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  • 定义一个Point类来表示三维空间的三个坐标,为什么我这段程序测试类会报错?
    2021-04-16 12:16:53

    package Test;

    public class Point {

    private double x;

    private double y;

    private double z;

    public Point(double x,double y,double z) {

    this.x=x;

    this.y=y;

    this.z=z;

    }

    public double getX() {

    return x;

    }

    public void setX(double x) {

    this.x = x;

    }

    public double getY() {

    return y;

    }

    public void setY(double y) {

    this.y = y;

    }

    public double getZ() {

    return z;

    }

    public void setZ(double z) {

    this.z = z;

    }

    public double getDistance(Point p){

    return (x-p.x)*(x-p.x)+(y-p.y)*(y-p.y)+(z-p.z)*(z-p.z);

    }

    }

    public class TestPoint{   //这里报错

    public static void main(String[] args) {

    Point p=new Point(1.0, 2.0, 3.0);

    Point p1=new Point(0.0, 0.0, 0.0);

    System.out.println(p.getDistance(p1));

    p.setX(5.0);

    System.out.println(p.getDistance(new Point(1.0, 1.0, 1.0)));

    }

    }

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  • $$cos(\vec a, \vec b)=\frac {\vec a*\vec b}{||\vec a||*||\vec b||}$$因此,用向量来表示文档,然后就可以用余弦来计算两篇文章之间的相似度了。###2. 词袋模型一篇文档里面有很多很多句子,每个句子...

    ###1. 问题描述

    给你若干篇文档,找出这些文档中最相似的两篇文档?

    相似性,可以用距离来衡量。而在数学上,可使用余弦来计算两个向量的距离。

    $$cos(\vec a, \vec b)=\frac {\vec a*\vec b}{||\vec a||*||\vec b||}$$

    因此,用向量来表示文档,然后就可以用余弦来计算两篇文章之间的相似度了。

    ###2. 词袋模型

    一篇文档里面有很多很多句子,每个句子又是由一个个的词组成。词袋模型,通俗地讲,就是:把一篇文档看成词袋,里面装着一个个的词。

    从而,将一篇文档转化成了一个个的词(或者称之为 term),显然地,文档转化成一个个的词之后,词与词之间的顺序关系丢失了。

    ###3. TF-IDF

    在计算文档之间相似度之前,会有一些前提条件:

    我们有一个文档集合C,文档集合C里面一共有N篇文档

    我们有一个词典D,或者叫词库(Vocabulary),词库里面一共有M个词

    ####3.1 文档到向量的转化

    向量是有长度的,向量中的每个元素是数值,比如一个三维实值向量:(1.2,2.8,4.5)

    首先将文档通过词袋模型转化成一个个的词,一般地,由于文档中的词都会存在于词典D中,定义一个M维向量(M等于词典大小),若文档中的某个词在词典中出现了,就给这个词赋一个实数值。若未出现,则在相应位置处赋值为0

    ####3.2 使用TF-IDF 衡量每个词(term)的权重

    在给定的文档集合C和词典D的情况下,如何来衡量一个词(term)的权重呢?即如何计算这个实数值呢?

    #####3.2.1 tf值

    tf(term frequency),是指 term 在某篇文档中出现的频率。假设文档集合中共有10篇文章,词:''国家'',在文档1中出现了6次,那么对于文档1而言,'国家'这个词的tf值为6。因此,tf 是针对单篇文档而言的,即:某个词在这篇文档中出现了多少次。词频是计算文档得分的一个因子,因此为了计算某篇文档的得分,使用的词频指的就是term在这篇文档中出现的次数,而不是term在所有文档中出现的次数。

    #####3.2.2 idf值

    '国家'这个词在文档1中的idf值 由 词(term) 出现在各个文档中数目来决定,比如'国家'一共在8篇文档中出现了,那么对于文档1而言,'国家'这个词的idf值由如下公式计算:

    $$idf_t=log\frac{N}{df_t}$$

    其中,N=10 表示文档集合中共有10篇文章。$df_t=8$,表示 term 国家 在8篇文档中出现了。因此,idf 值是针对所有文档(文档集合)而言的,即:数一数这个词都出现在哪些文档中。

