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  • 最小二乘线性拟合 Matlab代码
    2022-02-10 14:48:11

    x=[1,1.5,2,2.5,3.5]; 
    y=[0.9,1.7,2.2,2.6,6];  

    n = length(x);
    sumx = 0;
    sumx2 = 0;
    sumy = 0;
    sumxy = 0;

    for i = 1:n
        sumx = sumx + x(i);
        sumx2 = sumx2 + x(i)*x(i);
        sumy = sumy + y(i);
        sumxy = sumxy + x(i)*y(i);
    end

    res.a = (n*sumxy-sumx*sumy)/(n*sumx2-sumx*sumx);
    res.b = (sumx2*sumy -sumx*sumxy)/(n*sumx2-sumx*sumx);
    res

    % 与自带方法对比
    p=polyfit(x,y,1);  
    p

    % 画图
    x1=linspace(min(x),max(x));  
    y1=polyval(p,x1);  
    plot(x,y,'*',x1,y1);

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    最小二乘曲线拟合及MATLAB实现

    摘  要

    介绍曲线拟合的基本理论,对最小二乘原理进行了全方位的理论阐述,同时也阐述了曲线拟合的基本原理及多项式曲线拟合模型的建立。详细的解答了曲线拟合中的最小二乘法,并介绍了部分的正交最小二乘法理论。重点讲解多项式拟合的具体步骤,同时也介绍了非线性方程的最小二乘拟合,在建立理论的基础上对最小二乘曲线拟合法的MATLAB实现方法进行研究,利用MATLAB2012b的平台对测量数据进行最小二乘曲线拟合,介绍MATLAB的具体构造和曲线拟合工具。利用MATLAB中的ployfit函数对实测数据进行多项式曲线拟合,并给出曲线拟合MATLAB实现的源程序,给出拟合曲线,并评定拟合的精度证明该方法是行之有效的。

    关键词:最小二乘法,曲线拟合,MATLAB,测量数据

    Curve Fitting in Least-Square Method

    and Its Realization with Matlab

    Abstract

    To introduce the basic theory of curve fitting and discuss the least squares principle in this paper, what’s more, we also discuss the basic principle of curve fitting and the establishment of polynomial curve fitting model. Meanwhile, we also introduce the least-square method of curve fitting in detail and part of the theory of orthogonal least square method. We mainly discuss the specific steps of polynomial fitting, and also introduces the nonlinear equation of the least squares fitting at the same time, which established on the theory of least squares curve fitting in MATLAB in order to realize the method to do research. Using MATLAB2012b platform to achieve the goal of measuring data and introducing the special structure of MATLAB and curve fitting tool. We can use ployfit function in MATLAB to polynomial curve fitting of experimental data, and get the MATLAB source program about curve fitting and the fitting curve. Finally, we need to prove the method of assessing the precision of the fitting is effective.

