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  • R语言多元正态分布的检验

    千次阅读 2020-04-24 21:46:25
    转自个人微信公众号【Memo_Cleon】的统计学习笔记:多元正态分布检验的R实现方法。 多元正态分布也称多元高斯分布。如同正态分布在单变量分析中的地位类似,在对多个因变量(多元)同时进行分析时,常常假设因变量...

    多元正态分布

    转自个人微信公众号【Memo_Cleon】的统计学习笔记:多元正态分布检验的R实现方法
    在这里插入图片描述
    多元正态分布也称多元高斯分布。如同正态分布在单变量分析中的地位类似,在对多个因变量(多元)同时进行分析时,常常假设因变量组合成的向量服从一个多元正态分布。比如重复测量数据将重复的测量结果(比如各个时间点上的测量结果)视为不同的因变量,可以采用多元方差分析,此时就要求各个因变量的组合向量服从多元正态分布。对多元正态分布的判断通常采用的边际分布来判断,即每个因变量的分布呈正态或近似正态。但实际上单因变量正态是多因变量多元正态的必要非充分条件:所有因变量的组合服从多元正态分布,每个因变量的分布(边际分布)必然呈正态;每个因变量的分布呈正态分布,所有因变量的组合未必呈正态分布。只要有一个因变量不服用正态分布则组合分布肯定不服从多元正态分布。

    虽然我们可以通过边际分布来大体判断,有没有统计方法直接判断是否满足多元正态分布呢?当然,R有无所不能的“包”!比如程序包mvnormtest【函数mshapiro.test】、程序包mvShapiroTest【mvShapiro.Test】、程序包MVN【函数mvn】、程序包mvnTest【函数AD.test、CM.test、DH.test、HZ.test、R.test、S2.test等】、程序包mvtnorm【函数pmvnorm】、程序包energy【函数mvnorm.e、mvnorm.test、mvnorm.etest】……

    我们以mshapiro.test {mvnormtest}和mvn {MVN}为例演示多元正态分布检验的R实现方法。

    mshapiro.test {mvnormtest}

    mshapiro.test(U):Performs the Shapiro-Wilk test for multivariate normality。U要求是数值型矩阵,且a matrix with number of columns (sample size) between 3 and 5000。因为在一般在录入时行表示观测/记录,列表示变量/字段,因此使用此函数需要先对行和列进行转置,转置函数为t(“矩阵或数据框”)。

    示例:两组新生儿出生时的体重与身长数据如下。预对两组的体重和身高同时进行检验,可以考虑多元方差分析,应考察多元正态性。
    在这里插入图片描述
    文件导入:
    library(openxlsx) #调用程序包openxlsx
    mn<-read.xlsx(“D:/Temp/multivnorm.xlsx”,1) #从名称为multivnorm的excel文件中导入第1个sheet的数据到数据框mn中

    **将数据调整成mshapiro.test的分析格式:**对数据框mn的行列进行转置
    A<-t(mn[1:8,3:4])
    B<-t(mn[9:16,3:4])

    多元正态分析:
    library(mvnormtest) #调用程序包mvnormtest
    mshapiro.test(A)
    mshapiro.test(B)

    结果显示A组多元正态分布SW检验W=0.912,P
    =0.366>0.05,呈二元正态分布;B组多元正态分布SW检验W=0.861,P=0.122>0.05,呈二元正态分布。在这里插入图片描述

    mvn {MVN}

    mvn(data, subset = NULL, mvnTest = c(“mardia”, “hz”, “royston”, “dh”, “energy”), covariance = TRUE, tol = 1e-25, alpha = 0.5, scale = FALSE, desc = TRUE, transform = “none”, R = 1000, univariateTest = c(“SW”, “CVM”, “Lillie”, “SF”, “AD”), univariatePlot = “none”, multivariatePlot = “none”, multivariateOutlierMethod = “none”, bc = FALSE, bcType = “rounded”, showOutliers = FALSE, showNewData = FALSE)。Data为矩阵或数据框。

