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  • Matlab求解微分方程()及偏微分方程()
  • (1)PDEtool(GUI)求解偏微分方程的一般步骤 在Matlab命令窗口输入pdetool,回车,PDE工具箱的图形用户界面(GUI)系统就启动了.从定义一个偏微分方程问题到完成解偏微分方程的定解,整个过程大致可以分为六个阶段
  • 精品文档 基础知识 偏微分方程的定解问题 各种物理性质的定常即不随时间变化过程都可用椭圆型方程来描述其最典型最简单的形式是泊松 (Poisson) 方程 2 2 u u u 2 2 f (x , y) 1 x y 特别地当 f ( x, y) 0时即为...
  • 非稳态的偏微分方程组是一个比较难解决的问题,也是在热质交换等方面的常常遇到的问题,因此需要一套程序来解决非稳态偏微分方程组的数值解。
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  • 偏微分方程组matlab求解语句 ​ 该命令用以求解以下的PDEPDEPDE方程式: c(x,t,u,∂u∂x)∂u∂t=x−m∂(xmf(x,t,u,∂u∂x))∂x+s(x,t,u,∂u∂x) c(x,t,u,\frac{\partial u }{\partial x})\frac{\partial u}{\...

    Matlab的偏微分方程工具箱求解方法

    这一节我们主要用matlab自带的偏微分方程的工具箱函数求解

    一.偏微分方程组的matlab求解语句

    ​ 该命令用以求解以下的PDEPDE方程式:
    c(x,t,u,ux)ut=xm(xmf(x,t,u,ux))x+s(x,t,u,ux) c(x,t,u,\frac{\partial u }{\partial x})\frac{\partial u}{\partial t } = x^{-m}\frac{\partial (x^mf(x,t,u,\frac{\partial u}{\partial x}))}{\partial x }+s(x,t,u,\frac{\partial u }{\partial x})
    ​ 其中:t[t0,tf],x[a,b]t \in [t_0,t_f],x \in [a,b]。偏微分方程的初解:
    u(x,t0)=v0(x) u(x,t_0) = v_0(x)
    ​ 边界条件为:
    p(x,t,u)+q(x,t)f(x,t,u,ux)=0 p(x,t,u) +q(x,t)f(x,t,u,\frac{\partial u}{\partial x}) = 0
    ​ 下面介绍求解此类方程的函数用法:
    sol=pdepe(m,pdepe,icfun,bcfun,xmesh,tspan,options); sol = pdepe(m,pdepe,icfun,bcfun,xmesh,tspan,options);
    m:m:对称参数。

    xmesh:xmesh:位置向量,xmesh=[x0,x1,...xN],x0=a,xN=bxmesh = [x_0,x_1,...x_N],x_0 = a,x_N = b

    tspan:tspan:时间变量tt的向量,tspan=[t0,t1,...tM],t0=t0,tM=tftspan = [t_0,t_1,...t_M],t_0 = t_0,t_M = t_f

    pdefun:pdefun:用户提供的pdepde函数文件。函数格式如下:
    [c,f,s]=pdefun(x,t,u,dudx); [c,f,s] = pdefun(x,t,u,dudx);
    ​ 也就是说我们要自己设置相应的输出c,f,sc,f,s,且它们都是行向量。

    icfun:icfun:求解uu的起始值,格式为u=icfun(x)u = icfun(x)。且uu是行向量。

    bcfun:bcfun:提供边界条件函数,格式:
    [pl,ql,pr,qr]=bcfun(xl,ul,xr,ur,t); [pl,ql,pr,qr] = bcfun(xl,ul,xr,ur,t);
    pl,ql:pl,ql:左边界ppqq的行向量。pr,qr:pr,qr:右边界ppqq的行向量。

    options:options:求解器相关解法参数,见odesetodeset

    sol:sol:多维向量输出,sol(:,:,i)sol(:,:,i)uiu_i的输出,而ui(j,k)=sol(j,k,i)u_i(j,k) = sol(j,k,i)表示在t=tspan(j),x=xmesh(k)t = tspan(j),x = xmesh(k)时候 的uiu_i的值。

