1.a ⊕ a = 0
2. a ⊕ b = b ⊕ a
3. a ⊕b ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c) = (a ⊕ b) ⊕ c;
4. d = a ⊕ b ⊕ c 可以推出 a = d ⊕ b ⊕ c.
5. a ⊕ b ⊕ a = b.
6.若x是二进制数0101，y是二进制数1011，则x⊕y=1110

比较特殊的有：
一 : 自反性：a ^ b ^ a = b。
根据两个相等的数异或值为零：如sum = a ^ b ^ c ^ d,如果随机删去一个变量比如删除b之后的异或和为sum1 = a ^ c ^ d,那么有sum1 = sum^b

二: 交换律：a ^ b = b ^ a
任意个数的异或和等于把这些数顺序打乱之后的异或和。（内容不变）

三: 结合律：a ^ b ^ c = a ^ （b ^ c） = （a ^ b） ^ c；
d = a ^ b ^ c 可以推出 a = d ^ b ^ c。

“与” 运算 和 “或” 运算，大家对它们可能比较熟悉了 ，“异或” 运算 平常使用较少，存在感也不强，如果不是刻意提起，可能还想不到它

其实，“异或” 运算也非常重要，它在加密、备份、算法等方面都有应用，每一位开发的同学都应该花点儿时间掌握它的特点和规律，以便在日常工作中能灵活的运用

接下来将介绍异或运算的一些基础知识以及在实际中的一些应用

基础知识

异或是计算机中一种二元逻辑运算， 运算符号是 ^，它按照二进制位进行异或运算，结果为 真 或 假， 它的运算法则如下

x	y	x^y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

表格 第一列 和 第二列 是异或运算的两个操作数，第三列是异或运算的结果，1 表示真，0 表示假

由表格可知：如果参与运算的两个二进制位相同，则结果为 0 ，否则为 1

也就是说，异或主要用来判断两个值是否相同

重要的性质

下面列出异或运算一些重要的性质，1 表示真，0 表示假， 具体的验证过程比较简单，这里就省略了

1、一个数与自身异或，总是为 0

x ^  x = 0

2、 一个数与 0 异或，总是其自身

x  ^  0 = x

3、 交换性

x  ^ y =  y ^ x

4、 结合性

x ^ ( y ^ z ) =  ( x ^ y )  ^ z

常见应用

异或运算本身比较简单，重点还是在应用层面，上面列出的性质，在很多方面都有应用

• 判断两个数是否相等

一个数与自身异或，总是为 0，我们可以使用这一点来判断两个变量是否相等

( a ^ b ) == 0

当 a和 b相等时，表达式为真，否则为假

• 不使用临时变量交换两个数的值

要交换两个数的值，通常做法是借助一个临时变量，然后再进行交换，比如：tmp是临时变量，现需要交换 a和 b两个变量值，过程如下

tmp = a
a = b
b = tmp;

利用异或的一些性质，不用临时变量也能实现交换两个数的值，具体过程如下

a  =  a  ^  b
b  =  a  ^  b
a  =  a  ^  b

假如初始时，a = 1、b = 2

第一个等式 a = a ^ b结果是 a = 1 ^ 2 = 3

紧接着第二个等式 b = a ^ b结果是 b = 1 ^ 2 ^ 2 = 1 ^ 0 = 1

最后一个等式 a = a ^ b结果是 b = 1 ^ 2 ^ 1 = 1 ^ 1 ^ 2 = 0 ^ 2 = 2

可以看到，最终 a = 2、 b = 1，它们的值实现了交换

上面的三条语句还可以进一步优化成一条，结果如下

a  ^=  b  ^=  a  ^=  b

• 简化表达式

根据交换性，可以优化表达式中重复变量的异或运算，比如：表达式 a ^ b ^ c ^ a ^ b可以做如下简化

a  ^  b  ^  c  ^  a  ^  b                   # 根据 x ^ y  = y ^ x

=  ( a  ^  a )  ^  ( b  ^  b )  ^  c        # 根据 x  ^ x = 0

=  0  ^  0  ^  c                            # 根据 x ^ 0 = x

= c

• 加密

利用异或运算加密是很常见的加密手段，它涉及到三个变量：明文、密钥、密文，假如它们分别记为 plain_text、 encrypt_key、 cipher_text

明文和密钥进行异或运算，可以得到密文

plain_text  ^  encrypt_key = cipher_text

密文和密钥进行异或运算，可以得到明文

cipher_text ^ encrypt_key 
= ( plain_text  ^  encrypt_key ) ^ encrypt_key
= plain_text  ^ ( encrypt_key ^ encrypt_key )   # 根据 x ^ ( y ^ z ) = ( x ^ z ) ^ y
= plain_text  ^  0                              # 根据 x ^ x = 0
= plain_text

