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  • MATLAB偏微分方程数值解

    千人学习 2019-05-14 22:46:53
    结合MATLAB偏微分方程数值解工具箱介绍偏微分方程的求解,分GUI和MATLAB函数两种实现方式进行介绍。
  • Matlab偏微分方程的数值解法常用程序-偏微分方程的数值解法_程序.rar 包括解决一些解偏微分方程的常用程序,希望对大家有用,欢迎下载!!:)
  • Matlab偏微分方程快速上手:使用pdetool工具箱求解二维偏微分方程,适用于数学建模、数学实验,简单的偏微分方程数值计算与工程问题。

    注:本人使用MatlabR2020a版本。

    1.pdetoolbox的调用

    打开MatlabR2020a,在命令行键入pdetool,进入pdetoolbox。
    输入pdetool进入pdetoolbox

    2.绘制定解区域(解的定义域)

    由图形界面可知,解的定义域是x,yx,y二维坐标构成的平面空间。我们必须设置自己的定解区域,才能定义自己的方程:
    导航栏下方的前5个按钮,分别对应绘制矩形求解区域、绘制按中心生成的矩形求解区域、绘制椭圆形(圆形)定解区域、绘制按中心生成的椭圆形(圆形)定解区域、绘制多边形求解区域。使用时,只需要点击后在绘图区域拖拽(多边形除外,多边形区域是在绘图区域点点以确定顶点),就可以生成定解区域了。
    这是前五个按钮
    上面这是前五个按钮。
    在这里,作者随意绘制了一个椭圆形区域,和一个矩形区域。操作的时候用鼠标拖动操作柄拖拽就可以。(也可以画好几个叠起来)
    在这里,作者随意绘制了一个椭圆形区域,和一个矩形区域
    真的是“随便”画一个就可以哦,因为在matlab下,求解区域的位置坐标精度达到了101610^{-16}左右,手动画几乎不可能画准。所以下一步教大家怎么细致地调节边界的坐标。

    3.手动调整定解区域的大小

    双击刚刚绘制好的区域,弹出一个对话框,里面是我们的定解区域的边界坐标信息(注意不全是坐标),我们可以在这里手动调整定解区域的位置(以矩形区域为例):
    刚刚打开时的样子
    这就是刚刚打开时的样子。因为这个区域是作者随便画的,所以坐标信息就像随机数一样。下面我们输入精确的数值:Left: -1, Bottom: -1, Width: 2, Height: 2, Name 就用默认的就好。
    输入参数

    参数的意义:Left:左边界的坐标(x左),Bottom:底边界的坐标(y底),Width:区域宽度,Height:区域高度。这样就得到了x[1,1],y[1,1]x\in[-1,1],y\in[-1,1]的矩形求解区域。调整好的求解区域显示效果如下。绘制好的区域

    4.调整绘图窗口的显示区域(调整显示坐标限)

    有时候我们会发现我们的定解区域太大了,绘图窗口显示不下;或者定解区域太小了,看上去非常不协调。上一个例子中作者的纵坐标显然非常吻合,但是横坐标多出来了(显示了左右两边的白框),那么我强烈建议大家调整完定解区域的坐标以后,再调整一下绘图窗口的显示区域。
    点击导航栏Options,再点击Axes Limits…(意为调整坐标限),可以手动设置坐标限。这里作者勾选了Auto,这样matlab将自动帮我们调整坐标限,使得定解区域位于界面中央。Options还有其他操作,大家可以自己尝试一下,这里就不介绍了。调整坐标限

    调整后的效果如下。

    调整效果

    5.确定边界条件

    点击导航栏下方第6个按钮(Ω\partial \Omega,意为Ω\Omega的边界条件),它用来显示边界。下面仍然以矩形区域为例。

    这个按钮
    双击边界

    此时显示了4个边界。双击任意一个边界,会弹出边界条件对话框,可以在这里随意设置边界条件。

    对话框

    在这里可以设置Dirichlet边界条件、Neumann边界条件和Robin边界条件(分别是第一、第二、第三边界条件),其中Robin边界条件和Neumann边界条件集成到一起了。按提示输入对应的系数就可。

    在这里作者使用了如下的边界条件:
    x=±1,u=0;y=±1,un=0.x=\pm1,u=0;y=\pm1,\frac{\partial u}{\partial n }=0.
    如果用了Dirichlet边界条件,边界将显示为红色;Neumann、Robin边界条件将显示蓝色,效果如下。

    边界条件

    6.确定偏微分方程的形式

    点击第7个图标(显示PDE字样),按提示输入偏微分方程的系数即可。在这里笔者求解波动方程:2u2t=u.\frac{\partial^2 u}{\partial^2 t}=\nabla u.

