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  • matlab最小二乘
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    2019-09-26 16:54:45

    原理还是比较简单的,不赘述,程序里面的注释也写的比较清楚了

    %仿真对象:y(k)-1.5y(k-1)+0.7y(k-2)=v(k)+u(k)-0.8u(k-1)
    %辨识模型:y(k)+a1 y(k-1)+a2 y(k-2)=v(k)+b1 u(k)+b2 u(k-1)
    %数据长度取n=20000,加权矩阵为I,v(k)是服从正态分布的白噪声N(0,1),u(k)=sin(k)
    %待估计参数K=[a1 a2 a3 a4]';准则函数J(K)=(Yn-HnK)'(Yn-HnK);
    %将辨识模型写为:y(k)=v(k)+a1 y(k-1)+a2 y(k-2)+b1 u(k)+b2 u(k-1)
    %                    =v(k)+KHn
    %Hn=|y(2) y(1)|
    %   |y(3) y(2)|
    %   |.........|
    clear
    close all
    data_length=20002;
    %% 产生白噪声和输入
    v=randn(1,data_length);
    v=v./max(v);
    u=zeros(1,data_length);
    for k=1:data_length
        u(k)=sin(k);
    end
    %% 获得观测值
    y=zeros(1,data_length);
    for k=3:data_length
        y(k)=1.5*y(k-1)-0.7*y(k-2)+v(k)+u(k)-0.8*u(k-1);
    end
    %% 构造Hn和Y矩阵
    Hn=zeros(data_length-2,2);
    count=1;
    for k=1:10000
        Hn(k,2)=y(count);
      
        count=count+1;
        Hn(k,1)=y(count);
        Hn(k,4)=u(count);
        Hn(k,3)=u(count+1);
    end
    %% 求解参数
    Y=y(3:data_length)';
    c1=Hn'*Hn;
    c2=inv(c1);
    c3=Hn'*Y;   
    K=c2*c3
    
    %% 将辨识得到的参数代入,得估计输出
    y_e=zeros(1,data_length);
    for k=3:data_length
        y_e(k)=K(1)*y_e(k-1)+K(2)*y_e(k-2)+v(k)+K(3)*u(k)+K(4)*u(k-1);
    end
    
    %% 画出实际输出和辨识输出,进行对比
    plot((1:data_length),y');title('实际输出')
    hold on
    plot((1:data_length),y_e');title('辨识输出')
    figure
    subplot(2,1,1)
    plot((1:data_length),y');title('实际输出')
    subplot(2,1,2)
    plot((1:data_length),y_e');title('辨识输出')
    
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    适用于解决的函数问题为:

    代码全文见下载在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    coef= cell(1,5);
    for i = 1:5
        if ~poly_type
            coef{i} = b(i,1) * x(:,1) .^ 2 + b(i,2) * x(:,2) .^ 2 + b(i,3) * x(:,1) .* x(:,2) + ...
                b(i,4) * x(:,1) + b(i,5) * x(:,2) + b(i,6);  % Quadratic form
        else
            coef{i} = b(i,1) * x(:,1) .^ 3 + b(i,2) * x(:,1) .^ 2 .* x(:,2) + b(i,3) * x(:,1) .* x(:,2) .^ 2 + ...
                b(i,4) * x(:,2) .^ 3 + b(i,5) * x(:,1) .^ 2 + b(i,6) * x(:,1) .* x(:,2) + b(i,7) * x(:,2) .^ 2 + ...
                b(i,8) * x(:,1) + b(i,9) * x(:,2) + b(i,10);  % Qubic form
        end
    end
    
    

    在这里插入图片描述

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  • 通过使用MATLAB求解非线性最小二乘法拟合问题
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  • clear;clcx0=[-2 -1.7 -1.4 -1.1 -0.8 -0.5 -0.2 0.1 0.4 0.7 1 1.3 1.6 1.9 2.22.5 2.8 3.1 3.4 3.7 4.0 4.3 4.6 4.9];y0=[0.10289 0.11741 0.13158 0.14483 0.15656 0.16622 0.17332 0.17750.17853 0.17635 0.1710...