    示例:10名肥胖患者在医生指导下服用药物减肥,按统一标准记录服药前和服药后1-4周的体重。在这里插入图片描述
    这是一个典型的无对照的重复测量数据,如将各个时点的体重视为不同的因变量,因变量(结果变量)就不止一个,此时可考虑多元方差分析(MANOVA)对它们同时进行分析。多元方差分析要求多元正态性、组间方差-协方差矩阵同质性、各因变量间有一定的相关性(个体内不独立,但个体间独立)。

    library(openxlsx) #调用程序包openxlsx
    mn2<-read.xlsx(“D:/Temp/multivnorm.xlsx”,2) #从名称为multivnorm的excel文件中导入第2个sheet的数据到数据框mn2中
    U<-mn2[1:10,2:6]
    library(MVN)
    mvn(U, mvnTest = c(“dh”), multivariatePlot = “qq”)

    注:本例10行6列,列名为id、W0、W1、W2、W3、W4。分析时仅筛选列,行不进行筛选,U<-multivnorm[1:10,2:6]可以直接U<-multivnorm[2:6]或者U<-multivnorm[-1]都可以。
    在这里插入图片描述
    结果:本例采用Doornik-Hansen了多变量正态性检验,当然也可以在语句中修改命令,换成Marida, Royston, Henze-Zirkler’s, E-Statistics等方法。结果显示E=6.79,P=0.75>0.05,数据满足多元正态分布。同时结果还给出了每个变量的Shapiro-Wilk检验结果,结果显示W0、W1、W2、W3、W4均满足正态分布。另外本例同时给出了多元正态性的QQ图。

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  • 多元统计分析上机题之R语言实现(多元正态分布)-附件资源
  • R语言生成多元正态分布代码

    千次阅读 2021-03-26 19:10:38
    library(MASS) #加载MASS包 mean<-c(2, 1, 3) #指定均值向量 sigma<-matrix(c(1, 0,0, 0, 1, 0, 0, 0, 1), nrow=3, ...- mvrnorm(1000, mean, sigma) #生成1000个三元正态分布的随机数:1000行乘以3列的 ...
    library(MASS) #加载MASS包
    mean<-c(2, 1, 3) #指定均值向量
    sigma<-matrix(c(1, 0,0, 0, 1, 0, 0, 0, 1), nrow=3, ncol=3) #指定协方差矩阵
    mydata <- mvrnorm(1000, mean, sigma) #生成1000个三元正态分布的随机数:1000行乘以3列的
    
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  • 多元统计分析上机题之R语言实现(多元正态分布

    万次阅读 多人点赞 2015-10-18 16:33:07
    还参考了王斌会老师的《多元统计分析及R语言建模》本文内容主要为第4章多元正态分布的上机题,图略。 [rmd文档见](http://pan.baidu.com/s/1ntkuXQT) 可以直接用Rstudio打开(之前先安装knitr包)4.2

    引言

    本学期也开了一门多元统计分析课程,也趁机想把课后上机题实现一遍,以增强理解。

    教材使用的是约翰逊的《多元统计分析》第六版,中英文版教材、数据集、讲义见
    还参考了王斌会老师的《多元统计分析及R语言建模》

    本文内容主要为第4章多元正态分布的上机题,图略。
    [rmd文档见](http://pan.baidu.com/s/1ntkuXQT
    可以直接用Rstudio打开(之前先安装knitr包)

    4.28

    data_4.28<-read.table("E:\\研究生\\应用多元统计\\JohnsonWichern Data sets\\T1-5.DAT")
    #正态Q-Q图
    qqnorm(data_4.28$V2)
    #正态性检验
    #原始数据排序
    new_data<-sort(data_4.28$V2)
    length(new_data)
    #对应概率值
    
    prob<-function(i,n=42){#构建一个概率值的函数
      return((i-0.5)/n)
    }
    all_pro<-sapply(1:42,prob)#所有概率值
    #对应的标准正态分位数
    all_q<-qnorm(all_pro)
    #Q-Q图的相关系数
    rq<-cor(new_data,all_q)
    #由于Q-Q图的相关系数rq为0.9693258,小于表4-2中n=40对应的临界点,所以拒绝正态性假设。

