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  • 求解函数最小值的自适应遗传算法 (Matlab程序)
  • 求下列二元函数的最大值,f(x1,x2)=x1^2+x2^2,x1与x2的取值区间为{0,1,2,...,7}
  • 本代码主要利用MATLAB工具实现MATLAB——求解无约束非线性函数最小值,简单明了,易于理解
  • 布谷鸟求解函数最小值,这是布谷鸟算法与莱维飞行的详细讲解;带注释的布谷鸟算法,清晰易懂,简洁好用,可以更改适应度函数应用不同的场景。
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    一、传统遗传算法求解函数最小值

    ①对于函数

    f(x)=100(x_{1}^2-x_{2})^2+(1-x_{1})^2 -2.048\leq x1,x2\leq 2.048

    其最小值位于x_{1}=1,x_{2}=1时,最小值为0

    matlab多次结果如下:

    从上图能够看到传统能够得到最终结果,但是稳定性较差,不易得到较好的结果

    ②对函数做平移,即可得到

    f(x)=100((x_{1}+2)^2-x_{2}-2)^2+(1-x_{1}-2)^2 -2.048\leq x1,x2\leq 2.048

    其最小值位于x_{1}=-1,x_{2}=-1时,最小值为0

    多次运行结果为:

    结果与函数①类似

    二、改进遗传算法求解函数最小值

    同样求函数②

    能够看出改进后的结果更稳定,结果更接近实际最小值。

    三、代码:https://download.csdn.net/download/qq_44152192/19132048

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    算法原理


    梯度下降法是一个最优化算法,可以用来求一个函数的最小值,最大值等,也常用于人工神经网络中更新各个感知器之间的权值,求出cost function的最小值等,应用广泛。 
    其原理简单,就求函数的最小值这个应用而言,大致说来就是先求出该函数梯度,大家都知道梯度是一个函数在该点的最快上升率,那么求个相反数就是最快下降率了。将每个自变量按下列公式更新: 
    xt+1=xt+Δx
    xt+1=xt+Δx

    其中 
    Δx=−η∂f∂x
    Δx=−η∂f∂x

    ηη称为学习速率,也称为步长,指明了自变量朝向最快下降方向减少的速度,这个值的选定相当重要,太大了会导致震荡,无法收敛到最小值点,太小了会导致收敛速度过慢。 
    当xt+1xt+1和xtxt的差小于一个阀值时,就可以停止循环了。

    Matlab实现

    % 没有加入冲量项的随机梯度下降法实现
    syms x y real
    y(x) = x^2+2*x+10 ;
    delta(x) = -diff(y(x)) ;
    step = 0.1 ;
    first_x = 10 ;
    x_current = first_x ;
    x_next = first_x ;
    show_tmp = 0 ;
    show = [] ;
    counter = 0 ;
    delta_last = 0 ;
    while (true)
        delta_x = double(delta(x_current))*step ;
        if(abs(delta_x) < 0.0001)
            break
        end
        x_next = x_current + delta_x ;
        x_current = x_next ;
        counter = counter + 1;
        show_tmp = x_next ;
        show = [show, show_tmp] ;
        if(counter > 200)
            break ;
        end
    end
    x_next
    counter
    figure(1)
    ezplot(y(x))
    hold on 
    plot([-100, 100],[double(y(x_next)), double(y(x_next))],'-r')
    double(y(x_next))
    figure(2)
    plot(show)
    pause
    close all

     

    为了来定义我们预测值和真实值之间的差异,我们引入代价函数(cost function)的概念

     

    所以,现在我们的任务就是来求得一个Θ,从而使得代价函数达到最小,也即全局最小(global minimun).在这里我们使用梯度下降算法来求函数的最小值。

    梯度下降法是按下面的流程进行的:

    1)首先对θ赋值,这个值可以是随机的,也可以让θ是一个全零的向量。

    2)改变θ的值,使得J(θ)按梯度下降的方向进行减少。

    如下图:

    上图表示的是参数Θ和代价函数J(Θ)的关系图,深蓝色为全局最小,浅蓝色为局部最小,红色则表示J(Θ)有一个较大的取值,而梯度下降算法就是我们给定一个初始的Θ值,然后按照梯度下降的原则不断更新Θ值,使得J(Θ)向更低的方向进行移动。算法的结束将是在θ下降到无法继续下降为止。上面两条线代表我们给定两个初值,我们发现一条到达局部最小,即浅蓝色,而一条到达全局最小,即深蓝色。所以从这里我们可以看出,初始值的选择对梯度下降的影响很大。

    梯度下降的更新规则:

    解释:描述:对 θ 赋值,使得 J(θ)按梯度下降最快方向进行,一直迭代下去,最终得到局部最小值。 其中 α 是学习率( learning rate) , 它决定了我们沿着能让代价函数下降程度最大的方向向下迈出的步子有多大。
     

    对于梯度下降,我们再来直观的画出图像理解一下,J(Θ)的图像我们如下

    求导的目的,基本上可以说取这个红点的切线,就是这样一条红色的直线,刚好与函数相切于这一点,让我们看看这条红色直线的斜率,就是这条刚好与函数曲线相切的这条直线,这条直线的斜率正好是这个三角形的高度除以这个水平长度,现在,这条线有一个正斜率,也就是说它有正导数, 因此, 我得到的新的 θ1, θ1 更新后等于 θ1 减去一个正数乘以 α。当Θ取到最小,J(Θ)最小,也即Θ不能小时算法结束。

     

    对于α ,后面会讲到,这里先简单提下:

    如果 α 太小了,即我的学习速率太小,结果就是只能这样像小宝宝一样一点点地挪动,去努力接近最低点,这样就需要很多步才能到达最低点,所以如果 α 太小的话,可能会很慢因为它会一点点挪动,它会需要很多步才能到达全局最低点。
    如果 α 太大,那么梯度下降法可能会越过最低点,甚至可能无法收敛, 下一次迭代又移动了一大步,越过一次,又越过一次,一次次越过最低点,直到你发现实际上离最低点越来越远,所以,如果 α 太大,它会导致无法收敛,甚至发散。
     

     

    批量梯度下降算法(batch gradient descent)

     

     当只有一个训练样本时,执行梯度下降算法(注意这里只是对Θj求导,所以最后乘上的是xj)

     

    所以针对一个训练样本,更新规则如下:

    现在推广到存在多个特征时

    注意:迭代都是需要同时进行的。

     

    上面所说的就是批量梯度下降算法(batch gradient descent),因为它的每次迭代都需要用到所有的训练样本,也即对所有的训练样本进行求和。当上式收敛时则退出迭代,何为收敛,即前后两次迭代的值不再发生变化了。一般情况下,会设置一个具体的参数,当前后两次迭代差值小于该参数时候结束迭代。

     

     

    随机梯度下降算法(stochastic gradient descent)

    当样本集数据量m很大时,由于每次在进行批量梯度下降时都需要用到所有的训练样本,所以开销就会很大,这个时候我们更多时候使用随机梯度下降算法(stochastic gradient descent),算法如下所示:

    在进行随机梯度下降算法时,我们每次迭代都只选取一个训练样本,这样当我们迭代到若干样本的时候Θ就已经迭代到最优解了。

     

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    一、函数的极小值和零点

    fminbnd(求单变量非线性的极小值)(局部最优)

    clear all;

    close all;

    [x,fval]=fminbnd(@cos,1,5)    %返回一个值 x,该值是 fun 中描述的标量值函数在区间 1< x < 5 中的局部最小值 

    y=cos(x)

    06d0c324ba512bb1696afd0a63be41c4.png

    该算法的局限性1.要计算最小值的函数必须是连续的。2.fminbnd 只能给出局部解。3.当解在区间的边界上时,fminbnd 可能表现出慢收敛。

    二、求解自变量范围限定的一元函数的最小值

    clear all;

    close all;

    f=@(x)x.^2-6*x-9;

    [x,fval]=fminbnd(f,0,6,optimset('Display','iter'))     

    %自变量在0到6之间的最小值,显示计算过程

    y=f(x)

    a17f1028cba312016f1aeb6b1b30e404.png

    三、求多元函数的最小值

    fminsearch函数用来求解多维无约束的线性优化问题

    clear all;

    close all;

    f=@(x)2*(x(2)-x(1)^2)^2+(2-x(1))^2;

    [x,fval]=fminsearch(f,[-6.7 8])     %指定一个起始点  在某点附近寻找

    y=f(x)

    ed6c2b8f4fdbc56691b6edcdd4b889c8.png

    四、求解一元函数的零点

    fzero函数用来求单变量非线性方程的根

    clear all;

    close all;

    f=@(x)sin(x)*cos(x);

    figure; % 创建一个新的窗口,所有参数采用默认

    fplot(f,[-5,5]); %绘制表达式或函数

    xlabel('x');

    ylabel('f(x)');

    grid on; %打开网格

    x1=fzero(f,[-4,-2])

    x3=fzero(f,-2)

    [x4,fval]=fzero(f,[-3,-1])

    cad40a13cc873c14acffb3899fe8d77d.png

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