解单一微分方程组
S=dsolve(eqn,cond)
eqn是微分方程等式，其中微分用diff函数表示，cond是确定微分方程不定系数的条件。注意函数要用带括号的形式定义。即：

$y(x)=2*x;$  不能是 $y=2*x;$

确定初始条件时要设置一个新变量：

$Dy=diff(y,x)\quad Dy(0)==1$

如果没有cond则为解中含有不定系数C。
举例
求解微分方程：$y'''-3y''+3y'-y=-1$

初始条件 $y''(0)=y'(0)=1,\quad y(0)=2$


解微分方程组
Y=dsolve(eqns,cond)
Y、eqn的形式和solve中的Y相同（参见解方程组部分）
举例
$\left\{
\begin{aligned}
x'-2y''-2y=0,\quad x(0)=x'(0)=0\\
x''-2y'=2sin(t),\quad y(0)=y'(0)=1
\end{aligned}
\right.$

解微分方程组：

x’=-x^3-y,x(0)=1

y’=x-y^3,y(0)=0.5       0<t<30
编辑器窗口：

%M函数eg6_3fun.m

function f=eg6_3fun(t,x)

f(1)=-x(1)^3-x(2);

f(2)=x(1)-x(2)^3;

f=f(😃;%注意要保证f为列向量
指令窗口：


[t,x]=ode45(@eg6_3fun,[0 30],[1;0.5]    %1和0.5是初始值


解应该是x（t），y（t）两个函数

所以

把x和y都写成一个x

x表示一个向量

x----x(1)

y----x(2）
算法本身要求f是列向量，

所以，f=f（:）

共回答了19个问题采纳率：89.5%
function dx=appollo(t,x)
mu=1/82.45;
mustar=1-mu;
r1=sqrt((x(1)+mu)^2+x(3)^2);
r2=sqrt((x(1)-mustar)^2+x(3)^2);
dx=[x(2)
2*x(4)+x(1)-mustar*(x(1)+mu)/r1^3-mu*(x(1)-mustar)/r2^3
x(4)
-2*x(2)+x(3)-mustar*x(3)/r1^3-mu*x(3)/r2^3];
--------------------------------------------------------------------------------------
x0=[1.2;0;0;-1.04935751];%x0(i)对应与xi的初值
options=odeset('reltol',1e-8);%该命令的另一种写法是options=odeset;options.reltol=1e-8;
tic
[t,y]=ode45(@appollo,[0,20],x0,options);%t是时间点,y的第i列对应xi的值,t和y的行数相同
toc
plot(y(:,1),y(:,3))%绘制x1和x3,也就是x和y的图形
title('Appollo卫星运动轨迹')
xlabel('X')
ylabel('Y')
1年前
10