    ​ 要获得特定位置和时间的解用以下命令:
    [uout,duoutdx]=pdeval(m,xmesh,ui,xout); [uout,duoutdx] = pdeval(m,xmesh,ui,xout);
    xmesh:[x0,x1,...xN]xmesh:[x_0,x_1,...x_N]

    ui:sol(j,:,i),ui:sol(j,:,i),ii个输出uiu_i在时间tjt_j处的解。

    uout:uout:在指定tft_f下对应指定位置xoutxout的值。

    duoutdx:duoutdx:相对应的dudx\frac{du}{dx}

    二.具体的用法

    ​ 1.求解以下偏微分方程(解析解为 u(x,t)=etsin(πx)u(x,t) = e^{-t}sin(\pi x)):
    π2ut=2ux2 \pi^2\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2u}{\partial x^2}
    ​ 其中x[0,1]x \in[0,1],满足以下条件:
    u(x,0)=sin(πx)u(0,t)=0πet+u(1,t)x=0 u(x,0) = sin(\pi x)\\ u(0,t) = 0 \\ \pi e^{-t} + \frac{\partial u(1,t)}{\partial x} = 0

    solve:solve:

    ​ 改写以上偏微分方程到标准形式:
    π2ut=x0x(x0ux)+0 \pi^2 \frac{\partial u}{\partial t} = x^0\frac{\partial}{\partial x}(x^0\frac{\partial u}{\partial x}) +0
    ​ 具体的实现代码如下:

    function first
        %计算从t:0~3的值
        x = linspace(0,1,20);
        t = linspace(0,3,60);
        subplot(121);
        sol = pdepe(0,@firstPdefun,@firstIcfun,@firstBcfun,x,t);
        u = surf(x,t,sol(:,:,1));
        title('微分方程数值解');
        xlabel('x');
        ylabel('t');
        zlabel('u')
        subplot(122);
        [X,T] = meshgrid(x,t);
        U = exp(-T).*sin(pi*X);
        surf(X,T,U);
        title('微分方程解析解');
    end
    
    %方程段
    function [c,f,s] = firstPdefun(x,t,u,dudx)
        c = pi^2;
        f = dudx;
        s = 0;
    end
    %起始值条件段
    function u = firstIcfun(x)
        u = sin(pi*x);
    end
    %边界条件段
    function [pl,ql,pr,qr] = firstBcfun(xl,ul,xr,ur,t);
        pl = ul;
        ql = 0;
        pr = pi*exp(-t);
        qr = 1;
    end
    

    对比一下发现几乎和解析解一摸一样!

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-x1qgI86I-1607940760112)(D:\文件\2020 09 19\美赛软件\数值解.png)]
    2.求解以下偏微分方程的数值解:
    u1t=0.0242u1x2F(u1u2)u2t=0.1702u2x2+F(u1u2)F(u1u2)=e5.73(u1u2)e11.46(u1u2) \frac{\partial u_1}{\partial t} = 0.024\frac{\partial^2u_1}{\partial x^2} - F(u_1-u_2)\\ \frac{\partial u_2}{\partial t} = 0.170\frac{\partial^2u_2}{\partial x^2} + F(u_1-u_2)\\ F(u_1-u_2) = e^{5.73(u_1-u_2)} - e^{-11.46(u_1-u_2)}
    初值条件:
    u1(x,0)=1u2(x,0)=0 u_1(x,0) = 1\\ u_2(x,0) = 0
    边值条件:
    u1(0,t)x=0u2(0,t)=0u1(1,t)=1u2(1,t)x=0 \frac{\partial u_1(0,t)}{\partial x} = 0\\ u_2(0,t) = 0\\ u_1(1,t) = 1\\ \frac{\partial u_2(1,t)}{\partial x} = 0\\
    Solve:Solve:

    ​ 化简上面的偏微分方程为标准形式:
    (11).t(u1u2)=x(0.024u1x0.170u2x)+(F(u1u2)F(u1u2)) \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}_.*\frac{\partial}{\partial t}\begin{pmatrix} u_1\\u_2 \end{pmatrix} = \frac{\partial}{\partial x}\begin{pmatrix} 0.024\frac{\partial u_1}{\partial x}\\0.170\frac{\partial u_2}{\partial x} \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -F(u_1-u_2)\\F(u_1-u_2) \end{pmatrix}
    ​ 化简左边界条件也有:
    (0u2)+(10).(0.024u1x0.170u2x)=(00) \begin{pmatrix} 0\\u_2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}_.* \begin{pmatrix} 0.024\frac{\partial u_1}{\partial x}\\0.170\frac{\partial u_2}{\partial x} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}
    ​ 化简右边界条件有:
    (u110)+(01).(0.024u1x0.170u2x)=(00) \begin{pmatrix} u_1-1\\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}_.* \begin{pmatrix} 0.024\frac{\partial u_1}{\partial x}\\0.170\frac{\partial u_2}{\partial x} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}
    ​ 最后附上整个代码:

    function second
    xmesh  = linspace(0,1,20);
    tspan = linspace(0,3,60);
    sol = pdepe(0,@secondPdefun,@secondPdein,@secondPdebc,xmesh,tspan);
    subplot(121);
    surf(xmesh,tspan,sol(:,:,1));
    xlabel('x');
    ylabel('t');
    zlabel('u(1)');
    title('u(1)-x-t图像');
    subplot(122);
    surf(xmesh,tspan,sol(:,:,2));
    xlabel('x');
    ylabel('t');
    zlabel('u(2)');
    title('u(2)-x-t图像');
    end
    
    function [c,f,s] = secondPdefun(x,t,u,dudx)
    c = [1 1]';
    f = [0.024*dudx(1) 0.170*dudx(2)]';
    y = u(1) - u(2);
    stemp = exp(5.73*y) - exp(-11.46*y);
    s = [-stemp stemp]';
    end
    
    function up = secondPdein(x,t,u,dudx)
    up = [1 0]';
    end
    
    function [pl ql pr qr] = secondPdebc(xl,ul,xr,ur,t)
    pl = [0 ul(2)]';
    ql = [1 0]';
    pr = [ur(1)-1 0]';
    qr = [0  1]';
    end
    
    

    最后的结果是:

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-OmhTKc6e-1608001651080)(D:\文件\2020 09 19\美赛软件\偏微分解.png)]

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  • 1 pdepe()函数的一般调用格式 [1]sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeinit,@pdebound,x,t),其中pdefun是偏微分方的描述函数,标准形式为: 初始条件满足: 边界条件满足: 说明:a,b表示上、下边界;ua,ub是上、下边界的近似...

    1 pdepe()函数的一般调用格式 [1]

    sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeinit,@pdebound,x,t),其中pdefun是偏微分方的描述函数,标准形式为:

    5774fa6d6d1cf980f5209057930ac806.png

    初始条件满足:

    边界条件满足:

    说明:

    • a,b表示上、下边界;
    • ua,ub是上、下边界的近似解;
    • pa,qa对应xa上计算的p,q值;
    • pb,qb对应xb上计算的p,q值;

