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  • 2021-12-25 22:44:41

    定理一

    n n n齐次线性方程组 A m × n x = 0 A_{m\times n}x=0 Am×nx=0非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R ( A ) < n R(A)<n R(A)<n.当 R ( A ) = n R(A)=n R(A)=n时(即 A A A满秩),只有零解.

    定理二

    n n n非齐次线性方程组 A m × n x = b A_{m\times n}x=b Am×nx=b有解的充分必要条件是系数矩阵 A A A的秩等于增广矩阵 B = ( A , b ) B=(A,b) B=(A,b)的秩.

    小结

    R ( A ) < R ( B ) ⟺ A x = b 无 解 R ( A ) = R ( B ) = n ⟺ A x = b 有 唯 一 解 R ( A ) = R ( B ) < n ⟺ A x = b 有 无 穷 多 解 R(A)<R(B) \Longleftrightarrow Ax=b无解 \\ R(A)=R(B)=n\Longleftrightarrow Ax=b有唯一解 \\ R(A)=R(B)<n\Longleftrightarrow Ax=b有无穷多解 R(A)<R(B)Ax=bR(A)=R(B)=nAx=bR(A)=R(B)<nAx=b

    齐次线性方程组:系数矩阵化成行最简形矩阵,便可写出其通解;
    非齐次线性方程组:增广矩阵化成行阶梯形矩阵,便可判断其是否有解.若有解,化成行最简形矩阵,便可写出其通解;

    解法

    A x = b \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b} Ax=b
    A = [ l a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] ,    x = [ x 1 x 2 ⋮ x n ] ,    b = [ b 1 b 2 ⋮ b n ] \boldsymbol{A}=\left[ \begin{matrix}{l} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}\\ \end{matrix} \right] ,\,\,\boldsymbol{x}=\left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\\ \end{array} \right] ,\,\,\boldsymbol{b}=\left[ \begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n\\ \end{array} \right] A=la11a21an1a12a22an2a1na2nann,x=x1x2xn,b=b1b2bn

    建立增广矩阵:

    A ˉ = [ A b ] = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n b 1 a 21 a 22 ⋯ a 2 n b 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n b n ] \boldsymbol{\bar{A}}=\left[ \begin{matrix} \boldsymbol{A}& \boldsymbol{b}\\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}& b_2\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots& \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}& b_n\\ \end{matrix} \right] Aˉ=[Ab]=a11a21an1a12a22an2a1na2nannb1b2bn
    若能将增广矩阵 A ˉ \boldsymbol{\bar{A}} Aˉ做初等行变换化为如下形式的梯形矩阵:
    [ 1 ξ 1 1 ξ 2 ⋱ ⋮ 1 ξ n ] \left[ \begin{matrix} 1& & & & \xi _1\\ & 1& & & \xi _2\\ & & \ddots& & \vdots\\ & & & 1& \xi _n\\ \end{matrix} \right] 111ξ1ξ2ξn
    则 ξ 1 , ξ 2 , ⋯ ξ n 即为方程组的解 \text{则}\xi _1,\xi _2,\cdots \xi _n\text{即为方程组的解} ξ1,ξ2,ξn即为方程组的解

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  • 本节为线性代数复习笔记的第二部分,矩阵的概念与计算(1),主要包括:行列式的几何意义,行列式的展开计算(余子式,代数余子式),行列式的性质,特殊的五个行列式以及克拉默法则。 1. 欢迎扫描二维码关注微信...

