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  • MATLAB最速下降法实现
    2021-11-11 17:07:09

    clear,clc,close all
    syms x y t
    f = 4*x^2+y^2-x^2*y;%求解函数的极小值点
    g = [diff(f,x),diff(f,y)];%求梯度向量,对于可导函数有解析式更好,若没有则要差分处理
    x0 = 3;y0 = 4;%初值
    eps = 1e-6;%迭代误差限
    v = [x,y];%自变量
    %令函数g中变量v取[x0,y0],用来求[x0,y0]的梯度值
    g0 = subs(g,v,[x0,y0]);
    v1 = [x0,y0];temp0 = norm(g0)%初值处梯度范围
    n = 0
    ezcontour(f,[-3,7,-2,8]);
    hold on
    while temp0>eps && n<=1000
        d = -g0;%负梯度方向
        fval = subs(f,v,v1)%函数值;
        ft = subs(f,v,v1+t*d);
        dft = diff(ft);
        s = double(solve(dft));%求使得目标函数减少最大的步长
        plot([v1(1),v1(1)+s*d(1)],[v1(2),v1(2)+s*d(2)],'Color',rand(1,3));
        drawnow;
        pause(0.3);
        v1 = v1+s*d;%求下一个迭代点
        g0 = subs(g,v,v1);%更新梯度
        temp0 = norm(g0);%更新后的梯度范围,足够小时迭代终止
        n = n+1;
    end
    plot(v1(1),v1(2),'ro'),disp(v1)%最优解
    disp(fval)%f在v1处的最优值

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    最小化——最速下降法matlab实现 1、matlab代码 function [min_x,min_f,k]=down(f,x0,var,eps) %%%输入目标函数f,初始点x0,以及自变量var和精度eps %%%利用Newton迭代法计算无约束目标函数极小值; %%%输出最小值点...

    最小化——最速下降法matlab实现

    1、matlab代码

    function [min_x,min_f,k]=steepest_destcent(f,x0,var,eps)
    %%%输入目标函数f,初始点x0,以及自变量var和精度eps
    %%%利用Newton迭代法计算无约束目标函数极小值;
    %%%输出最小值点min_x,最小值min_f以及迭代次数k。
    syms a;
    ff=sym(f);
    j=jacobian(f,var);                            %计算函数的雅可比矩阵,
    falg=1;                           ... !!!知识点:梯度恰好是雅可比矩阵的转置;
    x=x0;
    k=0;                                          %计数器;
    while falg
        g=(double(subs(j,var,x)));                %subs函数;不明白的可以去问问度娘!
        if norm(g,2)>eps                          %算法停止标准;
            f_a=subs(ff,var,x-a*g);
            f_diff = simplify(diff(f_a,a));      
            alpha = max(double(solve(f_diff)));   %求解步长\alpha,
            x=double(x-alpha*g);                  %产生新迭代点;
            k=k+1;
        else
            break
        end
    end
    min_x=x;                                      %最优解
    min_f=subs(f,var,min_x);                      %目标函数最小值。
    

    2、实例验证

    在这里插入图片描述

    3、运行结果

    在这里插入图片描述

    展开全文
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    牛顿法

    牛顿法主要应用在两个方面, 1, 求方程的根; 2, 最优化。

    牛顿法是收敛速度最快的方法,其缺点在于要求Hessian矩阵(二阶导数矩阵)。牛顿法与梯度法很相似,先说一下梯度法:1是求梯度,也就是斜率,梯度就是函数变化比较大的地方,取它的反方向。2是求步长,就是每一步走多远。可以这样理解,假如你站在山上的某一个位置,你想最快的下山,你是不是一步一步的走。首先在你现在这个位置确定你往那个方向走,然后再确定你走多远,到了另一个位置,是不是也要确定你的方向,然后走多远,你不可能沿着一个方向走吧。
    下图已经详细的介绍了牛顿法。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    matlab实现