    2 一个实例

    1284156c989a1884720224ecfe80712f.png

    3 边界条件限定描述

    e8ddbe4ef9243d9ab4d54b7c363180f4.png

    12804c31fb4f1f748f8349121cf4277b.png
    保证d(u1a)/dt;=0,u2a=0,u1b=1,d(u2b)/dt=0

    4 结果展示

    1c25bcb8da93c130b22652799c1c2ad2.png

    2d77f680675ac8e0a92f77f067f65e29.png

    4求解代码

    function sys=pdepeA()
    %{
    程序功能:
    1、计算一般的偏微分方程组
    2、pdepe()函数的一般调用格式是:
    sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t),其中pdefun是偏微分方程的描述函数
    有固定的格式。
    3、pdeic是偏微分方程的初始条件,初始条件的描述为u(x,t0)=u0,
    可以使用u0=pde(x);
    4、pdebc是偏微分方程的边界条件,它的标准形式为:
    p(x,t,u)+q(x,t,u).*f(x,t,u,ux)=0,则可以用[pa, qa, pb, qb]=pdebc(x,t,u,ux),a和b表示下边界和上边界。
    
    
    参考链接:
    https://jingyan.baidu.com/article/af9f5a2d15494e43140a45e3.html
    
    
    %}
        x=0:0.05:1;
        t=0:0.05:2;
        m=0;
        sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t);
        u1=sol(:,:,1);
        u2=sol(:,:,2);
        
        figure
        surf(x,t,u1)
        title('u1(x,t)')
        xlabel('Distance x')
        ylabel('Time t')
        
        figure
        surf(x,t,u2)
        title('u2(x,t)')
        xlabel('Distance x')
        ylabel('Time t')
    
        sys=[];
    
    end
    %方程形式
    function [c, f, s]=pdefun(x, t, u, ux)
        c=[1;1] ;
        y=u(1)-u(2);
        F=exp(5.73*y)-exp(-11.46*y);
        s=F*[-1;1];
        f=[0.024*ux(1) ;0.017*ux(2) ];
    
    end
    %初始条件
    function [u0]=pdeic(x)
        u0=[1 ;0];
        
    
    end
    
    %边界条件
    function [pa, qa, pb, qb]=pdebc(xa ,ua ,xb ,ub, t)
        pa=[0; ua(2)];
        qa=[1; 0];
        pb=[ub(1)-1; 0];
        qb=[0; 1];
    
    end

    参考

    1. ^链接 https://jingyan.baidu.com/article/af9f5a2d15494e43140a45e3.html
    展开全文
  • 写了个MATLAB的小程序,用特征线法求解 偏微分方程组。[XX,TT]=meshgrid(0:0.4:4,0:0.1:1);N=size(XX,2);T=size(XX,1);u1=zeros(T,N);u2=zeros(T,N);dx=0.4;dt=0.1;ds=0.1;u10=1:N;u20=(N:-1:1); % initial valueu...

    题目写的看不懂。我也瞎答。

    写了个MATLAB的小程序,用特征线法求解 偏微分方程组。

    [XX,TT]=meshgrid(0:0.4:4,0:0.1:1);

    N=size(XX,2);

    T=size(XX,1);

    u1=zeros(T,N);

    u2=zeros(T,N);

    dx=0.4;

    dt=0.1;

    ds=0.1;

    u10=1:N;u20=(N:-1:1); % initial value

    u10t=1:T;u20t=1:T; % value at a given node point

    u1(1,:)=u10;

    u2(1,:)=u20;

    u1(:,1)=u10t;

    u2(:,1)=u20t;

    for tt=2:T % 特征线法求解线性偏微分方程组

    for ii=2:N

    u1(tt,ii)=(-400*u1(tt-1,ii-1)+400*u2(tt-1,ii-1))*ds;

    u2(tt,ii)=(0.35*u1(tt-1,ii)-0.35*u2(tt-1,ii))*dt;

    end

    end

    quiver(XX,TT,u1,u2)

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  • DuFort-Frankel格式求解椭圆-抛物型偏微分方程组matlab程序,其中椭圆用积分公式,抛物用DuFort-Frankel格式,多多指教
  • MATLAB 提供了多种数值算法来求解各种微分方程:初始值问题边界值问题时滞微分方程偏微分方程初始值问题vanderpoldemo是用于定义 van der Pol 方程的函数type vanderpoldemofunction dydt = vanderpoldemo(t,y,Mu)...

