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  • 主要用于数学建模(Matlab)的学习,下载下来换成你的数据就可以用了。
  • matlab多元线性回归拟合

    万次阅读 2014-04-11 10:25:18
    matlab多元线性回归拟合 a=[320 320 160 710 320 320 320];f=[0.18 0.18 0.18 0.18 0.09 0.36 0.18];v=[2.3 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1];F=[38.8 29.23 26.53 25.28 19.53 35.72 16.75];模型:lnF=lnA+Blna+Clnf+Dlnv...

    matlab多元线性回归拟合

    a=[320 320 160 710 320 320 320];f=[0.18 0.18 0.18 0.18 0.09 0.36 0.18];v=[2.3 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1];F=[38.8 29.23 26.53 25.28 19.53 35.72 16.75];模型:lnF=lnA+Blna+Clnf+Dlnv求解A B C D.并做出响应线性回归曲线。谢谢!
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  • matlab编写实现最小二乘法多元线性拟合,可以得到最终拟合方程,并画出预测的回归系数直方图
  • 1.线性回归: regress 顾名思义,就是一元多元方程的的拟合,y=c1*x1+c2*x2....或者y=c1*x1^2+c2*x2^2+c3*x1*x2....等等形式 [b,BINT] = regress(Y,X) [b,BINT,R] = regress(Y,X) [b,BINT,R,RINT] = regress(Y,X) ...

    1.线性回归:

    regress 顾名思义,就是一元多元方程的的拟合,y=c1*x1+c2*x2....或者y=c1*x1^2+c2*x2^2+c3*x1*x2....等等形式

    [b,BINT] = regress(Y,X)
    [b,BINT,R] = regress(Y,X)
    [b,BINT,R,RINT] = regress(Y,X)
    [b,BINT,R,RINT,STATS] = regress(Y,X)
    [b,BINT,R,RINT,STATS] = regress(Y,X,ALPHA)
    
    b [c1 c2 c3.....]
    BINT 回归系数的估计区间 B的95%的置信区间矩阵,Bint 置信区间不大,说明有效性较好;若含零点,说明结果无效。
    R 残差(因变量的真实值减去估计值)
    RINT 置信区间 
    
    STATS:向量,STATS中的4个值分别为:R2(判定系数),F(总模型的F测验值),P(总模型F的概率值P(F>Fz)),MSq(离回归方差或误差方差的估计值)
    
    判定系数(the Coefficient of the Determination)R2:是判断回归模型拟合程度的一个指标,其取值范围为[0, 1];判定系数越大说明回归模型的拟合程度越高,回归方程越显著。
    
    F>F(1-α)(k, n-k-1)时拒绝H0,F越大,说明回归方程越显著。
    与F对应的概率P<α时拒绝H0,回归模型成立。
    
    MSq:由于最小二乘法中不求误差方差σ2,其误差平方和Msq定义为SSR/自由度

    funcPara=[ones(size(y,2))' x1' x2'];
    [b,bint,r,rint,stats] =regress(y‘,funcPara); %注意: 函数内部使用的向量都要为列向量

    2.拟合ployfit

    polyfit函数基于最小二乘法,使用的基本格式为:

    p = polyfit(x,y,n)
    [p,S] = polyfit(x,y,n)
    [p,S,mu] = polyfit(x,y,n)
    
    其中每个命令中的n为多项式拟合的次数,当n为1时,即为一次拟合(很多情况下等价于一元线性回归)。p是n+1维参数向量p(1),p(2)….那么拟合后对应的多项式即为p(1)*x^n + p(2)*x^(n-1) +…+ p(n)*x + p(n+1)。S是规模为1×1的结构数组,包括R(系数矩阵的QR分解的上三角阵),df(自由度),normr(拟合误差平方和的算术平方根)。

    例子1:拟合Sellmeier 

    % -----------------Sellmeier
    wavelength=[0.21000 0.37830 1.0330 2.2120 3.4700 4.1260 4.4220 4.7390 5.4430 6.0390 6.4720 6.7000];%波长
    n=[1.5383576204905 1.4727046797948 1.4500069615101 1.4348196176837 1.4067782146466 1.3841208059058 1.3713701305288 1.3555262189157 1.3096384003386 1.2537289561387 1.19732567716307 1.1596494139777];%折射率
    f=@(P,w)(sqrt(1+P(1)*w.^2./(w.^2-P(2))+P(3)*w.^2./(w.^2-P(4))+P(5)*w.^2./(w.^2-P(6))));%设置函数样式
    P=[1;0;1;0;1;100]; %预估参数值
    P=nlinfit(wavelength,n,f,P);%拟合参数值
    wave=0.21:0.001:6.7;%横轴扩展
    n1=f(P,wave);%纵轴计算
    figure(1);
    plot(wave,n1,wavelength,n,'o');
    xlabel('Wavelength');
    ylabel('n');