    而TF-IDF,就是将tf值乘以idf值:

    $$TF-IDF=tf*idf$$

    前面提到,将文档向量化,需要给文档中的每个词赋一个实数值,这个实数值,就是通过tf*idf得到。

    ###4. 总结

    在给定文档集合C和词典D的条件下,将某篇文档通过词袋模型表示成一个个的词,而后根据 TF-IDF 为每个词计算出一个实数值;

    由于词典D的大小为M,因此将这篇文档转化成一个M维向量,如果词典中某个词未出现在文档中,则这个词的在向量中对应的元素为0,若某个词出现在文档中,则这个词在向量中对应的元素值为这个词的tf-idf值。这样,就把文档表示成向量了,而这就是 向量空间模型(vector space model)。从这里也可看出:向量空间模型并没有catch住词(term)与词(term)之间的关系,它假设各个term之间是相互独立的。即:VSM implies the assumption on the independence between terms 而有了文档向量,也就可以用余弦公式计算文档之间的相似度了。

    由于词典一般比较大,比如20万个词左右的汉语词典,而一篇文档中一般只包含几百个词,因此可看出:文档向量是很稀疏的。

    另外,由于对于文档而言,词与词之间是有顺序的,比如文档开头是哪些词,中间有哪些词,结尾又是哪些词,但表示成向量之后,这个 顺序 信息丢失了。比如下面2篇文档,它们的文档向量是一样的。

    Mary is quick than John John is quick than Mary

    总之,在我看来,向量空间模型是一种将文档转化成向量的方式,文档转化成了向量,从而可以在同一维度的空间中表示一个个的文档。向量中的每个元素是一个个的实数,每个元素对应着一个 词(term),实数 是通过tf-idf计算出来的。由此看来,tf-idf也仅仅是一种将词(term)转化成实数的方式,当然我们也可以通过其他方法将 词 转化成实数。而这里的 词 则是由词典定义的,若词典中的某个词 在文档中,则计算这个词的tf-idf值,若某个词不在文档中,则这个词对应的向量元素为0。因此,得到的文档向量是M维的,其中M就是词典的大小---词典中词的个数。

    将文档转化成了向量,文档之间的比较,就可以转化成向量的比较。因此,就能回答给定若干篇文档,哪两篇文档最相关这样的问题了。在实际应用中,比如Lucene中的TF-IDF Similarity就是基于VSM来实现的。从VSM Model到Lucene Conceptual Scoring Formula 再到 Lucene Practical Scoring Formula,解释了在实际应用中,我们输入一个查询字符串,Lucene是如何计算文档的得分,从而找出与查询字符串最相关的文档的。

    5. 实际应用

    在实际应用中,我们并不是直接使用 TF*IDF 这个理论模型,因为它计算出来的权重偏向于短文本,因此需要某种平滑。 举个例子来说,term1在docA中出现了3次,term2在docA中出现了9次,根据上面计算TF的方式,意味着:term2的tf权重(或者说重要性)比term1要大3倍,那真的是重要3倍么?因此,在Lucene的实际评分模型中,计算的是sqrt(tf),即通过 tf 开根号,起到一定的平滑作用。类似地,计算 idf 时,是取log对数,也是为了平滑。

    参考资料:

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  • 点击上方“小白学视觉”,选择加"星标"或“置顶”重磅干货,第一时间送达刚体,顾名思义,是指本身不会在运动过程中产生形变的物体,如相机的运动就是刚体运动,运动过程中同一个向量的长度和夹角都不...

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    刚体,顾名思义,是指本身不会在运动过程中产生形变的物体,如相机的运动就是刚体运动,运动过程中同一个向量的长度和夹角都不会发生变化。刚体变换也称为欧式变换。

    视觉SLAM中使用的相机就是典型的刚体,相机一般通过人手持、机载(安装在机器人上)、车载(固定在车辆上)等方式在三维空间内运动,形式包括旋转、平移、缩放、切变等。其中,刚体在三维空间中最重要的运动形式就是旋转。那么刚体的旋转如何量化表达呢?