           此教程说明如何使用 MATLAB 构造几种不同类型的微分方程并求解。MATLAB 提供了多种数值算法来求解各种微分方程:

    • 初始值问题

    • 边界值问题

    • 时滞微分方程

    • 偏微分方程

    初始值问题

    vanderpoldemo 是用于定义 van der Pol 方程的函数

    71fd5bb689b24f0118064f3396f955d1.png

    type vanderpoldemo
    function dydt = vanderpoldemo(t,y,Mu)
    dydt = [y(2); Mu*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];

           该方程写作包含两个一阶常微分方程 (ODE) 的方程组。将针对参数 μ 的不同值计算这些方程。为了实现更快的积分,您应该根据 μ 的值选择合适的求解器。

           当 μ=1 时,任何 MATLAB ODE 求解器都能有效地求解 van der Pol 方程。ode45 求解器就是其中之一。该方程在域 [0,20] 中求解,初始条件为 y(0)=2 和 dydtt=0=0

    tspan = [0 20];
    y0 = [2; 0];
    Mu = 1;
    ode = @(t,y) vanderpoldemo(t,y,Mu);
    [t,y] = ode45(ode, tspan, y0);% Plot solution
    plot(t,y(:,1))
    xlabel('t')
    ylabel('solution y')
    title('van der Pol Equation, \mu = 1')

    069326a394adb55f9e44ab8d178bb8bd.png

           对于较大的 μ,问题将变为刚性。此标签表示拒绝使用普通方法计算的问题。这种情况下,要实现快速积分,需要使用特殊的数值方法。ode15sode23sode23t 和 ode23tb 函数可有效地求解刚性问题。

          当 μ=1000 时,van der Pol 方程的求解使用 ode15s,初始条件相同。您需要将时间范围大幅度延长到 [0,3000] 才能看到解的周期性变化。

    tspan = [0, 3000];
    y0 = [2; 0];
    Mu = 1000;
    ode = @(t,y) vanderpoldemo(t,y,Mu);
    [t,y] = ode15s(ode, tspan, y0);
    plot(t,y(:,1))
    title('van der Pol Equation, \mu = 1000')
    axis([0 3000 -3 3])
    xlabel('t')
    ylabel('solution y')

    2d9b16fb53f8be15ae6cf9649fa5fe07.png

    边界值问题

    bvp4c 和 bvp5c 可以求解常微分方程的边界值问题。

          示例函数 twoode 将一个微分方程写作包含两个一阶 ODE 的方程组。此微分方程为

    ee6934aec987b6199d1ff24576001595.png

    type twoode
    function dydx = twoode(x,y)
    %TWOODE Evaluate the differential equations for TWOBVP.
    dydx = [ y(2); -abs(y(1)) ];

    函数 twobc 求解该问题的边界条件为:y(0)=0 和 y(4)=2

    type twobc
    function res = twobc(ya,yb)
    res = [ ya(1); yb(1) + 2 ];

           在调用 bvp4c 之前,您必须为要在网格中表示的解提供一个猜想值。然后,求解器就像对解进行平滑处理一样修改网格。

    bvpinit 函数以您可以传递给求解器 bvp4c 的形式设定初始猜想值。对于 [0 1 2 3 4] 的网格以及 y(x)=1 和 y'(x)=0 的常量猜想值,对 bvpinit 的调用为:

    solinit = bvpinit([0 1 2 3 4],[1; 0]);

           利用这个初始猜想值,您可以使用 bvp4c 对该问题求解。使用 deval 计算 bvp4c 在某些点返回的解,然后绘制结果值。

    sol = bvp4c(@twoode, @twobc, solinit);
    xint = linspace(0, 4, 50);
    yint = deval(sol, xint);
    plot(xint, yint(1,:));
    xlabel('x')
    ylabel('solution y')
    hold on