    本节为线性代数复习笔记的第二部分,矩阵的概念与计算(1),主要包括:线性相关的概念,五个判别定理,极大线性无关组和等价向量组。

    1. 线性相关

      对m个n维向量 α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α m ⃗ \vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_m} α1 ,α2 ,...,αm ,若存在一组不全为零的数 k 1 , k 2 , . . . , k m k_1,k_2,...,k_m k1,k2,...,km,使得线性组合 k 1 α 1 ⃗ + k 2 α 2 ⃗ + . . . + k m α m ⃗ = 0 k_1\vec{\alpha_1}+k_2\vec{\alpha_2}+...+k_m\vec{\alpha_m}=0 k1α1 +k2α2 +...+kmαm =0,则称向量组 α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α m ⃗ \vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_m} α1 ,α2 ,...,αm 线性相关。(含有零向量或者有成比例的向量,向量组必然线性相关)
      注意有几个等价的判断,即:
      1)向量组 α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α m ⃗ \vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_m} α1 ,α2 ,...,αm 线性相关 ⇔ \Leftrightarrow
       2 ) A = ( α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α m ⃗ ) 可 逆 ⇔ 2)A=(\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_m})可逆\Leftrightarrow 2A=(α1 ,α2 ,...,αm )
       3 ) ∣ α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α m ⃗ ∣ = 0 3)|\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_m}|=0 3α1 ,α2 ,...,αm =0
      若只有当 k 1 = k 2 = . . . = k m = 0 k_1=k_2=...=k_m=0 k1=k2=...=km=0 k 1 α 1 ⃗ + k 2 α 2 ⃗ + . . . + k m α m ⃗ = 0 k_1\vec{\alpha_1}+k_2\vec{\alpha_2}+...+k_m\vec{\alpha_m}=0 k1α1 +k2α2 +...+kmαm =0才成立,则称向量组线性无关。

    2. 线性相关判别的五个定理

    2.1 判别定理(1)

      向量 β \beta β可由向量组 α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α s ⃗ \vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s} α1 ,α2 ,...,αs 线性表出
    ⇔ \Leftrightarrow
      非齐次方程组 α 1 x 1 + α 2 x 2 + . . . + α s x s = β 有 解 \alpha_1x_1+\alpha_2x_2+...+\alpha_sx_s=\beta有解 α1x1+α2x2+...+αsxs=β
    ⇔ \Leftrightarrow
       r [ α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α s ⃗ ] = r [ α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α s ⃗ , β ⃗ ] r[\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}]=r[\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s},\vec{\beta}] r[α1 ,α2 ,...,αs ]=r[α1 ,α2 ,...,αs ,β ]

    2.2 判别定理(2)

      向量组 α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α s ⃗ \vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s} α1 ,α2 ,...,αs 线性相关
    ⇔ \Leftrightarrow
      齐次线性方程组 α 1 x 1 + α 2 x 2 + . . . + α s x s = 0 \alpha_1x_1+\alpha_2x_2+...+\alpha_sx_s=0 α1x1+α2x2+...+αsxs=0有非零解
    ⇔ \Leftrightarrow
       r [ α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α s ⃗ ] < s r[\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}]<s r[α1 ,α2 ,...,αs ]<s
    ⇔ \Leftrightarrow
       ∣ α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α s ⃗ ∣ = 0 |\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}|=0 α1 ,α2 ,...,αs =0

    2.3 判别定理(3)

      线性相关充要条件:向量组中至少有一个向量可由其他s-1个向量线性标出

    2.4 判别定理(4)

      若 α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α s ⃗ \vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s} α1 ,α2 ,...,αs 线性无关,而向量组 α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α s ⃗ , β ⃗ \vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s},\vec{\beta} α1 ,α2 ,...,αs ,β 线性相关,则 β ⃗ \vec{\beta} β 可由 α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α s ⃗ \vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s} α1 ,α2 ,...,αs 唯一线性表出。

    2.5 判别定理(5)

       I . β 1 ⃗ , β 2 ⃗ , . . . , β s ⃗ , I I . α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α t ⃗ I.\vec{\beta_1},\vec{\beta_2},...,\vec{\beta_s},II.\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_t} I.β1 ,β2 ,...,βs II.α1 ,α2 ,...,αt
      若 I I I中每一个向量均可由 I I II II中向量线性表出,且s>t,则向量组 I I I线性相关;
      若 I I I中每一个向量均可由 I I II II中向量线性表出,且向量组 I I I线性相关,则 s ≤ t s\leq t st