    三维空间中刚体的旋转表示

    三维空间中刚体的旋转总共有4种表示方法,高翔的十四讲中的第3讲比较详细的讲解了。本文提炼中最重要的内容,并加上实际使用过程中的经验总结进行了归纳。下面按照重要顺序分别进行介绍。

    1

    旋转矩阵

    1、SLAM编程中使用比较频繁。需要重点掌握。

    2、旋转矩阵不是一般矩阵,它有比较强的约束条件。旋转矩阵R具有正交性,R和R的转置的乘积是单位阵,且行列式值为1

    3、旋转矩阵R的逆矩阵表示了一个和R相反的旋转。

    4、旋转矩阵R通常和平移向量t一起组成齐次的变换矩阵T,描述了欧氏坐标变换。引入齐次坐标是为了可以方便的描述连续的欧氏变换,这个在上一篇文章《从零开始一起学习SLAM | 为什么要用齐次坐标?》中有讲解。

    5、冗余。用9个元素表示3个自由度的旋转,比较冗余。

    2

    四元数

    1、SLAM编程中使用频繁程度接近旋转矩阵。稍微有点抽象,不太直观,但是一定得掌握。

    2、四元数由一个实部和三个虚部组成,是一种非常紧凑、没有奇异的表达方式。

    3、编程时候很多坑,必须注意。首先,一定要注意四元素定义中实部虚部和打印系数的顺序不同,很容易出错!

    a0b6017217dd3d732e88f73c9c72ec01.png

    其次,单位四元素才能描述旋转,所以四元素使用前必须归一化:q.normalize()。

    3

    旋转向量

    1、用一个旋转轴n和旋转角θ来描述一个旋转,所以也称轴角。不过很明显,因为旋转角度有一定的周期性(360°一圈),所以这种表达方式具有奇异性。

    2、从旋转向量到旋转矩阵的转换过程称为 罗德里格斯公式。这个推导比较麻烦,否则也不会有一个专属的名字了。OpenCV和MATLAB中都有专门的罗德里格斯函数。

    3、旋转向量本身没什么出彩的,不过旋转向量和旋转矩阵的转换关系,其实对应于李代数和李群的映射,这对于后面理解李代数很有帮助。

    4

    欧拉角

    1、把一次旋转分解成3次绕不同坐标轴的旋转,比如航空领域经常使用的“偏航-俯仰-滚转”(yaw,pitch,roll)就是一种欧拉角。该表达方式最大的优势就是直观。

    2、欧拉角在SLAM中用的很少,原因是它的一个致命缺点:万向锁。也就是在俯仰角为±90°时,第一次和第3次旋转使用的是同一个坐标轴,会丢失一个自由度,引起奇异性。事实上,想要表达三维旋转,至少需要4个变量。

    了解了四种旋转的表达方式,那么编程时如何使用呢?

    矩阵线性代数运算库Eigen

    事实上,上述几种旋转的表达方式在一个第三方库Eigen中已经定义好啦。Eigen是一个C++开源线性代数库,安装非常方便,Ubuntu下一行代码即可搞定:

    sudo apt-get install libeigen3-dev

    Eigen在SLAM编程中是必备基础,必须熟练编程。关于Eigen,主要有以下几点需要强调或注意。

    1、Eigen库不同于一般的库,它只有头文件没有.so和 .a那样的二进制库文件,所以在CMakeLists.txt里只需要添加头文件路径,并不需要使用 target_link_libraries 将程序链接到库上。

    2、Eigen以矩阵为基本数据单元,在Eigen中,所有的矩阵和向量都是Matrix模板类的对象,Matrix一般使用3个参数:数据类型、行数、列数

    Eigen::Matrix<typename Scalar, int rowsNum, int colsNum>

    而向量只是一种特殊的矩阵(一行或者一列)。同时,Eigen通过typedef 预先定义好了很多内置类型,如下,我们可以看到底层仍然是Eigen::Matrix

    typedef Eigen::Matrix<float, 4, 4> Matrix4f;

    typedef Eigen::Matrix<float, 3, 1> Vector3f;

