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  • matlab判断系统稳定性 -Routh劳斯判据

    千次阅读 2020-07-26 13:30:42
    1.系统稳定的必要条件 设系统特征方程为: D(s)=ansn+an−1sn−1+⋯+a1s+a0=0\boldsymbol{D}(s)=\boldsymbol{a}_{n} \boldsymbol{s}^{n}+\boldsymbol{a}_{n-1} \boldsymbol{s}^{n-1}+\cdots+\boldsymbol{a}_{1} s+\...

    Routh(稳定判据)-代数判据(依据根与系数的关系判断根的分布)

    1.系统稳定的必要条件

    设系统特征方程为:
    D(s)=ansn+an1sn1++a1s+a0=0\boldsymbol{D}(s)=\boldsymbol{a}_{n} \boldsymbol{s}^{n}+\boldsymbol{a}_{n-1} \boldsymbol{s}^{n-1}+\cdots+\boldsymbol{a}_{1} s+\boldsymbol{a}_{0}=\boldsymbol{0}

    sn+an1ansn1++a1ans+a0an=(ss1)(ss2)(ssn)s^{n}+\frac{a_{n-1}}{a_{n}} s^{n-1}+\cdots+\frac{a_{1}}{a_{n}} s+\frac{a_{0}}{a_{n}}=\left(s-s_{1}\right)\left(s-s_{2}\right) \cdots\left(s-s_{n}\right)
    特征根是:s1,s2,s3...s_1,s_2,s_3...

    比较系数:
    an1an=i=1nsi,an2an=iji=1,j=2nsisj\frac{a_{n-1}}{a_{n}}=-\sum_{i=1}^{n} s_{i}, \quad \frac{a_{n-2}}{a_{n}}=\sum_{i \leq j \atop i=1, j=2}^{n} s_{i} s_{j}
    an3an=i<j<ki=1,j=2,k=3nsisjsk,a0an=(1)ni=1nsi\frac{a_{n-3}}{a_{n}}=-\sum_{i<j<k \atop i=1, j=2, k=3}^{n} s_{i} s_{j} s_{k}, \quad \frac{a_{0}}{a_{n}}=(-1)^{n} \prod_{i=1}^{n} s_{i}

    系统稳定的必要条件:
    各系数同号且不为零

    an>0,au1>0,,a1>0,a0>0a_{\mathrm{n}}>0, a_{\mathrm{u}-1}>0, \ldots, a_{1}>0, a_{0}>0

    2.系统稳定的充要条件

    特征方程:D(s)=ansn+an1sn1++a1s+a0=0\boldsymbol{D}(s)=\boldsymbol{a}_{n} \boldsymbol{s}^{n}+\boldsymbol{a}_{n-1} \boldsymbol{s}^{n-1}+\cdots+\boldsymbol{a}_{1} s+\boldsymbol{a}_{0}=\mathbf{0}

    Routh表:
    snanan2an4an6sn1an1an3an5an7sn2A1A2A3A4sn3B1B2B3B4s2D1D2s1E1s0F1\begin{array}{lllllll} s^{n} & a_{n} & a_{n-2} & a_{n-4} & a_{n-6} & \cdots \\ s^{n-1} & a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} & a_{n-7} & \cdots \\ s^{n-2} & A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} & \cdots \\ s^{n-3} & B_{1} & B_{2} & B_{3} & B_{4} & \cdots \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ s^{2} & D_{1} & D_{2} & & & \\ s^{1} & E_{1} & & & & \\ s^{0} & F_{1} & & & & \end{array}

