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  • MATLAB多元线性拟合——03

    千次阅读 2020-05-14 14:32:05
    # 我们现在拟合这个y = bx+a 这里要介绍一个写好的包,regress()使用参数如下: B,BINT,R,RINT,STATS] = regress(Y,X) B:回归系数。(可以当斜率来理解) BINT:回归系数的95%置信区间,可以暂时理解为B的一个...

    从案例中学习新知识是比较快的,所以我们直接上例子:
    (本文为基础学习,以理解为主)
    案例一:拟合一元一次

    x = [143,145,146,148]
    y = [11,13,14,15]
    # 我们现在拟合这个y = bx+a
    

    这里要介绍一个写好的包,regress()使用参数如下:

    [B,BINT,R,RINT,STATS] = regress(Y,X)
    

    B:回归系数。(可以当斜率来理解)
    BINT:回归系数的95%置信区间,可以暂时理解为B的一个取值范围(想要详细理解的可以bd)
    R:残差。(这不用解释吧)
    RINT:同BINT理解。
    STATS:检验模型的统计量,它包括四个值:①判定系数R^2,②统计量观测值F,③检验的p的值,④误差方差的估计。(这里简单说下判定系数,他可以评价模型好坏,取值范围[0,1],越接近于1模型越好)

    X = [143,145,146,148]';
    Y = [11,13,14,15]';
    X = [ones(size(Y)),X];
    [b,bint,r,rint,stats] = regress(Y,X);
    

    这里对x做了一点改动,加了一列1,(加与不加的区别是预测的结果有没有‘y=bx+a’的‘a’)
    案例二:拟合二元二次

    X1 = [143,145,146,148]';
    X2 = [56,58,59,61]';
    Y = [11,13,14,15]';
    X = [ones(size(Y)),X1.^2,X2.^2,X1,X2,X1.*X2];
    [b,bint,r,rint,stats] = regress(Y,X);
    

    其他的可以举一反三。

    展开全文
  • matlab编写实现最小二乘法多元线性拟合,可以得到最终拟合方程,并画出预测的回归系数直方图
  • 主要用于数学建模(Matlab)的学习,下载下来换成你的数据就可以用了。
  • 多元线性回归:在回归分析中,如果有两个或两个以上的自变量,就称为多元回归。事实上,一种现象常常是与多个因素相联系的,由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量,比只用一个自变量进行预测或估计更有效,...
  • regress 顾名思义,就是一元多元方程的的拟合,y=c1*x1+c2*x2....或者y=c1*x1^2+c2*x2^2+c3*x1*x2....等等形式 [b,BINT] = regress(Y,X) [b,BINT,R] = regress(Y,X) [b,BINT,R,RINT] = regress(Y,X) [b,BINT,R,...

    1.线性回归:

    regress 顾名思义,就是一元多元方程的的拟合,y=c1*x1+c2*x2....或者y=c1*x1^2+c2*x2^2+c3*x1*x2....等等形式

    [b,BINT] = regress(Y,X)
    [b,BINT,R] = regress(Y,X)
    [b,BINT,R,RINT] = regress(Y,X)
    [b,BINT,R,RINT,STATS] = regress(Y,X)
    [b,BINT,R,RINT,STATS] = regress(Y,X,ALPHA)
    
    b [c1 c2 c3.....]
    BINT 回归系数的估计区间 B的95%的置信区间矩阵,Bint 置信区间不大,说明有效性较好;若含零点,说明结果无效。
    R 残差(因变量的真实值减去估计值)
    RINT 置信区间 
    
    STATS:向量,STATS中的4个值分别为:R2(判定系数),F(总模型的F测验值),P(总模型F的概率值P(F>Fz)),MSq(离回归方差或误差方差的估计值)
    
    判定系数(the Coefficient of the Determination)R2:是判断回归模型拟合程度的一个指标,其取值范围为[0, 1];判定系数越大说明回归模型的拟合程度越高,回归方程越显著。
    
    F>F(1-α)(k, n-k-1)时拒绝H0,F越大,说明回归方程越显著。
    与F对应的概率P<α时拒绝H0,回归模型成立。
    
    MSq:由于最小二乘法中不求误差方差σ2,其误差平方和Msq定义为SSR/自由度

    funcPara=[ones(size(y,2))' x1' x2'];
    [b,bint,r,rint,stats] =regress(y‘,funcPara); %注意: 函数内部使用的向量都要为列向量