    4.29

    #(a)
    #计算样本协方差矩阵
    s<-cov(data_4.28[,5:6])
    #s的逆
    s_solve<-solve(s)
    x_bar<-apply(data_4.28[,5:6],MARGIN=2,mean)#两列平均数
    x_bar<-matrix(as.vector(x_bar),42,2,by=2)
    two_col<-t(data_4.28[,5:6]-x_bar)#两列x-x_bar
    #计算所用统计距离dis
    dis<-c()
    for(i in 1:length(two_col[1,])){
      dis[i]<-t(two_col[,i])%*%s_solve%*%two_col[,i]
    }
    ####################################
    #(b)
    #自由度为2概率密度为0.5的卡方分布临界值
    chisq_num<-qchisq(0.5,2)
    #所占比例
    pro<-length(which(dis<chisq_num))/length(dis)
    ####################################
    #(c)
    #对广义平方距离dis进行排序
    sort_data<-sort(dis)
    #概率密度为4.28中的all_pro
    #对应的自由度为2的卡方分位数
    
    all_chiisq<-sapply(all_pro,qchisq,df=2)#所有概率值
    #画出卡方图 也就是(all_chiisq,sort_data)对应的散点图
    library(ggplot2)
    qplot(all_chiisq, sort_data, geom='point')

    4.30

    #读入数据
    data_4.30_x1<-c(1:9,11)
    data_4.30_x2<-c(18.95,19.00,17.95,15.54,14.00,12.95,8.94,7.49,6.00,3.99)
    
    #构建幂变化函数
    ##幂类变化函数(Box-Cox)
    box_cox<-function (x,λ){
      if (λ==0) { 
        return(log(x))
      }else{
        return((x^λ-1)/λ)
      }
    }
    l_value<-function(X,lamda){
      x_new<-sapply(X,box_cox,λ=lamda)
      x_bar<-mean(x_new)
      l_val<-log(mean((x_new-x_bar)^2))*(-length(x_new)/2)+(lamda-1)*sum(log(X))
      return(l_val)
    }
    
    #生成多个λ,求使l_value最大的λ_hat值
    λ<-seq(-1,2,0.1)
    all_l<-c()
    for(n in 1:length(λ)){
      all_l[n]<-l_value(data_4.30_x1,lamda=λ[n])
    }
    #取使变化后的l_value最大的λ值
    max_λ<-λ[which(all_l==max(all_l))]
    #进行数据幂变化
    new_data<-sapply(data_4.30_x1,box_cox,λ=max_λ)
    #变化后的Q-Q图
    qqnorm(new_data)
    ###################################
    #(b)
    #基本同(a)题
    λ<-seq(-1,2,0.1)
    all_l<-c()
    for(n in 1:length(λ)){
      all_l[n]<-l_value(data_4.30_x2,lamda=λ[n])
    }
    #取使变化后的l_value最大的λ值
    max_λ<-λ[which(all_l==max(all_l))]
    #进行数据幂变化
    new_data<-sapply(data_4.30_x2,box_cox,λ=max_λ)
    #变化后的Q-Q图
    qqnorm(new_data)
    #################################
    #(c)略
    #题4.31-4.38均按照4.28-4.30的解题思路进行即
    #考虑边缘正态性:先做Q-Q图做个粗略的了解 然后计算Q-Q图的相关系数 并与书中表4.2进行比较 得出是否拒绝正态性的假设
    #考虑二维正态性 采用4.29的方法 做卡方图
    #变换可以采用平方根变换 对数变换 z变换 ,见书本p147页,还可以使用4.30中的幂变换,然后将变换后的数据画Q-Q图进行判断。