    在这里插入图片描述

    工具箱提供的方程通式如下:
    1.椭圆型Elliptic,通用数学形式为(cu)+au=f;-\nabla \cdot(c\nabla u)+au=f ;
    2.抛物型Parabolic,通用数学形式为dut(cu)+au=f;d\frac{\partial u}{\partial t}-\nabla \cdot(c\nabla u)+au=f ;
    3.双曲型Hyperbolic,通用数学形式为d2u2t(cu)+au=f;d\frac{\partial^2 u}{\partial^2 t}-\nabla \cdot(c\nabla u)+au=f ;
    4.特征值方程Eigenmodes,若λ\lambda为特征值,则数学形式为(cu)+au=λdu.-\nabla \cdot(c\nabla u)+au=\lambda d u .

    也可以自行指定求解的方程类型,比如比较常见的热传导、扩散等方程,可以在下面图示的下拉菜单中选择,但是仍然要按上面讲的方法手动设置系数。

    手动设置方程类型

    7.三角剖分

    由于Matlab pdetoolbox使用有限元方法求解,所以需要三角剖分。点击第8个图标(1个三角形图样)可以初始化剖分,点击第9个图标(4个三角形图样)可以增加剖分密度,这样可以提高计算精度,但是密度过高内存可能会爆掉,使用要谨慎。
    三角剖分

    8.设置初始条件,准备求解

    点击导航栏Solve,再点击Parameters…,进入求解参数设置器。在这里,第一行Time我们可以设置tt的求解范围及步长,默认情况下是不显示步长的(默认显示0:10意为从0求解到10,步长为1),我们按照Maltab等差数列的生成方法 a:j:b 就可以设置时间步长j了。

    第二行u(t0)、第三行u’(t0)表示t0t_0时刻的两个初始条件。这里作者使用了如下的初始条件。

    初始条件
    第四行和第五行表示相对容差和绝对容差,笔者查看了Matlab帮助中心,大概了解到这两个参数似乎与浮点数0的截断精度有关,太小的话会延长计算时间,如果你想了解更多,笔者把链接提供上来Absolute tolerance - MATLAB & Simulink - MathWorks 中国,假如我们对计算精度没有要求的话,使用默认值就可以了。这里笔者为了演示使用了0.001和0.0001。如果想跟着一起做,那么笔者把方程的代码也放上来:第一个是atan(cos(pi/2*x)),第二个是3*sin(pi*x).*exp(cos(pi*y))

    9.求解

    点击导航栏下方按钮(一个“==”字样的按钮,就是增加三角剖分密度右边那个按钮),这个按钮表示开始求解。如果求解完成的话会显示这个图。在这里可以点击“放大镜”按钮寻找感兴趣的区域放大来观察细节(放大之后想要缩小就要用上面步骤4的方法重新设置坐标限了,没有找到缩小的快捷键)。求解结果
    它直接显示了t=10t=10uuΩ求解区域\Omega的图像。这样的输出缺乏直观性,我们点击导航栏下方一个长得像matlab的logo的按钮(就是“==”按钮右边那个),调整绘图格式。

    输出格式窗口
    这个窗口有许多功能,作者就不再一一详述了。大家可以自行调试。比较常用的有“Contour”绘制等高线图,“Arrows”绘制向量场,“Height(3-D plot)”按3D模式输出(这个比较常用),“Animation”按动画形式输出(2D\3D都支持),此选项勾选后右边的Option选项会变亮,我们可以点进去在里面设置1秒显示的帧数、重复播放的次数。这里作者按照25阶变色、‘jet’ Colormap、向量场为u-\nabla u的形式静态输出t=0.5t=0.5时的结果,如下图所示。
    在这里插入图片描述