    2.拟合ployfit

    polyfit函数基于最小二乘法,使用的基本格式为:

    p = polyfit(x,y,n)
    [p,S] = polyfit(x,y,n)
    [p,S,mu] = polyfit(x,y,n)
    
    其中每个命令中的n为多项式拟合的次数,当n为1时,即为一次拟合(很多情况下等价于一元线性回归)。p是n+1维参数向量p(1),p(2)….那么拟合后对应的多项式即为p(1)*x^n + p(2)*x^(n-1) +…+ p(n)*x + p(n+1)。S是规模为1×1的结构数组,包括R(系数矩阵的QR分解的上三角阵),df(自由度),normr(拟合误差平方和的算术平方根)。

    例子1:拟合Sellmeier 

    % -----------------Sellmeier
    wavelength=[0.21000 0.37830 1.0330 2.2120 3.4700 4.1260 4.4220 4.7390 5.4430 6.0390 6.4720 6.7000];%波长
    n=[1.5383576204905 1.4727046797948 1.4500069615101 1.4348196176837 1.4067782146466 1.3841208059058 1.3713701305288 1.3555262189157 1.3096384003386 1.2537289561387 1.19732567716307 1.1596494139777];%折射率
    f=@(P,w)(sqrt(1+P(1)*w.^2./(w.^2-P(2))+P(3)*w.^2./(w.^2-P(4))+P(5)*w.^2./(w.^2-P(6))));%设置函数样式
    P=[1;0;1;0;1;100]; %预估参数值
    P=nlinfit(wavelength,n,f,P);%拟合参数值
    wave=0.21:0.001:6.7;%横轴扩展
    n1=f(P,wave);%纵轴计算
    figure(1);
    plot(wave,n1,wavelength,n,'o');
    xlabel('Wavelength');
    ylabel('n');

    例子2:拟合正弦函数,详细的可以参见:https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/polyfit.html

    x = linspace(0,4*pi,10);
    y = sin(x);
    p = polyfit(x,y,7);
    x1 = linspace(0,4*pi);
    y1 = polyval(p,x1);
    figure
    plot(x,y,'o')
    hold on
    plot(x1,y1)
    hold off

    结论:都可以进行线性回归拟合,但是第一种更直观,且能得到更多的信息,第二种的话使用起来比较简单。

    展开全文
  • 首先对于函数进行分析:该函数是一个比较强的非线性函数,所以不能用一般的最小二乘法来进行拟合,如过一定要用最小二乘法,则A必须是已知的,再利用最二乘法进行拟合,附程序2.
  • 本文旨在能快速地用 matlab 实现基于多元线性回归拟合/分析。小编已将代码都封装好了。在分析样例的同时,也简单地讲解了其原理和相关参数。该系列文章是个人在参加2021年暑假国赛数模的培训,自己记录的心得与体会...


    技巧篇🥂


    一、多元线性回归是什么

      我用一个公式来描述: f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = α 1 × x 1 + α 2 × x 2 + . . . + α n × x n + β f(x_1,x_2,...,x_n)=α_1 \times x_1+α_2 \times x_2+...+α_n \times x_n+β f(x1,x2,...,xn)=α1×x1+α2×x2+...+αn×xn+β  ①其中, x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn 分别表示 1号自变量、2号自变量、…、n号自变量。

      ② f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) f(x_1,x_2,...,x_n) f(x1,x2,...,xn) 表示受这些自变量共同影响而 线性合成 的因变量。

      ③ α 1 、 α 2 、 . . . 、 α n α_1、α_2、...、α_n α1α2...αn 分别表示待拟合的系数。

      ④ β β β 表示待拟合的常数。


    二、样例及代码

    	话不多说,直接上例子,
    

      “综合打分”去年 体育老师根据这15名同学的体重、肺活量、50m短跑、1分钟仰卧起坐、跳远成绩、1000米成绩、1分钟跳绳、引体向上、坐位体前屈等等数据综合评价打出的分数。

      今年 因为学校器材有限,体育老师只测了这15名同学的三项指标:跳远成绩、1000米成绩、1分钟跳绳。

      现在体育老师想要知道这三项指标能不能 线性合成 成最后的 今年 的综合分数?

