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  • MATLAB编程(4)——MATLAB绘制二维高斯函数的三维图

    万次阅读 多人点赞 2019-01-15 22:55:47
    本篇博文记录使用MATLAB绘制二维高斯函数的三维图。 用到的MATLAB函数——mesh()(绘制三维线框图)和surf()(绘制三维表面图)。 MATLAB命令窗口输入>> doc 函数名,可以查看相关函数的帮助文档。...

    本篇博文记录使用MATLAB绘制二维高斯函数的三维图。

    用到的MATLAB函数——mesh()绘制三维线框图)和surf()绘制三维表面图)。

    MATLAB命令窗口输入>> doc 函数名,可以查看相关函数的帮助文档。


    一维高斯函数:

            f \left ( x \right ) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{-\frac{\left ( x-\mu \right )^{2}}{2\sigma ^{2}}}(μ为均值,σ为标准差)

    二维高斯函数:

            g\left ( x,y \right ) = \frac{1}{2\pi \sigma^{2} }e^{-\frac{\left ( x^{2}+y^{2} \right )}{2\sigma ^{2}}}(这里,均值均为零,标准差均为σ)


    下面给出代码(两种实现结果),绘制一个均值为25,标准差为5的二维高斯函数的三维图:

    代码实现一:

    % 先限定三维图中的x,y轴坐标范围
    X = 0 : 1 : 50;
    Y = 0 : 1 : 50;
    
    % 标准差
    sigma = 5;
    
    
    Z = zeros( 51, 51 );
    for row = 1 : 1 : 51
        for col = 1 : 1 : 51
            Z( row, col ) = ( X(row) - 25 ).^2 + ( Y(col) - 25 ).^2; % 均值(25, 25)
        end
    end
    Z = -Z / ( 2 * sigma^2 );
    
    Z = exp(Z) / ( 2 * pi * sigma^2 );
    
    % 显示高斯函数的三维曲面
    figure, surf(X, Y, Z);

    结果图:

    代码实现二:(更推荐

    % 先限定三维图中的 x,y 轴坐标范围
    X = 0 : 1 : 50;
    Y = 0 : 1 : 50;
    
    % 标准差
    sigma = 5;
    
    [ XX, YY ] = meshgrid( X, Y );
    Z = ( XX - 25 ).^2 + ( YY - 25 ).^2;
    
    Z = -Z / ( 2 * sigma^2 );
    Z = exp(Z) / ( 2 * pi * sigma^2 );
    
    % 显示高斯函数的三维图
    figure, mesh(X, Y, Z); % 线框图

    结果图:

    以上两种代码实现中,差别在于Z的计算。代码实现一中,使用了双层for循环,时间会比代码二长。而代码实现二中,利用向量化运算取代for循环(即向量化循环),代码的效率会更高,更值得推荐。(这也是MATLAB编程上的一个技巧)。

    并且,使用meshgrid,不会受到坐标(索引)为零的影响。例如:

    % 先限定三维图中的 x,y 轴坐标范围
    X = -25 : 1 : 25;
    Y = -25 : 1 : 25;
    
    % 标准差
    sigma = 5;
    
    [ XX, YY ] = meshgrid( X, Y );
    Z = ( XX ).^2 + ( YY ).^2; % 均值为(0,0)
    
    Z = -Z / ( 2 * sigma^2 );
    Z = exp(Z) / ( 2 * pi * sigma^2 );
    
    % 显示高斯函数的三维图
    figure, mesh(X, Y, Z); % 线框图

    结果图:

    以上三维图中,MATLAB默认绘制彩色图。

    colormap( [0 0 0] ); % 或者 colormap( gray ) —— 可以将以上彩色三维图转换为灰色。

    另外,还可控制三维图中的网格显示和坐标轴显示。

    grid off; % 关闭网格 (grid on —— 开启网格)
    
    axis off; % 关闭坐标轴显示 (axis on —— 开启坐标轴显示)

     

    以上内容可用于二维滤波器的三维可视化。相关内容在书籍《数字图像处理(MATLAB版)》“4.5 在频域中直接生成滤波器”章节也有讲述。

     


    下面的这段文字是对上述向量化循环的扩展,文字引自《数字图像处理(MATLAB版)》/(美)冈萨雷斯等著;阮秋琦等译.北京:电子工业出版社,2005,9.