    4.39

    data_4.39<-read.table("E:\\研究生\\应用多元统计\\JohnsonWichern Data sets\\T4-6.DAT")[,1:5]
    #(a)
    #正态性检验
    #计算Q-Q图的相关系数 将题4.28的代码进行封装
    norm_test<-function(data){
      #原始数据排序
      new_data<-sort(data)
      len_data<-length(new_data)
      prob<-function(i,n){#构建一个概率值的函数
        return((i-0.5)/n)
      }
      #对应概率值
      all_pro<-sapply(1:len_data,prob,n=len_data)#所有概率值
      #对应的标准正态分位数
      all_q<-qnorm(all_pro)
      #Q-Q图的相关系数
      return(cor(new_data,all_q))
    }
    ##对于独立性
    #Q-Q图
    qqnorm(data_4.39$V1)#大部分在一条直线上
    norm_test(data_4.39$V1)
    #在显著性水平为0.05的情况下,当n=150时,0.988小于于表4.2中的0.9913拒绝正态性假定。
    #也可以采用shapiro-wilk检验
    #使用在mvnormtest包里mshapiro.test,具体可以使用?mshapiro.test查看使用方法
    ##对于支撑力
    qqnorm(data_4.39$V2)#大部分在一条直线上
    norm_test(data_4.39$V2)
    #在显著性水平为0.05的情况下,当n=150时,0.989小于表4.2中的0.9913拒绝正态性假定
    ##对于仁爱心
    qqnorm(data_4.39$V3)#大部分在一条直线上
    norm_test(data_4.39$V3)
    #在显著性水平为0.05的情况下,当n=150时,0.993大于表4.2中的0.9913不拒绝正态性假定
    #对于顺从性
    qqnorm(data_4.39$V4)#大部分在一条直线上
    norm_test(data_4.39$V4)
    #在显著性水平为0.05的情况下,当n=150时,0.993大于表4.2中的0.9913 不拒绝正态性假定
    #对于领导能力
    qqnorm(data_4.39$V5)#大部分在一条直线上
    norm_test(data_4.39$V5)
    #在显著性水平为0.05的情况下,当n=150时,0.981小于表4.2中的0.9913 拒绝正态性假定
    ###################################
    #(b)
    ##使用卡方图进行判定
    #构造画卡方图的函数 方法同题4.29
    chis_chart<-function(x){
      #计算样本协方差矩阵
      s<-cov(x)
      #s的逆
      s_solve<-solve(s)
      x_bar<-apply(x,MARGIN=2,mean)#两列平均数
      two_col<-t(x-x_bar)#两列x-x_bar
    #计算所用统计距离dis
      dis<-c()
      for(i in 1:length(two_col[1,])){
        dis[i]<-t(two_col[,i])%*%s_solve%*%two_col[,i]
      }
      #对广义平方距离dis进行排序
      sort_data<-sort(dis)
      #prob在题4.28中构造
      all_pro<-sapply(1:length(x[,1]),prob,n=130)#所有概率值
      #对应的自由度为5的卡方分位数
      all_chiisq<-sapply(all_pro,qchisq,df=5)#所有概率值
      #画出卡方图 也就是(all_chiisq,sort_data)对应的散点图
      library(ggplot2)
      qplot(all_chiisq, sort_data, geom='point')
    }
      chis_chart(data_4.39)
      #很明显,卡方图上点不是接近于一条直线,偏一条曲线,所以多元正态性不满足,可知,边缘正态性不满足的情况下,多元正态性也很少满足
    #
    ###################################
    #(c)
    #在(a)中,独立性、支撑力、领导力的分布不符合正态性
    ##幂变化函数构造见题4.30
    ##对于独立性
    #生成多个λ,求使l_value最大的λ_hat值
    λ<-seq(-1,2,0.1)
    all_l<-c()
    for(n in 1:length(λ)){
      all_l[n]<-l_value(data_4.39$V1,lamda=λ[n])
    }
    #取使变化后的l_value最大的λ值
    max_λ<-λ[which(all_l==max(all_l))]
    #进行数据幂变化
    new_data<-sapply(data_4.39$V1,box_cox,λ=max_λ)
    #变化后的Q-Q图
    qqnorm(new_data)
    ##对于支撑力
    all_l<-c()
    for(n in 1:length(λ)){
      all_l[n]<-l_value(data_4.39$V2,lamda=λ[n])
    }
    #取使变化后的l_value最大的λ值
    max_λ<-λ[which(all_l==max(all_l))]
    #进行数据幂变化
    new_data<-sapply(data_4.39$V2,box_cox,λ=max_λ)
    #变化后的Q-Q图
    qqnorm(new_data)
    ##对于领导力
    all_l<-c()
    for(n in 1:length(λ)){
      all_l[n]<-l_value(data_4.39$V5,lamda=λ[n])
    }
    #取使变化后的l_value最大的λ值
    max_λ<-λ[which(all_l==max(all_l))]
    #进行数据幂变化
    new_data<-sapply(data_4.39$V5,box_cox,λ=max_λ)
    #变化后的Q-Q图
    qqnorm(new_data)
    