      
    在这里插入图片描述



    第一步:画散点图进行分析

    
    clc;clear;close all;
    x1 = [180	201	205	208	213	217	218	222	226	230	233	238	240	242	253]';  % 跳高成绩
    x2 = [280 240 226 224 220 217 225 221 211 213 199 198 195 186 183]';    % 1000m成绩
    x3 = [153 170 162 160 162 165 170 168 169 179 172 172 175 181 176]';    % 跳绳个数
    Y = [60	75 70 70 75	75 85 80 80	85 90 90 90	95 95]';                    % 综合打分
    
    figure(1);
    hold on;
    plot(x1,'bo');
    plot(x2,'ro');
    plot(x3,'go');
    plot(Y,'mo','LineWidth',1);
    legend('跳高成绩(cm)','1000m成绩(s)','跳绳个数','去年的综合分数(100分制)')
    
    

    运行结果如下:

    在这里插入图片描述

      从上图中可以直观地看出,去年的综合分数 大致是线性递增。同样的,跳远成绩、1000米成绩、1分钟跳绳三项指标也是线性地变化,所以我们有理由推断,这三项指标能 线性合成 成最后的综合分数。

    第二步:拟合


      在百度、CSDN、博客上找了很久都没有找到很好的源码。无奈,自己动手干吧 😭 😭

      原理可以参考这篇文章《数学建模——基于 最小二乘法 的 回归分析https://blog.csdn.net/Wang_Dou_Dou_/article/details/118971407?spm=1001.2014.3001.5501

      综合看了很多资料后,终于敲好了。 🙆‍♂

    
    % 因为用的3是维拟合,则 x 应该为 3*15 的矩阵,第一列为 1 ,第二列为 x1 ,第三列为 x2 , 第四列为 x3
    % 15 代表的是 样本个数
    len = length(Y);
    pelta = ones(len,1);
    x = [pelta, x1, x2, x3];
    
    [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,x,0.05);     % 95%的置信区间
    
    Y_NiHe = b(1) + b(2) .* x1 + b(3) .* x2 + b(4) .* x3 ;
    
    figure(2);
    hold on;
    plot(x1,'bo-');
    plot(x2,'ro-');
    plot(x3,'go-');
    plot(Y,'mo-');
    plot(Y_NiHe,'kx-','LineWidth',1);
    legend('跳高成绩(cm)','1000m成绩(s)','跳绳个数','去年的综合分数(100分制)','多元线性回归拟合曲线')
    R_2 = 1 - sum( (Y_NiHe - Y).^2 )./ sum( (Y - mean(Y)).^2 );
    str = num2str(R_2);
    disp(['拟合优度为:',str])
                      
    

    运行结果如下:

    在这里插入图片描述
    拟 合 优 度 R 2 = 0.94903 拟合优度R^2=0.94903 R2=0.94903

      在上图中,黑色的就是多元线性回归拟合曲线。 可以看出,拟合结果和去年的综合分数想贴近,误差不大。

    说明:
      ①regress()中的 α α α 为显著性水平(缺省时默认为0.05)

      ②b,bint 为 回归系数估计值 和 它们的置信区间

      ③r,rint 为 残差(向量) 及其 置信区间

      ④stats 是用于检验回归模型的统计量,有4个数值,第一个是拟合优度 R2,第二个是 对方程整体显著性检验 的 F检验 ,第三个是 p值,第四个是 误差方差的估计值 s 2 s^2 s2

    参数运行结果:
    在这里插入图片描述

      由上图可知,R2=0.9989 表示因变量 y y y(综合分数) 的99.89%可由模型确定,F值 远远超过 F检验的临界值,p 远小于 α α α,因而该回归模型从整体来看是可用的。

    补充: F检验 、 p值 、误差方差s2 的原理详见文章最后的 参考附录[2]、[3]、[4] 📚 📚 📚

      上图中 列向量 b b b 中存放的是拟合的系数和常数项。 b ( 1 ) b(1) b(1) 为常数项, b ( 2 ) 、 b ( 3 ) 、 b ( 4 ) b(2)、b(3)、b(4) b(2)b(3)b(4) 分别为 x 1 、 x 2 、 x 3 x_1、x_2、x_3 x1x2x3 的系数。

      得到最终表达式如下:
    y = f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = − 107.6271 + 0.4190 × x 1 + 0.0576 × x 2 + 0.4931 × x 3 y=f(x_1,x_2,x_3)=-107.6271+0.4190 \times x_1 + 0.0576 \times x_2 + 0.4931 \times x_3 y=f(x1,x2,x3)=107.6271+0.4190×x1+0.0576×x2+0.4931×x3



    三、总结:

      第一步:画散点图进行分析

      第二步:ctrl+c/v

      最后,我没有详细地阐述其原理,只阐述了有什么用、怎么用。如要了解详细的原理,可以看看文章最后的 参考附录 吧。


    四、参考附录:

    [1] 《数学建模——区分“拟合、插值、多元线性回归、逻辑回归、逐步回归、最小二乘法”等概念【概念篇】》
    链接: https://blog.csdn.net/Wang_Dou_Dou_/article/details/118739458?spm=1001.2014.3001.5501.