• 备份

根据异或的性质，异或运算还可以用于文件的备份

现有两个文件 filea和 fileb，它们进行异或运算，会产生一个新的备份文件 bakfile

bakfile  =  filea  ^  fileb

根据异或的性质，可以通过 bakfile和 filea得到 fileb，或者通过 bakfile和 fileb得到 filea

后面无论是 filea或 fileb文件损坏了，只要不是两个文件同时损坏，都可以通过两者中未损坏的文件 和 bakfile文件，还原得到另一个文件

当 filea文件损坏了，可以通过 fileb和 bakfile进行异或运算得到完好的 filea文件

fileb  ^  bakfile
=  fileb  ^ ( filea  ^  fileb )
=  fileb  ^  filea  ^  fileb        # 根据 x ^ ( y ^ z ) = ( x ^ z ) ^ y
=  fileb  ^  fileb  ^  filea        # 根据 x ^ x = 0
=  0  ^ filea                       # 根据 x ^ 0 = x
=  filea

同样，当 fileb文件损坏了，可以通过 filea和 bakfile进行异或运算得到完好的 fileb文件

filea  ^  bakfile
=  filea  ^ ( filea  ^  fileb )
=  filea  ^  filea  ^  fileb        # 根据 x ^ ( y ^ z ) = ( x ^ z ) ^ y 
=  filea  ^  filea  ^  fileb        # 根据 x ^ x = 0
=  0  ^ fileb                       # 根据 x ^ 0 = x
=  fileb

解算法题

有些算法可以利用异或的思路进行求解，下面列出力扣上的一道算法题来说明，题目如下：

一个长度为 n-1 的递增排序数组中的所有数字都是唯一的，并且每个数字都在范围 0 ～ n-1 之内，

在范围 0 ～ n-1 内的 n 个数字中有且只有一个数字不在该数组中，请找出这个数字


示例 1:

输入: [ 0,1,3 ]

输出: 2


示例 2:

输入: [ 0,1,2,3,4,5,6,7,9 ]

输出: 8

最快捷的解决方法是把数组的所有元素以及 0到 n-1之间的整数 全部进行异或运算

arry[0] ^ arry[1] ^ arry[2] ... ^ arry[n-2] ^ 0 ^ 1 ^ 2 .... ^ (n-1)

由于数组元素值范围在 0到 n-1，且所有元素值都没有重复

所以，上述的计算式子中，0到 n-1每个数会出现两次，只有缺少的那个数仅出现一次，根据异或的性质 x ^ x = 0可知，相同值之间的异或运算等于 0，因此算式的结果其实就是缺少的那个数

下面给出测试文件 test.cpp，代码是用 C++ 实现的，可以自行用其他语言实现

#include <stdint.h>
#include <iostream>
using namespace std;

int32_t find_missing(int32_t *ary, int32_t len)
{
    //数组长度小于等于1，直接返回 -1
    if(len <= 1)
    {
        return -1;
    }
    //结果
    int32_t result = 0;
    //result 和 数组中每一个元素值进行异或运算
    for (int32_t i = 0; i < len; i++)
    {
        result ^= ary[i];
    }
    //result 和 0 到 n 中每一个值进行异或运算
    for (int32_t j = 0; j <= len; j++)
    {
        result ^= j;
    }
    return result;
}
//编译: g++ -g -o test  test.cpp
int32_t main(int32_t argc , char *argv[])
{
    int32_t ary[] = { 0, 1, 3 };
    int32_t result = find_missing(ary, sizeof(ary) / sizeof(int32_t));
    std::cout << "result = " << result << std::endl;
    
