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  • 本章以列昂惕夫生产消费模型为例,讲解了矩阵在实际生活中的应用。 列昂惕夫投入产出模型 列昂惕夫是著名的经济学家,曾经获得诺贝尔奖,其中线性代数为他获得诺奖提供了重要帮助。 有这么一个复杂的经济命题: ...

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    本章以列昂惕夫生产消费模型为例,讲解了矩阵在实际生活中的应用。

    列昂惕夫投入产出模型

    列昂惕夫是著名的经济学家,曾经获得诺贝尔奖,其中线性代数为他获得诺奖提供了重要帮助。

    有这么一个复杂的经济命题:

    假设某国的经济体系分为nn个部门,这些部门分别生产不同类型的产品,例如制造业、农业产品、服务业业产品。可以用Rn\mathbb R^n中的向量x\boldsymbol x来代表这个产出向量,x\boldsymbol x中的每一个元素代表一个不同类型的产品。另外,用向量d\boldsymbol d代表需求向量,也就是社会需要消耗多少产品。理想情况下,如果要保持生产和消费的平衡,只要保证x=d\boldsymbol x = \boldsymbol d即可。但实际上,每个部门在生产的同时,也需要进行消费,例如,制造业部门虽然产出工业产品,但要维持它的运转,它在产出时也需要消耗一定的制造业产品、农业产品、服务业产品,这种额外的消费被称作中间需求。这就使得问题变得复杂了起来。

    针对如上问题,为了评估各生产部门的中间需求,计算列昂惕夫提出了一种建模的方法:

    针对每个部门,都有一个Rn\mathbb R^n中的单位消费向量,它列出了该部门的单位产出所需的投入。
    如下图所示,每一列代表了每个部门的单位消费向量,其中制造业、农业、服务业的单位消费向量分别是:c1=[0.500.200.10]\boldsymbol c_1 = \begin{bmatrix}0.50 \\ 0.20 \\ 0.10\end{bmatrix}c2=[0.400.300.10]\boldsymbol c_2=\begin{bmatrix}0.40 \\ 0.30 \\ 0.10\end{bmatrix}c3=[0.200.100.30]\boldsymbol c_3 = \begin{bmatrix}0.20 \\ 0.10 \\ 0.30\end{bmatrix},每个向量代表了每生产该1单位(通常以100万美元作为单位)该产品时,需要消耗多少其他产品。
    在这里插入图片描述
    举例:
    如果制造业决定生产100单位产品,它将消费多少?

    解:

    计算:
    100c1=100[0.500.200.10]=[502010]100\boldsymbol c_1 = 100\begin{bmatrix}0.50 \\ 0.20 \\ 0.10\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}50 \\ 20 \\ 10\end{bmatrix}
    可知,制造业每生产100单位产品,就要消耗制造业自身产出的50单位产品,并消费掉20单位农业产品,以及10单位服务业产品。

    由上例,可以启发我们如何计算中间需求。假设制造业、农业、服务业分别决定生产x1x_1x2x_2x3x_3单位产出,那么它们造成的总的中间需求为:
    x1c1+x2c2+x3c3=Cxx_1\boldsymbol c_1 + x_2\boldsymbol c_2 + x_3\boldsymbol c_3 = C\boldsymbol x
    其中,CC是消耗矩阵[c1c2c3]\begin{bmatrix}\boldsymbol c_1 & \boldsymbol c_2 & \boldsymbol c_3\end{bmatrix},也就是:C=[0.500.400.200.200.300.100.100.100.30]C = \begin{bmatrix}0.50 & 0.40 & 0.20 \\ 0.20 & 0.30 & 0.10 \\ 0.10 & 0.10 & 0.30\end{bmatrix}

    现在,我们已经能够表达中间需求了,由于总产出=中间需求+社会需求,那么自然可以得出如下表达式:
    x=Cx+d\boldsymbol x = C\boldsymbol x + \boldsymbol d
    上式可以重写为:
    (IC)x=d(\boldsymbol I - C)\boldsymbol x = \boldsymbol d
    现在,只要知道社会需求d\boldsymbol d是多少,我们就能够做出预算,也就是每个部门的生产量x\boldsymbol x
    例:

    假设社会需求是制造业50单位,农业30单位,服务业20单位,求生产水平x\boldsymbol x

    解:

    IC=[100010001][0.50.40.20.20.30.10.10.10.3]=[0.50.40.20.20.70.10.10.10.7]\boldsymbol I - C = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}0.5 & 0.4 & 0.2 \\ 0.2 & 0.3 & 0.1 \\ 0.1 & 0.1 & 0.3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.5 & -0.4 & -0.2 \\ -0.2 & 0.7 & -0.1 \\ -0.1 & -0.1 & 0.7\end{bmatrix}
    化简增广矩阵:
    [0.50.40.2500.20.70.1300.10.10.720][10022601011900178]\begin{bmatrix}0.5 & -0.4 & -0.2 & 50 \\ -0.2 & 0.7 & -0.1 & 30 \\-0.1 & -0.1 & 0.7 & 20\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 226 \\0 & 1 & 0 & 119 \\0 & 0 & 1 & 78\end{bmatrix}
    可知,制造业需要226单位,农业119单位,服务业78单位。

    IC\boldsymbol I - C可逆,则可以直接使用逆矩阵定理,得出x=(IC)1d\boldsymbol x = (\boldsymbol I - C)^{-1}\boldsymbol d。可以通过证明得知,在大部分实际情况中(CC中每一列的和小于1,因为每个部门生产一单位产出所需投入的总价值应该小于1),IC\boldsymbol I - C是可逆的,而且产出向量x\boldsymbol x是经济上可行的,也就是说,x\boldsymbol x中的元素是非负的,这里略去不讲。

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    50。什么是作业研究?


    50。什么是作业研究?

    相为于线性规划是一门应用数学的专业科目,作业研究(OR:Operation Research)则是探讨如何将现实生活中的诸多问题,建构成一个又一个的数学模型。

    另一种说法是 线性代数->线性规划->作业研究就是一脉相承的科学管理基础马步。

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    书籍:

    《线性代数》 《统计习方法》 《机器学习》 《模式识别》 《深度学习》

     

    要求:

    • 知识储备
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    • 发现问题的眼光
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    从生活中思考问题:

    • 微信抢红包:多个红包是否缩小每个人金额方差
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  •  2.2 非线性数学模型线性化  2.3 传递函数   2.4 系统动态结构图  2.5 系统传递函数和结构图的等效变换   2.6 信号流图  2.7 用MATLAB求解线性微分方程和化简系统方框图  小结   思考题与习题 第...
  • 第二章 线性代数 @liber145 @SiriusXDJ, @angrymidiao @badpoem 第三章 概率与信息论 @KevinLee1110 @SiriusXDJ @kkpoker, @Peiyan 第四章 数值计算 @swordyork @zhangyafeikimi @hengqujushi 第五章 机器学习...

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