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  • 2021-04-22 11:18:12

    现代控制理论作业(BTT )

    航天学院 18S018079 程光辉

    BTT 导弹在某个特征点的俯仰/偏航通道自动驾驶仪具有如下形式

    x Ax Bu y Cx Du

    =+??=+? 回答下列问题。

    1.这个系统是否能控?是否能观?

    (1)能控性:能控

    clear;clc;close all;

    load 'abcd.mat';

    U=[B A*B A^2*B A^3*B];

    if rank(U)==length(A)

    disp('能控');

    else

    disp('不能控');

    end

    (2)能观性:能观

    clear;clc;close all;

    load 'abcd.mat';

    U=[C;C*A;C*A^2;C*A^3];

    if rank(U)==length(A)

    disp('能观');

    else

    disp('不能观');

    end

    2.这个系统在李雅普诺夫意义下的稳定性

    (1)李雅普诺夫第一法:系统不稳定

    clear;clc;close all;

    load 'abcd.mat';

    n=length(A);

    Q=eye(n,n); %Q=I

    P=lyap(A,Q); %求解矩阵P

    flag=0;

    for i=1:n

    if det(P(1:i,1:i))<=0

    flag=1;

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    MATLAB控制系统工具箱中提供了函数命令ss2tf(), 可以把给定的状态空间模型转换为传递函数模型。 调用格式:[num,den] = ss2tf(A,B,C,D,1) 其中最后一个1表示单输入。 示例: 运行代码 A = [0 1 0; 0 0 1; -5 -25 -5]...

    1.求解传递函数
    MATLAB控制系统工具箱中提供了函数命令ss2tf(), 可以把给定的状态空间模型转换为传递函数模型。
    调用格式:[num,den] = ss2tf(A,B,C,D,1)
    其中最后一个1表示单输入。
    示例:在这里插入图片描述
    运行代码

    A = [0   1   0;   0   0   1;   -5   -25   -5];
    B = [0; 25; -120]; 
    C = [1   0     0]; 
    D = [0]; 
    [num,den] = ss2tf(A,B,C,D,1) 
    
    

    得到的输出结果为
    num =

         0         0   25.0000    5.0000
    

    den =

    1.0000    5.0000   25.0000    5.0000
    

    由此即可写出传递函数模型
    ————————————————————
    2.求解矩阵指数函数
    例如:在这里插入图片描述
    这样一个矩阵指数函数,运行

    A=[-1 2;0 -1];
    syms s; I=eye(2);
    E=s*I-A;
    F=inv(E) 
    

    得到
    得到 F =
    [ 1/(s+1), 2/(s+1)^2]
    [ 0, 1/(s+1)]
    由此,得到结果在这里插入图片描述
    ————————————————————
    3.判断系统能控能观性

    A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0];
    B=[0;1;0;3];
    C=[1 0 0 0;0 0 1 0];
    D=[0;0];
    n=size(A,1);
    Uc=ctrb(A,B);
    rc=rank (Uc)
    if rc==n
      disp('系统能控')
    else
      disp('系统不能控')
    end 
    

    ————————————————————
    4.判断系统稳定性

    A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0];
    B=[0;1;0;3];
    C=[1 0 0 0;0 0 1 0];
    D=[0;0];
    Uc=ctrb(A,B);
    rc=rank (Uc);
    P=poly(A),v=roots(P)   
    

    运行结果:
    在这里插入图片描述极点为5.4222,-5.4222,显然,其中一个极点在右半平面,该系统不稳定
    ————————————————————
    5.李雅普诺夫稳定性分析,求P矩阵
    在这里插入图片描述
    代码如下

    cA=[0 1;-1 -2];
    A=A';  %将A转置
    Q=[1 0;0 1];
    P=lyap(A,Q)
    

    运行结果:在这里插入图片描述
    ————————————————————
    6.求解状态反馈配置极点的反馈向量K
    代码如下

    A=[-20 20;-1 0];
    B=[0 1]';
    C=[1 0];
    D=0;
    P=[-7.07+7.07i -7.07-7.07i];
    K=place(A,B,P)%负反馈,这里的K相对于书上的K加了个负号
    

    运行结果:在这里插入图片描述

    ————————————————————
    7.求解含观测器的状态反馈稳定控制器的反馈向量K和全维状态观测器的L
    取状态观测器极点为[-20 -20]
    代码如下

    A=[-20 20;-1 0];
    B=[0 1]';
    C=[1 0];
    D=0;
    P=[-7.07+7.07i -7.07-7.07i];
    K=place(A,B,P)%负反馈,这里的K相对于书上的K加了个负号
    p=[-20 -20];
    L=(acker(A',C',p))'
    

    运行结果:在这里插入图片描述
    ————————————————————
    8.