    3. 极大线性无关组

      若 α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α s ⃗ \vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s} α1 ,α2 ,...,αs 中存在部分组 α i 1 ⃗ , α i 2 ⃗ , . . . , α i r ⃗ \vec{\alpha_{i1}},\vec{\alpha_{i2}},...,\vec{\alpha_{ir}} αi1 ,αi2 ,...,αir 满足:
      1) α i 1 ⃗ , α i 2 ⃗ , . . . , α i r ⃗ \vec{\alpha_{i1}},\vec{\alpha_{i2}},...,\vec{\alpha_{ir}} αi1 ,αi2 ,...,αir 线性无关;
      2)任一向量 α i ⃗ \vec{\alpha_{i}} αi 均可由 α i 1 ⃗ , α i 2 ⃗ , . . . , α i r ⃗ \vec{\alpha_{i1}},\vec{\alpha_{i2}},...,\vec{\alpha_{ir}} αi1 ,αi2 ,...,αir 线性表出。
      则称 α i 1 ⃗ , α i 2 ⃗ , . . . , α i r ⃗ \vec{\alpha_{i1}},\vec{\alpha_{i2}},...,\vec{\alpha_{ir}} αi1 ,αi2 ,...,αir 是原向量组的极大线性无关组。(一般不唯一,线性无关向量组的极大线性无关组即为本身)

    4. 等价向量组

       I . α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α s ⃗ , I I . β 1 ⃗ , β 2 ⃗ , . . . , β t ⃗ I.\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s},II.\vec{\beta_1},\vec{\beta_2},...,\vec{\beta_t} I.α1 ,α2 ,...,αs II.β1 ,β2 ,...,βt
      若 I I I中每个 α i ⃗ \vec{\alpha_i} αi 均可由 I I II II中向量线性表出且反之亦然,则称向量组 I , I I I,II I,II等价,记为 I ≅ I I I \cong II III
      等价具有自反性、等价性和传递性且向量组总是与其极大线性无关组等价。


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  • 线性方程组的情况 {x1+x2=1x1−x2=3−x1+2x2=−3\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=1\\ x_{1}-x_{2}=3\\ -x_{1}+2x_{2}=-3\end{matrix}\right.⎩⎨⎧​x1​+x2​=1x1​−x2​=3−x1​+2x2​=−3​

    前言

    线性代数在工程应用上十分广泛,在坐标系转换,深度学习,求解算法的优化解方面有着大量应用。因此掌握线性代数的基本理论,并且具有解决实际工程问题的能力尤为重要。

    线性方程组解的情况

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    线性方程组的解的三种情况

    1. 适定方程组:存在唯一解
    2. 欠定方程组:存在多解。变量数<方程组数
    3. 超定方程组:无解。但可以求出近似解

    二元方程组解的三种情况

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    超定二元方程组的解

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    { x 1 + x 2 = 1 x 1 − x 2 = 3 − x 1 + 2 x 2 = − 3 \left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=1\\ x_{1}-x_{2}=3\\ -x_{1}+2x_{2}=-3\end{matrix}\right. x1+x2=1x1x2=3x1+2x2=3
    以上是无解的,即方程组不相容,但有近似解-----最小二乘解

