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  • MATLAB norm函数

    千次阅读 2016-10-05 17:10:14
    norm函数可计算几种不同类型的矩阵范数,根据p的不同可得到不同的范数。范数,是指设X是数域K上线性空间,称║˙║为X上的范数(norm)。 从一个线性空间到另一个线性空间的线性映射,可以用一个矩阵来表达,矩阵...

    norm函数可计算几种不同类型的矩阵范数,根据p的不同可得到不同的范数。范数,是指设X是数域K上线性空间,称║˙║为X上的范数(norm)。

    从一个线性空间到另一个线性空间的线性映射,可以用一个矩阵来表达,矩阵被看线性作映射,线性映射的性质可以通过研究矩阵的性质来获得,比如矩阵的反映了线性映射值域空间的维数,可逆矩阵反映了线性映射的可逆,而矩阵的范数又反映了线性映射的哪些方面的性质呢?矩阵范数反映了线性映射把一个向量映射为另一个向量,向量的“长度”缩放的比例

    范数是把一个事物映射到非负实数,且满足非负性、齐次性、三角不等式,符合以上定义的都可以称之为范数,所以,范数的具体形式有很多种(由内积定义可以导出范数,范数还也可以有其他定义,或其他方式导出),要理解矩阵的算子范数,首先要理解向量范数的内涵。矩阵的算子范数,是由向量范数导出的,由形式可以知:

    由矩阵算子范数的定义形式可知,矩阵A把向量x映射成向量Ax,取其在向量x范数为1所构成的闭集下的向量Ax范数最大值作为矩阵A的范数,即矩阵对向量缩放的比例的上界,矩阵的算子范数是相容的。由几何意义可知,矩阵的算子范数必然大于等于矩阵谱半径(最大特征值的绝对值),矩阵算子范数对应一个取到向量Ax范数最大时的向量x方向,谱半径对应最大特征值下的特征向量的方向。而矩阵的奇异值分解SVD,分解成左右各一个酉阵,和拟对角矩阵,可以理解为对向量先作旋转、再缩放、最后再旋转,奇异值,就是缩放的比例,最大奇异值就是谱半径的推广,所以,矩阵算子范数大于等于矩阵的最大奇异值,酉阵在此算子范数的意义下,范数大于等于1。此外,不同的矩阵范数是等价的。

    范数理论是矩阵分析的基础,度量向量之间的距离、求极限等都会用到范数,范数还在机器学习、模式识别领域有着广泛的应用。

    范数百科:

    范数:

    矩阵范数是一个专业术语,用于一般来讲矩阵范数除了正定性,齐次性三角不等式之外,还规定其必须满足相容性:║XY║≤║X║║Y║。所以矩阵范数通常也称为相容范数。

    如果║·║α是相容范数,且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容范数,那么║·║α称为极小范数。对于n阶实方阵(或复方阵)全体上的任何一个范数║·║,总存在唯一的实数k>0,使得k║·║是极小范数。注:如果不考虑相容性,那么矩阵范数和向量范数就没有区别,因为mxn矩阵全体和mn维向量空间同构。引入相容性主要是为了保持矩阵作为线性算子的特征,这一点和算子范数的相容性一致,并且可以得到Mincowski定理以外的信息。诱导范数:

    把矩阵看作线性算子,那么可以由向量范数诱导出矩阵范数║A║ = max{║Ax║:║x║=1}= max{║Ax║/║x║: x≠0} ,它自动满足对向量范数的相容性║Ax║ ≤ ║A║║x║,并且可以由此证明║AB║ ≤ ║A║║B║。注:1.上述定义中可以用max代替sup是因为有限维空间的单位闭球是紧的(有限开覆盖定理),从而上面的连续函数可以取到最值。2.显然,单位矩阵的算子范数为1。常用的三种p-范数诱导出的矩阵范数是1-范数:║A║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } (列和范数,A每一列元素绝对值之和的最大值)(其中∑|ai1|第一列元素绝对值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|,其余类似);2-范数:║A║2 = A的最大奇异值 = ( max{ λi(A^H*A) } ) ^{1/2} (谱范数,即A'A特征值λi中最大者λ1的平方根,其中A^H为A的转置共轭矩阵);∞-范数:║A║∞ = max{ ∑|a1j|, ∑|a2j| ,..., ∑|amj| } (行和范数,A每一行元素绝对值之和的最大值)(其中为∑|a1j| 第一行元素绝对值的和,其余类似);其它的p-范数则没有很简单的表达式。对于p-范数而言,可以证明║A║p=║A^H║q,其中p和q是共轭指标。简单的情形可以直接验证:║A║1=║A^H║∞,║A║2=║A^H║2,一般情形则需要利用║A║p=max{y^H*A*x:║x║p=║y║q=1}。