    clear;clc

    x0=[-2 -1.7 -1.4 -1.1 -0.8 -0.5 -0.2 0.1 0.4 0.7 1 1.3 1.6 1.9 2.2

    2.5 2.8 3.1 3.4 3.7 4.0 4.3 4.6 4.9];

    y0=[0.10289 0.11741 0.13158 0.14483 0.15656 0.16622 0.17332 0.1775

    0.17853 0.17635 0.17109 0.16302 0.15255 0.1402 0.12655 0.11219

    0.09768 0.08353 0.07015 0.05786 0.04687 0.03729 0.02914

    0.02236];

    f=@(a,x)1/(sqrt(2*pi)*a(1))*exp(-(x-a(2)).^2/(2*a(1)^2));

    a=lsqcurvefit(f,[2,2],x0,y0)

    x1=-2:0.1:5;

    f1=1/(sqrt(2*pi)*a(1))*exp(-(x1-a(2)).^2/(2*a(1)^2));

    plot(x0,y0,x1,f1,'*r')

    非线性曲线拟合是已知输入向量xdata和输出向量ydata,并且知道输入与输出的函数关系为ydata=F(x,

    xdata),但不知道系数向量x。今进行曲线拟合,求x使得输出的如下最小二乘表达式成立:

    min Σ(F(x,xdatai)-ydatai)^2

    函数 lsqcurvefit

    格式 x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)

    x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub)

    x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options)

    [x,resnorm] = lsqcurvefit(…)

    [x,resnorm,residual] = lsqcurvefit(…)

    [x,resnorm,residual,exitflag] = lsqcurvefit(…)

    [x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqcurvefit(…)

    [x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqcurvefit(…)

    [x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian]

    =lsqcurvefit(…)

    参数说明:

    x0为初始解向量;xdata,ydata为满足关系ydata=F(x, xdata)的数据;

    lb、ub为解向量的下界和上界lb≤x≤ub,若没有指定界,则lb=[ ],ub=[ ];

    options为指定的优化参数;

    fun为待拟合函数,计算x处拟合函数值,其定义为 function F = myfun(x,xdata)

    resnorm=sum ((fun(x,xdata)-ydata).^2),即在x处残差的平方和;

    residual=fun(x,xdata)-ydata,即在x处的残差;

    exitflag为终止迭代的条件;

    output为输出的优化信息;

    lambda为解x处的Lagrange乘子;

    jacobian为解x处拟合函数fun的jacobian矩阵。

    例 求解如下最小二乘非线性拟合问题

    已知输入向量xdata和输出向量ydata,且长度都是n,待拟合函数的表达式为

    ydata(i)=x(1)-xdata(i)^2+x(2)-sin(xdata(i))+x(3)-xdata^3

    即目标函数为min Σ(F(x,xdata(i))-ydata(i))^2

    其中:F(x,xdata) = x(1)*xdata^2 + x(2)*sin(xdata) + x(3)*xdata^3

    初始解向量为x0=[0.3, 0.4, 0.1],即表达式的 个参数[x(1),x(2),x(3)]。

    先建立拟合函数文件,并保存为myfun.m

    function F = myfun(x,xdata)

    F = x(1)*xdata.^2 + x(2)*sin(xdata) + x(3)*xdata.^3;

    然后给出数据xdata和ydata

    >>xdata = [3.6 7.7 9.3 4.1 8.6 2.8 1.3 7.9 10.0 5.4];

    >>ydata = [16.5 150.6 263.1 24.7 208.5 9.9 2.7 163.9 325.0

    54.3];

    >>x0 = [10, 10, 10]; %初始估计值

    >>[x,resnorm] = lsqcurvefit(@myfun,x0,xdata,ydata)

    结果为:

    Optimization terminated successfully:

    Relative function value changing by less than OPTIONS.TolFun

    x = 0.2269 0.3385 0.3021

    =>即解出的系数最优估计值

    resnorm = 6.2950

    =>在x解值处的目标最小二乘表达式值。即所谓残差。

    问题:有些时候我们需要拟合一些非线性的表达式。

    比如:我们知道一个表达式的式子是y=A*sin(x).*exp(x)-B./log(x),现在我们手里面有x与y对应的一大把数据。我们如何根据x,y的值找出最佳的A、B值。则我们现在借助Matlab的函数lsqcurvefit、nlinfit,当然你也可以使用lsqnonlin.其具体用法请自己用Matlab的帮助命令进行查看。这里仅简单介绍一下常用的方式。