    用线性代数数值解计算实际工程问题

    对某一城市的交通流量分析:
    节点A: x 1 + 450 = x 2 + 610 x_{1}+450=x_{2}+610 x1+450=x2+610
    节点B: x 2 + 520 = x 3 + 480 x_{2}+520=x_{3}+480 x2+520=x3+480
    节点C: x 3 + 390 = x 4 + 600 x_{3}+390=x_{4}+600 x3+390=x4+600
    节点D: x 4 + 640 = x 1 + 310 x_{4}+640=x_{1}+310 x4+640=x1+310
    列出方程组是:
    { x 1 − x 2 = 160 x 2 − x 3 = − 40 x 3 − x 4 = 210 x 4 − x 1 = − 330 \left\{\begin{matrix}x_{1}-x_{2}=160\\ x_{2}-x_{3}=-40\\ x_{3}-x_{4}=210\\ x_{4}-x_{1}=-330\end{matrix}\right. x1x2=160x2x3=40x3x4=210x4x1=330
    按照 A x = b Ax=b Ax=b的格式转化成矩阵形式
    [ 1 − 1 0 0 0 1 − 1 0 0 0 1 − 1 − 1 0 0 1 ] [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] = [ 160 − 40 210 − 330 ] \begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & 0\\ 0& 1 & -1 & 0\\ 0& 0 & 1 & -1\\ -1& 0& 0& 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ x_{4}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}160\\ -40\\ 210\\ -330\end{bmatrix} 1001110001100011x1x2x3x4=16040210330
    A x = b Ax=b Ax=b中, b b b代表常数,这是线性方程组。注意: A A A必须是方阵才能求逆。对其x的求解,可能出现无解,有解,多解的情况,不能用 x x x b / A b/A b/A
    所以,可以用matlab相关函数求解,使用简化行列式的思路,对行矩阵变换!

    b=[160;-40;210;-330];
    U=rref([A,b]);
    

    可以求出 U U U的简化行列式为:
    U = [ 1 0 0 − 1 330 0 1 0 − 1 170 0 0 1 − 1 210 0 0 0 0 0 ] U=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -1 & 330\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 170\\ 0 & 0& 1 & -1 & 210\\ 0& 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} U=10000100001011103301702100
    可以看出,简化后属于欠定方程,属于多解问题。

    矩阵建模的方法

    1. 列出全部方程,构成方程组
    2. 将方程组变成矩阵
    3. 求解,用matlab
      复杂的系统。列出的方程通常有两种形式。(注意,是列方程)
      变量在等号左侧,常数项在右侧,整理出 A x = b Ax=b Ax=b
      若有多种变量,将一个变量在等号左边,其余变量在右边
      使其能变成:
      X = Q X + P U X=QX+PU X=QX+PU矩阵
      方程是 ( 1 − Q ) X = P U (1-Q)X=PU 1QX=PU
      传递函数是 W = X / U = i n v ( 1 − Q ) ∗ P W=X/U=inv(1-Q)*P W=X/U=inv(1Q)P

    A x = b Ax=b Ax=b的五种写法

    • { x 1 + x 2 − x 3 = 7 2 x 1 − x 2 + 3 x 3 = 9 \left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}-x_{3}=7\\ 2x_{1}-x_{2}+3x_{3}=9\end{matrix}\right. {x1+x2x3=72x1x2+3x3=9
    • [ 2 1 − 1 2 − 1 3 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 7 9 ] \begin{bmatrix}2 & 1 & -1\\ 2 & -1 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\\ 9\end{bmatrix} [221113]x1x2x3=[79]
    • A x = b Ax=b Ax=b
    • [ α 1 α 2 α 3 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 7 9 ] \begin{bmatrix}\alpha _{1} & \alpha _{2} & \alpha _{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\\ 9\end{bmatrix} [α1α2α3]x1x2x3=[79]
    • x 1 α 1 + x 2 α 2 + x 3 α 3 = b x_{1}\alpha _{1}+x_{2}\alpha _{2}+x_{3}\alpha _{3}=b x1α1+x2α2+x3α3=b

    A x = B Ax=B Ax=B的解法

    方法一:
    X = B / A X=B/A X=B/A用逆矩阵来求(逆矩阵的前提是A是方阵)
    逆矩阵的matlab函数是

    V=inv(A)
    

    A x = B Ax=B Ax=B可以求出 x = B / A x=B/A x=B/A

    x=B*inv(A);
    

