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  • 前期回顾 在上期教程中,我们学习了下面的知识点: 如何声明、定义、调用函数(文件)。...在数学中经常遇见的一个问题就是方程求解,特别是线性代数中,很经常遇见线性方程组求解问题,今天就来Matla...

    前期回顾

    在上期教程中,我们学习了下面的知识点:

    1. 如何声明、定义、调用函数(文件)。
    2. 给函数传递参数、接受函数的返回值。
    3. matlab中矩阵的简单使用和下标索引。
    4. 给我们代码模块化
    5. matlab中for循环(遍历)的使用。
    6. 如何从一个文件调用另一个函数文件。

    本期目标:

    在数学中经常遇见的一个问题就是方程求解,特别是线性代数中,很经常遇见线性方程组的求解问题,今天就来用Matlab来探讨线性方程组的求解问题。

    正文开始啦

    一般方程:

    一般来讲,我们看到的方程都是这个样式的:ax = b,其中a、b都是常数,很显然,这时候 x 的解就是b/a。

    也就是说,我们拿后面的值除以前面的系数,即可得到解X。

    方程组(目前仅讨论方程个数和未知数个数一样的情况):

    刚刚我们讲的是一般方程,那推广到线性方程组,假设我们现在有个这样的方程:

    \left\{\begin{matrix} 4x_{1} + x_{2} -2x_{3} = 1 \\2x_{1} + 2x_{2} + x_{3} = 2 \\3x_{1} + x_{2} - x_{3} = 3 \end{matrix}\right.

    相信大家运用高中知识也能很快的求出这个方程的答案,但是,如果四阶?五阶甚至更高呢?不如转换为矩阵的方法。

    根据线性代数的知识,我们可以得到这样一个增广矩阵:

    \begin{bmatrix} 4 & 1 & -2 & 1\\ 2 & 2 & 1 & 2\\ 3 & 1 & -1 & 3 \end{bmatrix}

    那我们令系数矩阵是A,结果矩阵是B,这个解矩阵X该怎么算呢?

    额外知识 

    此部分提供给还未学过线性代数的同学看,如果知道基本知识可以先行跳过。

    上面的矩阵方程可以视为这样的矩阵方程:\begin{bmatrix} 4 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1\\ 3 & 1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix}

    其中,令X为未知数的矩阵,前面的三乘三的系数矩阵称为A,等号右边的结果矩阵称为B,方程组即可表述为:

    AX = B,求X。

    矩阵A的列数和矩阵X的行数相同时才可写成此种形式,因为当A的列数(这里是三列)等于X的行数(这里是三行)才能进行矩阵乘法运算。

    矩阵乘法运算是这样的:\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_{1}\\ b_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11}*b_{1} + a_{12}*b_{2} \\ a_{21}*b_{1} + a_{22}*b_{2} \end{bmatrix}

    易看出:如果A是 n 行 m 列,则X需要是 m 行 s 列才可相乘,且结果矩阵必是 n 行 s 列。

    所以按照上面的运算法则,我们就可以看出,矩阵方程和原来的方程组是等价的。

    回到正文:

    我们已经得到了方程组对应的矩阵方程:\begin{bmatrix} 4 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1\\ 3 & 1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix},那么编程的第一件事就应该是在程序里面表述这个方程组。下面看代码:

    %% 方程组求解
    clc;
    clear;
    A = [4 1 -2;
         2 2  1;
         3 1 -1];
    % 定义一个3行3列的矩阵A,行与行之间使用分号隔开,每一行之间的元素使用空格隔开
    B = [1;
         2; 
         3]; %定义矩阵B
    disp(A);disp(B); %显示A和B

    现在我们便可以在程序中得到两个矩阵,分别是A和B,定义的时候也可以不换行,但是换行定义看起来毕竟方便、易读。

    运行代码就能看到我们定义的这两个矩阵:

    同样,我们也可以在右边的工作区查看我们的这两个变量:

    在这个工作区,我们看到的数据会更加的直观,就像图中这样:

    现在,我们得到了两个矩阵,万事俱备,只欠东风,我们现在只需要一个除法即可得出这个解矩阵X。

    现在在最后面加入这个代码:

    X = A\B;  % 左除
    disp(X);

    可能会有些人觉得奇怪,怎么A在左边并且这个写的是斜杠呢?