    注意:如果对初值比较敏感,涉及到初值设置的问题;以及拟合表达式包含积分表达式或者微分项等问题;以及一些拟合降维的问题,可以参看我的另一篇博文《数据拟合遇见》

    PS:如果使用Matlab以上函数拟合不出理想的结果的话,可以尝试使用我自己写的《数学计算器》里的nlinFit、nlinFit2、nlinFit4、nlinFitDE、nlinFitGA、nlinFitLM、nlinFitPSO、nlinFitPSO2、nlinFitPSO3函数

    格式:lsqcurvefit(f,a,x,y)、nlinfit(x,y,f,a)

    f:符号函数句柄,如果是以m文件的形式调用的时候,别忘记加@.这里需要注意,f函数的返回值是和y匹对的,即拟合参数的标准是(f-y)^2取最小值,具体看下面的例子

    a:最开始预估的值(预拟合的未知参数的估计值)。如上面的问题如果我们预估A为1,B为2,则a=[1 2]

    x:我们已经获知的x的值

    y:我们已经获知的x对应的y的值

    例子1:

    问题:对于函数y=a*sin(x)*exp(x)-b/log(x)我们现在已经有多组(x,y)的数据,我们要求最佳的a,b值

    %针对上面的问题,我们可以来演示下如何使用这个函数以及看下其效果

    >> x=2:10;

    >> y=8*sin(x).*exp(x)-12./log(x);

    %上面假如是我们事先获得的值

    >> a=[1 2];

    >> f=@(a,x)a(1)*sin(x).*exp(x)-a(2)./log(x);

    %第一种方法使用lsqcurvefit

    >> lsqcurvefit(f,a,x,y)

    ans =

    7.999999999999987 11.999999999988997%和我们预期的值8和12结合得非常好

    >>

    %第二种方法使用nlinfit

    >> nlinfit(x,y,f,a)

    ans =

    8.000000000000000 11.999999999999998

    >>

    %**********************************

    %另一种方法,假如我们写了一个如下的m文件

    function f=test(a,x)

    f=a(1)*sin(x).*exp(x)-a(2)./log(x);

    end

    %则在上面lsqcurvefit函数调用如下,不要忘记那个@

    lsqcurvefit(@test,a,x,y)

    例子2:(多元的情况,注意看格式)

    问题:我们已知z=a*(exp(y)+1)-sin(x)*b且有多组(x,y,z)的值,现在求最佳系数a,b

    >> x=2:10;

    >> y=10*sin(x)./log(x);

    >> z=4.5*(exp(y)+1)-sin(x)*13.8;

    >> f=@(a,x)a(1)*(exp(x(2,:))+1)-sin(x(1,:))*a(2);

    %第一种方法使用lsqcurvefit

    >> lsqcurvefit(f,[1 2],[x;y],z)%注意这里面的[x;y],这里的[1 2]表示我们设置f函数里的初始值a(1)=1,,a(2)=2

    ans =

    4.499999999999999 13.800000000000024

    %第二种方法使用nlinfit

    >> nlinfit([x;y],z,f,[1 2])

    ans =

    4.500000000000000 13.799999999999956

    展开全文
  • matlab最小二乘求解方程

    千次阅读 2019-11-13 16:49:15
    MATLAB5.x 中,约束线性最小二乘用函数conls 求解。 函数 lsqlin 格式 x = lsqlin(C,d,A,b) %求在约束条件 下,方程Cx = d 的最小二乘解 x。 x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq) %Aeq、beq 满足等式约束 ,若...
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                    </svg>
                                            <p>1.约束线性最小二乘</p>
    

    有约束线性最小二乘的标准形式为
    sub.to
    其中:C、A、Aeq 为矩阵;d、b、beq、lb、ub、x 是向量。
    在MATLAB5.x 中,约束线性最小二乘用函数conls 求解。
    函数 lsqlin
    格式 x = lsqlin(C,d,A,b) %求在约束条件 下,方程Cx = d 的最小二乘解
    x。
    x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq) %Aeq、beq 满足等式约束 ,若没有不等式约
    束,则设A=[ ],b=[ ]。
    x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub) %lb、ub 满足 ,若没有等式约束,则
    Aeq=[ ],beq=[ ]。
    x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) % x0 为初始解向量,若x 没有界,
    则lb=[ ],ub=[ ]。
    x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options 为指定优化参

    [x,resnorm] = lsqlin(…) % resnorm=norm(C*x-d)^2,即2-范数。
    [x,resnorm,residual] = lsqlin(…) %residual=C*x-d,即残差。
    [x,resnorm,residual,exitflag] = lsqlin(…) %exitflag 为终止迭代的条