    4.40

    data_4.40<-read.table("E:\\研究生\\应用多元统计\\JohnsonWichern Data sets\\T1-11.DAT")
    library(ggplot2)
    #散点图检查
    qplot(data_4.40$V1, data_4.40$V2, geom='point')
    #从散点图可以看出在x轴和y轴分别有一个离群值
    #标准化值来检查
    cen_data<-scale(data_4.40)
    #每一列的最大离群值为
    apply(abs(cen_data),2,max)
    #与取标准化数据比较,第一列第13行,第二列第7行与其他数据存在较大偏离
    #(b)(c)略4.40略
    展开全文
  • 最近在看偏正态分布相关的东西,偏正态分布的定义形式还是挺多样的,在偏态分布及其数字特征(R语言可视化)中我介绍的最初的一种定义。在平时做模型做随机模拟的时候的需要产生随机数来检验自己模型估计的有效性,...

    0引言

    最近在看偏正态分布相关的东西,偏正态分布的定义形式还是挺多样的,在偏态分布及其数字特征(R语言可视化)中我介绍的最初的一种定义。在平时做模型做随机模拟的时候的需要产生随机数来检验自己模型估计的有效性,我们可以通过各种分层表示用已知的分布去近似,也可以通过筛法使用均匀分布去生成、也可以用MCMC去采样。但是最为一个专业的统计软件——R语言肯定是有内置函数或者内置包去做的。大家感兴趣原理的也可以自行打开R函数查看。
    本文的主要目的是介绍R语言内部的产生下面分布的随机数的函数。
    – 一元正态分布随机数
    – 一元偏正态分布随机数
    – 一元对数正态随机数
    – 多元正态分布随机数
    – 多元偏正态分布随机数
    – 多元对数正态随机数

    1、函数名

    对于熟悉R语言的人只有函数名字和包名即可,下面列出具体名字。

    维度 分布 函数
    一维度 正态分布 rnorm stats
    一维度 偏正态分布 rsn sn
    一维度 对数正态 rlnorm stats
    多维度 正态分布 mvrnorm MASS
    多维度 偏正态分布 rmsn sn
    多维度 对数正态 mvlognormal MethylCapSig

    但是对于很多R小白的科研大佬来说只有一个名字是比较浪费时间的,下面给出具体案例。

    2、示例

    先把该安装的包岸上并且载入,后面有备注大家按需安装载入。

    install.packages("MethylCapSig")  # 多元对数正态包
    install.packages("MASS")  # 多元正态分布包
    install.packages("sn")  # 偏态数据包
    library(MASS)
    library(sn)
    library(MethylCapSig)
    

    2.1正态分布随机数

    这块介绍如何生成一元和多元的正态分布随机数。生成正态分布的随机数的函数是rnorm,多元正态随机数用mvrnorm

    #生成n个均值0标准差1的正态随机数
    > n = 10
    > rnorm(n, mean = 0, sd = 1)
     [1]  0.6035027 -0.9081701  1.5303255  0.3761588 -1.6406858 -1.5728766
     [7] -1.6586157  0.8287051  1.7688131  1.1472097
    
    mvrnorm(n = 1, mu, Sigma, tol = 1e-6, empirical = FALSE, EISPACK = FALSE)
    # 生成均值为mu,协方差矩阵为Sigma的10次观测的多元正态随机数
    > mu <- rep(0, 2)
    > mu
    [1] 0 0
    > Sigma <- matrix(c(5,1,1,2),2,2)
    > Sigma
         [,1] [,2]
    [1,]    5    1
    [2,]    1    2
    > mvrnorm(n, mu, Sigma)
                [,1]       [,2]
     [1,]  0.3458454  0.3552218
     [2,] -4.9145503 -2.2932391
     [3,]  2.3285543  1.7957570
     [4,]  2.6422543  1.4493042
     [5,] -2.0447422 -0.5195390
     [6,] -0.5682730 -0.1557601
     [7,] -0.0560933  0.6941458
     [8,]  3.5873361  2.1324344
     [9,] -0.3522617 -1.0535145
    [10,]  1.9490186 -1.7155158
    