    Key words: least square method;  curve fitting;  MATLAB, metrical data

    最小二乘曲线拟合及MATLAB实现I

    摘  要I

    CURVE FITTING IN LEAST-SQUARE METHOD AND ITS REALIZATION WITH MATLABII

    ABSTRACTII

    第一章 引 言1

    1.1研究背景1

    1.1.1 历史理论原理1

    1.1.2 现代研究1

    1.2 问题定义2

    1.2.1 曲线拟合的思想2

    1.2.2 多项式拟合3

    1.2.3 利用Matlab的polyfit函数进行多项式拟合3

    1.3 论文结构3

    第二章 数据曲线拟合4

    2.1测量数据4

    2.2拟合模型4

    2.3最小二乘原理5

    2.3.1最小二乘法5

    2.3.2最小二乘估计与极大似然估计7

    2.4数据拟合9

    2.4.1曲线拟合理论9

    2.4.2最小二乘法线性拟合原理10

    2.4.3最小二乘非线性拟合12

    2.4.4正交多项式13

    2.4.5正交最小二乘曲线拟合15

    2.5曲线拟合精度评定17

    第三章MATLAB19

    3.1MATLAB概述19

    3.1.1MATLAB简介19

    3.1.2MATLAB的主要组成部分21

    3.2MATLAB2012B的运行简介23

    3.2.1启动和退出MATLAB2012b23

    3.2.2MATLAB2012b桌面系统24

    3.2.3MATLAB函数调用系统26

    3.2.4MATLAB2012b的帮助系统27

    3.2.5附件管理系统28

    3.2.6数据交换系统28

    3.2.7MATLAB 中的其他系统29

    3.3最小二乘曲线拟合法的MATLAB实现30

    第四章 最小二乘法曲线拟合的MATLAB实现32

    4.1 使用POLYFIT函数实现多项式拟合32

    4.2 二次多项式的曲线拟合33

    4.3三次多项式的曲线拟合34

    4.4 四次多项式曲线拟合35

    4.5数据处理和精度评定36

    第五章 总结40

    参考文献41

    附录1:43

    MATLAB语言编程源代码43

    附录2:45

    各次拟合的拟合曲线方程45

    致谢46

    外文翻译47

    外文部分47

    翻译部分54

    展开全文
  • 使用最小二乘分析计算的线性拟合。 X 是自变量,Y 是因变量,是 Y 的标准偏差向量。 a 和 b 上的误差也被计算。 拟合程序用自己的方差对每个 Y 数据进行加权,这样方差大的点影响很小。 如果 SY i 恒定,则拟合是...
  • Matlab拟合函数总结与实例 在数据处理等工作中,经常需要对已知数据进行拟合,进而获得更加光滑流畅的曲线,Matlab中曲线拟合功能比较强大,可以实现一般简单的拟合,以下对其拟合函数进行总结。 二级标题 三级标题 ...

    基于最小二乘原理的Matlab曲线拟合方法介绍

    在数据处理等工作中,经常需要对已知数据进行拟合,进而获得更加光滑流畅的曲线。曲线拟合主要基于多项式插值,三次样条曲线插值,最小二乘拟合。
    考虑到最小二乘曲线拟合的优越性,本文仅对该方法进行总结。

    原理

    设拟合曲线表达式为:
    在这里插入图片描述
    为求解拟合曲线的系数,设:
    在这里插入图片描述
    若设拟合曲线为线性形式,即可表示为:
    其中
    其中fi(x)为基函数。
    结合以上各式,则可基于下式求解拟合函数的系数:
    在这里插入图片描述

    程序与实例应用

    本文设基函数为:
    在这里插入图片描述
    建立了基于最小二乘原理的曲线拟合函数,并以一组散点为例进行曲线拟合,验证函数及拟合方法的可靠性。
    如下所示为拟合结果与运行程序:
    在这里插入图片描述

    clc
    clear
    xData = 1:1:100;
    y = 2*log(xData)+5.5;
    yData = y+0.5*rand(1,size(y,2)) - 0.5*rand(1,size(y,2));
    m=6;
    [yFitting]=curveFitting(xData,yData,m);
    
    plot(xData,yFitting,'-b','LineWidth',2)
    hold on
    scatter(xData,yData,'ro','filled');
    xlabel('x','fontname','times','fontsize',20)
    ylabel('y','fontname','times','fontsize',20)
    

    自定义拟合函数curveFitting

    % 基于最小二乘原理的matlab曲线拟合
    % 注:离散节点数据为列向量
    function [yFitting]=curveFitting(xData,yData,m)
    n=length(xData);
    A=zeros(m); S=zeros(2*m-1,1); b=zeros(m,1); temp=zeros(n,1);
    
    % 求矩阵A
    for i=1:(2*m-1)
        for j=1:n
            temp(j,1)=xData(j)^(i-1);
        end
        S(i,1)=sum(temp);
    end
    for i=1:m
        for j=1:m
            A(i,j)=S(i+j-1);
        end
    end
    % 求矢量b
    for i=1:m
        for j=1:n
            temp(j,1)=xData(j)^(i-1)*yData(j);
        end
        b(i,1)=sum(temp);
    end
    % 求解系数矩阵a
    I=A\b;
    