    A x = b Ax=b Ax=b,  非齐次线性方程组
    A x = 0 Ax=0 Ax=0,     齐次线性方程组

    方法二:
    也可以用行列式来判断解是否存在:
    判断线性方程组的解是否存在和唯一:Ax=0
    A是系数矩阵, ∣ A ∣ ≠ 0 \left | A \right |\neq 0 A=0,解存在
    在MATLAB中求行列式的值,用

    det(A);
    

    非齐次线性方程组Ax=b解存在且唯一的条件是 d e t ( A ) ≠ 0 det(A)\neq 0 det(A)=0
    齐次线性方程组Ax=0有非0解的条件是 d e t ( A ) = 0 det(A)= 0 det(A)=0

    A x = b Ax=b Ax=b三个不同角度讨论

    1. Ax=b 最简行列式变换,消元,求有,无,超定,欠定解,rref
    2. 把Ax当成A是列向量组,判断是否相关,证明超定方程的最小二乘解!
    3. 把A看成一个几何变换,把x域中图形变换到y域中去!

    A x = b Ax=b Ax=b变换后直线还是直线。
    x = [ 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 ] x=\begin{bmatrix} 0 &1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1& 0 \end{bmatrix} x=[0010110100]为顶点在(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)的单位方块!
    这就是变换矩阵的行列式的意义!

    ∣ A ∣ \left | A \right | A是变换后面积的变化

    在几何里面,因为矩阵的变换是Ax,所以

    k [ 3 4 ] ≠ [ 4 5 ] k\begin{bmatrix}3\\ 4\end{bmatrix}\neq \begin{bmatrix}4\\ 5\end{bmatrix} k[34]=[45]
    不能实现平移等线性变换,所以引入齐次坐标系!(增加一维)

    R = [ c o s θ − s i n θ 0 s i n θ c o s θ 0 0 0 1 ] R=\begin{bmatrix}cos\theta & -sin\theta & 0\\ sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0 & 1\end{bmatrix} R=cosθsinθ0sinθcosθ0001
    (旋转是绕原点的)

    M = [ 0 0 a 0 0 b 0 0 1 ] M=\begin{bmatrix}0 & 0 &a \\ 0& 0 & b\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} M=000000ab1
    先旋转后平移,是 R ∗ M R*M RM,不是 R + M R+M R+M

    A x = b Ax=b Ax=b在几何学上的应用

    1. A x = y Ax=y Ax=y表示向量空间中x组成的图形经变换A后变换为向量空间y中的图形
    2. A x = y Ax=y Ax=y也表示坐标变换,A中各列为y坐标的基向量,用这关系可进行正反坐标变换。
    eigshow(A);
    

    在matlab中,可显示二维向量x沿单位圆转动时,经A左乘后在y平面上的形状。
    x − y x-y xy共线时, y = A x = λ x y=Ax=\lambda x y=Ax=λx, λ \lambda λ为特征值, x x x为特征向量
    在matlab中,求取特征值和特征向量为

    [P,lambada]=eig(A);
    

    QR分解的几何意义

    QR分解可以看成分解出新的坐标系!
    在matlab中,求取结果是

    [Q,R]=qr(A);
    

    A = [ v 1 , v 2 ] = [ − 1 6 2 8 ] A=[v_{1},v_{2}]=\begin{bmatrix}-1 & 6\\ 2& 8\end{bmatrix} A=[v1,v2]=[1268]

    作qr分解:
    Q = [ − 0.4472 0.8944 0.8944 0.4472 ] , R = [ 2.2361 4.4721 0 8.9443 ] Q=\begin{bmatrix} -0.4472 & 0.8944\\ 0.8944& 0.4472 \end{bmatrix},R=\begin{bmatrix} 2.2361 & 4.4721\\ 0& 8.9443 \end{bmatrix} Q=[0.44720.89440.89440.4472],R=[2.236104.47218.9443]
    从几何角度来看:
    在这里插入图片描述
    Q的第一列代表新成立的x坐标,第二列是垂直的y坐标!(即分解后的新坐标)

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  • 一、 线性代数的考试大纲【线性代数的考试大纲数学一、二、三其实有一点点的区别,可以忽略!(因为每年数学一、二、三的五个线代题基本全一样)下面我给出的是数学二为蓝本的大纲!全体同学按此复习!】一、行列式...