    2.2偏正态分布

    这块介绍如何生成一元和多元的偏正态分布随机数。生成偏正态分布的随机数的函数是rsn,多元正态用rmsn

    rsn(n=1, xi=0, omega=1, alpha=0, tau=0,  dp=NULL)
    # 生成10个位置参数为5,标准差为2,偏度为5的一元偏正态分布
    > n = 10
    > rsn(n, 5, 2, 5)
     [1] 6.366628 4.622272 4.973537 5.716082 6.438601 7.489781 5.034990 5.762948
     [9] 9.547775 8.470482
    attr(,"family")
    [1] "SN"
    attr(,"parameters")
    [1] 5 2 5 0
    
    rmsn(n=1, xi=rep(0,length(alpha)), Omega, alpha,  tau=0, dp=NULL)
    # 生成多元偏态分布,均值向量xi,协方差矩阵,偏度向量 alpha
    > xi <- c(0, 0)
    > xi
    [1] 0 0
    > Omega <- matrix(c(5,1,1,2),2,2)
    > Omega
         [,1] [,2]
    [1,]    5    1
    [2,]    1    2
    > alpha <- c(2,-2)
    > alpha
    [1]  2 -2
    > rmsn(10, xi, Omega, alpha)
                 [,1]       [,2]
     [1,] -0.65320266  0.6861521
     [2,]  1.37481687 -0.1659318
     [3,]  3.14522100  0.4529551
     [4,] -0.07057607 -0.6608571
     [5,] -2.68493331 -2.9035422
     [6,]  2.19216656  0.7597699
     [7,]  1.50244323  0.7730602
     [8,] -1.81347772 -1.4717120
     [9,] -0.56875748 -0.8176260
    [10,]  0.88476306 -0.3663496
    attr(,"family")
    [1] "SN"
    attr(,"parameters")
    attr(,"parameters")$xi
    [1] 0 0
    
    attr(,"parameters")$Omega
         [,1] [,2]
    [1,]    5    1
    [2,]    1    2
    
    attr(,"parameters")$alpha
    [1]  2 -2
    
    attr(,"parameters")$tau
    [1] 0
    

    2.3对数正态分布

    这块介绍如何生成一元和多元的对数正态分布随机数。生成对数正态分布的随机数的函数是rlnorm,多元对数正态用mvlognormal

    生成10个对数均值为0,对数标准差为1的对数随机数。
    > n = 10
    > rlnorm(n, meanlog = 0, sdlog = 1)
     [1] 1.5638173 0.7085567 0.9552697 0.7990129 0.3913724 2.3829746 2.7009141
     [8] 2.3251721 4.7090633 0.5284348
    
    mvlognormal(n, Mu, Sigma, R)
    # 生成10个 5维度的多元对数正态分布
    > n = 10
    > p = 5
    > Mu = runif(p, 0, 1)
    > mvlognormal(n, Mu, Sigma = rep(2, p), R = toeplitz(0.5^(0:(p-1))))
                [,1]       [,2]       [,3]       [,4]       [,5]
     [1,] 0.19001058 1.03046394 0.96453695 0.82259809 0.15816013
     [2,] 0.17443047 0.06155735 0.37621382 0.33498919 0.27119953
     [3,] 0.34553546 0.28509934 0.29120016 0.04141813 0.22553617
     [4,] 0.11498941 0.35994614 0.23380755 0.15672124 0.04621199
     [5,] 0.32452033 0.11553876 0.55283657 0.26637357 0.11062302
     [6,] 0.04953786 0.16264098 1.75032911 6.34862167 1.38340544
     [7,] 0.32886451 0.30378793 0.02375825 0.02375620 0.89213319
     [8,] 0.16846539 0.03653899 0.11298382 0.22751003 0.09530435
     [9,] 0.07762988 0.31748557 0.05862739 0.03529833 0.12301490
    [10,] 0.18367711 2.58261427 0.03078996 0.01153906 0.07951331
    > 
    

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    希望可以帮助大家学习R语言。水平有限发现错误还望及时评论区指正,您的意见和批评是我不断前进的动力。

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