    return 0;
}

使用 g++ -g -o test test.cpp命令编译，接着运行程序，结果如下：

[root@localhost test]# ./test 
result = 2

当然，这道题目还有其他的解法，比如：利用加法来解，大家自己去思考下，这里不做介绍了

题目链接
https://leetcode-cn.com/problems/que-shi-de-shu-zi-lcof/

小结

通过上文，我们可以看到，异或运算在很多方面都有应用，其实，它的应用远不止文中介绍的方面，所以，我们花时间去掌握它是非常值得做的一件事

什么是异或_异或运算及异或运算的作用

异或，是一个数学运算符，英文为exclusive OR，缩写为xor，应用于逻辑运算。

异或的数学符号为“⊕”，计算机符号为“xor”。其运算法则为：

　　a⊕b = （¬a ∧ b） ∨ （a ∧¬b）

如果a、b两个值不相同，则异或结果为1。如果a、b两个值相同，异或结果为0。

异或也叫半加运算，其运算法则相当于不带进位的二进制加法：

二进制下用1表示真，0表示假，则异或的运算法则为：0⊕0=0，1⊕0=1，0⊕1=1，1⊕1=0（同为0，异为1），

这些法则与加法是相同的，只是不带进位。

　　异或略称为XOR、EOR、EX-OR

　　程序中有三种演算子：XOR、xor、⊕。

　　使用方法如下

　　z = x ⊕ y

　　z = x xor y

异或运算的作用

参与运算的两个值，如果两个相应bit位相同，则结果为0，否则为1。

即：

0^0 = 0，

1^0 = 1，

0^1 = 1，

1^1 = 0

按位异或的3个特点：

（1） 0^0=0，0^1=1 0异或任何数＝任何数

（2） 1^0=1，1^1=0 1异或任何数－任何数取反

（3） 任何数异或自己＝把自己置0

按位异或的几个常见用途：

（1） 使某些特定的位翻转

例如对数10100001的第2位和第3位翻转，则可以将该数与00000110进行按位异或运算。

10100001^00000110 = 10100111

（2） 实现两个值的交换，而不必使用临时变量。

　　例如交换两个整数a=10100001，b=00000110的值，可通过下列语句实现：

　　a = a^b； 　　//a=10100111

　　b = b^a； 　　//b=10100001

　　a = a^b； 　　//a=00000110

　　（3） 在汇编语言中经常用于将变量置零：

　　xor a，a

　　（4） 快速判断两个值是否相等

　　举例1： 判断两个整数a，b是否相等，则可通过下列语句实现：

　　return （（a ^ b） == 0）

　　举例2： Linux中最初的ipv6_addr_equal（）函数的实现如下：

　　staTIc inline int ipv6_addr_equal（const struct in6_addr *a1， const struct in6_addr *a2）

　　{

　　return （a1-》s6_addr32［0］ == a2-》s6_addr32［0］ &&

　　a1-》s6_addr32［1］ == a2-》s6_addr32［1］ &&

　　a1-》s6_addr32［2］ == a2-》s6_addr32［2］ &&

　　a1-》s6_addr32［3］ == a2-》s6_addr32［3］）;

　　}

　　可以利用按位异或实现快速比较， 最新的实现已经修改为：

　　staTIc inline int ipv6_addr_equal（const struct in6_addr *a1， const struct in6_addr *a2）

　　{

　　return （（（a1-》s6_addr32［0］ ^ a2-》s6_addr32［0］） |

　　（a1-》s6_addr32［1］ ^ a2-》s6_addr32［1］） |

　　（a1-》s6_addr32［2］ ^ a2-》s6_addr32［2］） |

　　（a1-》s6_addr32［3］ ^ a2-》s6_addr32［3］）） == 0）;

　　}

　　5 应用通式：

　　对两个表达式执行按位异或。

　　result = expression1 ^ expression2

　　参数

　　result

　　任何变量。

　　expression1

　　任何表达式。

　　expression2

　　任何表达式。

　　说明

　　^ 运算符查看两个表达式的二进制表示法的值，并执行按位异或。该操作的结果如下所示：

　　0101 （expression1）1100 （expression2）----1001 （结果）当且仅当只有一个表达式的某位上为 1 时，结果的该位才为 1。否则结果的该位为 0。

　　只能用于整数

　　下面这个程序用到了“按位异或”运算符：

　　class E

　　{ public staTIc void main（String args［ ］）

　　{

　　char a1=‘十’ ， a2=‘点’ ， a3=‘进’ ， a4=‘攻’ ;

　　char secret=‘8’ ;

　　a1=（char） （a1^secret）;

　　a2=（char） （a2^secret）;

　　a3=（char） （a3^secret）;

　　a4=（char） （a4^secret）;

　　System.out.println（“密文：”+a1+a2+a3+a4）;

　　a1=（char） （a1^secret）;

　　a2=（char） （a2^secret）;

　　a3=（char） （a3^secret）;

　　a4=（char） （a4^secret）;

　　System.out.println（“原文：”+a1+a2+a3+a4）;

