多元函数的最值问题就是在多个约束条件下,某一个问题的最大和最小值.在所列的式子之中,有多个未知数.求解多元函数的最值问题技巧性强、难度大、方法多，灵活多变，多元函数的最值问题蕴含着丰富的数学思想和方法.解题办法常有：导数法、消元法、基本不等式法、换元法等
最终得到了12种处理多元函数的最值问题的方法，并通过高考真题来进行详细讲解，普通人和学霸之间差距就是学习方法和解题技巧，今天老师就把这些方法分享给同学们，掌握以后，大大提升了解题速度，你也你能轻松变学霸
同时老师整理了相关的专题训练试题，需要的同学可在文末获取。
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解法1
消元变形，凑出定值
解法2
常数代换，化为齐次
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解法3
和积关系，求出范围
解法4
开门见山，直接求解
解法5
柯西出马，瞬间秒杀
解法6
三角换元，目标可达
解法7
等值换元，威力不凡
解法8
万能大法，判别式法
解法9
研究函数，数形结合
解法10
函数偏导，求出极值
解法11
拉格朗日，数乘大法
解法12
小题小做，巧字当先
点评：
由于该引例比较简单，所以用12种方法解决该题，给人以“杀鸡用牛刀”的感觉，尤其是解法10，解法11这两种高等数学背景下的解法。但是由于每一种方法都有自己的优势，同时也有限制和局限，所以不同的题目可能会用到其中不同的方法才可以顺利解决问题。本引例给出的12种方法基本涵盖了解决多元函数的最值问题的常用方法，当然也有一些方法在本例中未涉及，如配方法等。解法12是比较有争议的一种方法，它是做小题的一种技巧性较强的方法，用好了可以瞬间口算结果，但有限制条件，也就是说并不是所有题目都可以用，所以如果不清楚原理，最好慎用。首先，必须是变换变量后题目不变，才可以用该法，还包括直接不能使用但换元后可用的情况。除此以外的情况是一定不能使用的。其次，满足上述条件的题目，也不是都可以用，以下两种情况不可以用：
第一，用此法求出的最值不是所要的最值，如算出的是最小值，而题目要求的是最大值(详见典例1和典例2)。
第二，主要就是把这两个变量结合为一个变量的情况，也就是用通法求解时不是将这两个变量作为单个变量求解(以上情况很少，近10年高考仅出现过一次，详见典例4)。
关于类似解法12的一些技巧性较强的快速解法，我个人有如下的观点，首先是否能用完全取决于命题人，命题人不想让你用这样的方式得分，你肯定用不了，用了甚至会掉入“陷阱”。所以遇到能用的情况那就是赚到，但不要寄希望于这个。其次自己是否需要掌握或者使用这样的技巧要看个人的情况，个人建议特别优秀的学生可以去用，因为他们有能力理解本质和准确识别是否能用。其次基础较差的学生可以记忆一些这样的技巧，因为如果不用，这种题他们用通法一般是做不了的。而中等学生，他们有能力用通法做，但对快速解法的本质有可能理解不了，防止用错，还是稳扎稳打通法的好。
经典例题：
点评
本例给出了上文12种解法中的两种方法的解答。本例难度相对较大，表面看来交换变量题目不变，可以用解法12求解，但计算出结果后发现求出的是最小值，而题目要求是最大值。这就是说命题人不想让你用这样的方式求解，本例最后用基本不等式求解，可以看出用基本不等式的主体是两个变量合并后的更复杂的量，所以不满足用解法12的条件。
点评
本例给出了上文12种解法中的三种方法的解答。本例难度相对较大，表面看可以交换变量题目不变，可以用解法12求解，但只能求出的范围的一端，所以还得改用它法。
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点评
本例给出了上文12种解法中的三种方法的解答。解法3看似暴力，实际上背后有待定系数法的强大支撑。
点评
本例是今年高考非常经典的一个题目，题目难度不大，表面看来交换变量题目不变，可以用解法12求解，但计算出的结果竟然既不是最大值也不是最小值。命题人很有可能想给那些过度关注技巧和秒杀的朋友们一些警示。本例用基本不等式求解，可以看出用基本不等式的主体是两个变量合并后的更复杂的量,所以不满足用解法12的条件.
除以上内容，老师还整理了关于数学各模块题型的精讲，上面展示的题型库+配套练习，课堂中关于如何学好高中数学的视频课，希望你们认真领会并按照课程中所讲坚持下去，必见成效。
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输入格式:
以指数递降方式输入多项式非零项系数和指数（绝对值均为不超过1000的整数）。数字间以空格分隔。
输出格式:

以与输入相同的格式输出导数多项式非零项的系数和指数。数字间以空格分隔，但结尾不能有多余空格。
输入样例:
3 4 -5 2 6 1 -2 0

输出样例
12 3 -10 1 6 0

#include<stdio.h>

int main()
{
	int a[1000],b[1000];
	int n, j = 0, p = 0, i = 0;
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		a[i++] = n;
	}
	
	while(j < i)
	{
		int m, n;
		m = a[j] * a[j+1];
		n = a[j+1] - 1;
		if(m == 0)//系数为0时不打印 
		{
			j+=2;
			continue;
		}
		else
		{
			b[p++] = m;
			b[p++] = n;
			j += 2;
		}
	}
	if(p == 0)//零多项式的情况
	{
		printf("0 0");
	}
	for(j = 0;j < p;j++)
	{
		if(j == p-1)
		{
			printf("%d",b[j]);
		}
		else printf("%d ",b[j]);
	 } 
}

输入格式:
以指数递降方式输入多项式非零项系数和指数（绝对值均为不超过 1000 的整数）。数字间以空格分隔。
输出格式:
以与输入相同的格式输出导数多项式非零项的系数和指数。数字间以空格分隔，但结尾不能有多余空格。注意“零多项式”的指数和系数都是 0，但是表示为 0 0。
输入样例:
3 4 -5 2 6 1 -2 0
输出样例:
12 3 -10 1 6 0
提交了几次，总有一个测试点答案错误，后来发现是题目没有理解全面：“零多项式”即是最终的整个多项式的系数指数都为零，这是只需要输出0 0即可。如果结果的多项式中部分是零，则需要输出部分的零；
#include<<stdio.h>
void main(){
    int list[100];//数组用于接收输入的数列
    int i=0,j=0,k=0;//用于循环
    int xi,zhi;//系数和指数
    int flag=0;//用于判断整个多项式系数指数是否均为零
    char c;
    
    do{
        scanf("%d",&list[i++]); //将数存入数组
        c=getchar();//接收数之间的空格
    }while(c!='\n');

	for(j=0;j<i;){
		xi=list[j++];//取出某单项式的系数
  		zhi=list[j++];//取出某单项式对应的指数
		if(((xi!=0)&&(zhi==0))||((xi==0)&&(zhi!=0)))
   			continue;//常数的导数为零，不在结果中显示
		else if((xi==0)&&(zhi==0)){
			list[k]=0;
   			list[k+1]=0;//某单项式的系数和指数均为零
		}
		else{
			list[k]=xi*zhi;
   			list[k+1]=zhi-1;
   			if((list[k]!=0)||(list[k+1]!=0))
    				flag=1;//系数和指数中有不为零的
		}
		k=k+2;
	}

	if(flag==0)
  		printf("0 0");//多项式的系数和指数都为零
	else{
		for(i=0;i<k;i++)
  	 		printf(i==0?"%d":" %d",list[i]);//数之间要留空格
	}
}
    

最近在读 Numerical Recipes in C++ ，上面给了些多项式求值的算法，很实用。放在这里备用。三个函数，分别是多项式求值，多项式求导数值，多项式求各阶导数值。

下面的代码全都简单验算过，应该没什么问题，可以大胆的使用。




/**
 * @brief poly 计算多项式的值，采用 horner 算法
 * @param coff 多项式的系数，c0, c1, ... cN
 * @param n 多项式最高项的次数
 * @param x 自变量的取值
 * @return 多项式在 x 处的值
 */
double poly(const double coff[], int N, double x)
{
    double p = coff[N];
    for(int j = N - 1; j >= 0; j--)
    {
        p = p * x + coff[j];
    }
    return p;
}

/**
 * @brief dpoly 计算多项式的值和一阶导数值
 * @param coff  多项式的系数，c0, c1, ... cN
 * @param N 多项式最高项的次数
 * @param x 自变量的取值
 * @param [out] d 多项式在 x 处的导数值
 * @return 多项式在 x 处的值
 */
double dpoly(const double coff[], int N, double x, double &dp)
{
    dp = 0;
    double p = coff[N];
    for(int j = N - 1; j >= 0; j--)
    {
        dp = dp * x + p;
        p = p * x + coff[j];
    }
    return p;
}

/**
 * @brief ddpoly 计算多项式的第 0 阶到第 M 阶导数
 * @param coff 多项式的系数，c0, c1, ... cN
 * @param N 多项式最高项的次数
 * @param x 自变量的取值
 * @param dp 多项式在 x 处的各阶导数值，从 0 阶到 M 阶
 * @param M 需要求解的多项式的导数的最高阶次
 */
void ddpoly(double coff[], int N, double x, double dp[], int M)
{
    dp[0] = coff[N];
    for(int j = 1; j < M; j++)
    {
        dp[j] = 0.0;
    }
    int nnd = 0;
    for(int i = N - 1; i >= 0; i--)
    {
        nnd = (M < N - i) ? M : N - i;
        for(int j = nnd; j > 0; j--)
        {
            dp[j] = dp[j] * x + dp[j - 1];
        }
        dp[0] = dp[0] * x + coff[i];
    }
    double cnst = 1.0;
    for(int i = 2; i < M + 1; i ++)
    {
        cnst = cnst * i;
        dp[i] = dp[i] * cnst;
    }
}