    非诱导范数:

    有些矩阵范数不可以由向量范数来诱导,比如常用的Frobenius范数(也叫Euclid范数,简称F-范数或者E-范数):║A║F= ( ∑∑ aij^2 )^1/2 (A全部元素平方和的平方根)。容易验证F-范数是相容的,但当min{m,n}>1时F-范数不能由向量范数诱导(||E11+E22||F=2>1)。可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数。例如定义║x║=║X║,其中X=&#91;x,x,…,x&#93;是由x作为列的矩阵。由于向量的F-范数就是2-范数,所以F-范数和向量的2-范数相容。另外还有以下结论:║AB║F <= ║A║F ║B║2 以及 ║AB║F <= ║A║2 ║B║F矩阵的谱半径和范数的关系定义:A是n阶方阵,λi是其特征值,i=1,2,…,n。则称特征值的绝对值的最大值为A的谱半径,记为ρ(A)。注意要将谱半径与谱范数(2-范数)区别开来,谱范数是指A的最大奇异值,即A^H*A最大特征值的算术平方根。谱半径是矩阵的函数,但不是矩阵范数。谱半径和范数的关系是以下几个结论:定理1:谱半径不大于矩阵范数,即ρ(A)≤║A║。因为任一特征对λ,x,Ax=λx,可得Ax=λx。两边取范数并利用相容性即得结果。定理2:对于任何方阵A以及任意正数e,存在一种矩阵范数使得║A║<ρ(A)+e。定理3(Gelfand定理):ρ(A)=lim_{k->∞} ║A^k║^{1/k}。利用上述性质可以推出以下两个常用的推论:推论1:矩阵序列 I,A,A^2,…A^k,… 收敛于零的充要条件是ρ(A)<1。推论2:级数 I+A+A^2+... 收敛到(I-A)^{-1}的充要条件是ρ(A)<1。

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  • matlab norm函数

    万次阅读 2016-06-12 11:17:14
    %X为向量,求欧几里德范数,即 。 n = norm(X,inf) %求 -范数,即 。 n = norm(X,1) %求1-范数,即 。...n = norm(X,-inf) %求向量X的元素的绝对值的最小值,即 。...命令 矩阵的范数函数 norm格式 n = norm(A)

    %X为向量,求欧几里德范数,即 。

    n = norm(X,inf) %求 -范数,即 。

    n = norm(X,1) %求1-范数,即 。

    n = norm(X,-inf) %求向量X的元素的绝对值的最小值,即 。

    n = norm(X, p) %求p-范数,即 ,所以norm(X,2) = norm(X)。

    命令 矩阵的范数函数 norm格式 n = norm(A) %A为矩阵,求欧几里德范数 ,等于A的最大奇异值。

    n = norm(A,1) %求A的列范数 ,等于A的列向量的1-范数的最大值。

    n = norm(A,2) %求A的欧几里德范数 ,和norm(A)相同。

    n = norm(A,inf) %求行范数 ,等于A的行向量的1-范数的最大值即:max(sum(abs(A')))。

    n = norm(A, 'fro' ) %求矩阵A的Frobenius范数 ,矩阵元p阶范数估计需要自己编程求,

    1、如果A为矩阵n=norm(A) 返回A的最大奇异值,即max(svd(A))n=norm(A,p) 根据p的不同,返回不同的值 p 返回值 1 返回A中最大一列和,即max(sum(abs(A))) 

    2 返回A的最大奇异值,和n=norm(A)用法一样 inf 返回A中最大一行和,即max(sum(abs(A’))) ‘fro’ A和A‘的积的对角线和的平方根,即sqrt(sum(diag(A'*A))) 

    2、如果A为向量norm(A,p)返回向量A的p范数。即返回 sum(abs(A).^p)^(1/p),对任意 1<p<+∞.norm(A)返回向量A的2范数,即等价于norm(A,2)。norm(A,inf) 返回max(abs(A))norm(A,-inf) 返回min(abs(A))

    计算公式如下

     举个例子吧a=magic(3)sum(sum(abs(a)^4))^(1/4)a = 8 1 6 3 5 7 4 9 2

    ans = 19.7411


    转自:http://zhidao.baidu.com/question/245196523.html

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  • 复合形法复合形法与第二种单纯形法的相似度极高,请参见工程优化设计与Matlab实现——无约束问题的直接解法(二)中的第二种单纯形法。复合形法的基本思路是在可行域内构造一个具有N个顶点的复合形,找出各顶点中的...