    如果我们学习过矩阵便知道,矩阵的乘法是没法前后调换的,即 AB 不等于 BA,也就是说,AX = B,要求这个X,我们需要在两边的左边同时除以A(严谨说法叫做乘以A的逆矩阵),即 1/A * A *X = 1/A * B,也叫做左除,而在matlab中,左除符号就是这个“ \ ”符号,所以应这样使用,即 A \ B代表 1/A * B(严谨来说,就是A的逆矩阵*B),即可得到X。

    运行后我们便可看到解矩阵的结果:

    大家可以手动动手验证一下看看对不对哈哈哈。

    左除和右除

    上面讲的是左除,下面我们来说说右除,也就是在右边乘以1/A(严谨说法叫做A的逆矩阵),那么这个方程组应该是这样的:

    XA = B

    如果A和B不变的话,对应的矩阵应该是这样的:

    \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1\\ 3 & 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix}

    然后根据乘法的运算法则,可以发现,这个方程是没法解的(因为根本就没法乘,前面矩阵1列,后面矩阵3行,不相等,没法进行乘法运算)

    所以,如果进行这样的乘法运算,我们需要把X的解矩阵变换(注意,变换后乘出来的结果和之前的方程组不一样,不一样!):

    \begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1\\ 3 & 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 2& 3 \end{bmatrix}

    那么根据运算律,我们可以得到现在的方程组是:

    \left\{\begin{matrix} 4x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 1\\ x_{1} + 2x_{2} + x_{3} = 2\\ 2x_{1} + x_{2} - x_{3} = 3 \end{matrix}\right.

    注:不一定有解,毕竟是现改的。

    那么这个X如何求呢?

    根据原方程: XA = B,我们需要在等号两端的右边同时乘以 1/A(严谨来说是A的逆矩阵),即:

    X * A * 1/A = B * 1/A(左右千万不能放错) ==> X = B*1/A

    在代码中,右除是这样写的(注意代码改动,因为矩阵B变了):

    %% 方程组求解,右除
    clc;
    clear;
    A = [4 1 -2;
         2 2  1;
         3 1 -1];
    % 定义一个3行3列的矩阵A,行与行之间使用分号隔开,每一行之间的元素使用空格隔开
    B = [1 2 3]; %定义矩阵B
    disp(A);disp(B); %显示A和B
    X = B/A;  % 右除
    disp(X);

    然后运行:

    嗯。。。竟然还是有解的哈哈哈哈。

    结束语:

    今天我们学习了如下的知识:

    1. 在matlab中定义矩阵。
    2. 线性代数矩阵乘法运算、求解知识。
    3. 关于矩阵乘法左除、右除的区别。
    4. 在matlab中求解两种矩阵方程的方法。

    今天就到此结束啦,东西虽少,但是干货满满,希望大家马上学会!!!

    展开全文
  • matlab解线性方程组

    2020-04-28 16:52:17
    matlab解线性方程组 梯度下降 牛顿法 matlab解线性方程组 梯度下降 牛顿法 matlab解线性方程组 梯度下降 牛顿法
  • 用matlab求解线性方程组

    万次阅读 多人点赞 2019-07-18 17:16:13
    n 有唯一 m=n时,即方程个数等于未知数个数 A=[1 -1 1 -2;2 0 -1 4;3 2 1 0;-1 2 -1 2]; b=[2 4 -1 -4]’; B=[A,b]; RA=rank(A) RB=rank(B) 此时RA=RB=4 则X=A\b或X=inv(A)*b(对于本题计算结果是一样的...

    对方程组Ax=b
    在这里插入图片描述
    1 rank(A)=rank(A,b)=n时,无论m=n还是m>n 有唯一解
    m=n时,即方程个数等于未知数个数
    在这里插入图片描述

    A=[1 -1 1 -2;2 0 -1 4;3 2 1 0;-1 2 -1 2];
    b=[2 4 -1 -4]’;
    B=[A,b];
    RA=rank(A)
    RB=rank(B)
    此时RA=RB=4
    则X=A\b或X=inv(A)*b(对于本题计算结果是一样的,不过inv要求矩阵为方阵,此外左除的计算速度会快一点)

    m>n时,即方程个数大于未知数个数
    在这里插入图片描述
    A=[6 2 3 4 5;2 -3 7 10 13;3 5 11 -16 21;2 -7 7 7 2;7 3 -5 3 10;13 5 -2 7 15];
    b=[80 59 90 22 85 165]’;
    r=rank(A);r1=rank([A,b])
    此时r=r1 则X=A\b(此时不可以再用X=inv(A)*b,若用,matlab会提示错误:A不为方阵)