　　}

　　}

　　就是加密啊解密啊

　　char类型，也就是字符类型实际上就是整形，就是数字。

　　计算机里面所有的信息都是整数，所有的整数都可以表示成二进制的，实际上计算机只认识二进制的。

　　位运算就是二进制整数运算啦。

　　两个数按位异或意思就是从个位开始，一位一位的比。

　　如果两个数相应的位上一样，结果就是0，不一样就是1

　　所以111^101=010

　　那加密的过程就是逐个字符跟那个secret字符异或运算。

　　解密的过程就是密文再跟同一个字符异或运算

　　010^101=111

　　至于为什么密文再次异或就变原文了，这个稍微想下就知道了。。

　　异或运算：按位异或运算符

　　首先异或表示当两个数的二进制表示，进行异或运算时，当前位的两个二进制表示不同则为1相同则为0.该方法被广泛推广用来统计一个数的1的位数！

　　参与运算的两个值，如果两个相应bit位相同，则结果为0，否则为1。

　　即：

　　0^0 = 0，

　　1^0 = 1，

　　0^1 = 1，

　　1^1 = 0

　　按位异或的3个特点：

　　（1） 0^0=0，0^1=1 0异或任何数＝任何数

　　（2） 1^0=1，1^1=0 1异或任何数－任何数取反

　　（3） 任何数异或自己＝把自己置0

　　按位异或的几个常见用途：

　　（1） 使某些特定的位翻转

　　例如对数10100001的第2位和第3位翻转，则可以将该数与00000110进行按位异或运算。

　　10100001^00000110 = 10100111

　　（2） 实现两个值的交换，而不必使用临时变量。

　　例如交换两个整数a=10100001，b=00000110的值，可通过下列语句实现：

　　a = a^b； 　　//a=10100111

　　b = b^a； 　　//b=10100001

　　a = a^b； 　　//a=00000110

　　位运算

　　位运算时把数字用二进制表示之后，对每一位上0或者1的运算。理解位运算的第一步是理解二进制。二进制是指数字的每一位都是0或者1.比如十进制的2转化为二进制之后就是10。

　　其实二进制的运算并不是很难掌握，因为位运算总共只有5种运算：与、或、异或、左移、右移。如下表：

　　

　　左移运算：

　　左移运算符m《《n表示吧m左移n位。左移n位的时候，最左边的n位将被丢弃，同时在最右边补上n个0.比如：

　　

 

　　右移运算：

　　右移运算符m》》n表示把m右移n位。右移n位的时候，最右边的n位将被丢弃。但右移时处理最左边位的情形要稍微复杂一点。这里要特别注意，如果数字是一个无符号数值，则用0填补最左边的n位。如果数字是一个有符号数值，则用数字的符号位填补最左边的n位。也就是说如果数字原先是一个正数，则右移之后再最左边补n个0；如果数字原先是负数，则右移之后在最左边补n个1.下面是堆两个8位有符号数作右移的例子：

　　

 

　　关于移位的运算有这样的等价关系：把整数右移一位和把整数除以2在数学上是等价的。

　　

 

　　计算机内部只识别1、0，十进制需变成二进制才能使用移位运算符《《，》》 。

　　int j = 8;

　　p = j 《《 1;

　　cout《《p《《endl;

　　在这里，8左移一位就是8*2的结果16 。

　　移位运算是最有效的计算乘/除乘法的运算之一。

　　按位与（&）其功能是参与运算的两数各对应的二进制位相与。只有对应的两个二进制位均为1时，结果位才为1，否则为0 。参与运算的数以补码方式出现。

　　先举一个例子如下：

　　题目：请实现一个函数，输入一个正数，输出该数二进制表示中1的个数。

　　

 

　　这里用到了这样一个知识点：把一个整数减去1，再和原整数做与运算，会把该整数最右边一个1变成0 。 那么一个整数的二进制表示中有多少个1，就可以进行多少次这样的操作。

　　总结：把一个整数减去1之后再和原来的整数做位与运算，得到的结果相当于是把整数的二进制表示中的最右边一个1变成0 。

　　位运算的应用可以运用于很多场合：

　　清零特定位（mask中特定位置0，其它位为1 ， s = s & mask）。

　　取某数中指定位（mask中特定位置，其它位为0， s = s & mask）。

　　举例：输入两个整数m和n，计算需要改变m的二进制表示中的多少位才能得到n。

　　解决方法：第一步，求这两个数的异或；第二步，统计异或结果中1的位数。

　　

 

　　接下来我们再举一例，就可以更好的说明移位运算了：用一条语句判断一个整数是不是2的整数次方。

　　解决方法：一个整数如果是2的整数次方，那么它的二进制表示中有且只有一位是1，而其它所有位都是0 。 根据前面的分析，把这个整数减去1后再和它自己做与运算，这个整数中唯一的1就变成0了。

　　解答：！（x & （x - 1））