    其中:
    A1=an1an2anan3an1B1=A1an3an1A2A1A2=an1an4anan5an1B2=A1an5an1A3A1A3=an1an6anan7an1B3=A1an7an1A4A1\begin{array}{cl} A_{1}=\frac{a_{n-1} a_{n-2}-a_{n} a_{n-3}}{a_{n-1}} & B_{1}=\frac{A_{1} a_{n-3}-a_{n-1} A_{2}}{A_{1}} \\ A_{2}=\frac{a_{n-1} a_{n-4}-a_{n} a_{n-5}}{a_{n-1}} & B_{2}=\frac{A_{1} a_{n-5}-a_{n-1} A_{3}}{A_{1}} \\ A_{3}=\frac{a_{n-1} a_{n-6}-a_{n} a_{n-7}}{a_{n-1}} & B_{3}=\frac{A_{1} a_{n-7}-a_{n-1} A_{4}}{A_{1}} \end{array}

    Routh判据:
    Routh表中第一列各元符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。
    因此,系统稳定的充要条件是Routh表中第一列各元的符号均为正,且值不为零。
    上面的内容都来自[1]

    ###########################下面是matlab计算routh表######################

    例1.系统的特征方程
    D(s)=s4+s319s2+11s+30=0\mathbf{D}(s)=s^{4}+s^{3}-19 s^{2}+11 s+30=0

    Routh表:
    s411930s31110s21×(19)1×111=30300()s1(30)×111×3030=1200()s03000\begin{array}{lccc} s^{4} & \mathbf{1} & \mathbf{- 1 9} & \mathbf{3 0} \\ s^{3} & \mathbf{1} & \mathbf{1 1} & \mathbf{0} \\ s^{2} & \frac{\mathbf{1} \times(-\mathbf{1 9})-\mathbf{1} \times \mathbf{1 1}}{\mathbf{1}}=-\mathbf{3 0} & \mathbf{3 0} & \mathbf{0}(改变符号一次) \\ s^{1} & \frac{(-\mathbf{3 0}) \times \mathbf{1 1}-\mathbf{1} \times \mathbf{3 0}}{-\mathbf{3 0}}=\mathbf{1 2} & \mathbf{0} & \mathbf{0}(改变符号一次) \\ s^{0} & \mathbf{3 0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{array}

    routh_compute.m计算得到:
    [ 1, -19, 30]
    [ 1, 11, 0]
    [ -30, 30, 0]
    [ 12, 0, 0]
    [ 30, 0, 0]

    Matlab实验结果分析:
    由于第一列元素没有全部为正,因此该系统不稳定.

    特别地有:

    系统阶数 n的值 充要条件
    二阶 2 a2>0,a1>0,a0>0a_{2}>0, \quad a_{1}>0, \quad a_{0}>0
    三阶 3 a3>0,a2>0,a0>0,a1a2a0a3>0a_{3}>0, \quad a_{2}>0, \quad a_{0}>0, \quad a_{1} a_{2}-a_{0} a_{3}>0

    Reference:
    [1系统的稳定性常见判据

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  • matlab判断系统稳定性 -Nyquist图(极坐标图)判据(还没有搞完。。。。。。。)

    matlab判断系统稳定性 -Nyquist图(极坐标图)判据(还没有搞完。。。。。。。)

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  • function [routh_list,conclusion] = Routh(chara_equ)% =======================================================% 自编劳斯判据求解系统稳定性函数% 输入:% chara_equ = 特征方程向量% 输出:% routh_list = ...

    function [routh_list,conclusion] = Routh(chara_equ)

    % =======================================================

    % 自编劳斯判据求解系统稳定性函数

    % 输入:

    % chara_equ = 特征方程向量

    % 输出:

    % routh_list = 劳斯表

    % conclusion = 给出系统是否稳定或存在多少个不稳定的根的结论

    % example:

    % [routh_list,con] = Routh([1 2 3 4 5]);

    % return:

    % routh_list =

    %

    %      1     3     5

    %      2     4     0

    %      1     5     0

    %     -6     0     0

    %      5     0     0

    % con =

    %

    % There is 2 unstable roots!