    这就是matlab pdetool工具箱的主要使用方法,本人也是小白一枚,所以欢迎大家批评指正,可以在评论区留下你的想法。

    参考:偏微分方程(姜礼尚《数学物理方程讲义》第三版)(更新完毕,附课件)来自于西北大学数统学院的马老师的数理方程视频课,是按数学系的讲法讲的数理方程,里面有那么两三个视频是讲如何用Matlab求解偏微分方程,如果你懂偏微分方程的话进去听一遍就会了。
    感觉应该是疫情期间这位老师的网课视频?那么西北大学的学生们也太幸福了,因为马老师讲的真的很好!人也很好玩哈哈,还去b站里别的老师的微分几何课程下面评论,正巧那个被评论的老师的同学就在b站讲拓扑哈哈,那个老师讲的也特别细我还给听完了(浙江理工庄老师)。扯远了!但是还是安利!!!

    展开全文
  • MATLAB偏微分方程数值解视频课程

    千次阅读 2019-05-17 10:07:44
    结合MATLAB偏微分方程数值解工具箱介绍偏微分方程的求解,分GUI和MATLAB函数两种实现方式进行介绍。 【课程收益】 MATLAB偏微分方程数值解工具箱的使用 有限单元法 用GUI和MATLAB编程两种方式求解PDE问题 第一...

    【课程介绍】
    结合MATLAB偏微分方程数值解工具箱介绍偏微分方程的求解,分GUI和MATLAB函数两种实现方式进行介绍。
    【课程收益】
    MATLAB偏微分方程数值解工具箱的使用
    有限单元法
    用GUI和MATLAB编程两种方式求解PDE问题

    视频教程入口

    第一章:MATLAB偏微分方程数值解工具箱

        1. MATLAB偏微分方程(PDE)数值解工具箱简介 5:35
        2. 工具箱求解的主要PDE问题 5:04
        3. 有限单元法 8:59
    

    第二章:利用图形用户界面(GUI)求解偏微分方程

        1. GUI及其使用步骤 5:26
        2. 工具箱提供的主要应用模式 8:28
        3. 前处理-建模 8:02
        4. 前处理-边界条件 6:09
        5. 前处理-PDE类型和系数 4:37
        6. 前处理-网格剖分 5:25
        7. 计算 6:06
        8. 后处理-解的图形表达 5:35
    

    第三章:利用MATLAB函数求解偏微分方程

        01. 建模-用基本图元函数建模-绘图函数 8:08
        02. 建模-用基本图元函数建模-几何描述矩阵等 9:25
        03. 建模-用基本图元函数建模-CSG模型的进一步处理 6:52
        04. 建模-用M文件建模 13:12
        05. 定义边界条件 8:26
        06. 网格-网格剖分、加密和微调 10:55
        07. 网格-自适应剖分 3:45
        08. PDE求解-椭圆型问题 9:31
        09. PDE求解-抛物型问题 7:06
        10. PDE求解-双曲型问题 5:28
        11. PDE求解-特征值问题 6:35
        12. PDE求解-非线性问题 4:01
        13. 解的图形表示 8:52
    

    视频教程入口

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  • 本文参考的是来自mooc上北京师范大学彭芳麟老师的计算物理基础基础知识偏微分方程的三种类型椭圆型 初始条件:无抛物型 初始条件:初始温度分布双曲型初始条件:初始位移与初始速度边界条件Dirchlet边界条件区域边界...

    本文参考的是来自mooc上北京师范大学彭芳麟老师的计算物理基础

    基础知识

    偏微分方程的三种类型

    • 椭圆型
      • 初始条件:无
    • 抛物型
      • 初始条件:初始温度分布
    • 双曲型
      • 初始条件:初始位移与初始速度

    边界条件

    • Dirchlet边界条件
      • 区域边界的函数值
    • Neumann边界条件
      • 给出边界上函数的法向导数
    • 混合边界条件
      • 给出边界上函数及其法向导数的线性组合

    差分法解热传导方程

    热传导方程:

    可以获得显式公式

    由此递推公式可以得出下列矩阵

    例1

    求解程序

    x

    同时上述的传导方程也有隐式公式

    利用

    得到

    由此递推公式可以得到

    引入算符

    则上述矩阵可以化为

    例2 解无量纲化后的薛定谔方程

    ed9db0e93399303bafd06809f31d8d4c.png

    差分法解弦振动方程

    波动方程:

    则可以得到相应的显式差分公式

    其中

    • 解是稳定的
    • 可能能得到正确数值解
    • 解是不稳定的

    由此递推公式可以得到对应的矩阵形式

    初始条件的设定

    8bf112988dd5da051ca123d48312f0ea.png

    例3 两端固定的弦振动

    求解程序

    figure
    

    用差分法解椭圆型方程

    差分法:

    则可以得到显式差分公式

    稳定条件为

    f9172df1fc5c3eb79d3d22815dd41d23.png

    第一类边界条件

    035abdd835713e01652066ef1629ea4f.png

    中心点用

    表示,边界点用
    表示

    第二类边界条件

    3967cfaf058db4e873da4ff350bb8636.png

    迭代法与松弛法

    迭代法解线性方程组

    矩阵解法

    迭代法

    x1

    雅可比迭代法

    高斯-赛德尔迭代法

    松弛法

    则有

    为提高运算效率,可以加上松弛权重

    ,则有

    时为低松弛,
    时为超松弛

    松弛法迭代公式

    启动计算:所有内部点都用边界点的平均值作为启动值

    pdetool求解偏微分方程

    pdetool中方程的输入格式

    2bcc93c701155b130dc8f2756f93edda.png

    边界条件格式

    dd1458b3de317ba7fcfdddf60c554b90.png

    可解问题的分类

    14a44fd048355c0a9fea2bb2ea01b7d0.png

    解题步骤

    1. 设置定解问题
      1. Draw Mode 画求解区域如矩形,椭圆,多边形及其组合
      2. Boundary Mode 定义边界条件
      3. PDE Mode 定义偏微分方程,即给定方程的类型及其系数
    2. 解方程
      1. Mesh Mode 将区域分割为三角形网格
      2. Solve Mode 设置初始条件并求解,本征值问题可设搜索本征值范围
    3. 将结果可视化输出
      1. Plot Mode
        1. 用彩图、高度图、矢量场图、曲面图、网线图等直线图和线头图表现解
        2. 对抛物型方程和双曲型方程,可以用动画表现解

    用pdetool解椭圆形方程和抛物型方程

    344fde947d3b51a005ad322f87bb2449.png

    caae62cb421dc3f3c0f8ac387e8b0d75.png

    4ee467a394b990b027e1ca8868c90cfb.png

    用pdetool解波动方程和本征值方程

    bd62d1fe1ca695dbd8aedd1c951fb461.png

    b59574e8df242dfd150bfb47ac278306.png

    4e04ad7e903f637e6fbc1aeddb67475f.png

    42fbcc87119a768652d424cd9cb289dd.png

    特殊函数的调用和计算

    在matlab中查询特殊函数的方法

    help matlabspecfun

    legendre

    例:计算n阶勒让德函数

    在x处的值

    c6d2cd58ddf0b1122befdc6d335343a5.png

    勒让德函数的值

    da50e769d4ab6f724ef22a5befe682c9.png

    画勒让德多项式的图像

    sym 
    展开全文
  • 本文只给出该工具箱的函数列表,读者应先具备偏微分方程的基本知识,然后根据本文 列出的函数查阅 Matlab 的帮助,便可掌握该工具箱的使用。
  • 非稳态的偏微分方程组是一个比较难解决的问题,也是在热质交换等方面的常常遇到的问题,因此需要一套程序来解决非稳态偏微分方程组的数值解。
  • 之前介绍的 Physics Informed Deep Learning 解偏微分方程时都是使用深度神经网络得到一个参数化的解,然后通过最小化解对初始条件,边界条件以及偏微分方程的破坏程度,训练学习得到近似解的参数。缺点是对每一个...