    3、为了提高效率,对于已知大小的矩阵,使用时需要指定矩阵的大小和类型。如果不确定矩阵的大小,可以使用动态矩阵Eigen::Dynamic

    Eigen::Matrix<double, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic> matrix_dynamic;

    4、Eigen在数据类型方面“很傻很天真”。什么意思呢?就是使用Eigen时操作数据类型必须完全一致,不能进行自动类型提升。比如C++中,float类型加上double类型变量不会报错,编译器会自动将结果提升为double。但是在Eigen中float类型矩阵和double类型矩阵不能直接相加,必须统一为float或者double,否则会报错。

    5、Eigen除了空间几何变换外,还提供了大量矩阵分解、稀疏线性方程求解等函数,非常方便。学习Eigen最好的方式就是官网:

    http://eigen.tuxfamily.org/dox/

    有非常多的示例参考。

    上述四种旋转表达方式是可以相互转化的。在Eigen中它们之间的转化非常的方便。下图是我看的别人总结的旋转矩阵、四元素、旋转向量之间的相互转化图:

    4f102fd3ec2feb02115d979dc250d9b9.png

    作业

    题目1:

    已知旋转矩阵定义是沿着Z轴旋转45°。请按照该定义初始化旋转向量、旋转矩阵、四元数、欧拉角。请编程实现:

    1、以上四种表达方式的相互转换关系并输出,并参考给出的结果验证是否正确。

    2、假设平移向量为(1,2,3),请输出旋转矩阵和该平移矩阵构成的欧式变换矩阵,并根据欧式变换矩阵提取旋转向量及平移向量。

    本程序学习目标:

    1、学习eigen中刚体旋转的四种表达方式,熟悉他们之间的相互转换关系

    2、熟悉旋转平移和欧式变换矩阵的相互转换关系

    以下是参考的编程框架:

    f3694dd4972deb35bcff4a289338f36a.png

    题目2:

    我们知道单位四元数q可以表达旋转。一个三维空间点可以用虚四元数p表示,用四元数 q 旋转点 p 的结果p'为:

    4d745f5baceebb47b099ad27043d9916.png

    证明:此时 p′ 必定为虚四元数(实部为零)。

    公众号菜单栏回复:“旋转”,即可下载题目1代码框架和输出参考结果。

    下载1:OpenCV-Contrib扩展模块中文版教程

    在「小白学视觉」公众号后台回复:扩展模块中文教程即可下载全网第一份OpenCV扩展模块教程中文版,涵盖扩展模块安装、SFM算法、立体视觉、目标跟踪、生物视觉、超分辨率处理等二十多章内容。

    下载2:Python视觉实战项目52讲

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    下载3:OpenCV实战项目20讲

    在「小白学视觉」公众号后台回复:OpenCV实战项目20讲即可下载含有20个基于OpenCV实现20个实战项目,实现OpenCV学习进阶。

    交流群

    欢迎加入公众号读者群一起和同行交流,目前有SLAM、三维视觉、传感器、自动驾驶、计算摄影、检测、分割、识别、医学影像、GAN、算法竞赛等微信群(以后会逐渐细分),请扫描下面微信号加群,备注:”昵称+学校/公司+研究方向“,例如:”张三 + 上海交大 + 视觉SLAM“。请按照格式备注,否则不予通过。添加成功后会根据研究方向邀请进入相关微信群。请勿在群内发送广告,否则会请出群,谢谢理解~

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    展开全文
  • 四元数、欧拉角、轴-角表示、旋转向量之间的相互转化 因为项目需要刚接触的 ARCore,新的方向有很多新的坑,空间中的旋转很是让人头疼,SceneForm 框架提供的 API 其实已经很强大了,还是会有一些漏网的小鱼,没有...