最近同学毕设需要求解循坏摆的微分方程，我在帮忙过程中学习了一下常微分方程的解析解和数值解的求法，在此分享。
以下讲解遵循Matlab官方文档提供的方程和写法。
(强烈建议大家有问题多看官方文档，非常有用)
介绍一下核心函数
常用形式：S = dsolve(eqn,cond)
功能介绍：解微分方程eqn，其中eqn是一个符号方程，cond是初值条件(边界条件)。使用diff和==表示微分方程。例如，diff(y,x)==y表示方程dy/dx=y。通过将eqn指定为这些方程的向量来求解微分方程组。
1. 一阶常微分方程求解(无初值)
方程：dy/dt=ay
代码：
syms y(t) a; %syms 定义方程用的变量和未知常量(可有可无)。y(t)表示y是关于t的函数，求解t。
eqn=diff(y,t)==a*y; %diff(y,t)即dy/dt，默认为1阶。
S=dsolve(eqn) %dsolve()为求解函数，将方程放入即可
说明：首先定义方程所用变量和未知常量，然后列出微分方程，最后dsolve()求解。
结果：
S =
C2*exp(a*t)
分析：C2为未定的常数项，需要提供一个初值，才能确定。
2. 二阶常微分方程求解(无初值)
方程：dy²/dt²=ay
代码：
syms y(t) a; %syms 定义方程用的变量和未知常量。y(t)表示y是关于t的函数，求解t。
eqn=diff(y,t,2)==a*y; %diff(y,t,2)即dy²/dt²，第三个参数表示阶数，更高阶数一样。
S=dsolve(eqn) %dsolve()为求解函数，将方程放入即可
结果：
S =
C3*exp(a^(1/2)*t) + C4*exp(-a^(1/2)*t)
分析：无初值情况下，C3，C4未定，更高阶数解法类推，修改diff()第三个参数即可。
3. 二阶微分方程求解(有初值)
方程：dy²/dt²=ay
代码：
syms y(t) a; %syms 定义方程用的变量和未知常量。y(t)表示y是关于t的函数，求解t。
eqn=diff(y,t,2)==a*y; %定义diff(y,t,2)即dy²/dt²，第三个参数表示阶数。
Dy=diff(y,t); %定义方程Dy为dy/dt；
cond=[y(0)==5,Dy(0)==1]; %定义初值，t=0时，y=5,dy/dt=1;
S=dsolve(eqn,cond) %dsolve()为求解函数，将方程放入即可
说明：一阶微分方程求解时，不需要定义Dy，二阶方程有dy/dt的初值时，需要定义
结果：
S =
(exp(a^(1/2)*t)*(5*a^(1/2) + 1))/(2*a^(1/2)) + (exp(-a^(1/2)*t)*(5*a^(1/2) - 1))/(2*a^(1/2))
分析：有初值情况下，无未定常数项
4. 一阶微分方程组求解(有初值)
方程：dy/dt=z；
dz/dt=-y
代码：
syms y(t) z(t); %syms 定义方程用的变量
eqn=[diff(y,t)==z,diff(z,t)==-y]; %定义方程组dy/dt=z，dz/dt=-y
cond=[y(0)==1,z(1)==1]; %定义初值，t=0时，y=5；t=1时，y=1；
[ySol zSol]=dsolve(eqn,cond) %dsolve()为求解函数，将方程放入即可
解释：老套路，只不过要定义俩方程，给俩初值
结果：
ySol =
cos(t - 1)/(2*cos(1)) - cos(t + 1)/(2*cos(1)) + cos(t - atan(1/cos(1)))*(1/cos(1)^2 + 1)^(1/2)
zSol =
sin(t + 1)/(2*cos(1)) - sin(t - 1)/(2*cos(1)) + (cos(t + atan(cos(1)))*(cos(1)^2 + 1)^(1/2))/cos(1)
5. 无法求解情况
方程：dy²/dt²=(1-y²)*dy/dt-y
代码：
syms y(t) %syms 定义方程用的变量和常量
eqn=diff(y,2)==(1-y^2)*diff(y)-y; %定义方程dy²/dt²=(1-y²)*dy/dt-y
cond=y(0)==1; %定义初值，t=0时，y=1
S=dsolve(eqn,cond) %dsolve()为求解函数，将方程放入即可
解释：方程本身看起来不复杂，但是无法求解
结果：
警告: Explicit solution could not be found.
> In dsolve (line 201)
S =
[ empty sym ]
分析：特定解无法求出，结果是空的方程
6. 无法求解解决方案
遇到无法求解的情况，dsolve就束手无策了，但是Matlab依旧强大，提供了求数值解的方法，非常有效。
我会在另一篇博文里面讲解如何对复杂的微分方程进行数值求解，这才是我解决同学毕设问题的方案。(已写，点击此处查看)
这里先把同学的题目放在这里，大家可以编写解析解求解方案试一下，反正我求解不出来。
循环摆微分方程如下：
 
给定的初值(w接近0，但实际上不能设置为0)：
我的求解代码如下：
syms R(t) v(t) w(t);
eqns=[diff(R,t)==-v/w-0.01,...
diff(v,t)==(10*9.8-(w^2*R+9.8*sin(t))*exp(0.1*(t+pi/2)))/(w*11),...
diff(w,t)==w*0.01/R+2*v/R+9.8*cos(t)/(w*R)];
cond=[R(0)==1,v(0)==0,w(0)==1e3];
S=dsolve(eqns,cond);
7. 加油！