    之前介绍的 Physics Informed Deep Learning 解偏微分方程时都是使用深度神经网络得到一个参数化的解,然后通过最小化解对初始条件,边界条件以及偏微分方程的破坏程度,训练学习得到近似解的参数。缺点是对每一个初始条件都要重新训练一次神经网络。

    今天介绍一个使用神经网络解偏微分方程的新思路。这种方法训练一次神经网络之后,可能适用于不同的初始条件。具体方法是对给定的偏微分方程,学习最好的差分近似离散化方案。此离散化方案依赖于具体的偏微分方程,时空格点以及场量的局域变化曲率。

    Learning data driven discretizations for partial differential equationsarxiv.org

    结果

    专业术语的解释放在方法部分。

    文章图(a) 在格子16倍粗粒化时,1阶迎风(1st order)算法已经发散;放大32倍时,WENO算法在第20个时间步也开始发散,而神经网络提供的差分离散化方案一直到第40个时间步都工作正常。

    文章图 (b) 对比了7个区域的精确解与神经网络解在40个时间步长上的演化,结果还算比较精确。横轴是时间。

    图(c), 定量对比了不同算法的平均绝对误差,发现在32倍粗粒化时,传统方法的误差是神经网络解的 10 倍。

    5a1f8a8e81e024912b0fc5738786bc29.png

    方法

    好的离散化方案应该类似于重整化群,在更粗粒度的离散化方案中得到细粒度下物理的有效近似。在流体力学里面,这相当于将高频信号和局部涨落积分,得到系统的长波近似。在光学中,当系统尺度远大于光的波长,几何光学也是对麦克斯韦方程组的很好近似。所以,如果神经网络能够在粗粒度下学到对底层微观动力学的有效近似,可以解决很多问题。

    多体系统的涌现(集体)现象需要微观机制,但如果从第一原理即微观机制出发,模拟整个物理系统,则会受到很多非相关细节的干扰。如何构造粗粒度下的有效理论近似微观机制的集体效应,可能推动整个物理学领域的发展。重整化群即是这样一种思想。本文立意很高,试图使用神经网络学到粗粒化的差分离散化方案,有效近似微观动力学带来的宏观效应。

    差分近似入门

    如果我们要数值求解下面这个偏微分方程(假设v是常数),该怎么做?

    这个方程告诉我们,流体密度

    是时间 t 和空间坐标 x 的函数。

    如果将

    时刻流体密度的空间位置分布
    定义为初始条件,那么偏微分方程的解就是
    的任意时刻流体密度的空间位置分布

    如果将 x 离散化为

    ,空间步长为
    ,将时间离散化,时间步长取为
    , 则连续的偏微分方程可以化为求解这些离散时空点上的流体密度。此时可以定义,

    相应的就有

    根据泰勒展开,

    可以知道

    对 x 的偏微分用同样的方法化为差分,得到这一章最开头的偏微分方程最简单的离散化形式为,

    简化一下,将 n+1 时刻需要计算的量放左边,将 n 时刻所有已知的量移到右边,得到

    初始条件

    知道,从 n 到 n+1 时刻的迭代方程知道,此偏微分方程的数值解也就完全确定了。

    差分近似进阶

    可能你会觉得差分近似太简单了,一看就会。但现实情况是一用就错。

    比如上面这个差分近似,如果常数

    , 那么很快会出现数值发散!如果
    ,又可正常迭代。对于
    , 必须选用迎风格式 (upwind), 即

    注意上节末尾为了计算 i 点的空间微分,使用了 (i+1, i) 两个格点的信息;而迎风格式使用了 (i-1, i) 两个格点的信息。就这一点点不同,导致迎风格式收敛,而另一个发散。最直观的理解是,当 v>0 时,信息从左往右传播,计算 i 点的微分使用 i+1 点的流体密度违背了因果律。

    为何 (i-1, i) 两点也能用来计算空间的偏微分呢?还是泰勒展开,

    同样可以得到

    这里的迎风格式还是一阶精度,即近似到

    如何得到更高精度的差分近似呢?泰勒展开到更高阶,联立求解便是!

