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  • Matlab求解微分方程组

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    (1)求解普通微分方程组:使用ode45方法 1. 创建一个函数文件eq2.m,在函数文件中描述这个微分方程组: %eq2.m文件 %描述微分方程组 function dy=eq2(t,y) %说明微分变量是二维的,令y(1)=x,y(2)=y ...

    我们采用ode方法:


    (1)求解普通微分方程组:使用ode45方法


    1. 创建一个函数文件eq2.m,在函数文件中描述这个解的微分方程组:

    %eq2.m文件
    %描述微分方程组
    
    function dy=eq2(t,y) 
     %说明微分变量是二维的,令y(1)=x,y(2)=y
    dy=zeros(2,1); 
    %微分方程组
    dy(1)=5*(1-y(1))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);
    dy(2)=5*(1-y(2))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);
    end


    2.外部调用ode45函数求解微分方程组:

    [t,y]=ode45(@eq2,[0,2],[0,0]);

    ode45函数说明:第一个参数是方程的名称,第二个参数是指求解时t的范围,第三组参数是指y中每个元素的初值。

    [t,y]=ode45(@eq2,[t1,t2],[y1(0),y2(0)]);


    3.绘制响应曲线

     plot(t,y(:,1),'-',t,y(:,2),'*')
     

    y(1)用-绘制,y(2)用*绘制(下面的两条曲线重合了)





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  • Matlab求常微分方程组的数值

    万次阅读 多人点赞 2020-03-08 09:50:50
    上篇博客介绍了Matlab求解微分方程组解析的方法:博客地址 微分方程组复杂时,无法求出解析时,就需要求其数值,这里来介绍。 以下内容按照Matlab官方文档提供的方程来展开(提议多看官方文档) 介绍一下...

    上篇博客介绍了Matlab求解常微分方程组解析解的方法:博客地址
    微分方程组复杂时,无法求出解析解时,就需要求其数值解,这里来介绍。
    以下内容按照Matlab官方文档提供的方程来展开(提议多看官方文档)

    介绍一下核心函数ode45()

    一般形式:[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0) 其中 tspan = [t0 tf]
    功能介绍:求微分方程组 y′=f(t,y) 从 t0 到 tf 的积分,初始条件为 y0。解数组 y 中的每一行都与列向量 t 中返回的值相对应。

    1. 一阶微分方程求解(简单调用即可)

    方程:y’=2*t
    代码

    tspan=[1 6]; %定义自变量x的取值空间为1-6
    y0=0;%定义因变量的初值,当x=1(x取值空间的第一个数)时,y0=0
    [t,y]=ode45(@(t,y) 2*t,tspan,y0); %定义函数y'=2*t,使用ode45求解
    plot(t,y,'-o'); %绘制求得的数值曲线
    

    说明:简单的odefun参数就是这个形式,@(x,y) fun 中间是空格,不能用逗号
    结果
    在这里插入图片描述

    2. 二阶微分方程求解(引入函数文件)

    方程:范德波尔方程 y1’’-u(1-y1²)*y1’+y1=0;(这里设u=1)
    代码
    定义输入的方程,以函数形式定义

    function dydt=odefun(t,y)
    %二阶方程为y1''-(1-y1²)*y1'+y1=0;
    %降阶为两个方程:y1'=y2; 
    %               y2'=(1-y1²)*y2-y1;
    %t虽然没有使用,但必须要作为参数写入
    dydt=[y(2);(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];
    

    求解作图

    tspan=[0 20]; %定义自变量x的取值空间为0-20
    y0=[2;0];%定义因变量的初值,当x=0时,y1=2,y2=y1'=0;
    [t,y]=ode45(@odefun,tspan,y0); %使用ode45求解
    %%下面为作图过程,不解释
    plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-o')
    title('Solution of van der Pol Equation (\mu = 1) with ODE45');
    xlabel('Time t');
    ylabel('Solution y');
    legend('y_1','y_2')
    

    说明:先进行降阶,使y2=y1’,这时候y2’=y1’’,然后把两个方程写成列向量形式就行了
    结果
    在这里插入图片描述

    3. 求解微分方程组(和2类似)

    这里就和求解二阶方程类似的,只不过不需要降阶,仍旧需要一个函数来定义方程组。我们这里不用官方文档的例子,用同学的循坏摆问题来进行演示。
    方程在这里插入图片描述
    给定的初值(w接近0,但实际上不能设置为0):
    在这里插入图片描述
    代码
    定义输入的方程

    function dRvw=func(t,Rvw)
    %% 函数功能:为ode45提供微分方程
    %输入:t:时间序列,就是θ;Rvw:因变量,Rvw(1)代表R,Rvw(2)代表v,Rvw(3)代表w
    %输出:dRvw:因变量的一阶微分,dRvw(1)代表dR,dRvw(2)代表dv,dRvw(3)代表dw
    %% 初始化因变量的一阶微分,3×1的向量
    dRvw=zeros(3,1);
    %% 参数初始化
    r=0.01;u=0.1;g=9.8;M=10;m=1;
    %% 输入微分方程式
    dRvw(1)=-Rvw(2)/Rvw(3)-r;
    dRvw(2)=(M*g-(m*Rvw(3)^2*Rvw(1)+m*g*sin(t)) *exp(u*(t+pi/2)))/(Rvw(3)*(M+m));
    dRvw(3)=Rvw(3)*r/Rvw(1)+2*Rvw(2)/Rvw(1)+g*cos(t)/(Rvw(3)*Rvw(1));
    