    [x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqlin(…) % output 表示输出
    优化信息
    [x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqlin(…) % lambda 为
    解x 的Lagrange 乘子

    例5-15 求解下面系统的最小二乘解
    系统:Cx=d
    约束: ;
    先输入系统系数和x 的上下界:
    C = [0.9501 0.7620 0.6153 0.4057;
    0.2311 0.4564 0.7919 0.9354;
    0.6068 0.0185 0.9218 0.9169;
    0.4859 0.8214 0.7382 0.4102;
    0.8912 0.4447 0.1762 0.8936];
    d = [ 0.0578; 0.3528; 0.8131; 0.0098; 0.1388];
    A =[ 0.2027 0.2721 0.7467 0.4659;
    0.1987 0.1988 0.4450 0.4186;
    0.6037 0.0152 0.9318 0.8462];
    b =[ 0.5251; 0.2026; 0.6721];
    lb = -0.1*ones(4,1);
    ub = 2*ones(4,1);
    然后调用最小二乘命令:
    [x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] =
    lsqlin(C,d,A,b,[ ],[ ],lb,ub);
    结果为:
    x =
    -0.1000
    -0.1000
    0.2152
    0.3502
    resnorm =
    0.1672
    residual =
    0.0455
    0.0764
    -0.3562
    0.1620
    0.0784
    exitflag =
    1 %说明解x 是收敛的
    output =
    iterations: 4
    algorithm: medium-scale: active-set
    firstorderopt: []
    cgiterations: []
    lambda =
    lower: [4x1 double]
    upper: [4x1 double]
    eqlin: [0x1 double]
    ineqlin: [3x1 double]
    通过lambda.ineqlin 可查看非线性不等式约束是否有效。

    2.非线性数据(曲线)拟合

    非线性曲线拟合是已知输入向量xdata 和输出向量ydata,并且知道输入与输出
    的函数关系为ydata=F(x, xdata),但不知道系数向量x。今进行曲线拟合,求
    x 使得下式成立:
    在MATLAB5.x 中,使用函数curvefit 解决这类问题。
    函数 lsqcurvefit
    格式 x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)
    x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub)
    x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options)
    [x,resnorm] = lsqcurvefit(…)
    [x,resnorm,residual] = lsqcurvefit(…)
    [x,resnorm,residual,exitflag] = lsqcurvefit(…)
    [x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqcurvefit(…)
    [x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqcurvefit(…)
    [x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian] =lsqcurvefit(…)
    参数说明:
    x0 为初始解向量;xdata,ydata 为满足关系ydata=F(x, xdata)的数据;
    lb、ub 为解向量的下界和上界 ,若没有指定界,则lb=[ ],ub=[ ];
    options 为指定的优化参数;
    fun 为拟合函数,其定义方式为:x = lsqcurvefit(@myfun,x0,xdata,ydata),
    其中myfun 已定义为 function F = myfun(x,xdata)
    F = … % 计算x 处拟合函数值fun 的用法与前面相同;
    resnorm=sum ((fun(x,xdata)-ydata).^2),即在x 处残差的平方和;
    residual=fun(x,xdata)-ydata,即在x 处的残差;
    exitflag 为终止迭代的条件;
    output 为输出的优化信息;
    lambda 为解x 处的Lagrange 乘子;
    jacobian 为解x 处拟合函数fun 的jacobian 矩阵。

    例5-16 求解如下最小二乘非线性拟合问题
    已知输入向量xdata 和输出向量ydata,且长度都是n,拟合函数为
    即目标函数为
    其中:
    初始解向量为x0=[0.3, 0.4, 0.1]。
    解:先建立拟合函数文件,并保存为myfun.m
    function F = myfun(x,xdata)
    F = x(1)*xdata.^2 + x(2)*sin(xdata) + x(3)*xdata.^3;
    然后给出数据xdata 和ydata

    xdata = [3.6 7.7 9.3 4.1 8.6 2.8 1.3 7.9 10.0 5.4];
    ydata = [16.5 150.6 263.1 24.7 208.5 9.9 2.7 163.9 325.0 54.3];
    x0 = [10, 10, 10]; %初始估计值
    [x,resnorm] = lsqcurvefit(@myfun,x0,xdata,ydata)
    结果为:
    Optimization terminated successfully:
    Relative function value changing by less than OPTIONS.TolFun
    x =
    0.2269 0.3385 0.3021
    resnorm =
    6.2950

