-sec(x)');

    x0=0;

    y0=0;

    xfnl=3;

    step=0.05;

    [x1,y1]=EulerCAO(fcn,x0,y0,xfnl,step);

    [x2,y2]=ModifyEulerCAO(fcn,x0,y0,xfnl,step);

    plot(x1,y1,'b-','linewidth',2)

    hold on

    plot(x2,y2,'r-','linewidth',2)

    legend('Euler method','Modify Euler method')

    legend boxoff

    set(gca,'fontsize',16,'fontname','times new roman')

    EulerCAO函数

    function [x,y]=EulerCAO(fcn,x0,y0,xfnl,step)

    % fcn:常微分方程

    % x0:自变量初值

    % y0:函数初值

    % xfnl:自变量的终值

    % step:步长

    n=fix((xfnl-x0)/step);

    y(1)=y0;

    x(1)=x0;

    for i=1:n

    x(i+1)=x0+i*step;    y(i+1)=y(i)+step*feval(fcn,x(i),y(i));

    end

    end

    ModifyEulerCAO函数

    function [x,y]=ModifyEulerCAO(fcn,x0,y0,xfnl,step)

    % fcn:常微分方程

    % x0:自变量初值

    % y0:函数初值

    % xfnl:自变量的终值

    % step:步长

    n=fix((xfnl-x0)/step);

    y(1)=y0;

    x(1)=x0;

    for i=1:n

        x(i+1)=x0+i*step;

        yf=y(i)+step*feval(fcn,x(i),y(i));

        yb=y(i)+step*feval(fcn,x(i+1),yf);

        y(i+1)=(yf+yb)/2;

    end

    end

    结果:

    c4c6f2f71ec30ebe6b740df701394b92.png

    (2)龙格库塔法(Runge-Kutta method)

    MATLAB提供的龙格库塔法函数主要有:ode45(单步显式变步长,求解非刚性微分方程),ode23(单步显式变步长,求解非刚性微分方程),ode113(多步,求解非刚性微分方程),ode23t(求解中等刚性微分方程,且无数值阻尼的解),ode15s(多步求解刚性方程显式变步长),ode23s(单步)和ode23tb(隐式,求解刚性微分方程).

    示例:求常微分方程组的数值解

    cbca07b608dfee915e031d3a912a7d17.png

    求解代码:

    a=1;

    b=2;

    tspan=[0 10];

    y0=[0 0.01];

    [t,y]=ode45(@(t,y) odefcn(t,y,a,b),tspan,y0);

    plot(t,y(:,1),'b-o','linewidth',2)

    hold on

    plot(t,y(:,2),'r-^','linewidth',2)

    set(gca,'fontsize',16,'fontname','times new roman')

    odefcn函数

    function dydt=odefcn(t,y,a,b)

    dydt=zeros(2,1);

    dydt(1)=y(2);

    dydt(2)=(a/b)*t.*y(1);

    结果:

    7957d2806fdba7c2dfa64a347c6fef8c.png

    b00c33ed6e9163e2457846eb947097ac.gif

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  • 文章目录一、下载matlab.rar二、压缩matlab.rar、启动matlab窗口四、绘制一元函数图像 - 直线或曲线1、绘制一次函数图像2、绘制二次函数图像3、绘制三角函数图像五、绘制二元函数图像 - 曲线 一、下载matlab.rar...

    一、下载matlab.rar

    二、解压缩matlab.rar

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    三、启动matlab窗口

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    四、绘制一元函数图像 - 直线或曲线

    1、绘制直线

    • 函数解析式:y=3x2x[5,5]y = 3x-2,x\in[-5, 5]
    • 绘制函数图像
    > x = -5:0.2:5;
    > y = 3 * x - 2;
    > plot(x, y)
    
    • 代码说明:-5:0.2:5,从-5到5的曲线,步长为0.2,均匀取点
      在这里插入图片描述
    • 修改图像颜色
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    • 空心点图像
    • hold on - 允许重叠绘制图像
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    • 添加网格线、图像标题、横坐标标题和纵坐标标题
      在这里插入图片描述

