❃每个寻优的问题解都被想像成一只鸟，称为“粒子”。所有粒子都在一个D维空间进行搜索。

❃所有的粒子都由一个fitness-function确定适应值以判断目前的位置好坏。

❃每一个粒子必须赋予记忆功能，能记住所搜寻到的最佳位置。

❃每一个粒子还有一个速度以决定飞行的距离和方向。这个速度根据它本身的飞行经验以及同伴的飞行经验进行动态调整。 

  a.  D维空间中，有m个粒子；

  粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)

  粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D

  粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)

  群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置：

  pg =(pg1,pg2,…pgD)

  PS:一般来说，粒子的位置和速度都是在连续的实数空间内进行取值。

   b.基本PSO公式

(3)基本PSO算法流程图

关于每个粒子的更新速度和位置的公式如下:

三.简单应用

算法执行的过程如下:

close all;
clear all;

PopSize=500;%种群大小
CityNum = 14;%城市数

OldBestFitness=0;%旧的最优适应度值

Iteration=0;%迭代次数
MaxIteration =2000;%最大迭代次数
IsStop=0;%程序停止标志 
Num=0;%取得相同适应度值的迭代次数

c1=0.5;%认知系数
c2=0.7;%社会学习系数
w=0.96-Iteration/MaxIteration;%惯性系数,随迭代次数增加而递减

%节点坐标
node=[16.47 96.10; 16.47 94.44; 20.09 92.54; 22.39 93.37; 25.23 97.24;...
     22.00 96.05; 20.47 97.02; 17.20 96.29; 16.30 97.38; 14.05 98.12;...
     16.53 97.38; 21.52 95.59; 19.41 97.13; 20.09 94.55];

%初始化各粒子，即产生路径种群
Group=ones(CityNum,PopSize);   
for i=1:PopSize
    Group(:,i)=randperm(CityNum)';
end
Group=Arrange(Group);

%初始化粒子速度（即交换序）
Velocity =zeros(CityNum,PopSize);   
for i=1:PopSize
    Velocity(:,i)=round(rand(1,CityNum)'*CityNum); %round取整
end

%计算每个城市之间的距离
CityBetweenDistance=zeros(CityNum,CityNum);   
for i=1:CityNum
    for j=1:CityNum
        CityBetweenDistance(i,j)=sqrt((node(i,1)-node(j,1))^2+(node(i,2)-node(j,2))^2);
    end
end

%计算每条路径的距离
for i=1:PopSize   
        EachPathDis(i) = PathDistance(Group(:,i)',CityBetweenDistance);
end

IndivdualBest=Group;%记录各粒子的个体极值点位置,即个体找到的最短路径
IndivdualBestFitness=EachPathDis;%记录最佳适应度值,即个体找到的最短路径的长度
[GlobalBestFitness,index]=min(EachPathDis);%找出全局最优值和相应序号 

%初始随机解
figure;
subplot(2,2,1);
PathPlot(node,CityNum,index,IndivdualBest);
title('随机解');

%寻优
while(IsStop == 0) & (Iteration < MaxIteration) 
    %迭代次数递增
    Iteration = Iteration +1;  
    
    %更新全局极值点位置,这里指路径
    for i=1:PopSize   
        GlobalBest(:,i) = Group(:,index);
      
    end
    
    %求pij-xij ,pgj-xij交换序，并以概率c1，c2的保留交换序
    pij_xij=GenerateChangeNums(Group,IndivdualBest);  
    pij_xij=HoldByOdds(pij_xij,c1); 
    pgj_xij=GenerateChangeNums(Group,GlobalBest);
    pgj_xij=HoldByOdds(pgj_xij,c2);
    
    %以概率w保留上一代交换序
    Velocity=HoldByOdds(Velocity,w);

    Group = PathExchange(Group,Velocity); %根据交换序进行路径交换
    Group = PathExchange(Group,pij_xij);
    Group = PathExchange(Group,pgj_xij);
    for i = 1:PopSize    % 更新各路径总距离
          EachPathDis(i) = PathDistance(Group(:,i)',CityBetweenDistance);
    
    end

    IsChange = EachPathDis<IndivdualBestFitness;%更新后的距离优于更新前的，记录序号
    IndivdualBest(:, find(IsChange)) = Group(:, find(IsChange));%更新个体最佳路径
    IndivdualBestFitness = IndivdualBestFitness.*( ~IsChange) + EachPathDis.*IsChange;%更新个体最佳路径距离
    [GlobalBestFitness, index] = min(EachPathDis);%更新全局最佳路径,记录相应的序号
   
    if GlobalBestFitness==OldBestFitness %比较更新前和更新后的适应度值;
        Num=Num+1; %相等时记录加一;
    else
        OldBestFitness=GlobalBestFitness;%不相等时更新适应度值，并记录清零;
        Num=0;
    end    
    if Num >= 20 %多次迭代的适应度值相近时程序停止
        IsStop=1;
    end

     BestFitness(Iteration) =GlobalBestFitness;%每一代的最优适应度


end

%最优解
subplot(2,2,2);
PathPlot(node,CityNum,index,IndivdualBest);
title('优化解');
%进化曲线
subplot(2,2,3);
plot((1:Iteration),BestFitness(1:Iteration));
grid on;
title('进化曲线');
%最小路径值
GlobalBestFitness