    5fff8268ba524871d5a6d2a2c108769b.png

          此特定的边界值问题实际上有两种解。通过将初始猜想值更改为 y(x)=1 和 y'(x)=0,可以求出另一个解。

    solinit = bvpinit([0 1 2 3 4],[-1; 0]);
    sol = bvp4c(@twoode,@twobc,solinit);
    xint = linspace(0,4,50);
    yint = deval(sol,xint);
    plot(xint,yint(1,:));
    legend('Solution 1','Solution 2')
    hold off

    253489f5f8d32756dc7585513008b67d.png

    时滞微分方程

         dde23ddesd 和 ddensd 可以求解具有各种时滞的时滞微分方程。示例 ddex1ddex2ddex3ddex4 和 ddex5 构成了这些求解器的迷你使用教程。

    ddex1 示例说明如何求解微分方程组

    y1(t)=y1(t1)y2(t)=y1(t1)+y2(t0.2)y3(t)=y2(t).

    您可以使用匿名函数表示这些方程

    ddex1fun = @(t,y,Z) [Z(1,1); Z(1,1)+Z(2,2); y(2)];

    问题的历史解(t0 时)固定不变:

    y1(t)=1y2(t)=1y3(t)=1.

    您可以将历史解表示为由 1 组成的向量。

    ddex1hist = ones(3,1);

    采用二元素向量表示方程组中的时滞。

    lags = [1 0.2];

          将函数、时滞、历史解和积分区间 [0,5] 作为输入传递给求解器。求解器在整个积分区间生成适合绘图的连续解。

    sol = dde23(ddex1fun, lags, ddex1hist, [0 5]);
    plot(sol.x,sol.y);
    title({'An example of Wille and Baker', 'DDE with Constant Delays'});
    xlabel('time t');
    ylabel('solution y');
    legend('y_1','y_2','y_3','Location','NorthWest');

    715f34f0c009dd73e41af15ba6626f9d.png

    偏微分方程

         pdepe 使用一个空间变量和时间对偏微分方程求解。示例 pdex1pdex2pdex3pdex4 和 pdex5 构成了 pdepe 的迷你使用教程。

    此示例问题使用函数 pdex1pdepdex1ic 和 pdex1bc

    pdex1pde 定义微分方程

    3e3bd9a9c28dcbd282684eb460140b46.png

    type pdex1pde
    function [c,f,s] = pdex1pde(x,t,u,DuDx)
    %PDEX1PDE Evaluate the differential equations components for the PDEX1 problem.
    c = pi^2;
    f = DuDx;
    s = 0;

    pdex1ic 设置初始条件

    c76fa97275d2c35d606e706f74bf0538.png

    type pdex1ic
    function u0 = pdex1ic(x)
    %PDEX1IC Evaluate the initial conditions for the problem coded in PDEX1.
    u0 = sin(pi*x);

    pdex1bc 设置边界条件

    u(0,t)=0,

    πet+xu(1,t)=0.

    type pdex1bc
    function [pl,ql,pr,qr] = pdex1bc(xl,ul,xr,ur,t)
    %PDEX1BC Evaluate the boundary conditions for the problem coded in PDEX1.
    pl = ul;
    ql = 0;
    pr = pi * exp(-t);
    qr = 1;

    pdepe 需要提供空间离散 x 和时间向量 t(您要获取解快照的时间点)。使用包含 20 个节点的网格求解此问题,并请求五个 t 值的解。提取解的第一个分量并绘图。

    x = linspace(0,1,20);
    t = [0 0.5 1 1.5 2];
    sol = pdepe(0,@pdex1pde,@pdex1ic,@pdex1bc,x,t);
    u1 = sol(:,:,1);
    surf(x,t,u1);
    xlabel('x');
    ylabel('t');
    zlabel('u');

    3200c5698e97e7890fd7412175bdc7a9.png

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    2013-11-11 09:37:47
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