    2、绘制曲线

    • 绘制二次函数图像
      y1=x23x5y_1=x^2-3x-5
      y2=x2+2x+7y_2=-x^2+2x+7

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    • 绘制三角函数图像
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述

    五、绘制二元函数图像 - 平面或曲面

    1、绘制平面

    • 绘制z=3x+4yz = 3x + 4y图像
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述

    2、绘制曲面

    • 绘制z=x2+y2z = x^2+ y^2图像
    > x = -5:0.1:5;
    > y = x;
    > [x, y] = meshgrid(x, y);
    > z = x.^2 + y.^2;
    > mesh(x, y, z)
    

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    • 绘制z=x2y2z = x^2-y^2图像
      在这里插入图片描述
    • 马鞍面——双曲抛物面
      在这里插入图片描述
    • 绘制z=ex+x2+y2z = e^x+\sqrt{x^2+y^2}图像
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述

    六、绘制直方图

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    七、绘制折线图

    在这里插入图片描述

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  • 扫码查看下载全部资源电子课本图片全册教案设计... 估算 知识精讲2.5 用计算器开方2.6 实数 知识精讲2.7 二根式第3章 位置与坐标3.1 确定位置3.2 平面直角坐标系3.3 轴对称与坐标变化4.1 函数 知识精讲4.2 一...
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    全册教案设计

    期末复习精讲

    1.1 探索勾股定理

    1.2 一定是直角三角形吗

    1.3. 勾股定理的应用

    2.1 认识无理数

    2.2 平方根 知识精讲

    2.3 立方根 知识精讲

    2.4. 估算 知识精讲

    2.5 用计算器开方

    2.6 实数 知识精讲

    2.7 二次根式

    第3章 位置与坐标

    3.1 确定位置

    3.2 平面直角坐标系

    3.3 轴对称与坐标变化

    4.1 函数 知识精讲

    4.2 一次函数与正比例函数

    4.3 一次函数的图象

    知识点总结

    1.二元一次方程:含有两个未知数,并且未知数的指数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程,一般形式是ax+by=c(a≠0,b≠0)。

    如果一个方程含有两个未知数,并且所含未知项都为1次方,那么这个整式方程就叫做二元一次方程,有无穷个解,若加条件限定有有限个解。二元一次方程组,则一般有一个解,有时没有解,有时有无数个解。

    2.二元一次方程组:把两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组。

    3.二元一次方程的解:一般地,使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。

    4.二元一次方程组的解:一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。

    5.消元:将未知数的个数由多化少,逐一解决的想法,叫做消元思想。

    归纳:基本思路:“消元”——把“二元”变为“一元”。

    6.代入消元:将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做代入消元法,简称代入法。

    7.加减消元法:当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,这种方法叫做加减消元法,简称加减法。

    要点归纳

    一、知识网络结构

    60ed6a65bd914a5709db6807ddaf212a.png

    二、知识要点

    1、含有未知数的等式叫方程,使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解。

    2、方程含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1,这样的方程叫二元一次方程,二元一次方程的一般形式为2d7dd9106931be6654c14d72ef09bfdb.png(8bf484c2fa6ec1cc9d5782a676a16191.png为常数,并且79fdfad835cfa36b5055e8999a0b4533.png)。使二元一次方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程的解,一个二元一次方程一般有无数组解。

    3、方程组含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1,这样的方程组叫二元一次方程组。使二元一次方程组每个方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程组的解,一个二元一次方程组一般有一个解。

    4、用代入法解二元一次方程组的一般步骤:观察方程组中,是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数,如果有,则将它直接代入另一个方程中;如果没有,则将其中一个方程变形,用含一个未知数的式子表示另一个未知数;再将表示出的未知数代入另一个方程中,从而消去一个未知数,求出另一个未知数的值,将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程,求出另外一个未知数的值。