    MATLAB使用函数meshgrid来实现二维函数的评估,该函数的语法为:

    [ C, R ] = meshgrid( c, r );

    该函数将由行向量c和r指定的域变换为数组C和R,这两个数组能用来评估有两个变量的函数和三维表面图(注意,在meshgrid的输入输出中,列总是首先列出)。

    输出数组C的行是向量c的副本,输出数组R的列是向量r的副本。

    例如,假设我们想形成一个二维函数,该函数的元素是坐标变量x和y的值的平方和,其中,x=0,1,2  y=0,1。向量r由坐标的行分量构成:r=[0,1,2];类似地,向量c由坐标的列分量构成:c=[0,1],这里r和c均为行向量。

    将这两个向量代入meshgrid,可得如下数组:

    >>[ C, R ] = meshgrid( c, r )

    C = 

           0     1

           0     1

           0     1

    R =

           0      0

           1      1

           2      2

    >>h = R .^2 +C .^2

    h =

           0      1

           1      2

           4      5

    h的维度为length(r) * length(c)

     

    参考:

    [1] Matlab绘制三维曲面(以二维高斯函数为例)(https://www.cnblogs.com/pzxbc/archive/2012/02/14/2351708.html

     


    在进行以上内容的学习时,也检索到下面的写得不错的博客:

    (1)高斯函数以及在图像处理中的应用总结(https://www.cnblogs.com/herenzhiming/articles/5276106.html

    (2)高斯函数的详细分析(https://blog.csdn.net/jorg_zhao/article/details/52687448

     

     

    展开全文
  • x=[1,1; 2,1; 3,1; 4,1; 5,1; 6,1; 7,1; 8,1; 9,1; 10,1; 11,1; 12,1; 13,1; 14,1; 15,1; 16,1; ...

    x=[1,1;        2,1;        3,1;        4,1;        5,1;        6,1;        7,1;        8,1;        9,1;        10,1;        11,1;        12,1;        13,1;        14,1;        15,1;        16,1;        17,1;        18,1;        19,1;        20,1;

    1,2;        2,2;        3,2;        4,2;        5,2;        6,2;        7,2;        8,2;        9,2;        10,2;        11,2;        12,2;        13,2;        14,2;        15,2;        16,2;        17,2;        18,2;        19,2;        20,2;

    1,3;        2,3;        3,3;        4,3;        5,3;        6,3;        7,3;        8,3;        9,3;        10,3;        11,3;        12,3;        13,3;        14,3;        15,3;        16,3;        17,3;        18,3;        19,3;        20,3;

    1,4;        2,4;        3,4;        4,4;        5,4;        6,4;        7,4;        8,4;        9,4;        10,4;        11,4;        12,4;        13,4;        14,4;        15,4;        16,4;        17,4;        18,4;        19,4;        20,4;

    1,5;        2,5;        3,5;        4,5;        5,5;        6,5;        7,5;        8,5;        9,5;        10,5;        11,5;        12,5;        13,5;        14,5;        15,5;        16,5;        17,5;        18,5;        19,5;        20,5;

    1,6;        2,6;        3,6;        4,6;        5,6;        6,6;        7,6;        8,6;        9,6;        10,6;        11,6;        12,6;        13,6;        14,6;        15,6;        16,6;        17,6;        18,6;        19,6;        20,6;

    1,7;        2,7;        3,7;        4,7;        5,7;        6,7;        7,7;        8,7;        9,7;        10,7;        11,7;        12,7;        13,7;        14,7;        15,7;        16,7;        17,7;        18,7;        19,7;        20,7;

    1,8;        2,8;        3,8;        4,8;        5,8;        6,8;        7,8;        8,8;        9,8;        10,8;        11,8;        12,8;        13,8;        14,8;        15,8;        16,8;        17,8;        18,8;        19,8;        20,8;

    1,9;        2,9;        3,9;        4,9;        5,9;        6,9;        7,9;        8,9;        9,9;        10,9;        11,9;        12,9;        13,9;        14,9;        15,9;        16,9;        17,9;        18,9;        19,9;        20,9;

    1,10;        2,10;        3,10;        4,10;        5,10;        6,10;        7,10;        8,10;        9,10;        10,10;        11,10;        12,10;        13,10;        14,10;        15,10;        16,10;        17,10;        18,10;        19,10;        20,10;

    1,11;        2,11;        3,11;        4,11;        5,11;        6,11;        7,11;        8,11;        9,11;        10,11;        11,11;        12,11;        13,11;        14,11;        15,11;        16,11;        17,11;        18,11;        19,11;        20,11];

    y=[0    0   0   0   0   0   0   0   28  0   32  43  0   0   0   0   0   0   0   0

    0    0        24        26        45        42        40        37        44        32        42        54        42        55        49        59        44        39  0   0

    0    34        34        44        75        85        73        89        80        47        81        68        69        69        95        75        76        48  0   0

    0        38        42        70        114        164        148        145        136        74        148        131        152        152        157        126        114        66        55  0

    33        50        50        109        166        224        206        220        190        116        184        156        180        188        178        177        148        75        50        43

    35        41        84        160        197        226        249        237        217        199        168        172        187        188        180        182        165        98        50        32