    % 拟合曲线
    yFitting=zeros(1,n);
    for i=1:m
        yFitting=I(i)*xData.^(i-1)+yFitting;
    end
    
    展开全文
  • MATLAB解决线性最小二乘拟合

    千次阅读 2021-08-04 10:54:46
    本博文源于MATLAB建模,拟合问题是指给定平面上n个点$(x_i,y_i)(i=1,...,n)$寻求一个函数(曲线)y=f(x),使f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近。...而本文就以一道例题来告诉大家MATLAB如何做线性最小二乘拟合

    本博文源于MATLAB建模,拟合问题是指给定平面上n个点 ( x i , y i ) ( i = 1 , . . . , n ) (x_i,y_i)(i=1,...,n) (xi,yi)(i=1,...,n)寻求一个函数(曲线)y=f(x),使f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近。而问题首要关键的是确定f(x)表达式的形式,一般我们会有两种方法:1、根据机理模型确定f(x)比如人口问题,2、根据画图来确定。而本文就以一道例题来告诉大家MATLAB如何做线性最小二乘拟合。

    一、问题再现

    在这里插入图片描述
    问题已经给出 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi),那么我们先要画出散点图看一看性态

    二、散点图绘制

    在这里插入图片描述

    >> x = 0:0.1:1;
    >> y = [-0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.30,11.2];
    >> plot(x,y,'rp')
    >> 
    

    问题上说我们要配二次多项式,那么我们就要根据线性最小二乘法原理进行求解

    三、线性最小二乘法核心原理

    图形只是让我们看见它的形态,我们最重要确定
    f ( x ) = a 1 x 2 + a 2 x + a 3 f(x)=a_1x^2+a_2x+a_3 f(x)=a1x2+a2x+a3
    a 1 , a 2 , a 3 a_1,a_2,a_3 a1,a2,a3,根据线性最小二乘法原理
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    上面这一张图最关键a左除y。和心原理就在于构建R和y。

    三、构建R和y求解

    在这里插入图片描述

    >> x = 0:0.1:1;
    >> y = [-0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.30,11.2];
    >> R=[(x.^2)',x',ones(11,1)];
    >> A = R\y'
    
    A =
    
       -9.8108
       20.1293
       -0.0317
    
    >> 
    

    我们计算得出 A = [ − 9.8108 , 20.1293 , − 0.0317 ] f ( x ) = − 9.8108 x 2 + 20.1293 x − 0.0317 A=[-9.8108,20.1293,-0.0317]\\ f(x)=-9.8108x^2+20.1293x-0.0317 A=[9.8108,20.1293,0.0317]f(x)=9.8108x2+20.1293x0.0317
    计算出来之后,我们不要忘记画图进行验证,看看效果!

    四、画图验证

    在这里插入图片描述
    效果不错,符合整体形态

    >> x = 0:0.1:1;
    >> y = [-0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.30,11.2];
    
    >> plot(x,y,'rp')
    >> R=[(x.^2)',x',ones(11,1)];
    >> A = R\y'
    
    A =
    
       -9.8108
       20.1293
       -0.0317
    
    
    >> y1 = -9.8108*x.^2+20.1293*x-0.0317;
    >> plot(x,y,'rp',x,y1)
    >> 
    

    五、总结

    在数据建模中,画图是一种最为直观了解数据的方法,通过对图形观察找到合适函数,进而解决问题,在现实问题中,我们进行求解不仅要做求解还需要假设检验等。这是本文欠缺的,但本文较为直观的给出一般线性最小二乘拟合的MATLAB实现,是一个不可多得好文章,希望未来静下心来学习,大智若愚,求知若渴。

    展开全文
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