    5、用加减法解二元一次方程组的一般步骤:

    (1)方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数,就用适当的数去乘方程的两边,使同一个未知数的系数相等或互为相反数;

    (2)把两个方程的两边分别相加或相减,消去一个未知数;

    (3)解这个一元一次方程,求出一个未知数的值;

    (4)将求出的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程,求出另外一个未知数的值,从而得到原方程组的解。

    6、解三元一次方程组的一般步骤:

    ①观察方程组中未知数的系数特点,确定先消去哪个未知数;

    ②利用代入法或加减法,把方程组中的一个方程,与另外两个方程分别组成两组,消去同一个未知数,得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组;

    ③解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;

    ④将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程中,求出第三个未知数的值,从而得到原三元一次方程组的解。

    复习提纲

      一、目标与要求

    1.认识二元一次方程和二元一次方程组。

    2.了解二元一次方程和二元一次方程组的解,会求二元一次方程的正整数解。

    3.会用代入法解二元一次方程组。

    4.初步体会解二元一次方程组的基本思想――“消元

    5.通过研究解决问题的方法,培养学生合作交流意识与探究精神。

    6.使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题,让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用。

    7.通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系,体会代数方法的优越性。

      二、重点

      用代入消元法解二元一次方程组;

      理解二元一次方程组的解的意义。

      三、难点

      求二元一次方程的正整数解;

      探索如何用代入法将二元转化为一元的消元过程。

      四、结构图

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    五、知识点、概念总结

    1. 二元一次方程:含有两个未知数,并且未知数的指数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程,一般形式是ax+by=c(a≠0b≠0)

      如果一个方程含有两个未知数,并且所含未知项都为1次方,那么这个整式方程就叫做二元一次方程,有无穷个解,若加条件限定有有限个解。二元一次方程组,则一般有一个解,有时没有解,有时有无数个解。

    2.二元一次方程组:把两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组。

    3.二元一次方程的解:一般地,使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。

    4.二元一次方程组的解:一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。

    5.消元:将未知数的个数由多化少,逐一解决的想法,叫做消元思想。

      归纳:基本思路:消元”——二元变为一元

    6.代入消元:将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做代入消元法,简称代入法。

    7.加减消元法:当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,这种方法叫做加减消元法,简称加减法。

    8.教科书中没有的几种解法

    (1)加减-代入混合使用的方法:

      特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元。

    (2)换元法

      特点:两方程中都含有相同的代数式,换元后可简化方程也是主要原因。

    (3)设参数法

    9.列方程()解应用题步骤:

    (1)审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么,未知量是什么,问题给出和涉及的相等关系是什么。

    (2)设元(未知数)

    ①直接未知数②间接未知数(往往二者兼用)。一般来说,未知数越多,方程越易列,但越难解。

    (3)用含未知数的代数式表示相关的量。

    (4)寻找相等关系(有的由题目给出,有的由该问题所涉及的等量关系给出),列方程。一般地,未知数个数与方程个数是相同的。

    (5)解方程及检验。

    (6)答案。

      综上所述,列方程()解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程),在由数学问题的解决而导致实际问题的解决(列方程、写出答案)。在这个过程中,列方程起着承前启后的作用。因此,列方程是解应用题的关键。

    10.三元一次方程组:如果方程组中含有三个未知数,且含有未知数的项的次数都是一次,这样的方程组叫做三元一次方程组。举例如下:

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    11.三元一次方程组解法:

      主要的解法就是加减消元法和代入消元法,通常采用加减消元法,若方程难解就用代入消元法,因题而异。

    12.简单的三元一次方程组的解法步骤:

    (1)思路:解三元一次方程组的基本思想仍是消元,其基本方法是代入法和加减法。

    (2)步骤:①利用代入法或加减法,消去一个未知数,得出一个二元一次方程组;

    ②解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;

    ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程,求出第三个未知数的值,把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。

      灵活运用加减消元法,代入消元法解简单的三元一次方程组。

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