    2 rank(A)=rank(A,B)<n时 有无穷多解

    方法一

    (1)、先求通解,null(A)可以解的AX=0的X的值,即X=null(A).
    (2)、求解特解,pinv(A)*B=特解。
    方法二:
    令C=[A,B],则利用函数rref©,可以求得C的行阶梯形矩阵。
    注意:仅用rref的话,方程有非零解,求得C的行阶梯形矩阵。需要自己再去做,因此不必用rref,MATLAB提供了一个求矩阵令空间的函数null来方便求解

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    A=[1 -1 -1 2;2 -2 1 -5;1 -1 2 -7];
    b=[2 1 -1]’;
    r=rank(A);r1=rank([A,b])
    2<n=3
    X0=A\b %特解
    B=null(A,‘r’) %齐次通解

    B中的第一列b1,是第二列是b2,通解为X=X0+c1b1+c2b2,其中c1,c2是任意常数

    3 rank(A)不等于rank(A,B)时 无解

    此时,x=pinv(A)*B为其最小二乘解

    个人理解,如有不对请指正
    参考:
    https://blog.csdn.net/u014147522/article/details/79109984
    https://jingyan.baidu.com/article/ce09321b96d2212bff858fad.html
    https://www.cnblogs.com/fangxiaoqi/p/10739714.html

    展开全文
  • matlab求解线性方程组

    2012-09-09 10:56:09
    基于matlab求解线性方程组,A*x=b,求解x向量,最终结果存储在x向量中。
  • MATLAB基础教程(6)——使用matlab求解线性方程组

    目录

    今日任务:

    一般方程:

    方程组(目前仅讨论方程个数和未知数个数一样的情况):

    额外知识 

    咦,咋跑题了

    左除和右除

    今日总结:


    今日任务:

    在数学中经常遇见的一个问题就是方程求解,特别是线性代数中,很经常遇见线性方程组的求解问题,今天就来用Matlab来探讨线性方程组的求解问题。

    一般方程:

    一般来讲,我们看到的方程都是这个样式的:ax = b,其中a、b都是常数,很显然,这时候 x 的解就是b/a。

    也就是说,我们拿后面的值除以前面的系数,即可得到解X。

    方程组(目前仅讨论方程个数和未知数个数一样的情况):

    刚刚我们讲的是一般方程,那推广到线性方程组,假设我们现在有个这样的方程:

    \left\{\begin{matrix} 4x_{1} + x_{2} -2x_{3} = 1 \\2x_{1} + 2x_{2} + x_{3} = 2 \\3x_{1} + x_{2} - x_{3} = 3 \end{matrix}\right.

    相信大家运用高中知识也能很快的求出这个方程的答案,但是,如果四阶?五阶甚至更高呢?不如转换为矩阵的方法。

    根据线性代数的知识,我们可以得到这样一个增广矩阵:

    \begin{bmatrix} 4 & 1 & -2 & 1\\ 2 & 2 & 1 & 2\\ 3 & 1 & -1 & 3 \end{bmatrix}

    那我们令系数矩阵是A,结果矩阵是B,这个解矩阵X该怎么算呢?

    额外知识 

    此部分提供给还未学过线性代数的同学看,如果知道基本知识可以先行跳过。

    上面的矩阵方程可以视为这样的矩阵方程:\begin{bmatrix} 4 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1\\ 3 & 1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix}

    其中,令X为未知数的矩阵,前面的三乘三的系数矩阵称为A,等号右边的结果矩阵称为B,方程组即可表述为:

    AX = B,求X。

    矩阵A的列数和矩阵X的行数相同时才可写成此种形式,因为当A的列数(这里是三列)等于X的行数(这里是三行)才能进行矩阵乘法运算。

    矩阵乘法运算是这样的:\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_{1}\\ b_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11}*b_{1} + a_{12}*b_{2} \\ a_{21}*b_{1} + a_{22}*b_{2} \end{bmatrix}

    易看出:如果A是 n 行 m 列,则X需要是 m 行 s 列才可相乘,且结果矩阵必是 n 行 s 列。

    所以按照上面的运算法则,我们就可以看出,矩阵方程和原来的方程组是等价的。

    咦,咋跑题了

    我们已经得到了方程组对应的矩阵方程:\begin{bmatrix} 4 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1\\ 3 & 1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix},那么编程的第一件事就应该是在程序里面表述这个方程组。下面看代码:

    %% 方程组求解
    
    clc;
    
    clear;
    
    A = [4 1 -2;
    
    2 2 1;
    
    3 1 -1];
    
    % 定义一个3行3列的矩阵A,行与行之间使用分号隔开,每一行之间的元素使用空格隔开
    
    B = [1;
    
    2;
    
    3]; %定义矩阵B
    
    disp(A);disp(B); %显示A和B

    现在我们便可以在程序中得到两个矩阵,分别是A和B,定义的时候也可以不换行,但是换行定义看起来毕竟方便、易读。

    运行代码就能看到我们定义的这两个矩阵:

    同样,我们也可以在右边的工作区查看我们的这两个变量:

    在这个工作区,我们看到的数据会更加的直观,就像图中这样:

     

    现在,我们得到了两个矩阵,万事俱备,只欠东风,我们现在只需要一个除法即可得出这个解矩阵X。

    现在在最后面加入这个代码:

    X = A\B; % 左除
    
    disp(X);

    可能会有些人觉得奇怪,怎么A在左边并且这个写的是斜杠呢?

    如果我们学习过矩阵便知道,矩阵的乘法是没法前后调换的,即 AB 不等于 BA,也就是说,AX = B,要求这个X,我们需要在两边的左边同时除以A(严谨说法叫做乘以A的逆矩阵),即 1/A * A *X = 1/A * B,也叫做左除,而在matlab中,左除符号就是这个“ \ ”符号,所以应这样使用,即 A \ B代表 1/A * B(严谨来说,就是A的逆矩阵*B),即可得到X。

    运行后我们便可看到解矩阵的结果:

    大家可以手动动手验证一下看看对不对哈哈哈。

    左除和右除

    上面讲的是左除,下面我们来说说右除,也就是在右边乘以1/A(严谨说法叫做A的逆矩阵),那么这个方程组应该是这样的:

    XA = B

    如果A和B不变的话,对应的矩阵应该是这样的:

    \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1\\ 3 & 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix}

    然后根据乘法的运算法则,可以发现,这个方程是没法解的(因为根本就没法乘,前面矩阵1列,后面矩阵3行,不相等,没法进行乘法运算)

    所以,如果进行这样的乘法运算,我们需要把X的解矩阵变换(注意,变换后乘出来的结果和之前的方程组不一样,不一样!):

    \begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1\\ 3 & 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 2& 3 \end{bmatrix}

    那么根据运算律,我们可以得到现在的方程组是:

    \left\{\begin{matrix} 4x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 1\\ x_{1} + 2x_{2} + x_{3} = 2\\ 2x_{1} + x_{2} - x_{3} = 3 \end{matrix}\right.

    注:不一定有解,毕竟是现改的。

    那么这个X如何求呢?

    根据原方程: XA = B,我们需要在等号两端的右边同时乘以 1/A(严谨来说是A的逆矩阵),即:

    X * A * 1/A = B * 1/A(左右千万不能放错) ==> X = B*1/A

    在代码中,右除是这样写的(注意代码改动,因为矩阵B变了):

    %% 方程组求解,右除
    
    clc;
    
    clear;
    
    A = [4 1 -2;
    
    2 2 1;
    
    3 1 -1];
    
    % 定义一个3行3列的矩阵A,行与行之间使用分号隔开,每一行之间的元素使用空格隔开
    
    B = [1 2 3]; %定义矩阵B
    
    disp(A);disp(B); %显示A和B
    
    X = B/A; % 右除
    
    disp(X);

    然后运行:

    咦,居然有解!!!!

    今日总结:

    1. 在matlab中定义矩阵。
    2. 线性代数矩阵乘法运算、求解知识。
    3. 关于矩阵乘法左除、右除的区别。
    4. 在matlab中求解两种矩阵方程的方法。
    展开全文
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    实验1.1 用matlab求解线性方程组 第一节 线性方程组的求解 一、齐次方程组的求解 rref(A) %将矩阵A化为阶梯形的最简式 null(A) %求满足AX=0的解空间的一组基,即齐次线性方程组的 基础解系 【例1】 求下列齐次线性方程组的一个基础解系,并写出通解: 我们可以通过两种方法来解: 解法1: >> A=[1 -1 1 -1;1 -1 -1 1;1 -1 -2 2]; >> rref(A) 执行后可得结果: ans=1 -1 0 00 0 -1 10 0 0 0 由最简行阶梯型矩阵,得化简后的方程                  0 2 2 0 0 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 x x x x x x x x x x x x取x2,x4为自由未知量,扩充方程组为 即 提取自由未知量系数形成的列向量为基础解系,记 所以齐次方程组的通解为解法2: clear A=[1 -1 1 -1;1 -1 -1 1;1 -1 -2 2]; B=null(A, r ) % help null 看看加个‘r’是什么作 用,若去掉r,是什么结果? 执行后可得结果: B=1 01 0 0 10 1        0 0 4 3 2 1 x x x x            4 4 4 3 2 2 2 1 x x x x x x x x                                       1 1 0 0 0 0 1 1 4 2 4 3 2 1 x x x x x x , 0 0 1 1 1               , 1 1 0 0 2               2 2 1 1   k k x  易见,可直接得基础解系所以齐次方程组的通解为二、非齐次线性方程组的求解 Matlab 命令的基本格式: X=A\b %系数阵A满秩时,用左除法求线性方程组AX=b的解 注意:A/B即为AB -1 , 而A\B即为A -1 B. C =[A,b]; D=rref(C) % 求线性方程组AX=b的特解,即D的最后一列元 素 【例2】 求下列非齐次线性方程组的解:, 0 0 1 1 1               , 1 1 0 0 2                                     1 5 0 6 5 0 6 5 0 6 5 1 6 5 5 4 5 4 3 5 4 3 3 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x x x 2 2 1 1   k k x  解: clear A=[5 6 0 0 0;1 5 6 0 0;0 1 5 6 0;0 0 1 5 6;0 0 0 1 5]; b=[1;0;0;0;1]; at rational %采用有理数近似输出格式, 比较at short看看 x=A\b 执行后可得所求方程组的解. 作业: 【第一题】 求下列非齐次线性方程组的通解.A=[1 2 3 1;1 4 6 2;2 9 8 3;3 7 7 2] B=[3;2;7;12] at rational x=A\B x =                        12 2 7 7 3 7 3 8 9 2 2 2 6 4 3 3 2 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x 4 2/3 1/2684838239393950 -7/3 【第二题】 计算工资问题 一个木工,一个电工,一个油漆工,三个人相互同意彼此装修他们 自己的房子。在装修之前,他们达成如下协议: (1)每人总共工作十天(包括给自己家干活在内) ; (2)每人的日工资根据一般的市价在60~80元之间; (3)每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相等。 下为他们协商后制定出的工作天数分配方案: 木工 电工 油漆工 在木工家的工作天数 2 1 6 在电工家的工作天数 4 5 1 在油漆工家的工作天数 4 4 3 解:设在木工、电工和油漆工每天的工资数分别为x,y和z; 依题意得 8x=y+6z 5y=4x+z 7z=4x+4y 即为8x-y-6z=04x-5y+z=0 4x+4y-7z=0 clear A=[8 -1 -6;4 -5 1 ;4 4 -7]; B=null(A, r ) B =0.86110.88891.0000 实验1.2 MATLAB 程式设计与应用 -----二维绘图部分 基本xy 平面绘图命令 MATLAB不但擅长于矩阵相关的数值运算,也适合用在各种科学的可视化表示 (Scientific Visualization)。本节将介绍MATLAB基本xy平面的一些绘图命令。1. Plot 作图 plot是绘制一维曲线的基本函数,但在使用此函数之前,我们需先定 义曲线上每一点的x及y坐标。下例可画出一条正弦曲线: close all; %关闭所有的图形视窗 x=linspace(0, 2*pi, 100); % 100 个点的x 坐标 y=sin(x); % 对应的y 坐标 plot(x,y); 0 1 2 3 4 5 6 7 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 小整理:MATLAB基本绘图函数 plot: x轴和y轴均为线性刻度(Linear scale) loglog: x轴和y轴均为对数刻度(Logarithmic scale) semilogx: x轴为对数刻度,y轴为线性刻度 semilogy: x轴为线性刻度,y轴为对数刻度 若要画出多条曲线,只需将坐标对依次放入plot函数即可: plot(x, sin(x), x, cos(x)) 0 1 2 3 4 5 6 7 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 若要改变颜色,在坐标对后面加上相关字串即可: plot(x, sin(x), c , x, cos(x), g )

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