    求解作图

    %% 参数初始化 start_Theta是θ的初始值 end_Theta是θ的结束值
    %R是半径初值;v是线速度初值;w是角速度初值
    start_Theta=0;end_Theta=2*pi;R=1;v=0;w=1e-5;
    %% 使用ode45方法计算微分方程组func的数值解
    %func是带有方程组的函数 
    %[start_Theta end_Theta]是自变量范围
    %[R;v;w]是方程初值
    %T是自变量的数组,Rvw是对应的因变量的数值。Rvw(:,1)=R;Rvw(:,2)=v;Rvw(:,3)=w;
    [T,Rvw]=ode45(@func,[start_Theta end_Theta],[R;v;w]);
    %% 组合自变量和因变量。TRvw(:,1)=θ;TRvw(:,2)=R;TRvw(:,3)=v;Trvw(:,4);
    TRvw=[T,Rvw];
    %% 绘制自变量-因变量图像.figure1是R-θ,figure2是v-θ,figure3是w-θ
    plot(T,Rvw(:,1),'-o',T,Rvw(:,2),'-o',T,Rvw(:,3),'-o')
    title('自变量-因变量图像');
    xlabel('Angle θ');
    ylabel('Solution');
    legend('R','v','w')
    

    说明:注释的应该是比较清楚的,把三个方程写成列向量的形式就行

    PS:有些人和我说不能运行,然后我看了他们出错的原因,有点儿哭笑不得。出错的基本上都是运行上面的dRvw=func(t,Rvw)这个函数的。说明一下,这是有参数的函数,不给参数不能直接运行的。下面的求解作图脚本才是需要运行的哈,它调用了函数,才得到的结果。如果大家还发现什么问题,欢迎私戳或评论。

    PS+ 有了PS之后,还是很多人问我参数的问题,我在这里直接把文件给大家:cupt.zip
    提取码:6k8n。
    解压后,有两个文件,大家直接运行cupt.m即可。

    结果
    在这里插入图片描述

    4. 更多形式

    讲到这里,大部分我们用到的微分方程形式都可以求解了,Matlab还支持带有时变项和额外参数的微分方程求解,这里不再赘述,大家可以自行参阅官方文档。

    展开全文
  • matlab求解微分方程组和相平面图,通过编程实战掌握具体应用。包括matlab求解微分方程组和相平面图前、matlab求解微分方程组和相平面图中、matlab求解微分方程组和相平面图后。
  • matlab解微分方程组

    2020-02-11 23:15:55
    解微分方程组: x’=-x^3-y,x(0)=1 y’=x-y^3,y(0)=0.5 0<t<30 编辑器窗口: %M函数eg6_3fun.m function f=eg6_3fun(t,x) f(1)=-x(1)^3-x(2); f(2)=x(1)-x(2)^3; f=f(????;%注意要保证f为列向量 指令窗口: ...

    解微分方程组:
    x’=-x^3-y,x(0)=1
    y’=x-y^3,y(0)=0.5 0<t<30

    编辑器窗口:
    %M函数eg6_3fun.m
    function f=eg6_3fun(t,x)
    f(1)=-x(1)^3-x(2);
    f(2)=x(1)-x(2)^3;
    f=f(😃;%注意要保证f为列向量

    指令窗口:

    [t,x]=ode45(@eg6_3fun,[0 30],[1;0.5] %1和0.5是初始值

    解应该是x(t),y(t)两个函数
    所以
    把x和y都写成一个x
    x表示一个向量
    x----x(1)
    y----x(2)

    算法本身要求f是列向量,
    所以,f=f(:)

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  • 文章目录前言求解微分方程组求解矩阵微分方程组总结 前言 上一篇我已经详细讲过求微分方程,这一篇是对上一篇的补充,也就是变得稍微复杂一点,就是要求方程组了,如果你学会了上一篇,那么求解方程组其实并不难了。...

    前言

    上一篇我已经详细讲过求微分方程,这一篇是对上一篇的补充,也就是变得稍微复杂一点,就是要求方程组了,如果你学会了上一篇,那么求解方程组其实并不难了。上一篇传送门:添加链接描述`

    求解微分方程组

    比如我们要求解以下方程组
    在这里插入图片描述
    解析:
    首先第一步是生命变量

    syms u(t) v(t)
    

    使用 == 定义方程

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  • MATLAB解微分方程组

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