    % =========================================================

    n=length(chara_equ);

    chara_equ=reshape(chara_equ,1,n);

    if mod(n,2)==0

    n1=n/2;

    else

    n1=(n+1)/2;

    chara_equ=[chara_equ,0];

    end

    routh=reshape(chara_equ,2,n1);

    routh_list=zeros(n,n1);

    routh_list(1:2,:)=routh;

    i=3;

    while 1;

    %  =========特殊情况1(第一列为0,其余列不为0)=====================

    if routh_list(i-1,1)==0 & sum(routh_list(i-1,2:n1))~=0

    chara_equ = conv(chara_equ,[1 3]);

    n=length(chara_equ);

    if mod(n,2)==0

    n1=n/2;

    else

    n1=(n+1)/2;

    chara_equ=[chara_equ,0];

    end

    routh=reshape(chara_equ,2,n1);

    routh_list=zeros(n,n1);

    routh_list(1:2,:)=routh;

    i=3;

    end

    % ==========计算劳斯表===========================================

    ai=routh_list(i-2,1)/routh_list(i-1,1);

    for j=1:n1-1

    routh_list(i,j)=routh_list(i-2,j+1)-ai*routh_list(i-1,j+1);

    end

    % ==========特殊情况2(全0行)======================================

    if sum(routh_list(i,:))==0

    k=0;

    l=1;

    F=zeros(1,n1);

    while n-i-k>=0

    F(l)=n-i+1-k;

    k=k+2;

    l=l+1;

    end

    routh_list(i,:)=routh_list(i-1,:).*F(1,:);

    end

    % =========更新==================================================

    i=i+1;

    if i>n

    break;

    end

    end

    % =============outhput===========

    r=find(routh_list(:,1)<0);

    if isempty(r)==1

    conclusion='The system is stable!';

    else

    n2=length(r);

    m=n2;

    for i=1:n2-1

    if r(i+1)-r(i)==1

    m=m-1;

    end

    end

    str1='There is ';

    if r(n2)==n

    str2=num2str(m*2-1);

    else

    str2=num2str(m*2);

    end

    str3=' unstable roots!';

    conclusion = [str1,str2,str3];

    end

    有点错误     很急  高手帮个忙吧     谢谢   真心感谢

    展开全文
  • 1 内容已知系统的开环传递函数 ,试判断由 G(s)构成的单位负反馈系统稳定性。2 求解matlab版本:7.9.0(R2009b)打开matlab,file-->New-->Blank M-filen1=100;n2=[1 3];d1=[1 3 2 0];gkn=conv(n1, n2);gdk=...

    1 内容

    已知系统的开环传递函数

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    ,试判断由 G(s)构成的单位负反馈系统的稳定性。

    2 求解

    matlab版本:7.9.0(R2009b)

    打开matlab,file-->New-->Blank M-file

    n1=100;

    n2=[1 3];

    d1=[1 3 2 0];

    gkn=conv(n1, n2);

    gdk=[d1];

    [num, den]=cloop(gkn, gdk);

    p=roots(den);

    disp('极点:'),disp(p)

    ss=find(real(p) > 0);

    tt=length(ss);

    if(tt > 0)

    disp('系统不稳定')

    else

    disp('系统稳定')

    end

    n1代表开环传递函数的比例部分系数,n2代表开环传递函数分子部分的各阶系数

    d1代表开环传递函数分母的各阶系数

    将分子转换,通过cloop得到系统的闭环传递函数的分子分母各阶系数,然后求的闭环传递函数的极点分布。然后对其进行判断,是否所有的极点都在左半平面,如果是则系统稳定,否则系统不稳定。

    将以上文件保存到matlab的工作空间,Debug-->Run或者直接按下F5执行程序,在命令窗口得到的结果如下:

    极点:

    -0.0271 +10.0916i

    -0.0271 -10.0916i

    -2.9458

    系统稳定

    程序在命令窗口输出了极点值,并且得到系统稳定的结论,看来此系统稳定,由开环传递函数判定的哦(当然了程序最终是求的闭环的极点)。

    此次笔记记录完毕。

    展开全文
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