    [2] 《F检验》
    链接: https://baike.baidu.com/item/F%E6%A3%80%E9%AA%8C/9910842?fr=aladdin.

    [3] 《P值》
    链接: https://baike.baidu.com/item/P%E5%80%BC.

    [4] 《如何用stata求误差方差 s2 的估计值》 看追问的那条回复即可
    链接: https://zhidao.baidu.com/question/397143810094044805.html.

    [5] 《最小二乘法多元线性回归_使用Matlab解决多元线性回归问题》这里面有教如何清理异常数据
    链接: https://blog.csdn.net/weixin_39636645/article/details/112712714.


    搜集资料码字码图,封装代码不易,多多支持~ ☁️ ☁️

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  • 多元线性回归代码以及多元非线性回归代码数学建模
  • matlab一元线性回归及多元线性回归方程

    万次阅读 多人点赞 2019-08-07 16:15:15
    %残差分析,作残差图 https://zhuanlan.zhihu.com/p/20700731 3、回归值与残差的残差图编辑 为检验建立的多元线性回归模型是否合适,可以通过回归值与残差的散点图来检验。其方法是画出回归值与普通残差的散点图,...

    1、案例

    %%1、bint表示回归系数区间估计可参考http://www.360doc.com/content/11/0801/20/2537127_137246007.shtml
    %2、r表示残差
    %3、rint代表置信区间
    %4、stas表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值 r^2 F 与F对应的概率P 例如p<0.05 残差95%
    %   r^2越接近于1,回归方程越显著  
    %alpha表示显著水平
    
    %%
    x=[143 144 145 147 148 150 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162]';
    X=[ones(16,1),x];
    Y=[87 85 88 91 92 90 93 95 98 98 97 95 97 99 100 102]';
    [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X)
    t=1:16;
    %%
    figure(1);
    y_fitting=X(t,:)*b;
    plot(t,y_fitting,'r-',  t,Y(t,:),'b-', t,abs(y_fitting-Y(t,:)),'k-');
    legend('红--拟合值','蓝--实际值','黑--误差值');
    text(3,50,strcat('相关系数R=',num2str(stats(1,1 ))));
    text(7,50,strcat('F=',num2str(stats(1,2))));
    text(9,50,strcat('P=',num2str(stats(1,3 ))));
    nhfcs1=strcat('拟合方程式',num2str(b(1,1)),'+',num2str(b(2,1)),'*X1');
    text(11,50,nhfcs1);
    %
    %功能 在当前轴中创建text对象。函数text是创建text图形句柄的低级函数。可用该函数在图形中指定的位置上显示字符串。
    
    %用法 text(x,y,'string')在图形中指定的位置(x,y)上显示字符串string
    
    %text(x,y,z,'string') 在三维图形空间中的指定位置(x,y,z)上显示字符串string
    %
    title('线性回归曲线拟合结果');
    xlabel('样本点');
    ylabel('分数');
    
    %%
    figure(2);
    ul=rint(:,1);
    I1=rint(:,2);
    plot(t,I1,'b-', t,r,'R*',  t, ul,'g-');
    legend('蓝色--残差95%置信区间上限','红--残差值','绿--残差95%置信区间下限');
    xlabel('样本值');
    ylabel('残差值');
    figure(3)
    rcoplot(r,rint);   %残差分析,作残差图
    

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    2、残差图(Residual Plots)

    我们可以用残差图来估计观察或预测到的误差error(残差residuals)与随机误差(stochastic error)是否一致。用一个丢骰子的例子最好理解了。当你丢出去一个六面的骰子时,你不应该能够预测得到哪面点数向上。然而,你却可以评估在一系列投掷后,正面向上的数字是否遵循一个随机模式,你自己心中就会想象出一个随机散布的残差图。如果,有人背着你对骰子做了点手脚,让六点更频繁的出现向上,这时你心中的残差图看上去就似乎有规律可循,从而不得不修改心中的模型,让你狐疑骰子一定有问题。
    相同的原则也适用于回归模型。你不应该能够预测任何给定的观察或预测结果的错误(或者说差别)。你需要确定残差是否与随机误差相互呈现一致性,就像丢骰子一样,残差若整体呈现“很古怪”的模式,你就需要回头修改你的回归模型了。上面“古怪”究竟怎么看呢?看下文。