    34        48        77        131        206        214        205        202        185        163        158        147        152        140        137        150        121        93        60        38

    0        36        61        89        129        143        124        123        106        120        78        85        87        74        82        99        99        62        31        0

    0        18        45        56        67        61        68        66        56        53        59        55        44        40        37        40        63        32        0        0

    0        0        31        52        36        53        34        38        46        33        35        29        20        30        25        21        30        28        0   0

    0    0   0   0   0   0   0   0   0   0   22  0   0   0   0   0   0   0   0   0];

    func=inline('(2*pi*a(2)*a(4)*(1-a(5)^2)^0.5)^(-1).*exp(-1./(2.*(1-a(5))).*((x(:,1)-a(1)).^2./a(2).^2)-(2.*a(5).*(x(:,1)-a(1)).*(x(:,2)-a(3)))./(a(2).*a(4))+(x(:,2)-a(3)).^2./a(4).^2)','a','x');%二维高斯表达式

    a0=rand(1,5);

    [a,r] = nlinfit(x,y,func,a0) %函数拟合得到其正态分布参数μ1=a(1),sigma1=a(2),μ2=a(3),sigma2=a(4),ro=a(5)

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  • 二维高斯函数高斯函数在图像滤波、边缘检测等中发挥着重要的作用。高斯滤波是典型的低通滤波,对图像有平滑作用。同时,高斯函数的一阶、二阶导数也可以用于高通滤波,比如canny算子中用到的是高斯函数的一阶导数, ...

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    二维高斯函数

    高斯函数在图像滤波、边缘检测等中发挥着重要的作用。高斯滤波是典型的低通滤波,对图像有平滑作用。同时,高斯函数的一阶、二阶导数也可以用于高通滤波,比如canny算子中用到的是高斯函数的一阶导数,

    equation?tex=LOG 算子中用到的是高斯函数的二阶导数。下面逐一梳理了高斯函数一维和二维的定义以及一阶和二阶导数的公式。

    一维高斯函数:

    equation?tex=%5Cbegin%7Bequation%7D+G%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2+%5Cpi%7D+%5Csigma%7D+e%5E%7B-%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B2+%5Csigma%5E%7B2%7D%7D%7D%5Cend%7Bequation%7D%5Ctag%7B1%7D

    二维高斯函数:

    equation?tex=%5Cbegin%7Bequation%7D+G%28x%2C+y%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2+%5Cpi+%5Csigma%5E%7B2%7D%7D+e%5E%7B-%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D%7D%7B2+%5Csigma%5E%7B2%7D%7D%7D+%5Cend%7Bequation%7D%5Ctag%7B2%7D

    二阶高斯函数的一阶偏导数为:

    equation?tex=%5Cbegin%7Bequation%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial+G%7D%7B%5Cpartial+x%7D%3D%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7B2+%5Cpi+%5Csigma%5E%7B4%7D%7D%5Cright%29+x+e%5E%7B-%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D%7D%7B2+%5Csigma%5E%7B2%7D%7D%7D+%5Cend%7Bequation%7D++%5Ctag%7B3%7D

    equation?tex=%5Cbegin%7Bequation%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial+G%7D%7B%5Cpartial+y%7D%3D%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7B2+%5Cpi+%5Csigma%5E%7B4%7D%7D%5Cright%29+y+e%5E%7B-%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D%7D%7B2+%5Csigma%5E%7B2%7D%7D%7D+%5Cend%7Bequation%7D%5Ctag%7B4%7D

    二维高斯函数的二阶偏导数为:

    equation?tex=%5Cbegin%7Bequation%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E%7B2%7D+G%7D%7B%5Cpartial+x%5E%7B2%7D%7D%3D%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7B2+%5Cpi+%5Csigma%5E%7B4%7D%7D%5Cright%29%5Cleft%281-%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B%5Csigma%5E%7B2%7D%7D%5Cright%29+e%5E%7B-%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D%7D%7B2+%5Csigma%5E%7B2%7D%7D%7D+%5Cend%7Bequation%7D%5Ctag%7B5%7D

    equation?tex=%5Cbegin%7Bequation%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E%7B2%7D+G%7D%7B%5Cpartial+y%5E%7B2%7D%7D%3D%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7B2+%5Cpi+%5Csigma%5E%7B4%7D%7D%5Cright%29%5Cleft%281-%5Cfrac%7By%5E%7B2%7D%7D%7B%5Csigma%5E%7B2%7D%7D%5Cright%29+e%5E%7B-%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D%7D%7B2+%5Csigma%5E%7B2%7D%7D%7D+%5Cend%7Bequation%7D%5Ctag%7B6%7D

    equation?tex=%5Cbegin%7Bequation%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E%7B2%7D+G%7D%7B%5Cpartial+x+%5Cpartial+y%7D%3D%5Cfrac%7Bx+y%7D%7B2+%5Cpi+%5Csigma%5E%7B6%7D%7D+e%5E%7B-%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D%7D%7B2+%5Csigma%5E%7B2%7D%7D%7D+%5Cend%7Bequation%7D%5Ctag%7B6%7D