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    掌握这本习题集,满分妥妥的。

    下面给出部分书后习题的Matlab方法求解:

    第一章 状态空间表达式

    1 传递函数转为状态空间表达式和约旦标准型

     

    num=[10,-10];
    den=[1,4,3,0];
    w=tf(num,den);
    se=ss(w)
    [T,J]=jordan(A)

     

    对应习题1-6

     

    2 状态空间表达式转为传递函数

     

    A=[0,1,0;-2,-3,0;-1,1,-3];
    B=[0;1;2];
    C=[0,0,1];
    D=0;
    se=ss(A,B,C,D);
    w=tf(se)

     

    对应习题1-7

     

    第二章 状态空间表达式的解

     

    A=[0,1;0,0];
    B=[0;1];
    C=[1,0];
    D=0;
    se=ss(A,B,C,D);
    [y,t,x]=step(se);
    figure(1);
    plot(t,x);
    figure(2);
    plot(t,y);

     

    对应习题2-6

     

    第三章 能控性和能观性

    1 能控性和能观性判定

     

    A=[-3,1;1,-3];
    B=[1,1;1,1];
    C=[1,1;1,-1];
    M=[B,A*B];
    N=[C;C*A];
    n=length(A);
    rank(M)
    if rank(M)==n
        disp('系统可控')
    else
        disp('系统不可控')
    end
    rank(N)
    if rank(N)==n
        disp('系统可观')
    else
        disp('系统不可观')
    end
    [T,J]=jordan(A);
    T'*B
    C*T

    对应习题3-2

     

     

    2 能控标准型

     

    A=[1 -2;3 4];
    B=[1;1];
    C=[0 0];
    D=0;
    G=ss(A,B,C,D);
    M=[B,A*B];
    n=length(A);
    rank(M)
    if rank(M)==n
        disp('系统可控')
    else
        disp('系统不可控')
    end
    Qc=ctrb(A,B);
    Cm=[0 1]*inv(Qc);
    Cm2=inv([Cm;Cm*A]);
    sysc=ss2ss(G,inv(Cm2))

    对应习题3-7

     

     

    3 能观标准型

     

    A=[1,-1;1,1];
    B=[2;1];
    C=[-1 1];
    D=0;
    G=ss(A,B,C,D);
    M=[B,A*B];
    N=[C;C*A];
    n=length(A);
    rank(M)
    if rank(M)==n
        disp('系统可控')
    else
        disp('系统不可控')
    end
    rank(N)
    if rank(N)==n
        disp('系统可观')
    else
        disp('系统不可观')
    end
    Qc=ctrb(A,B);
    Cm=[0 1]*inv(Qc);
    Cm2=inv([Cm;Cm*A]);
    sysc=ss2ss(G,inv(Cm2))
    Qo=obsv(A,C);
    Om=inv(Qo)*[0;1];
    Om2=[Om A*Om];
    syso=ss2ss(G,inv(Om2))

    对应习题3-8

     

     

    4 传递函数转能控或能观标准型

     

    num=[1,6,8];
    den=[1,4,3];
    [A,B,C,D]=tf2ss(num,den);
    G=ss(A,B,C,D);
    M=[B,A*B];
    N=[C;C*A];
    n=length(A);
    rank(M)
    if rank(M)==n
        disp('系统可控')
    else
        disp('系统不可控')
    end
    rank(N)
    if rank(N)==n
        disp('系统可观')
    else
        disp('系统不可观')
    end
    Qc=ctrb(A,B);
    Cm=[0 1]*inv(Qc);
    Cm2=inv([Cm;Cm*A]);
    sysc=ss2ss(G,inv(Cm2))
    Qo=obsv(A,C);
    Om=inv(Qo)*[0;1];
    Om2=[Om A*Om];
    syso=ss2ss(G,inv(Om2))

    对应习题3-9

     

     

    第四章 李雅普诺夫方法和稳定性

    1 李雅普诺夫定理第一方法

     

    A=[-3 -6 -2 -1;1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0];
    B=[1;0;0;0];
    C=[0 0 1 1];
    D=[0];
    flag=0;
    [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,1);
    disp('系统零点,极点和增益为:');
    z
    p
    k
    n=length(A);
    for i=1:n
        if real(p(i))>0
            flag=1;
        end
    end
    if flag==1
        disp('系统不稳定');
    else
        disp('系统稳定');
    end

     

     

    通过极点判定系统是否稳定

     

     

     

    2 李雅普诺夫定理第二方法

     

    A=[-3 -6 -2 -1;1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0];
    Q=eye(4,4);
    P=lyap(A,Q);
    flag=0;
    n=length(A);
    for i=1:n
        det(P(1:i,1:i))
        if(det(P(1:i,1:i))<=0)
            flag=1;
        end
    end
    if flag==1
        disp('系统不稳定');
    else
        disp('系统稳定');
    end
     

    通过P是否正定判定系统是否稳定。

     

    第五章 线性系统综合

    1 极点配置

     

    A=[0 1 0;0 0 1;0 -2 -3];
    B=[0;0;1];
    P=[-2 -1+1i -1-1i];
    M=[B,A*B,A*A*B];
    n=length(A);
    rank(M)
    if rank(M)==n
        disp('系统可控')
        disp('状态反馈')
        K=acker(A,B,P)
    else
        disp('系统不可控')
        [Ac,Bc,Cc,T,K]=ctrbf(A,B,C)
    end    
    Ac=A-B*K
    disp('配置后极点')
    eig(Ac)

    对应例题5-2

     

     

    num=[1 1 -2];
    den=[1 2 -5 -6];
    [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
    P=[-2 -2 -3];
    M=[B,A*B,A*A*B];
    n=length(A);
    rank(M)
    if rank(M)==n
        disp('系统可控')
        disp('状态反馈')
        K=acker(A,B,P)
    else
        disp('系统不可控')
        [Ac,Bc,Cc,T,K]=ctrbf(A,B,C)
    end    
    Ac=A-B*K
    disp('配置后极点')
    eig(Ac)

    对应习题5-4

     

     


     

     

     

     

     

     

     

     

     

    展开全文
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