    %clc
    %clear
    %%
    %目标函数:y=Ax1^2+Bx2^2+Cx1+Dx2+Ex1*x2+F  (这是一个二次函数,两个变量,大写的字母是常数)
    %导入数据  
    y=[7613.51  7850.91  8381.86  9142.81 10813.6 8631.43 8124.94 9429.79 10230.81 10163.61 9737.56 8561.06 7781.82 7110.97]';  
    x1=[7666 7704 8148 8571 8679 7704 6471 5870 5289 3815 3335 2927 2758 2591]';  
    x2=[16.22 16.85 17.93 17.28 17.23 17 19 18.22 16.3 13.37 11.62 10.36 9.83 9.25]';  
    X=[ones(size(y)) x1.^2 x2.^2 x1 x2 x1.*x2];  
    %开始分析  
    [b,bint,r,rint,stats] = regress(y,X)
    scatter3(x1,x2,y,'filled') %scatter可用于画散点图a
    hold on
    %%
    %拟合,三维视图显示  
    hold on  %不要清除计算数据,在刚刚那副散点图上接着画  
    x1fit = min(x1):100:max(x1);   %设置x1的数据间隔  
    x2fit = min(x2):1:max(x2);     %设置x2的数据间隔  
    [X1FIT,X2FIT] = meshgrid(x1fit,x2fit);  %生成一个二维网格平面,也可以说生成X1FIT,X2FIT的坐标  
    YFIT=b(1)+b(2)*X1FIT.^2+b(3)*X2FIT.^2+b(4)*X1FIT+b(5)*X2FIT+b(6)*X1FIT.*X2FIT;    %代入已经求得的参数,拟合函数式  
    mesh(X1FIT,X2FIT,YFIT)    %X1FIT,X2FIT是网格坐标矩阵,YFIT是网格点上的高度矩阵  
    view(10,10)  %改变角度观看已存在的三维图,第一个10表示方位角,第二个表示俯视角。  
                 %方位角相当于球坐标中的经度,俯视角相当于球坐标中的纬度  
    xlabel('x1') %设置X轴的名称  
    ylabel('x2') %设置y轴的名称  
    zlabel('y')  %设置z轴的名称
    hold on
    
    
    
    %%
    figure(2)
    rcoplot(r,rint);   %残差分析,作残差图
    

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述


    https://zhuanlan.zhihu.com/p/20700731在这里插入图片描述

    3、回归值与残差的残差图编辑

    为检验建立的多元线性回归模型是否合适,可以通过回归值与残差的散点图来检验。其方法是画出回归值与普通残差的散点图,或者画出回归值与标准残差的散点图,其图形可能会出现下面三种情况(如图1所示):

    图1(a)在这里插入图片描述

    图1(b)在这里插入图片描述

    对于图1(a)的情况,不论回归值的大小,而残差(或)具有相同的分布,并满足模型的各假设条件;对于图1(b)的情况,表示回归值的大小与残差的波动大小有关系,即等方差性的假设有问题;对于图1©,表示线性模型不合适的样本,可能有异常值存在。

    对于图1(a),如果大部分点都落在中间(b)部分,而只有少数几个点落在外边,则这些点对应的样本,可能有异常值存在。

    图1(c)在这里插入图片描述

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  • 本程序可以直接用于进行拟合
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  • MATLAB进行非线性拟合

    千次阅读 2020-04-20 16:59:39
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  • 多元线性回归MATLAB程序
  • 基于MATLAB多元线性回归模型.pdf
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  • matlab多元线性回归

    2014-09-22 13:41:39
    matlab多元线性回归
  • [学习笔记]多元线性回归的matlab实现

    万次阅读 多人点赞 2020-05-20 21:56:31
    1. Matlab函数 函数:regress [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x);...b:多元线性回归的系数估计值 bint:还返回系数估计值的 95% 置信区间的矩阵 bint。 r :还返回由残差组成的向量 r。 rint :返回矩
  • Matlab线性拟合工具箱cftool

    千次阅读 2014-11-29 22:16:34
    ,使用方便,能实现多种类型的线性、非线性曲线拟合。下面结合我使用的 Matlab R2007b 来简单介绍如何使用这个工具箱。 假设我们要拟合的函数形式是 y=A*x*x + B*x, 且A>0,B>0 。 1、在命令行输入数据: 》...
  • matlab多元线性回归拟合

    万次阅读 2014-04-11 10:25:18
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  • matlab lsqcurvefit 非线性拟合

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