    例子2:拟合正弦函数,详细的可以参见:https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/polyfit.html

    x = linspace(0,4*pi,10);
    y = sin(x);
    p = polyfit(x,y,7);
    x1 = linspace(0,4*pi);
    y1 = polyval(p,x1);
    figure
    plot(x,y,'o')
    hold on
    plot(x1,y1)
    hold off

    结论:都可以进行线性回归拟合,但是第一种更直观,且能得到更多的信息,第二种的话使用起来比较简单。

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  • 多元线性回归代码以及多元非线性回归代码数学建模
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  • 基于MATLAB多元线性回归模型.pdf
  • Matlab(多元)线性回归、非线性回归、多项式拟合、(自定义函数)曲线拟合-代码示例
    • 一元线性回归
    • 多元线性回归
    • 多项式拟合
    • 多元非线性拟合
    • 自定义函数拟合
    • 可视化与分析、拟合度、残差等

    Matlab环境,直接运行
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述


    如题,代码整理更新至https://github.com/hellomuyi/curve-fitting-and-regression-analysis

    手机浏览的话,点开后再点view code那个按钮
    欢迎star fork

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  • 本文旨在能快速地用 matlab 实现基于多元线性回归拟合/分析。小编已将代码都封装好了。在分析样例的同时,也简单地讲解了其原理和相关参数。该系列文章是个人在参加2021年暑假国赛数模的培训,自己记录的心得与体会...


    技巧篇🥂


    一、多元线性回归是什么

      我用一个公式来描述: f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = α 1 × x 1 + α 2 × x 2 + . . . + α n × x n + β f(x_1,x_2,...,x_n)=α_1 \times x_1+α_2 \times x_2+...+α_n \times x_n+β f(x1,x2,...,xn)=α1×x1+α2×x2+...+αn×xn+β  ①其中, x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn 分别表示 1号自变量、2号自变量、…、n号自变量。

      ② f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) f(x_1,x_2,...,x_n) f(x1,x2,...,xn) 表示受这些自变量共同影响而 线性合成 的因变量。

      ③ α 1 、 α 2 、 . . . 、 α n α_1、α_2、...、α_n α1α2...αn 分别表示待拟合的系数。

      ④ β β β 表示待拟合的常数。


    二、样例及代码

    	话不多说,直接上例子,
    

      “综合打分”去年 体育老师根据这15名同学的体重、肺活量、50m短跑、1分钟仰卧起坐、跳远成绩、1000米成绩、1分钟跳绳、引体向上、坐位体前屈等等数据综合评价打出的分数。

      今年 因为学校器材有限,体育老师只测了这15名同学的三项指标:跳远成绩、1000米成绩、1分钟跳绳。

      现在体育老师想要知道这三项指标能不能 线性合成 成最后的 今年 的综合分数?

      
    在这里插入图片描述



    第一步:画散点图进行分析

    
    clc;clear;close all;
    x1 = [180	201	205	208	213	217	218	222	226	230	233	238	240	242	253]';  % 跳高成绩
    x2 = [280 240 226 224 220 217 225 221 211 213 199 198 195 186 183]';    % 1000m成绩
    x3 = [153 170 162 160 162 165 170 168 169 179 172 172 175 181 176]';    % 跳绳个数
    Y = [60	75 70 70 75	75 85 80 80	85 90 90 90	95 95]';                    % 综合打分
    
    figure(1);
    hold on;
    plot(x1,'bo');
    plot(x2,'ro');
    plot(x3,'go');
    plot(Y,'mo','LineWidth',1);
    legend('跳高成绩(cm)','1000m成绩(s)','跳绳个数','去年的综合分数(100分制)')
    
    

    运行结果如下:

    在这里插入图片描述

      从上图中可以直观地看出,去年的综合分数 大致是线性递增。同样的,跳远成绩、1000米成绩、1分钟跳绳三项指标也是线性地变化,所以我们有理由推断,这三项指标能 线性合成 成最后的综合分数。