    function [min_x,min_f,k] =steepEst_3(f,x0,var,eps)
    %%%f是目标函数,x0是初始点,以及自变量var和精度eps
    %%%利用牛顿法计算无约束目标函数的极小值
    %%%输出最小值点min_x,min_f事最小值,以及迭代次数
    syms a; %创建一个符号变量
    ff=sym(f);
    j=jacobian(f,var);                            %计算函数的雅可比矩阵,
    falg=1;                           %!!!知识点:梯度恰好是雅可比矩阵的转置;
    x=x0;
    k=0;                                          %计数器;
    while falg
        g=(double(subs(j,var,x)));                %subs函数;不明白的可以去问问度娘!
        %意思就是让该函数的雅克比矩阵中的var变量换成初始值
        if norm(g,2)>eps 
    %         disp()
            %算法停止标准;
            f_a=subs(ff,var,x-a*g); % 对输入的函数f的var变量换成x-a*g
            f_diff = simplify(diff(f_a,a));      
            alpha = max(double(solve(f_diff)));   %求解步长\alpha,solve用来求解解线性方程组的解析解或者精确解
            x=double(x-alpha*g);                  %产生新迭代点;
            k=k+1;
        else
            break
        end
    end
    min_x=x;                                      %最优解
    min_f=subs(f,var,min_x);                      %目标函数最小值。
    
    

    在这里插入图片描述

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    展开全文
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    1 function xmin = goldSearch(fun,a,b,eps)

    2 % ---input

    3 % fun 所求的目标函数

    4 % a 区间的下界

    5 % b 区间的上界

    6 %eps 区间的最小阀值长度

    7 % ---output

    8 % xmin 函数取极小值时自变量的值

    9 x1 = a+0.382*(b-a);

    10 x2 = a +0.618*(b-a);

    11 f1 = fun(x1);

    12 f2 = fun(x2);

    13 while abs(b-a)>eps

    14 if f1>f2

    15 a = x1;

    16 x1 = x2;

    17 x2 = a +0.618*(b-a);

    18 f1 = f2;

    19 f2 = fun(x2);

    20 else

    21 b = x2;

    22 x2 = x1;

    23 x1 = a+0.382*(b-a);

    24 f2 = f1;

    25 f1 = fun(x1);

    26 end

    27 end

    28 xmin=(b+a)/2;

    29 fmin = fun(xmin)

    最速下降法源代码:

    1 function [feval,x] = gradientDescent(fun,gfun,x0,eps)

    2 % ---input

    3 % fun 所求的目标函数

    4 % gfun 目标函数的梯度导数

    5 % x0 初始值

    6 % ---output

    7 % feval 极小值

    8 % x 极小值处自变量的值

    9

    10 syms u % 一维寻优中目标函数的自变量

    11 grad = gfun(x0);

    12 x = x0;

    13 while norm(grad)> eps

    14 goldfex = fun(x-u*grad); %表达式

    15 goldf = inline(goldfex); %将表达式转换成关于u的匿名函数

    16 lamda = goldSearch(goldf,0,0.3,0.1); %寻找最优步长

    17 x = x-lamda*grad

    18 grad = gfun(x);

    19 norm(grad);

    20 feval = fun(x)

    21 end

    22 feval = fun(x);

    测试如下:

    1 function main

    2 clear,clc

    3 % syms x1 x2

    4 % u = [x1,x2];

    5 % fexp = 2*u(1).^2+u(2).^2;

    6 % f = inline(fexp,'u');

    7 % gfexp = jacobian(fexp);

    8 % gf = inline(gfexp,'u');

    9 x0 =[10,10,10];

    10 [fmin,x] = gradientDescent(@f,@gf,x0,0.1)

    11

    12 function y =gf(x) %目标函数f的梯度矩阵函数

    13 % y= [4*x(1),2*x(2)];

    14 syms x1 x2 x3

    15 fexp = f([x1,x2,x3]);

    16 gfexp = jacobian(fexp);

    17 gff = inline(gfexp,'x1','x2','x3');

    18 y =gff(x(1),x(2),x(3));

    19 % y = 2*cos(x);

    20

    21 function y = f(x) %目标函数

    22 % y=2*x(1).^2+x(2).^2;

    23 y=x(1)^2+x(2)^2+x(3)^2-10*cos(2*pi*x(1))-10*cos(2*pi*x(2))-10*cos(2*pi*x(3));

    24 % y = 8+2*sin(x);

    展开全文
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