    一、 线性代数的考试大纲

    【线性代数的考试大纲数学一、二、三其实有一点点的区别,可以忽略!(因为每年数学一、二、三的五个线代题基本全一样)下面我给出的是数学二为蓝本的大纲!全体同学按此复习!】

    行列式

    考试内容

    行列式的概念和基本性质 行列式按行(列)展开定理

    考试要求

    1.了解行列式的概念,掌握行列式的性质.

    2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式.

    矩阵

    考试内容

    矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等价分块矩阵及其运算 

    考试要求

    1.理解矩阵的概念,了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质.

    2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律,了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.

    3.理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件.理解伴随矩阵的概念,会用伴随矩阵求逆矩阵.

    4.了解矩阵初等变换的概念,了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念,理解矩阵的秩的概念,掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.

    5.了解分块矩阵及其运算. 

    向量

    考试内容

    向量的概念 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量的内积 线性无关向量组的的正交规范化方法 

    考试要求

    1.了解向量的概念,掌握向量的加法和数乘运算规律.

    2.理解向量组线性相关、线性无关的概念,掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.

    3.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念,会求向量组的极大线性无关组及秩.

    4.理解向量组等价的概念,了解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩的关系.

    5.了解内积的概念,掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法.

    线性方程组

    考试内容

    线性方程组的克莱姆(Cramer)法则 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件 线性方程组解的性质和解的结构 齐次线性方程组的基础解系和通解 非齐次线性方程组的通解

    考试要求

    1.会用克莱默法则解线性方程组.

    2.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.

    3.理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念,掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法.

    4.理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念.

    5.掌握用初等行变换求解线性方程组.

    矩阵的特征值及特征向量

    考试内容

    矩阵的特征值和特征向量的概念、性质  相似矩阵的概念及性质  矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵  实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵

    考试要求

    1.理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质,会求矩阵特征值和特征向量.

    2.理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,会将矩阵化为相似对角矩阵.

    3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.

    二次型

    考试内容

    二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形  用正交变换和配方法化二次型为标准形  二次型及其矩阵的正定性

    考试要求

    1.了解二次型的概念,会用矩阵形式表示二次型,了解合同变换与合同矩阵的概念.

    2.了解二次型的秩的概念,了解二次型的标准形、规范形等概念,了解惯性定理,会用正交变换和配方法化二次型为标准形.

    3.理解正定二次型、正定矩阵的概念,并掌握其判别法.

    二、复习要点与课后习题

     大多同学以同济线代教材去复习的,下面我以这本数给大家列列不考内容:

    《线性代数》第六版数学一不考的内容
    第六章全部

    《线性代数》第六版数学二、三不考的内容

    第四章第5节向量空间
    第六章全部

    至于课后习题本来就很少,每大章就20来题,整本书就100多一点的课后习题,不用讲了全部做吧!

    【广告】唐老师的全程陪伴班是真心为大家好,499搞定数学,不仅全程授课(无限次回放),还包括专人答疑,后期模考测评,关键还有你一路的学习进度,什么阶段干嘛,都清清楚楚不用操心!所以我会使劲推,好的东西大声说出来(目前人数还比较少),继续推一波!

    f7102334d96f5471ce71b50b80234fbd.png2b4333098ee2c4b1583b4822f5e22abe.pngb156ddc655438c38bcfe19ed99d9e938.png71bf39a69a7af34cf9f0a2c62d88b17d.png

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空空如也

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线性代数解的判别