    都展开到二阶的时候,两个相减则得到,

    这种差分方案称作中心差分,具有二阶精度。

    将两者相加,消掉 f 的一阶偏导,则可以得到二阶微分的差分形式,

    同理,对

    ,
    ,
    ,
    泰勒展开到更高阶,并联立求解,可以得到更高阶精度的一阶微分,或更高阶微分的差分离散化方案。

    微分的差分近似很像卷积核,比如这个二阶微分,化为卷积操作则系数为,

    将这个卷积核从左到右点乘到

    上,就能得到每个空间格点的二阶微分。

    有限体积法

    有限体积法使用每个格子内部场量的积分平均值来代替格子边界上的值,更好的保证物理量的守恒。本质上与有限差分法没有太大区别。

    本文做法

    上文所示差分离散化方案一般是人为指定的,在数值求解偏微分方程时不随方程和时空的不同区域发生变化。

    这样就有一些潜在的问题,比如低阶差分近似一般会带来大的耗散,即

    对全空间的积分不守恒,演化时间越长,因为耗散丢失的质量越多。

    高阶差分耗散小,但又会引入大的色散。一个小的数值涨落,随时间的演化不是消失,而是逐渐增大,使得演化发散。

    近代计算流体力学发展了各种各样的有限差分和有限体积法,比如 FCT, Godunov, TVD, NND,ENO, WENO, COMPACT 算法等等,都是为了解决低阶与高阶,耗散与振荡的矛盾。

    ENO 和 WENO 算法会根据局部的曲率,从一系列预先定义好的差分形式中选择最适合的离散核

    。本文使用的方法类似 ENO 与 WENO 的推广,使用多层神经网络来输出n阶导的差分近似系数
    。这些系数依赖于所处的时间和空间位置,以及局部场量的数值(比如曲率)。

    对空间的不同区域使用不同的差分格式非常合理,比如说在一个激波的内部和外部,应该使用不同精度的差分近似及差分系数。

    机器学习和数据驱动的方法如下:首先生成高分辨率的训练数据,然后从数据中学习微分的离散近似。产生高分辨率的训练数据可能花费很高,但是如果在小的系统生成解在流形空间的局域近似,然后应用于大的系统求解,可能会显著减少计算时间。

    在有限积分格式下,Burgers 方程完全受每个cell边界上流入,流出的场量决定。所以唯一的挑战是根据cell的平均值精确的估计边界上的流(Flux)。这一步由神经网络给出。

    计算分成3个步骤:

    1. 使用神经网络构造Cell边界上的空间微分,(利用边界两边Cell的场量均值)。
    2. 使用计算得到的空间微分去计算 Flux J。
    3. 使用旧的 Cell 均值减去左右边界上向外的 Flux J 来计算 Cell 均值的时间微分。并将时间微分(而非空间微分)的预测误差作为loss function进行优化。

    作者尝试过使用传统的单调算法(此处单调指的是没有色散引起的振荡),比如 Godunov Flux,没有带来比神经网络模型更好的提升。

    这篇文章提出本方法的缺陷是:(1)速度比普通差分近似慢很多。普通差分的卷积核一般用到左右5个格子,而本方法神经网络参数约几千个。(2)本文方法是在规则格点上的差分方案,如何推广到不规则格点呢?图神经网络与点云神经网络显然是很好的候选。这个需要进一步的研究。

    展望

    如果神经网络能够根据偏微分方程,边界条件和初始条件生成不规则的离散化格子,在曲率大的区域构造更精细的格子,在平坦区域构造粗粒度格子,并在不规则格子上构建最优的差分离散化方案,可能会带来计算流体力学的新突破。

    代码:

    旧版 https://github.com/google/data-driven-discretization-1d

    新版 https://github.com/google-research/data-driven-pdes

    新版开源代码中有 Tutorial 和 Example

    展开全文
  • MATLAB偏微分方程数值解 图书作者,代码从业者,N多年 ...
  • 然而,只有很少的微分方程可以解析求解,尤其对于偏微分方程,能解析求解的种类更是寥寥可数。更多的微分方程可以采用数值法进行求解,只要精度足够高,就可以满足科学和工程上的需求。数值求解微分方程的基本思路是...
  • 4.8.2 偏微分方程在自然科学的很多领域内,...MATLAB提供了一个专门用于求解偏微分方程的工具箱PDE Toolbox。本小节仅介绍一些最简单、经典的偏微分方程,如椭圆型、双曲型、抛物型等偏微分方程,并给出求解方法。用...
  • 应该说,传统偏微分方程数值解的思路就是用微分代替差分,与常微分方程数值解无异。但是真正属于这个领域特色的东西则是格式收敛性、稳定性的分析。初学者通常会惊异于差分格式居然在某些情况下会不稳定,出现 blow ...
  • Matlab偏微分方程工具箱求解方法 这一节我们主要用matlab自带的偏微分方程的工具箱函数求解 一.偏微分方程组的matlab求解语句 ​ 该命令用以求解以下的PDEPDEPDE方程式: c(x,t,u,∂u∂x)∂u∂t=x−m∂(xmf(x,t,...
  • 01PDE Modeler使用方法介绍物理学中的偏微分方程(PDE)无处不在,如热传导方程、扩散方程、电磁场方程,甚至量子力学中也能大量遇到偏微分方程——薛定谔方程。偏微分方程的计算十分复杂,而且大部分是没有解析解的。...
  • 求解实例 ? 31 ? 解由给定的 PDE 可以得出 d=1,c=1,a=2,f=10 32 step1: 点击工具栏的 PDE 按钮如下输入 PDE 的参数注意选择 Hyperbolic ?... (1) Options ->Axis Limits 设置如下 34 题目用 MATLAB
  • 内容涵盖信息领域技术科普、研究前沿热点介绍、科技新闻跟进探索等多个方面,帮助同学们增长姿势,开拓眼界,每周更新,欢迎关注,欢迎愿意分享知识的同学投稿eesast@mail.tsinghua.edu.cn提到解微分方程,你想到的...
  • 这是学习matlab环境下解微分方程的一个非常好的资料,希望你能喜欢哈~
  • matlab 偏微分方程数值解

    千次阅读 2012-11-14 10:07:11
    已知一个正方形的温度场[0,1]Х[0,1],其边界条件为在 轴的一边上温度为0,其他各边上的温度均为1,可知各点处的温度值 满足Laplace方程,将区域分为 份,并首先假定内部改革点处的温度均为0,给定误差限为0.005,...
  • Matlab求解微分方程(组)及偏微分方程(组)
  • 参考资料G.R.Liu Y.T.GU著 王建明 周学军译 《无网格法理论及程序设计》数值实现Matlab 2019a前情回顾形式主义的居士:无网格法理论与Matlab程序设计(1)——概述​zhuanlan.zhihu.com地球物理局 地震波场模拟实验...
  • (1)PDEtool(GUI)求解偏微分方程的一般步骤 在Matlab命令窗口输入pdetool,回车,PDE工具箱的图形用户界面(GUI)系统就启动了.从定义一个偏微分方程问题到完成解偏微分方程的定解,整个过程大致可以分为六个阶段
  • 自然科学与工程技术中种种运动发展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。这些规律的定量表述一般地呈现为关于含有未知函数及其导数的方程。我们将只含有未知多元函数及其偏导数的... 一维状态空间的偏微分方程MATLAB...
  • 精品文档 基础知识 偏微分方程的定解问题 各种物理性质的定常即不随时间变化过程都可用椭圆型方程来描述其最典型最简单的形式是泊松 (Poisson) 方程 2 2 u u u 2 2 f (x , y) 1 x y 特别地当 f ( x, y) 0时即为...
  • 好急啊,怎么样用MATLABd的PDE库来解一个有偏微分方程的?该怎么用?最好大神带着一个列子讲一下,感激不尽!![图片说明](https://img-ask.csdn.net/upload/201601/30/1454123703_457539.png)
  • MATLAB程序分享求解偏微分方程扩散方程有限差分法-MATLAB求解偏微分方程(扩散方程)有限差分法 源程序代码.rar 程序代码见附件,拿资料请顺便顶个贴~~ 如果下载有问题,请加我 qq 1530497909,给你在线传
  • 常微分方程ODEs和偏微分方程PDEs的MATLAB数值解法-常微分方程和偏微分方程MATLAB数值解法.rar [希望大家用的着 常微分方程的: Figure12.jpg 常微分方程的MATLAB数值解法 ...
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