    在图像处理中,二维高斯函数的一阶梯度和二阶梯度的定义为:

    equation?tex=%5Cbegin%7Bequation%7D+%5Cnabla+G%28x%2C+y%29%3D%5Cleft%7C%5Cfrac%7B%5Cpartial+G%7D%7B%5Cpartial+x%7D%5Cright%7C%2B%5Cleft%7C%5Cfrac%7B%5Cpartial+G%7D%7B%5Cpartial+y%7D%5Cright%7C+%5Cend%7Bequation%7D%5Ctag%7B7%7D

    equation?tex=%5Cbegin%7Bequation%7D+%5Cnabla%5E%7B2%7D+G%28x%2C+y%29%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E%7B2%7D+G%7D%7B%5Cpartial+x%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E%7B2%7D+G%7D%7B%5Cpartial+y%5E%7B2%7D%7D+%5Cend%7Bequation%7D%5Ctag%7B8%7D

    方向梯度为(角度

    equation?tex=%5Ctheta 取弧度):

    equation?tex=%5Cbegin%7Bequation%7D+%5Cvec%7Bl%7D%3Dx%5Ccos+%5Ctheta%2By+%5Csin+%5Ctheta+%5Cend%7Bequation%7D%5Ctag%7B9%7D

    equation?tex=%5Cbegin%7Bequation%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial+G%7D%7B%5Cpartial+%5Cvec%7Bl%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+G%7D%7B%5Cpartial+x%7D+%5Ccos+%5Ctheta%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial+G%7D%7B%5Cpartial+y%7D+%5Csin+%5Ctheta+%5Cend%7Bequation%7D%5Ctag%7B10%7D

    equation?tex=%5Cbegin%7Bequation%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E%7B2%7D+G%7D%7B%5Cpartial+%5Cvec%7Bl%7D%5E%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E%7B2%7D+G%7D%7B%5Cpartial+x%5E%7B2%7D%7D+%5Ccos+%5E%7B2%7D+%5Ctheta%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E%7B2%7D+G%7D%7B%5Cpartial+y%5E%7B2%7D%7D+%5Csin+%5E%7B2%7D+%5Ctheta%2B2+%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E%7B2%7D+G%7D%7B%5Cpartial+x+%5Cpartial+y%7D+%5Ccos+%5Ctheta+%5Csin+%5Ctheta+%5Cend%7Bequation%7D%5Ctag%7B11%7D

    将梯度函数进行离散,可以得到一阶和二阶的梯度算子,使用这些算子与图像进行卷积,可以求取图像的一阶、二阶梯度以及各方向梯度。

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    首先,把二维正态分布密度函数的公式贴这里

    2640c46e0e41182d48b08188010b5b34.png

    这只图好大啊~~

    但是上面的那个是多维正态分布的密度函数的通式,那个n阶是对称正定方阵叫做协方差矩阵,其中的x,pi,u都是向量形式。虽然这个式子很酷,但是用在matlab里画图不太方面,下面换一个

    这个公式与上面的等价,只不过把向量和矩阵展开,计算出来。我们可以用这个式子画图。

    因为二维函数的形式是:z=f(x,y)

    所以必须先选择一些点,然后计算出f(x,y)。这些点分布在一个平面上,而z则在三维空间。

    如何选择平面上的点阵?

    [x,y]=meshgrid(a,b)

    meshgrid就是这样一个生成点阵的函数,这个meshgrid理解起来有点绕,不过举个例子就马上能力明白了。下面是matlab里面的一段截图:

    我们可以看到meshgrid生成了两个同样大小的矩阵,第一个矩阵是通过把第一个参数[1:3]顺着行的方向复制了4次,4是第二个参数的长度,同样第二个矩阵是第二个参数顺着列的方向复制了三次,3是第一个参数向量的长度。而这个点阵就是:

    (1,2)   (2,2)   (3,2)

    (1,3)   (2,3)   (3,3)

    ...

    看出什么意思了吧?就这个意思。

    至于这两个参数到底怎么选,这样根据你的正态分布的均值,尽量使点阵的中心与分布的均值靠近。

    好了,有了平面上的点,就来算这些点对应的函数值。往函数里套就行,下面是代码:

    ?

    最后一句mesh(x,y,Z) 是画图函数,画出的图行大概是下面这个样子:

    9742253f9f1cd9b8ddf26ffe46f3eb81.png

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