运行结果如下:

package pso;
import java.awt.*;
import java.awt.event.*;
import java.io.ByteArrayInputStream;
import java.io.InputStream;

import javax.swing.*;
import javax.swing.event.*;
public class Pso extends Frame implements Runnable
{
    private static int particleNumber;  //粒子的数量
    private static int iterations;      //迭代的次数
    private static int k=1;             //记录迭代的次数
    final private static float C1=2;    //学习因子
    final private static float C2=2;
    final private static float WMIN=-200;
    final private static float WMAX=200;
    final private static float VMAX=200;
    private static float r1;           //随机数0-1之间
    private static float r2;
    private static float x[][];
    private static float v[][];
    private static float xpbest[][];
    private static float pbest[];      
    private static float gbest=0;
    private static float xgbest[];
    private static float w;           //惯性因子
    private static float s;
    private static float h;
    private static float fit[];
    public Sounds sound;
    
    //粒子群的迭代函数
public void lzqjs()
{
	  
		w=(float)(0.9-k*(0.9-0.4)/iterations);
        for(int i=0;i<particleNumber;i++)
        {
                   fit[i]= (float)(1/(Math.pow(x[i][0],2)+Math.pow(x[i][1],2))); //求适值函数最大值
                   System.out.print("粒子"+i+"本次适应值函数f为：" + fit[i]);
                   System.out.println();
                   if(fit[i]>pbest[i])
                   {
                   	pbest[i]=fit[i];
                   	xpbest[i][0]=x[i][0];
                   	xpbest[i][1]=x[i][1];
                   }
                   if(pbest[i]>gbest)
                   {
                   	gbest=pbest[i];
                   	xgbest[0]=xpbest[i][0];
                   	xgbest[1]=xpbest[i][1];
                   }
         }
         for(int i=0;i<particleNumber;i++)
         {
                   for(int j=0;j<2;j++)
                   {
                	   //粒子速度和位置迭代方程:
                   	v[i][j]=(float)(w*v[i][j]+C1*Math.random()*(xpbest[i][j]-x[i][j])+C2*Math.random()*(xgbest[j]-x[i][j]));
                   
                   	x[i][j]=(float)(x[i][j]+v[i][j]);
                   
                   }
               	System.out.print("粒子"+i+"本次X1的速度变化幅度:"+v[i][0]+";本次X2的速度变化幅度:"+v[i][1]);
                System.out.println();
            	System.out.print("粒子"+i+"本次X1为："+x[i][0]+";本次X2为："+x[i][1]);
                System.out.println();
         }
}
	public static void main(String[] args)
	{
		
		particleNumber=Integer.parseInt(JOptionPane.showInputDialog("请输入粒子个数1-500）"));
		iterations=Integer.parseInt(JOptionPane.showInputDialog("请输入迭代次数"));
		x=new float [particleNumber][2];
		v=new float [particleNumber][2];
		fit=new float [particleNumber];    //存储适值函数值
		pbest=new float [particleNumber];  //存储整个粒子群的最有位置
		xpbest=new float [particleNumber][2];
		xgbest=new float [2];
		for(int i=0;i<particleNumber;i++)
		{
			
			//对数组的初始化操作
			pbest[i]=0;
			xpbest[i][0]=0;
			xpbest[i][1]=0;
		}
		xgbest[0]=0;
		xgbest[1]=0;
		 System.out.println("开始初始化：");
		for(int i=0;i<particleNumber;i++)
		{
			
			for(int j=0;j<2;j++)
			{
				//任意给定每个位置一定的位置值和速度值
				x[i][j]=(float)(WMAX*Math.random()+WMIN);
				v[i][j]=(float)(VMAX*Math.random());
			}
			System.out.print("粒子"+i+"本次X1的变化幅度:"+v[i][0]+";本次X2的变化幅度:"+v[i][1]);
		 	 System.out.println();
		 	System.out.print("粒子"+i+"本次X1为："+x[i][0]+";本次X2为："+x[i][1]);
			 System.out.println();
		}
		System.out.println("初始化数据结束，开始迭代.....");
	Pso threada=new Pso();
	threada.setTitle("基于粒子群的粒子位置动态显示");
	threada.setSize(800,800);
	threada.addWindowListener(new gbck());
	threada.setVisible(true);
        Thread threadc=new Thread(threada);
        threadc.start();
	}
	static class gbck extends WindowAdapter
	{
		public void windowClosing(WindowEvent e)
		{
			System.exit(0);
		}
	}
	
	//开启的额外线程用于声音的播放
	public void run()
	{
       
		repaint();
        
        for(int i=0;i<iterations;i++){
        	sound();
        }
	}
	public void paint(Graphics g)
	{
		 
		   g.setColor(new Color(0,0,0));
	       for(int i=0;i<particleNumber;i++)
	       {
	       	g.drawString("*",(int)(x[i][0]+200),(int)(x[i][1]+200));
	       }
	       g.setColor(new Color(255,0,0));
	       g.drawString("全局最优适应度函数值："+gbest+"      参数1："+xgbest[0]+"     参数2："+xgbest[1]+"    迭代次数："+ k,50,725);

    try
	{
	lzqjs();  //开始迭代
	
	if(k>=iterations)
	{
		
		Thread.sleep((int)(5000));
		System.exit(0);
	}
	k=k+1;  //每次迭代一次加1操作
	Thread.sleep((int)(1000));
	}
    catch(InterruptedException e)
    {
		 System.out.println(e.toString());
    }
    repaint();
	}
	public  void sound(){
		  sound =new Sounds("050.wav");
		  InputStream stream =new ByteArrayInputStream(sound.getSamples());
		  // play the sound
		  sound.play(stream);
		  // exit

	}
}