前言

闲来无事，写一下文章为生活加点料。本文简述了本人对于传统、简单的评价类模型之一的层次分析法（AHP）模型的理解和看法。利用高考生综合各个因素选择高校的例子，结合Matlab实现AHP模型，当然，利用Python也是同样的可行。（文章中出现的高校信息是本人学习过程中模拟的数据，毫无实际意义，仅为学习所用。）

以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考

一、用途

可用来评价、分析以及选择有多个影响因素的多个决策、目标或者方案等。从而选出“最优解”。如下：

图片出自《层次分析法在太阳镜产品质量评价中的应用》。

二、基本思路

下面将按着流程图的各个步骤对AHP进行剖析。

三、具体步骤

1.得到关系矩阵（判断矩阵）

即先确定各个指标（影响因素自身）的判断矩阵和各个影响因素与各个目标（方案、决策等）的判断矩阵。

1. 各个指标（影响因素自身）的判断矩阵
   
2. 各个影响因素与各个目标（方案、决策等）的判断矩阵。
   

2.求得指标自身的权重

求得权重的方法主要有3种：算术平均法、几何平均法以及特征值法。（出处不同叫法可能会有所差异）

1. 算术平均法
   
   即具体公式如下所示：
   

2. 几何平均法
   
   即具体公式如下所示：
   

3. 特征值法

对所求的最大特征值所对应的特征向量即是未归一化的权重向量，对该特征向量进行归一化处理，即可得各个指标的权重。

相对于三种方法，我本人较为喜欢用第三种方法，因为Matlab已经提供了现有的函数来求得矩阵的特征向量与特征值。(如：eig(A) function)
但出于结果的稳健性，可以利用三种方法分别求出权重，再加以求平均即可。

eg:

3.一次性检验

一次性检验，是为了说明你所使用的判断矩阵以及得到的权重是否合理、科学。为了保证结果的正确性，应该在每一个判断矩阵进行一次性检验。
具体方法如下：

1. 计算一次性指标CI
   
   其中式中的 λ 为判断矩阵的特征值。
2. 查表得到一致性指标RI

3) 计算得到一致性比例CR

如果CR<0.10，则该判断矩阵的一致性是可以接受的。否则，这说明判断矩阵数据不合理，得需要修改。

eg：

最后

总结各组权重信息，计算出各个目标（决策、或者方案等）的最后得分，从而得出“最优解”：

四、个人体会

虽然说AHP是一种经典的、相对科学的决策、评判算法，但是不免还存在这许多的不足：

例如：
填写判断矩阵时过于主观（一般判断矩阵的填写都是向专家咨询），从而导致所得结果很大程度会受决策者的主观影响。
此次就是会发现层次分析法并没有引用过多的数据，我认为这也是它的一大弊病，缺乏数据的支持。

但是不免也是一种经典的算法，学习一下也无妨。多学无害。
那…那那怎么才能解决AHP的这些不足呢？笔者在这里想到了结合AHP或者熵权法的TOPSIS算法，我们下次再聊叭！！！=3=

五、附页（AHPMatlab代码）

A=input('A=');
[n,m] = size(A);

Sum_A = sum(A);
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1);
Stand_A = A ./ SUM_A;

disp('算术平均法求权重的结果为：');
disp(sum(Stand_A,2)./n)

Prduct_A = prod(A,2);
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n);
disp('几何平均法求权重的结果为：');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))
 
[V,D] = eig(A);
Max_eig = max(max(D));
[r,c]=find(D == Max_eig , 1);
disp('特征值法求权重的结果为：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )

CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0.0001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15
% 这里n=2时，一定是一致矩阵，所以CI = 0，我们为了避免分母为0，将这里的第二个元素改为了很接近0的正数
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指标CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
    disp('因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
else
    disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');
end

%层次分析法（AHP）
disp('请输入判断矩阵A（n阶方阵）');
A = input('A=');
[n,n] = size(A);
x = ones(n,100);
y = ones(n,100);
m = zeros(1,100);
m(1) = max(x(:,1));
y(:,1) = x(:,1);
x(:,2) = A*y(:,1);
m(2) = max(x(:,2));
y(:,2) = x(:,2)/m(2);
p=0.0001; i=2; k=abs(m(2)-m(1));
while k>p
    i=i+1;
    x(:,i) = A*y(:,i-1);
    m(i) = max(x(:,i));
    y(:,i) = x(:,i)/m(i);
    k=abs(m(i)-m(i-1));
end
a = sum(y(:,i));
w = y(:,i)/a;
t = m(i);
 disp('权重为：');
disp(w);
%一致性检验
CI = (t-n)/(n-1);
RI = [0 0 0.52 0.89 1.12 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
CR = CI/RI(n);
if CR<0.10
    disp('此矩阵一致性可以接受！');
    disp('CI=');disp(CI);
    disp('CR=');disp(CR);
end
% function [Q]=AHP(B)
% %Q为权值，B为对比矩阵
% %导入判别矩阵B
% [n,m]=size(B);
% %判别矩阵具有完全一致性
% for i=1:n
%     for j=1:n
%         if B(i,j)*B(j,i)~=1   
%         fprintf('i=%d,j=%d,B(i,j)=%d,B(j,i)=%d\n',i,j,B(i,j),B(j,i))  
%         end  
%     end
% end
% %求特征值特征向量,找到最大特征值对应的特征向量
% [V,D]=eig(B);
% tz=max(D);
% tzz=max(tz);
% c1=find(D(1,:)==max(tz));
% tzx=V(:,c1);%特征向量
% %权
% quan=zeros(n,1);
% for i=1:n
% quan(i,1)=tzx(i,1)/sum(tzx);
% end
% Q=quan;
% %一致性检验
% CI=(tzz-n)/(n-1);
% RI=[0,0,0.58,0.9,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,1.49,1.52,1.54,1.56,1.58,1.59];
% %判断是否通过一致性检验
% CR=CI/RI(1,n);
% if CR>=0.1
%    fprintf('没有通过一致性检验\n');
% else
%   fprintf('通过一致性检验\n');
% end
% end