    因为项目需要刚接触的 ARCore,新的方向有很多新的坑,空间中的旋转很是让人头疼,SceneForm 框架提供的 API 其实已经很强大了,还是会有一些漏网的小鱼,没有对应的 API,根据网上的资料和自己的总结,提供以下几个 Java 版本的接口,希望对大家有帮助。

    1、四元数转欧拉角
    Quaternion(四元数)是 SceneForm 提供且建议使用的表示旋转的方式,四元数可以避免欧拉角方式的万向节死锁。

        /**
         * 四元数转欧拉角
         * @param quaternion 四元数
         * @return 欧拉角
         */
        public Vector3 quaternion2Eular(Quaternion quaternion) {
            double epsilon = 0.0009765625f;
            double threshold = 0.5f - epsilon;
            Vector3 euler = new Vector3();
            double tag = quaternion.w * quaternion.y - quaternion.x * quaternion.z;
    
            // 奇异姿态,俯仰角为 ±90 度
            if (tag < -threshold || tag > threshold) {
                int sign = sign(tag);
                euler.z = -2 * sign * (float) Math.atan2(quaternion.x, quaternion.w); // yaw
                euler.y = sign * (float)(Math.PI / 2.0); // pitch
                euler.x = 0; // roll
    
            } else {
                euler.x = (float) Math.atan2(
                        2 * (quaternion.y * quaternion.z + quaternion.w * quaternion.x),
                        quaternion.w * quaternion.w - quaternion.x * quaternion.x - quaternion.y * quaternion.y + quaternion.z * quaternion.z);
                euler.y = (float) Math.asin(-2 * (quaternion.x * quaternion.z - quaternion.w * quaternion.y));
                euler.z = (float) Math.atan2(2 * (quaternion.x * quaternion.y + quaternion.w * quaternion.z),
                        quaternion.w * quaternion.w + quaternion.x * quaternion.x - quaternion.y * quaternion.y - quaternion.z * quaternion.z);
            }
    
            float scale = (float)( 180 / Math.PI);
            //弧度转换角度
            euler.x = euler.x * scale;
            euler.y = euler.y * scale;
            euler.z = euler.z * scale;
            return euler;
        }
    
        private int sign(double param) {
            if (param > 0) {
                return 1;
            } else if (param == 0){
                return 0;
            } else {
                return -1;
            }
        }
    

    2、旋转向量转对应的轴-角表示方式
    旋转向量表示物体在三维空间的旋转,向量(x,y,z)表示三维空间中旋转的方向,向量的模表示旋转的角度(弧度)。

        public static class AxisAngle {
            Vector3 Axis;
            float angle;
        }
    
        /**
         *
         * 旋转向量转对应的轴-角表示方式
         * @param rotationVector 旋转向量
         * @return 轴-角
         */
        public AxisAngle rotationVector2AxisAngle(Vector3 rotationVector) {
    
            //旋转向量的模(弧度)
            float mo = (float) Math.sqrt(
                    rotationVector.x * rotationVector.x + rotationVector.y * rotationVector.y + rotationVector.z * rotationVector.z);
            float angle =  (float) (mo * ( 180 / Math.PI));
            //生成轴方向的单位向量
            rotationVector.x = rotationVector.x / mo;
            rotationVector.y = rotationVector.y / mo;
            rotationVector.z = rotationVector.z / mo;
    
            AxisAngle axisAngle = new AxisAngle();
            axisAngle.Axis = rotationVector;
            axisAngle.angle = angle;
            return axisAngle;
        }
    

    3、将旋转向量转换为对应的四元数

        /**
         *
         * 将旋转向量转换为对应的四元数
         * @param rotationVector 旋转向量
         * @return 四元数
         */
        public Quaternion rotationVector2Quaternion(Vector3 rotationVector) {
    
            //旋转向量转对应的轴-角表示方式
            AxisAngle axisAngle = rotationVector2AxisAngle(rotationVector);
            if (axisAngle != null) {
                //轴-角表示方式转四元数
                Quaternion qu = Quaternion.axisAngle(axisAngle.Axis, axisAngle.angle);
                return qu;
            }
            return null;
        }
    
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  • CSS中的3D转换功能

    2020-09-01 03:47:51
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空空如也

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java 三维空间向量转换

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