    第二步:拟合


      在百度、CSDN、博客上找了很久都没有找到很好的源码。无奈,自己动手干吧 😭 😭

      原理可以参考这篇文章《数学建模——基于 最小二乘法 的 回归分析https://blog.csdn.net/Wang_Dou_Dou_/article/details/118971407?spm=1001.2014.3001.5501

      综合看了很多资料后,终于敲好了。 🙆‍♂

    
    % 因为用的3是维拟合,则 x 应该为 3*15 的矩阵,第一列为 1 ,第二列为 x1 ,第三列为 x2 , 第四列为 x3
    % 15 代表的是 样本个数
    len = length(Y);
    pelta = ones(len,1);
    x = [pelta, x1, x2, x3];
    
    [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,x,0.05);     % 95%的置信区间
    
    Y_NiHe = b(1) + b(2) .* x1 + b(3) .* x2 + b(4) .* x3 ;
    
    figure(2);
    hold on;
    plot(x1,'bo-');
    plot(x2,'ro-');
    plot(x3,'go-');
    plot(Y,'mo-');
    plot(Y_NiHe,'kx-','LineWidth',1);
    legend('跳高成绩(cm)','1000m成绩(s)','跳绳个数','去年的综合分数(100分制)','多元线性回归拟合曲线')
    R_2 = 1 - sum( (Y_NiHe - Y).^2 )./ sum( (Y - mean(Y)).^2 );
    str = num2str(R_2);
    disp(['拟合优度为:',str])
                      
    

    运行结果如下:

    在这里插入图片描述
    拟 合 优 度 R 2 = 0.94903 拟合优度R^2=0.94903 R2=0.94903

      在上图中,黑色的就是多元线性回归拟合曲线。 可以看出,拟合结果和去年的综合分数想贴近,误差不大。

    说明:
      ①regress()中的 α α α 为显著性水平(缺省时默认为0.05)

      ②b,bint 为 回归系数估计值 和 它们的置信区间

      ③r,rint 为 残差(向量) 及其 置信区间

      ④stats 是用于检验回归模型的统计量,有4个数值,第一个是拟合优度 R2,第二个是 对方程整体显著性检验 的 F检验 ,第三个是 p值,第四个是 误差方差的估计值 s 2 s^2 s2

    参数运行结果:
    在这里插入图片描述

      由上图可知,R2=0.9989 表示因变量 y y y(综合分数) 的99.89%可由模型确定,F值 远远超过 F检验的临界值,p 远小于 α α α,因而该回归模型从整体来看是可用的。

    补充: F检验 、 p值 、误差方差s2 的原理详见文章最后的 参考附录[2]、[3]、[4] 📚 📚 📚

      上图中 列向量 b b b 中存放的是拟合的系数和常数项。 b ( 1 ) b(1) b(1) 为常数项, b ( 2 ) 、 b ( 3 ) 、 b ( 4 ) b(2)、b(3)、b(4) b(2)b(3)b(4) 分别为 x 1 、 x 2 、 x 3 x_1、x_2、x_3 x1x2x3 的系数。

      得到最终表达式如下:
    y = f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = − 107.6271 + 0.4190 × x 1 + 0.0576 × x 2 + 0.4931 × x 3 y=f(x_1,x_2,x_3)=-107.6271+0.4190 \times x_1 + 0.0576 \times x_2 + 0.4931 \times x_3 y=f(x1,x2,x3)=107.6271+0.4190×x1+0.0576×x2+0.4931×x3



    三、总结:

      第一步:画散点图进行分析

      第二步:ctrl+c/v

      最后,我没有详细地阐述其原理,只阐述了有什么用、怎么用。如要了解详细的原理,可以看看文章最后的 参考附录 吧。


    四、参考附录:

    [1] 《数学建模——区分“拟合、插值、多元线性回归、逻辑回归、逐步回归、最小二乘法”等概念【概念篇】》
    链接: https://blog.csdn.net/Wang_Dou_Dou_/article/details/118739458?spm=1001.2014.3001.5501.

    [2] 《F检验》
    链接: https://baike.baidu.com/item/F%E6%A3%80%E9%AA%8C/9910842?fr=aladdin.

    [3] 《P值》
    链接: https://baike.baidu.com/item/P%E5%80%BC.

    [4] 《如何用stata求误差方差 s2 的估计值》 看追问的那条回复即可
    链接: https://zhidao.baidu.com/question/397143810094044805.html.

    [5] 《最小二乘法多元线性回归_使用Matlab解决多元线性回归问题》这里面有教如何清理异常数据
    链接: https://blog.csdn.net/weixin_39636645/article/details/112712714.


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