    约束问题的直接解法,像是在无约束问题的直接解法中加入了约束条件的判断。

    随机方向法对应着坐标轮换法,而复合形法对应着单纯形法。

    复合形法

    复合形法与第二种单纯形法的相似度极高,请参见工程优化设计与Matlab实现——无约束问题的直接解法(二)中的第二种单纯形法。

    复合形法的基本思路是在可行域内构造一个具有N个顶点的复合形,找出各顶点中的最坏点(函数值最大的点),再沿某一方向找到函数值下降的点来替换最坏点,得到新的复合形

    有了单纯形法的基础,直接上流程图:

    6952c4e27961429e17caaff08f81af33.png
    复合形法流程图

    举栗子

    利用复合形法求目标函数在约束条件下的极小值点和极小值

    主程序如下:

    clc

    目标函数定义如下:

    function

    复合形法函数定义如下:

    function

    计算结果如下:

    a32f28cf5a56eada19c8be86e5c899e3.png

    271cab5853af40007f1b56f76154d28a.png

    复合形法函数程序说明如下:

    20aa8e23e79f20c99c0377c5c031828d.png
    复合形法函数程序说明
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  • Matlabnorm函数

    万次阅读 2018-06-27 09:16:28
    Matlab函数norm有两种形式: 1.n = norm(X) 2.n = norm(X,p) ,p - 范数 其中,n = norm(X) 与 n = norm(X,2)相同。 a = [1 -1.2;2 3]; n1 = norm(a); n2 = norm(a,2); n1 = 3.6383;n2 = 3.6383; p = 2 时,2...

    Matlab函数norm有两种形式:

    1.n = norm(X)

    2.n = norm(X,p)  ,p - 范数

    其中,n = norm(X) 与 n = norm(X,2)相同。

    a = [1 -1.2;2 3];
    n1 = norm(a);

    n2 = norm(a,2);

    n1 = 3.6383;n2 = 3.6383;

    p = 2 时,2范数的计算

    n  = sqrt(max(max(eig(X*X')))); 其中,eig(X*X')是求矩阵X乘X转置的特征值;

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  • matlabnorm函数的用法

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    格式:n=norm(A,p)功能:norm函数可计算几种不同类型的矩阵范数,根据p的不同可得到不同的范数以下是Matlab中help norm 的解释NORM Matrix or vector norm. For matrices... NORM(X) is the largest singular ...
  • matlabnorm函数

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    matlabnorm计算范数
  • matlab-norm函数

    2019-05-08 13:19:02
    norm函数是用来计算范数的一个函数。 假设A是一个矩阵,那么norm(A)或者norm(A,2)计算的就是A的2范数;同理norm(A,1)计算的就是1范数了. 2范数:计算步骤是先计算AA‘(这里A’代表转置,也就是原矩阵(原矩阵的...
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    功能:norm函数可计算几种不同类型的矩阵范数,根据p的不同可得到不同的范数 1、如果A为矩阵   n=norm(A) 《Simulink与信号处理》 返回A的最大奇异值,即max(svd(A)) n=norm(A,p) 根据p...
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    功能:norm函数可计算几种不同类型的矩阵范数,根据p的不同可得到不同的范数 1、如果A为矩阵   n=norm(A) 《Simulink与信号处理》 返回A的最大奇异值,即max(svd(A)) n=norm(A,p) 根据p的不同,返回不同的值 ...
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    2015-07-21 16:48:00
    格式:n=norm(A,p)功能:norm函数可计算几种不同类型的矩阵范数,根据p的不同可得到不同的范数以下是Matlab中help norm 的解释NORM Matrix or vector norm. For matrices... NORM(X) is the largest singular value ...

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