    3.非线性最小二乘

    非线性最小二乘(非线性数据拟合)的标准形式为
    其中:L 为常数在MATLAB5.x 中,用函数leastsq 解决这类问题,在6.0 版中使用函数lsqnonlin。

    则目标函数可表达为
    其中:x 为向量,F(x)为函数向量。
    函数 lsqnonlin
    格式 x = lsqnonlin(fun,x0) %x0 为初始解向量;fun 为 ,i=1,2,…,m,fun
    返回向量值F,而不是平方和值,平方和隐含在算法中,fun 的定义与前面相同。
    x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub) %lb、ub 定义x 的下界和上界: 。
    x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,options) %options 为指定优化参数,若x 没
    有界,则lb=[ ],ub=[ ]。
    [x,resnorm] = lsqnonlin(…) % resnorm=sum(fun(x).^2),即解x 处目标
    函数值。
    [x,resnorm,residual] = lsqnonlin(…) % residual=fun(x),即解x 处fun
    的值。
    [x,resnorm,residual,exitflag] = lsqnonlin(…) %exitflag 为终止迭代
    条件。
    [x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqnonlin(…) %output 输出优
    化信息。
    [x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqnonlin(…) %lambda
    为Lagrage 乘子。
    [x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian] =lsqnonlin(…)
    %fun 在解x 处的Jacobian 矩阵。

    例5-17 求下面非线性最小二乘问题 初始解向量为x0=[0.3, 0.4]。
    解:先建立函数文件,并保存为myfun.m,由于lsqnonlin 中的fun 为向量形式
    而不是平方和形式,因此,myfun 函数应由 建立:
    k=1,2,…,10
    function F = myfun(x)
    k = 1:10;
    F = 2 + 2*k-exp(k*x(1))-exp(k*x(2));
    然后调用优化程序:
    x0 = [0.3 0.4];
    [x,resnorm] = lsqnonlin(@myfun,x0)
    结果为:
    Optimization terminated successfully:
    Norm of the current step is less than OPTIONS.TolX
    x =
    0.2578 0.2578
    resnorm = %求目标函数值
    124.3622

    4.非负线性最小二乘

    非负线性最小二乘的标准形式为:
    sub.to
    其中:矩阵C 和向量d 为目标函数的系数,向量x 为非负独立变量。
    在MATLAB5.x 中,用函数nnls 求解这类问题,在6.0 版中则用函数lsqnonneg。
    函数 lsqnonneg
    格式 x = lsqnonneg(C,d) %C 为实矩阵,d 为实向量
    x = lsqnonneg(C,d,x0) % x0 为初始值且大于0
    x = lsqnonneg(C,d,x0,options) % options 为指定优化参数
    [x,resnorm] = lsqnonneg(…) % resnorm=norm (C*x-d)^2
    [x,resnorm,residual] = lsqnonneg(…) %residual=C*x-d
    [x,resnorm,residual,exitflag] = lsqnonneg(…)
    [x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqnonneg(…)
    [x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqnonneg(…)

    例5-18 一个最小二乘问题的无约束与非负约束解法的比较。
    先输入数据:

    C = [ 0.0372 0.2869; 0.6861 0.7071; 0.6233 0.6245; 0.6344 0.6170];
    d = [0.8587; 0.1781; 0.0747; 0.8405];
    [C\d, lsqnonneg(C,d)]
    ans =
    -2.5627 0
    3.1108 0.6929
    注意:1。当问题为无约束线性最小二乘问题时,使用MATLAB 下的“\”运算即
    可以解决。2.对于非负最小二乘问题,调用lsqnonneg(C,d)求解。

    转自:http://blog.sina.com.cn/s/blog_5cd1e1e50100fxfm.html

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  • 利用matlab,实现最小二乘算法直线拟合,采用间接平差原理
  • 结合一个题目演示了如何自编代码实现用多项式函数和指数函数作为基函数来实现最小二乘拟合,函数文件独立,便于移植,便于推广,题目附有解答,题目来自西工大数值计算方法作业。采用MATLAB实现。
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    2021-10-30 04:53:46
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    千次阅读 2021-07-12 18:23:24
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    2019-01-10 22:16:16
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